2023年中考数学探究性试题复习16 圆
一、综合题
1．（2023·镇海模拟）
（1）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察图4－17，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。
（2）【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
（3）【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC；
（4）【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 ，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：∵ ， ， ， 同底等高
∴
（2）解：连结OC、OD
∵∴ 同理，
∴∴阴影面积与圆面积的比为
（3）解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO
∴
∴∠BDO＝∠CDO
∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO
∵∠ACO＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠ACO
∴∴∠ABO＝∠BOC，
连接AO，过点O作 于点H
∴ ， ，
∴
（4）解：连结DF，BD，OD
∵AB为直径， 于点P
∴弧CB＝弧BD，CP＝PD
∵CF＝CB
∴弧CF＝弧CB＝弧BD
∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴ ，BF＝CD
设EP＝a，则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a
∵弧CF＝弧BD
∴∠DCB＝∠CBF
∴BE＝CE＝3a，
∵∴∴
∴
∴∴PB＝4，
在Rt△ODP中， ，
设⊙O半径为r，
则
解得r＝6
∴⊙O的半径为6
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用同底等高的三角形的面积相等，可证得结论.
（2）连接OC，OD，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可证得S△AON=S△DON，S△BON=S△NCO，由此可推出S阴影部分=S扇形DOC，据此可求出阴影部分的面积.
（3）利用SSS证明△BDO≌△CDO，利用全等三角形的性质可证得∠BDO=∠CDO，利用圆周角定理去证明∠BAC=∠ACO，可推出CO∥AB，利用平行线的性质可证得∠ABO=∠BOC，同时可证得S△ABC=S△ABO；连接AO，过点O作OH⊥AB于点H，利用解直角三角形表示出HB的长，利用垂径定理表示出AB的长，利用勾股定理可表示出OH的长；利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积.
（4）连结DF，BD，OD，利用垂径定理可证得弧CF＝弧CB＝弧BD，可推出∠BFD＝∠CBF，利用圆周角定理可证得BF=CD，设EP＝a，可表示出CD，PC，CE，BE的长，利用勾股定理表示出PB的长，再由CB∥DF，可证得△CBF的面积等于△CBD的面积，由此可证得△EBD的面积等于△CEF的面积，利用三角形的面积公式可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到PB，PD的长；设⊙O半径为r，在Rt△ODP中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可求解.
2．（2023·龙岗模拟）“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题.
（1）【知识理解】如图10，圆О的内接四边形ACBD中，，，
① ； （填“>”，“=”，“<”）
②将D点绕点B顺时针旋转60°得到点E，则线段DB，DC，DA的关系为 .
（2）【知识应用】如图11，AB是圆О的直径，，猜想DA，DB，DC的数量关系，并证明；
（3）【知识拓展】如图12，已知，A，B分别是射线DA，DB上的两个动点，以AB为边往外构造等边，点C在内部，若，直接写出四边形ADBC面积S的取值范围.
【答案】（1）60°；=；DC=DB+DA
（2）解：
过作于
∵，∴，
∴，
∴
∵是直径，∴∴
又∵，∴
∴∴
∵
∴即
（3）解：
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1） ①， ，则△ABC为等边三角形，由分析可知， ； = 。
②将D点绕点B顺时针旋转60°得到点E，则△DBE为等边三角形，所以DB=EB，而AB=BC， = ，所以 △DAB ≌ △ECB，则AD=EC，而DE=DB，所以DC=DE+EC= DB+DA 。
（3）由分析可知，当A或B与D重合时，得到的四边形ADBC面积S=S△ABC=，但 A，B分别是射线DA，DB上的两个动点 ，不可能与D重合，所以S＞；当AD=BD时，得到的四边形ADBC面积最大， 此时 = =30°，则S=S△ABC+S△ABD=+=，所以 四边形ADBC面积S的取值范围为 。
【分析】（1） ① 同弧所对圆周角相等；
②根据全等三角形的判定和性质进行分析。
（2）根据三角函数和相似三角形的判定及性质进行分析。
（3）当A或B与D重合时，得到的四边形ADBC面积最小；当AD=BD时，得到的四边形ADBC面积最大，结合三角形的面积进行分析。
3．（2023·丰润模拟）如图1，，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且，为上靠近点的三等分点，是上的动点．
（1）的最小值为 ，的最大值为 ；
（2）沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长，求点在的区域内部（包括边界）的时长；
（3）过点作于点，且，沿直线向右平移半圆．
①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长；
②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留，，）
【答案】（1）4；
（2）解：如图1，点G落在边上，连接，过点G作于点F．
∵为上靠近点的三等分点，为直径，
∴，
在中，，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2，点G落在边上，，
∴，
∴是半圆O的切线，
∴．
在中，．
点G在的区域内部（包括边界）的时长为；
（3）解：①如图3，过点O作，垂足为P，连接．
