2023年中考数学探究性试题复习12 二次函数

2023年中考数学探究性试题复习12 二次函数
一、综合题
1．（2023·深圳模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”
例如、、都是“不动点”，已知双曲线
（1）下列说法错误的是（　　）
A．直线的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线的图象上有无数个“不动点”
D．函数的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当时，求的取值范围．
②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
2．（2023·原平模拟）综合与探究．
如图1，抛物线经过，，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接，．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求证：．
（3）如图2，动点P从点B出发，沿着线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
3．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
4．（2023九下·盐都月考）如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点E，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作.如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为.
（1）已知点、点，则　 　，　 　.
（2）若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形.
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为.
①在图3中，点C的坐标为，试求的值；
②在图4中，抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当取最大值时点Q的坐标.
5．（2023·青海模拟）如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
6．（2023·寻乌模拟）定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．
（1）抛物线的“反碟长”　 　．
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是 ▲ ．抛物线的“反碟长”是 ▲ ．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是 ▲ ．（填写所有正确的选项）
A.15 B.16 C.24 D.25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
7．（2023·增城模拟）综合与探究
已知抛物线．
（1）当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式．
（2）当时，无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长．
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
8．（2023·亳州模拟）如图，抛物线与x轴交于点 与y轴交于点C，点A的坐标为．
（1）求b的值和点B，C的坐标；
（2）若点D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围．
9．（2023·吴兴模拟）一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.
【初步探究】
（1）求证：△AQG是等腰三角形；
（2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
（3）【深入探究】
将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.
10．（2023九下·靖江期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为.
（1）函数的友好同轴二次函数为　 　.
（2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值.
（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由.
11．（2023·金华模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC=，∠BOC=60°，D为BC中点.某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E.
（1）点E的坐标为　 　.
（2）好奇的小明在探索一个新函数.若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R.若y′=PQ+PR，点P横坐标为x.关于x的图像如图2，其中图像最低点F、G横坐标分别为（，）、（，）.
①求与x之间的函数关系式.
②写出该函数的两条性质.
（3）已知1①若关于x的方程x2－4x－m=0有解，求m的取值范围.小明思考过程如下：由x2－4x－m=0得m=x2－4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围.请你完成解题过程.
②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围.
12．（2023·柳州模拟）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标；第二，确定自变量x的取值范围；第三判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，y最大；当时，时，y最大.若，时，二次函数的最大值是t，求t的值.
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且，求点P的坐标.
13．（2022·安顺）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．
14．（2022·威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析
15．（2022·盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
（1）【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为　 　．
（2）【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
（3）【深度思考】
小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）C
（2）解：根据题意得：，
解得或，
故双曲线上的“不动点”为和；
（3）解：①抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
方程组只有一组解，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
，
故的取值范围为；
②m的取值范围为．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：A．直线的图象上有无数个“不动点”，故该说法符合题意，不符合题意；
B．当时，可得，此方程无解，故函数的图象上没有“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
C．当时，可得，此方程无解，故直线的图象上没有“不动点”，故该说法不符合题意，符合题意；
D．当时，可得，解得，，故函数的图象上有两个“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
故答案为：C；
(3)②，，
，
，
该抛物线的开口向上，顶点坐标为，
由(2)知：双曲线图象上第一象限的“不动点”为，
过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线，且，
抛物线与直线有两个交点，
如图：
抛物线上有四个点到的距离为，
的取值范围为．
【分析】（1）根据“不动点”的定义求解即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可；
（3）根据“不动点”的定义求解即可。
2．【答案】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：当时，，
解得：或，
∴，，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
当时，，解得：；
当时，如图1，
过点Q作于点D，则，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
当时，如图2，过点P作于点，
则，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：，
综上，当或或时，是等腰三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）求出=2，结合，根据两边成比例且夹角相等可证；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时 ，据此分别画图，利用等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质求解即可.
3．【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
4．【答案】（1）4；4
（2）解：设点P的坐标是，
，
，
∴点P运动所形成的图形是线段，如图2所示：
（3）解：①如图3，过点C作于点E，轴于点F，延长交于点H，则，
∵直线对应的函数关系式为，
∴点H的坐标为，
，，
，
，
又，
，
在和中，，，
，
，
，
，
；
②如图4，过点Q作于点G，作轴于点H，交于点K，
把代入，得
，
解得.