在中，，，
∴．
在中，，
∴；
②或
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵F是上的动点，
∴当点F和点E重合时，有最小值，即的长度，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为4；
如图所示，连接并延长，交于点F，此时有最大值，
∵是半圆O的直径，且，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴；
故答案为：4，；
（3）②如图4，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则．
在中，，
∴，
此时点E走过的路径长为；
如图5，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则．
在中，，
∴，
∴，
此时点E走过的路径长为．
综上：时点E走过的路径长为或．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）①根据题意先求出 ，再利用勾股定理计算求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
4．（2023·惠来模拟）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．
（1）已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形：
直线；直线；双曲线，是的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）．
（2）如图1，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．
（3）如图2，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：如图所示：
直线是的关联直线，
直线的临界状态是和相切的两条直线和，
当临界状态是时，连接， 则，
中，当，，当，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
点；
同理可得当临界状态是时，点，
点的横坐标；
（3）解：或
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】（1）解：假设双曲线上点到原点的距离为2，
则，即，
整理，得，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
因此双曲线上点和到原点的距离为2，
故双曲线与有公共点；
如图所示，
直线和 双曲线与有公共点，直线与没有公共点，
因此是的关联图形，
故答案为：；
（3）解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点，
，，
，
，
轴，
，
，
设点，则，，
，
解得，
当最小时，，取最大值为2，越大，越小， ，
此时h取值范围为；
②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点，
同理可得： ，
设点，则，，
，
解得，
当最小时，，取最小值为，越大，越大，
此时h取值范围为；
综上可得或．
【分析】（1）根据关联直线的定义，结合函数图象求解即可；
（2）先求出 为等腰直角三角形， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定与性质求解即可。
5．（2023·宿州模拟）阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，是的弦，点在上，且于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，求证：．
学习小组中的一位同学进行了如下证明：
如图2，连接，，
∵，．
∴
∵，
∴
……
请完成下列的任务：
（1）完成上面的证明：
（2）如图3，将上述问题中弦改为直径，若，求证点是的中点．
【答案】（1）证明：，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如答图，连接，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴点是的中点．
【知识点】菱形的判定与性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 四边形为菱形， 最后证明求解即可。
6．（2023·秀洲模拟）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 .（填序号）
①矩形；②菱形；③正方形
（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6， ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长.
（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°.
①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值.
【答案】（1）③
（2）解：∵∠BAC=90°，AB=6， ，
∴ ， ，BD为直径，
∴∠BED=∠DEC=90°，
∵四边形ABED是“婆氏四边形”，
∴AE⊥BD，
∴AD=DE，AB=BE=6，
设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，
在Rt△EDC中，根据勾股定理，
，即 ，解得 ，即DE=3；
（3）解：①设AC，BD相交于点E如图所示
∵ ， ，∠BOC+∠AOD=180°，
∴ ，
∴∠CED=90°，
即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC，
∴ ， ，∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA=OB=OC=OD，
∴ ， ，
∵∠BOC+∠AOD=180°，
∴ ，
∴ ，
在△OAM和△BON中
∵
∴△OAM≌△BON（AAS），
∴ ，
∵AD+BC=4
设 ，则 ， ， ，
在Rt△BON中，
，
当 时，取得最小值 ，即⊙O半径的最小值为 .
【知识点】正方形的判定；垂径定理；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如下图，
∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD为正方形.