令，
解得，，
故点D的横坐标为3，
设点Q的坐标为，其中，
则，
∴点K的坐标为，，
，.
，
，
，
，
，，
∴当时，取得最大值为，
此时，点Q的坐标为.
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，
，
∵点到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，
，
故答案为：4；4；
【分析】（1）根据点A、B的坐标可得点A、B到x轴、y轴的距离，然后根据定义的新运算进行解答；
（2）设P（x，y），由d(∠xOy，P)=4可得x+y=4，据此解答；
（3）①过点C作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，求出直线OT的解析式，得到点H的坐标，然后求出CH、OH的值，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△HEC∽△HFO，根据相似三角形的性质可得EC的值，然后根据定义的新运算进行解答；
②过点Q作QG⊥OT于点G，作QH⊥x轴于点H，交OT于点K，把A（5，0）代入可求出c的值，得到二次函数的解析式，联立直线OT的解析式求出x，得到点D的横坐标，设Q（m，n），则K（m，m），表示出QK、HK、OK，根据相似三角形的性质可得QG，由d(∠xOT，Q)=OG+QH表示出d(∠xOT，Q)，然后根据二次函数的性质进行解答.
5．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
设直线AB的解析式为：y2=kx+b
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y2=-x+3；
（2）解：因为C点坐标为（1，4）
所以当x=1时，y1=4，y2=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=×3×2=3（平方单位）；
（3）解：假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x
由S△PAB=S△CAB得：×3×（-x2+3x）=×3
化简得：4x2-12x+9=0
解得，x1=x2=，将x=代入y1=-x2+2x+3中，
解得P点坐标为（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出CD=2，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 h=y1-y2=-x2+3x ，再求出 4x2-12x+9=0 ，最后求点的坐标即可。
6．【答案】（1）2
（2）解：①；4；②AC；
③解：∵点在直线上
∴可设
由②可知，
∴
过点作于点，
则，
∵是等边三角形
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解： 令，则或，
∴．
（2）①由题意抛物线的顶点坐标为
∴由平移的性质可得抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为：
②解：由题意可设抛物线的顶点坐标为，
则抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数
∴是整数
结合选项可知：当或24时符合题意，故A，C符合题意．
【分析】（1）先求出或，再求出PQ的值即可；
（2）①先求出由平移的性质可得抛物线的解析式为，再求出或，最后求解即可；
②根据题意先求出，再求出抛物线的“反碟长”为，最后求解即可；
③结合函数图象，利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：联立得，
∴，，
∵，
∴
，
∵无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：存在，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)∵抛物线的解析式为，
∴点G的坐标为，
设抛物线上任一点的坐标为，则点关于直线的对称点坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴点H的坐标为，
∴都在直线上，
∴轴，
∵都在直线上，
∴轴，
∴，
∴当A、B、G、H为顶点的四边形是正方形时，为该正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）先求出点H的坐标为，再求出，最后计算求解即可。
8．【答案】（1）解：∵抛物线经过点
∴抛物线的解析式为
令，可得，
解得或3，
令得到，
∴；
（2）解：∵D是OC的中点，，
∴点D的坐标是，
由两点坐标可以求出直线BC的解析式为：．
∴由两点坐标可以求出直线BD的解析式为：．
设点P的坐标是则点，．
∴，
．
解得：（舍去）或，
当时，
∴点P的坐标为：；
（3）解：当时，，即y随x的增大而增大，
∴，
当时，，
∴直线经过点，即点M与点A重合，
如解图所示，点N在第一象限，当，即
当时，，此时，
由解图可知，当时，，
∴n的取值范围为．
∴n的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出b=2，再求点B和点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标是， 再求出 （舍去）或， 最后求点P的坐标即可；
（3）先求出 直线经过点，即点M与点A重合， 再结合函数图象求解即可。
9．【答案】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∴∠FAE＝∠G，
∴△AQG是等腰三角形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴AB：CG=BE：CE，
∵BE=2CE，AB=6，
∴CG=3，
由（1）得，△AQG是等腰三角形，
∴QG=AQ=6-m，
∴CQ=3-m，
∴QD=6-（3-m）=3+m，
在Rt△ADQ中，AD2+DQ2=AQ2，
∴32+（3+m）2=（6-m）2，
∴m=1；
（3）解：①过点P作PK⊥CD于点K，
∵CD=6，N为BC的中点，
∴AD=DN=3，
∴△ADN是等腰直角三角形，∠AND=45°，
∴AN=，∠PNK=45°，
∴△PKN是等腰直角三角形，
由折叠得AP=AO=6，
∴PN=，
∴PK=NK=，
∴CK=CD-DN-NK=，点P的横坐标为：OC+PK=，
∴P（，）；
②设直线AP的解析式为y=kx+b，
将点（0，6）与P（，）分别代入得
，
解得
∴直线AP：y=-x+6，
将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c
得，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+3x+6，
如图，设抛物线与直线AP相交于点T，
解得
，，
∴T（4，2），
∴，
∴AM=AT=.