故答案为：③；
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC，根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠ADC=180°， 则∠ABC=∠ADC=90°， 推出平行四边形ABCD为矩形，由题意可得AC⊥BD，然后根据正方形的判定定理进行解答；
（2）利用三角函数的概念可得BC的值，由勾股定理可得AC，由圆周角定理得∠BED=∠DEC=90°， 根据题意可得AE⊥BD，则AD=DE，AB=BE=6， 设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=4， 然后在Rt△EDC中，根据勾股定理求解即可；
（3）①设AC，BD相交于点E，由圆周角定理可得∠DCA=∠AOD，∠BDC=∠BOC，由已知条件可知∠BOC+∠AOD=180°， 则∠CED=90°， 据此证明；
②作OM，ON分别垂直于AD，BC， 由垂径定理可得AM=AD，BN=BC，由等腰三角形的性质可得∠AOM=∠AOD，∠BON=∠BOC，结合∠BOC+∠AOD=180°可推出∠OAM=∠BON，利用AAS证明△OAM≌△BON，得到ON=AM=AD， 设ON=AM=n，则AD=2n，BC=4-2n，BN=2-n，在Rt△BON中，由勾股定理可表示出OB，然后根据偶次幂的非负性可得ON的最小值，进而可得⊙O半径的最小值.
7．（2023九下·滨江月考）【证明体验】
（1）如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，求证：；
（2）【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴，
∴∠ABC＝∠APB，
∵∠PAC＝∠PBC，∠PCA＝∠PBA，
∴∠PAC＋∠PCA＝∠ABC，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PCA.
（2）解：延长BP至点D，使得PD＝PC，
∵若点P为的中点，
∴，
∴AP＝CP，∠PAC＝∠PBA＝∠PCA，
∴AP＝DP，∠APB＝2∠PBA，
∴∠PAD＝∠D，
∴∠APB=2∠PAD＝2∠D，
∴∠PBA＝∠PAD＝∠D，
∴AD＝AB＝6，
∵∠D＝∠D，
∴，
∴
∴，
∴（舍去）或.
∴PA的值为4.
（3）解：连结OC，OP，过点C作CH⊥BP于点H，
∵OC＝OP＝5＝CP，
∴△OCP为等边三角形，
∴，
∵BC＝6，
∴，，
∴，
∴，
∵∠E＝∠ABP，∠BAP＝∠PCE，
∴，
∴，
∴.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得弧AB=弧AC，由圆周角定理可得∠ABC=∠APB，∠PAC=∠PBC， ∠ACP=∠PBA，然后结合等式的性质可求解；
（2）延长BP至点D，使得PD＝PC，由圆周角定理和三角形外角的性质易得∠PBA=∠PAD=∠D，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，于是可得比例式求解；
（3）连结OC，OP，过点C作CH⊥BP于点H，由题意易得三角形OCP是等边三角形，由等边三角形的性质和圆周角定理得∠PBC=∠POC=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得CH=BC，在直角三角形PCH中，用勾股定理求得PH的值，则BP=BH+PH，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，于是得比例式求解.
8．（2023九下·兴化月考）如图，已知的半径为1，P是平面内一点.
（1）如图①，若，过点P作的两条切线、，切点分别为E、F，连接.则 ， .
（2）若点M、N是上两点，且存在，则规定点P为的“直角点”.
①如图②，已知平面内有一点D，，试说明点D是的“直角点”.
②如图③，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标.
【答案】（1）；
（2）解：①过点D作⊙O的两条切线、，切点分别为E、F，
在中，，，
，
，
同理可得，
，
点D是的“直角点”；
②直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，
时，；时，，
、，
，，
，
由①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点，
如图，设半径为r的圆的圆心为M，
线段上所有点都是的“直角点”，
在以为圆心，为半径的圆上及圆内，
若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，，
，最小半径.
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）解：连接，和相交于点Q，
为的切线，且切点为E，
，
是直角三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，
，
是等边三角形，
，
故答案为：30，；
【分析】（1）连接OE，EF和OP相交于点Q，由圆的切线的性质可得OE⊥PE，在直角三角形OEP中，用勾股定理可求得PE的值；根据锐角三角函数并结合特殊角的三角函数值可得∠EPO=30°，于是∠PEF=60°；同理可得∠FPO=30°，则∠EPF=60°，根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形可得三角形PEF是等边三角形；然后根据等边三角形的性质得EF=PE可求解；
（2）①过点D作⊙O的两条切线DE、DF，切点分别为E、F，在直角三角形DEO中，根据锐角三角函数并结合特殊角的三角函数值可得∠EPO=45°，同理可得∠FDO=45°，根据三角形内角和定理可得∠FDE=90°；由 圆的“直角点” 的定义可得 点D是的“直角点”；
②由直线y=x-2分别与x轴、y轴相交于点A、B，分别令y=0，x=0可求得A、B两点的坐标，用勾股定理求得AB的值；由①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点，
如图，设半径为r的圆的圆心为M，由线段上所有点都是的“直角点”可知AB在以为圆心，为半径的圆上及圆内， 若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，由线段中点定义和勾股定理可得AM=r，以及点M的坐标，则r=可求解.