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BAE＝∠FAE，由矩形的性质得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAE＝∠G，进而由等量代换得∠FAE＝∠G，从而即可得出结论；
（2）由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△CGE，由相似三角形对应边成比例可求出CG的长，由（1）得QG=AQ=6-m，则CQ=3-m，QD=6-（3-m）=3+m，在Rt△ADQ中，利用勾股定理建立方程，求解可得m的值；
（3）①过点P作PK⊥CD于点K，易得AD=DN=3，则△ADN是等腰直角三角形，由勾股定理得AN=，结合折叠的性质得PN=，易得△PKN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得PK=NK=，进而即可得出点P的坐标；②先利用待定系数法求出直线AP的解析式，将将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式，设抛物线与直线AP相交于点T，联立直线AP与抛物线的解析式，求解可得点T的坐标，利用两点间的距离公式求出AT，进而根据翻折的性质可得AM=AT，从而得出答案.
10．【答案】（1）
（2）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与y轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
【分析】（1）设友好同轴二次函数为y=ax2+bx+c，由函数解析式可得对称轴为直线x=4，与y轴交点为（0，3），则a=1-=，c=3，由对称轴方程可求出b的值，进而可得友好同轴二次函数；
（2）由函数解析式可求得：该函数的友好同轴二次函数为y=a(x-1)2+3-a，①当a>0时，x=4时，ymax=5，代入求解可得a的值；②当a<0时，x=1时，ymax=5，代入求解可得a的值，据此解答；
（3）同理可得：该函数的友好同轴二次函数为y2=(1-a)x2+4(1-a)x+c，将（m，p）、（m，q）分别代入y1、y2中可得p、q，然后表示出p-q，据此求解.
11．【答案】（1）
（2）①∵反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，点P横坐标为x，
∴R（x，），Q（x，），
∴当时，y′＝PQ+PR＝，
当时，y′＝PQ+PR＝；
②由图可知：
该函数图象关于y轴对称；
当x<0时，y随x的增大先减小后增大；
（3）解：①二次函数m=x2－4x开口向上，对称轴为，
∴在1当x＝4时，m＝0，
∴；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵tan∠BOC＝tan60°＝，
∴，
∴，
∴C（2，），D（2，），
设反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，
将点D（2，）代入得，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
将点C（2，）代入得，
解得：，
∴直线OC的解析式为，
联立，解得：，，
∵点E在第一象限，
∴E（，）；
（3）②∵当1∴当1∵二次函数开口向上，对称轴为，
∴当x＝1时，，解得：，
或当x＝4时，，解得：，
且当时，，解得：或，
综上，m的取值范围为.
【分析】（1）根据三角函数的概念可得OB的值，表示出点C、D的坐标，设反比例函数解析式为y=，将D点坐标代入求出k1的值，设直线OC的解析式为y=k2x，将C点坐标代入求出k2的值，然后联立反比例函数与正比例函数的解析式求出x、y的值，结合点E所在的象限可得对应的坐标；
（2）①由题意可设R（x，），Q（x，），然后分x>0、x<0进行解答；
②根据对称性、增减性，写出两条性质即可；
（3）①根据二次函数的性质可得：在1②由题意可得：当112．【答案】（1）解：把，两点代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴在对称轴的左侧，
∵，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
（3）解：延长，过点D作轴，过点D作交的延长线于点M，过点M作于点N，交x轴于点Q，过点A作于点K，如图所示：
把代入得：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
∴舍去，
∴点P的坐标为：.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，由t<0可得t≤x≤t+1在对称轴的左侧，由二次函数的性质可得：当x=t+1时，抛物线有最大值y=t，然后代入求解即可；
（3）延长AP，过点D作KN∥x轴，过点D作DM⊥AD交AP的延长线于点M，过点M作MN⊥KN于点N，交x轴于点Q，过点A作AK⊥KN于点K，易得抛物线的顶点坐标为D（1，4），四边形AKNQ为矩形，NQ=AK=4，利用AAS证明△ADK≌△DMN，得到DN=AK=4，MN=DK=2，求出MQ的值，表示出点M的坐标，利用待定系数法求出直线AM的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
13．【答案】（1）解：∵点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为和谐点，
∴和谐点都在 上，
，
解得 ，
上的和谐点为
（2）解：①∵二次函数 的图象上有且只有一个和谐点 ，
∴ 即 有两个相等的实数根，
，
解得 ①，
将 代入 得，
，
联立①②，得 ，
② ，
，
其顶点坐标为 ，则最大值为3，
在 时， 随 的增大而增大，当 时， ，
根据对称轴可知，当 时， ，
时，函数 的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当 时，函数 的最小值为－1，最大值为3，
实数 的取值范围为： ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；两一次函数图象相交或平行问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】(1)根据和谐点定义可知，和谐点都在直线上，联立两直线解析式求解即可；
(2)①根据题意可知二次函数与相切于点， 联立和y=x，根据一元二次方程的△=b2-4ac=0列式求出，再将 代入二次函数式得出 ，两式联立求出a、c值即可；
②根据①得到解析式，再根据二次函数图象的性质分析最大值和最小值，即可解答.
14．【答案】（1）解：①由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴，
∴，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴，
∴，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴，
∴，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
（2）解：如图，
证明如下：
设M（m，-m2-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴，
∴，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴，
∴，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①先求出点C、D、E的坐标，再利用待定系数法求出直线CD和直线OE和直线AD的解析式，即可得到答案；
②方法同①，利用两直线平行，斜率相等的性质求解即可；
（2）设M（m，-m2-2m+3），利用待定系数法求出直线NQ的解析式为y=2x-2m，即可得到QN//AD。
15．【答案】（1）（-3，4）或（3，4）
（2）解：小明的猜想成立．
解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为．
因为，所以，即，
所以，
所以上，小明的猜想成立．
解法2：设半径为的圆与直线交点为，
因为，所以，解得，所以．
，消去，得，
点在抛物线上，小明的猜想成立．
（3）解：存在所描的点在上，理由：
如图，设所描的点在上，
则，因为，
所以，
整理得，
因为，都是正整数，
所以只有，满足要求．
因此，存在唯一满足要求的，其值是4．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴
∴
故答案为：或；
【分析】（1）画出示意图，由题意可得OA=OB=OD=5，OC=4，OC⊥AB，根据勾股定理可得AC=BC=3，据此可得点A、B的坐标；
（2）解法1：设半径为n的圆与直线y=n-1的交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2=2n-1，表示出n，据此证明；
解法2：设半径为n的圆与直线y=n-1交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2+(n-1)2=n2，求出x，表示出点P，据此证明；
（3）设所描的点N（±，n-1）在⊙M上，则MO=MN，根据两点间距离公式得m=n+1+根据m、n都是正整数可得m、n的取值，据此解答.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习12 二次函数
一、综合题
1．（2023·深圳模拟）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”
例如、、都是“不动点”，已知双曲线
（1）下列说法错误的是（　　）
A．直线的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”
C．直线的图象上有无数个“不动点”
D．函数的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；
（3）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当时，求的取值范围．
②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）C
（2）解：根据题意得：，
解得或，
故双曲线上的“不动点”为和；
（3）解：①抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”，
方程组只有一组解，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
，
故的取值范围为；
②m的取值范围为．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：A．直线的图象上有无数个“不动点”，故该说法符合题意，不符合题意；
B．当时，可得，此方程无解，故函数的图象上没有“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
C．当时，可得，此方程无解，故直线的图象上没有“不动点”，故该说法不符合题意，符合题意；
D．当时，可得，解得，，故函数的图象上有两个“不动点”， 故该说法符合题意，不符合题意；
故答案为：C；
(3)②，，
，
，
该抛物线的开口向上，顶点坐标为，
由(2)知：双曲线图象上第一象限的“不动点”为，
过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线，且，
抛物线与直线有两个交点，
如图：
抛物线上有四个点到的距离为，
的取值范围为．
【分析】（1）根据“不动点”的定义求解即可；
（2）根据题意列出方程组求解即可；
（3）根据“不动点”的定义求解即可。
2．（2023·原平模拟）综合与探究．
如图1，抛物线经过，，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接，．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求证：．
（3）如图2，动点P从点B出发，沿着线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：当时，，
解得：或，
∴，，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
当时，，解得：；
当时，如图1，
过点Q作于点D，则，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
当时，如图2，过点P作于点，
则，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：，
综上，当或或时，是等腰三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）求出=2，结合，根据两边成比例且夹角相等可证；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时 ，据此分别画图，利用等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质求解即可.
3．（2023·开江模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为.当的面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或.
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或.
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象的几何变换；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或.
【分析】（1）根据 “等值点” 的定义建立方程并解之即可；
（2）先根据 “等值点” 的定义求出函数的“等值点” ，同理求出 ， 根据的面积为3， 可得， 求解即可；
（3）先求出函数的图像上有两个“等值点”或，再用翻折的性质分类讨论即可.
4．（2023九下·盐都月考）如图1，对于平面上小于或等于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边上，作于点E，于点F，则将称为点P与的“点角距”，记作.如图2，在平面直角坐标系中，x、y正半轴所组成的角记为.
（1）已知点、点，则　 　，　 　.
（2）若点P为内部或边上的动点，且满足，在图2中画出点P运动所形成的图形.
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系中，射线的函数关系式为.
①在图3中，点C的坐标为，试求的值；
②在图4中，抛物线经过，与射线交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当取最大值时点Q的坐标.
【答案】（1）4；4
（2）解：设点P的坐标是，
，
，
∴点P运动所形成的图形是线段，如图2所示：
（3）解：①如图3，过点C作于点E，轴于点F，延长交于点H，则，
∵直线对应的函数关系式为，
∴点H的坐标为，
，，
，
，
又，
，
在和中，，，
，
，
，
，
；
②如图4，过点Q作于点G，作轴于点H，交于点K，
把代入，得
，
解得.
令，
解得，，
故点D的横坐标为3，
设点Q的坐标为，其中，
则，
∴点K的坐标为，，
，.
，
，
，
，
，，
∴当时，取得最大值为，
此时，点Q的坐标为.
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵点到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，
，
∵点到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，
，
故答案为：4；4；
【分析】（1）根据点A、B的坐标可得点A、B到x轴、y轴的距离，然后根据定义的新运算进行解答；
（2）设P（x，y），由d(∠xOy，P)=4可得x+y=4，据此解答；
（3）①过点C作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，求出直线OT的解析式，得到点H的坐标，然后求出CH、OH的值，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△HEC∽△HFO，根据相似三角形的性质可得EC的值，然后根据定义的新运算进行解答；
②过点Q作QG⊥OT于点G，作QH⊥x轴于点H，交OT于点K，把A（5，0）代入可求出c的值，得到二次函数的解析式，联立直线OT的解析式求出x，得到点D的横坐标，设Q（m，n），则K（m，m），表示出QK、HK、OK，根据相似三角形的性质可得QG，由d(∠xOT，Q)=OG+QH表示出d(∠xOT，Q)，然后根据二次函数的性质进行解答.
5．（2023·青海模拟）如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；
（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3
设直线AB的解析式为：y2=kx+b
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y2=-x+3；
（2）解：因为C点坐标为（1，4）
所以当x=1时，y1=4，y2=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=×3×2=3（平方单位）；
（3）解：假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x
由S△PAB=S△CAB得：×3×（-x2+3x）=×3
化简得：4x2-12x+9=0
解得，x1=x2=，将x=代入y1=-x2+2x+3中，
解得P点坐标为（，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出CD=2，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 h=y1-y2=-x2+3x ，再求出 4x2-12x+9=0 ，最后求点的坐标即可。
6．（2023·寻乌模拟）定义：若直线与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线：与直线相交于，．
（1）抛物线的“反碟长”　 　．
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线．
①当抛物线的顶点平移到点，抛物线的解析式是 ▲ ．抛物线的“反碟长”是 ▲ ．
②若抛物线的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是 ▲ ．（填写所有正确的选项）
A.15 B.16 C.24 D.25
③当抛物线的顶点和抛物线与直线的两个交点，构成一个等边三角形时（点在点左右），求点的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：①；4；②AC；
③解：∵点在直线上
∴可设
由②可知，
∴
过点作于点，
则，
∵是等边三角形
∴
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴点的坐标为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解： 令，则或，
∴．
（2）①由题意抛物线的顶点坐标为
∴由平移的性质可得抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为：
②解：由题意可设抛物线的顶点坐标为，
则抛物线的解析式为，
令，
解得：或，
∴抛物线的“反碟长”为
∵抛物线的“反碟长”是一个偶数
∴是整数
结合选项可知：当或24时符合题意，故A，C符合题意．
【分析】（1）先求出或，再求出PQ的值即可；
（2）①先求出由平移的性质可得抛物线的解析式为，再求出或，最后求解即可；
②根据题意先求出，再求出抛物线的“反碟长”为，最后求解即可；
③结合函数图象，利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2023·增城模拟）综合与探究
已知抛物线．
（1）当抛物线经过和两点时，求抛物线的函数表达式．
（2）当时，无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段的长．
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：联立得，
∴，，
∵，
∴
，
∵无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：存在，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)∵抛物线的解析式为，
∴点G的坐标为，
设抛物线上任一点的坐标为，则点关于直线的对称点坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴点H的坐标为，
∴都在直线上，
∴轴，
∵都在直线上，
∴轴，
∴，
∴当A、B、G、H为顶点的四边形是正方形时，为该正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）先求出点H的坐标为，再求出，最后计算求解即可。
8．（2023·亳州模拟）如图，抛物线与x轴交于点 与y轴交于点C，点A的坐标为．
（1）求b的值和点B，C的坐标；
（2）若点D为的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴，垂足为H，与分别交于点，且，求点P的坐标；
（3）若直线与抛物线交于两点，且有一个交点在第一象限，其中，若结合函数图象，探究n的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点
∴抛物线的解析式为
令，可得，
解得或3，
令得到，
∴；
（2）解：∵D是OC的中点，，
∴点D的坐标是，
由两点坐标可以求出直线BC的解析式为：．
∴由两点坐标可以求出直线BD的解析式为：．
设点P的坐标是则点，．
∴，
．
解得：（舍去）或，
当时，
∴点P的坐标为：；
（3）解：当时，，即y随x的增大而增大，
∴，
当时，，
∴直线经过点，即点M与点A重合，
如解图所示，点N在第一象限，当，即
当时，，此时，
由解图可知，当时，，
∴n的取值范围为．
∴n的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式，求出b=2，再求点B和点C的坐标即可；
（2）先求出点D的坐标是， 再求出 （舍去）或， 最后求点P的坐标即可；
（3）先求出 直线经过点，即点M与点A重合， 再结合函数图象求解即可。
9．（2023·吴兴模拟）一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.
【初步探究】
（1）求证：△AQG是等腰三角形；
（2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
（3）【深入探究】
将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.
【答案】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠G，
∴∠FAE＝∠G，
∴△AQG是等腰三角形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴AB：CG=BE：CE，
∵BE=2CE，AB=6，
∴CG=3，
由（1）得，△AQG是等腰三角形，
∴QG=AQ=6-m，
∴CQ=3-m，
∴QD=6-（3-m）=3+m，
在Rt△ADQ中，AD2+DQ2=AQ2，
∴32+（3+m）2=（6-m）2，
∴m=1；
（3）解：①过点P作PK⊥CD于点K，
∵CD=6，N为BC的中点，
∴AD=DN=3，
∴△ADN是等腰直角三角形，∠AND=45°，
∴AN=，∠PNK=45°，
∴△PKN是等腰直角三角形，
由折叠得AP=AO=6，
∴PN=，
∴PK=NK=，
∴CK=CD-DN-NK=，点P的横坐标为：OC+PK=，
∴P（，）；
②设直线AP的解析式为y=kx+b，
将点（0，6）与P（，）分别代入得
，
解得
∴直线AP：y=-x+6，
将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c
得，
解得，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+3x+6，
如图，设抛物线与直线AP相交于点T，
解得
，，
∴T（4，2），
∴，
∴AM=AT=.
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BAE＝∠FAE，由矩形的性质得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠BAE＝∠G，进而由等量代换得∠FAE＝∠G，从而即可得出结论；
（2）由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△CGE，由相似三角形对应边成比例可求出CG的长，由（1）得QG=AQ=6-m，则CQ=3-m，QD=6-（3-m）=3+m，在Rt△ADQ中，利用勾股定理建立方程，求解可得m的值；
（3）①过点P作PK⊥CD于点K，易得AD=DN=3，则△ADN是等腰直角三角形，由勾股定理得AN=，结合折叠的性质得PN=，易得△PKN是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得PK=NK=，进而即可得出点P的坐标；②先利用待定系数法求出直线AP的解析式，将将点A（0，6）与点D（3，6）分别代入y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而得出抛物线的解析式，设抛物线与直线AP相交于点T，联立直线AP与抛物线的解析式，求解可得点T的坐标，利用两点间的距离公式求出AT，进而根据翻折的性质可得AM=AT，从而得出答案.
10．（2023九下·靖江期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为.
（1）函数的友好同轴二次函数为　 　.
（2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值.
（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
【知识点】二次函数的最值；定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与y轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
【分析】（1）设友好同轴二次函数为y=ax2+bx+c，由函数解析式可得对称轴为直线x=4，与y轴交点为（0，3），则a=1-=，c=3，由对称轴方程可求出b的值，进而可得友好同轴二次函数；
（2）由函数解析式可求得：该函数的友好同轴二次函数为y=a(x-1)2+3-a，①当a>0时，x=4时，ymax=5，代入求解可得a的值；②当a<0时，x=1时，ymax=5，代入求解可得a的值，据此解答；
（3）同理可得：该函数的友好同轴二次函数为y2=(1-a)x2+4(1-a)x+c，将（m，p）、（m，q）分别代入y1、y2中可得p、q，然后表示出p-q，据此求解.
11．（2023·金华模拟）如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC=，∠BOC=60°，D为BC中点.某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E.
（1）点E的坐标为　 　.
（2）好奇的小明在探索一个新函数.若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R.若y′=PQ+PR，点P横坐标为x.关于x的图像如图2，其中图像最低点F、G横坐标分别为（，）、（，）.
①求与x之间的函数关系式.
②写出该函数的两条性质.
（3）已知1①若关于x的方程x2－4x－m=0有解，求m的取值范围.小明思考过程如下：由x2－4x－m=0得m=x2－4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围.请你完成解题过程.
②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围.
【答案】（1）
（2）①∵反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，点P横坐标为x，
∴R（x，），Q（x，），
∴当时，y′＝PQ+PR＝，
当时，y′＝PQ+PR＝；
②由图可知：
该函数图象关于y轴对称；
当x<0时，y随x的增大先减小后增大；
（3）解：①二次函数m=x2－4x开口向上，对称轴为，
∴在1当x＝4时，m＝0，
∴；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵tan∠BOC＝tan60°＝，
∴，
∴，
∴C（2，），D（2，），
设反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，
将点D（2，）代入得，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
将点C（2，）代入得，
解得：，
∴直线OC的解析式为，
联立，解得：，，
∵点E在第一象限，
∴E（，）；
（3）②∵当1∴当1∵二次函数开口向上，对称轴为，
∴当x＝1时，，解得：，
或当x＝4时，，解得：，
且当时，，解得：或，
综上，m的取值范围为.
【分析】（1）根据三角函数的概念可得OB的值，表示出点C、D的坐标，设反比例函数解析式为y=，将D点坐标代入求出k1的值，设直线OC的解析式为y=k2x，将C点坐标代入求出k2的值，然后联立反比例函数与正比例函数的解析式求出x、y的值，结合点E所在的象限可得对应的坐标；
（2）①由题意可设R（x，），Q（x，），然后分x>0、x<0进行解答；
②根据对称性、增减性，写出两条性质即可；
（3）①根据二次函数的性质可得：在1②由题意可得：当112．（2023·柳州模拟）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
（1）求抛物线解析式；
（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标；第二，确定自变量x的取值范围；第三判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，y最大；当时，时，y最大.若，时，二次函数的最大值是t，求t的值.
（3）如图，若点P是第一象限抛物线上一点，且，求点P的坐标.
【答案】（1）解：把，两点代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴在对称轴的左侧，
∵，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
解得：或（舍去），
∴.
（3）解：延长，过点D作轴，过点D作交的延长线于点M，过点M作于点N，交x轴于点Q，过点A作于点K，如图所示：
把代入得：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
∴舍去，
∴点P的坐标为：.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，由t<0可得t≤x≤t+1在对称轴的左侧，由二次函数的性质可得：当x=t+1时，抛物线有最大值y=t，然后代入求解即可；
（3）延长AP，过点D作KN∥x轴，过点D作DM⊥AD交AP的延长线于点M，过点M作MN⊥KN于点N，交x轴于点Q，过点A作AK⊥KN于点K，易得抛物线的顶点坐标为D（1，4），四边形AKNQ为矩形，NQ=AK=4，利用AAS证明△ADK≌△DMN，得到DN=AK=4，MN=DK=2，求出MQ的值，表示出点M的坐标，利用待定系数法求出直线AM的解析式，联立抛物线解析式求出x、y，据此可得点P的坐标.
13．（2022·安顺）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：∵点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为和谐点，
∴和谐点都在 上，
，
解得 ，
上的和谐点为
（2）解：①∵二次函数 的图象上有且只有一个和谐点 ，
∴ 即 有两个相等的实数根，
，
解得 ①，
将 代入 得，
，
联立①②，得 ，
② ，
，
其顶点坐标为 ，则最大值为3，
在 时， 随 的增大而增大，当 时， ，
根据对称轴可知，当 时， ，
时，函数 的最小值为－1，最大值为3，
根据函数图象可知，当 时，函数 的最小值为－1，最大值为3，
实数 的取值范围为： ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；两一次函数图象相交或平行问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】(1)根据和谐点定义可知，和谐点都在直线上，联立两直线解析式求解即可；
(2)①根据题意可知二次函数与相切于点， 联立和y=x，根据一元二次方程的△=b2-4ac=0列式求出，再将 代入二次函数式得出 ，两式联立求出a、c值即可；
②根据①得到解析式，再根据二次函数图象的性质分析最大值和最小值，即可解答.
14．（2022·威海）探索发现
（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析
【答案】（1）解：①由题意得，
，
∴，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴D（-1，4），C（0，3），
设直线CD的解析式为：y=mx+n，
∴，
∴，
∴y=-x+3，
∴当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2），
∴直线OE的解析式为：y=2x，
设直线AD的解析式为y=cx+d，
∴，
∴，
∴y=2x+6，
∴OE∥AD；
②设直线PD的解析式为：y=ex+f，
∴，
∴，
∴y=-3x+1，
∴当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴H（1，-2），
设直线GH的解析式为：y=gx+h，
∴，
∴，
∴y=2x-4，
∴AD∥HG；
（2）解：如图，
证明如下：
设M（m，-m2-2m+3），
设直线DM的解析式为y=px+q，
∴，
∴，
∴y=-（m+1）x+（-m+3），
∴当x=1时，y=-m-1-m+3=-2m+2，
∴Q（1，-2m+2），
设直线NQ的解析式为：y=ix+j，
∴，
∴，
∴y=2x-2m，
∴QN∥AD．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①先求出点C、D、E的坐标，再利用待定系数法求出直线CD和直线OE和直线AD的解析式，即可得到答案；
②方法同①，利用两直线平行，斜率相等的性质求解即可；
（2）设M（m，-m2-2m+3），利用待定系数法求出直线NQ的解析式为y=2x-2m，即可得到QN//AD。
15．（2022·盐城）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
（1）【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为　 　．
（2）【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
（3）【深度思考】
小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（-3，4）或（3，4）
（2）解：小明的猜想成立．
解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为．
因为，所以，即，
所以，
所以上，小明的猜想成立．
解法2：设半径为的圆与直线交点为，
因为，所以，解得，所以．
，消去，得，
点在抛物线上，小明的猜想成立．
（3）解：存在所描的点在上，理由：
如图，设所描的点在上，
则，因为，
所以，
整理得，
因为，都是正整数，
所以只有，满足要求．
因此，存在唯一满足要求的，其值是4．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：（1）如图，
∴
∴
故答案为：或；
【分析】（1）画出示意图，由题意可得OA=OB=OD=5，OC=4，OC⊥AB，根据勾股定理可得AC=BC=3，据此可得点A、B的坐标；
（2）解法1：设半径为n的圆与直线y=n-1的交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2=2n-1，表示出n，据此证明；
解法2：设半径为n的圆与直线y=n-1交点为P（x，n-1），根据OP=n可得x2+(n-1)2=n2，求出x，表示出点P，据此证明；
（3）设所描的点N（±，n-1）在⊙M上，则MO=MN，根据两点间距离公式得m=n+1+根据m、n都是正整数可得m、n的取值，据此解答.
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