9．（2023九下·沭阳月考）如图
如图①，已知矩形，.点E从点B出发，沿边运动至点C停止.以为直径作，与对角线交于点F，连接，.
（1）如图②，当E运动至终点C时，求的值；
（2）试探究：在点E运动的过程中，的值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）如图③，以，为边构造矩形，连接，求证：，并直接写出在这一运动过程中，点G所经过的路径长.
【答案】（1）解：如图②，
∵为直径，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）解：的值为定值.
如图①，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴点C在上.
∵在中，，
∴.
在中，，
∵为直径，
∴，
∴在中，.
（3）解：∵四边形是矩形，
∴由（2）得，，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
点G所经过的路径长.
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠DFE=90°，由矩形的性质可得∠ADE=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DEF∽△AED，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算；
（2）连接OC，由矩形的性质可得∠DCE=90°，易得OC=OD=OE，由圆周角定理可得∠FED=∠FCD，∠DFE=90°，据此解答；
（3）由（2）可得，则，根据同角的余角相等可得∠ADF=∠CDG，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
10．（2023·海南模拟）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即.下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
证明：如图2，在上截取，连接、、和.
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即.
（1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
（2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
（3）【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ .
【答案】（1）
（2）解：.
证明：在上截取，连接、、、，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即.
（3）或
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，即，
，
，
.
（3）如图，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为5，
，
，
，
，
.
当点在上方时，，同理易得.
综上所述：的长为或.
【分析】（1）由题意可得CD=DB+BA=6-CD+AB，则CD=6-CD+4，求出CD的值，然后根据BD=BC-CD进行计算；
（2）在DB上截取BG=BA，连接MA、MB、MC、MG，利用SAS证明△MAB≌△MGB，得到MA=MG，则MC=MG，由等腰三角形的性质可得DC=DG，据此证明；
（3）当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，由圆周角定理可得∠BAC=90°，利用勾股定理可得AC的值，根据CG1+AB=AG1可得AG1，进而可求出AD1的值；当点D2在BC上方时，∠D2AC=45°，同理求解即可.
11．（2023九上·南宁期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长 ；（填“相等”或“不相等”）若，，则n= .
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求n的值，请用含r，l的式子表示n；
（3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，C是中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
【答案】（1）相等；120°
（2）解：由圆锥的底面周长等于扇形的弧长
得：
∴
（3）解：
∵，，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：（1）圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵，，，
∴，
故答案为：相等，.
【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式并求解即可；
（3）利用（1）结论先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， 从而求出，利用勾股定理求出A'C，继而求解.
12．（2023九上·宿城期末）概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点A，并与点A的对边相切于点D，则该就叫做的切接圆.根据上述定义解决下列问题：
（1）已知，中，，，.
①如图2，若点D在边上，，以D为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由.
②在图3中，若点D在的边上，以D为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径（直接写出答案）.
思维拓展
（2）如图4，中，.，把放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边落在x轴上.试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心都可以作过点C的的“切接圆”.
【答案】（1）解：①是，理由如下：
过点D作，交于点E，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线，
∵点B在上，
∴是的“切接圆”；
②
（2）解：设P为抛物线上任意一点，坐标为：，过点C作x轴的平行线，过点P作y的平行线，交轴与点G，连接，
∵，，把放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边落在x轴上.
∴，
∴
∴，，
∴，
∴是圆P的切线，
∴以抛物线图像上任意一点为圆心都可以作过点C的的“切接圆”.
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）②如图，与相切于点F，连接，设的半径为r，
则：，，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：；
【分析】（1）①过点D作DE⊥AC，交AC于点E，则DE∥AB，由勾股定理可得BC，证明△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质可求出DE，由BD=BC-CD求出BD，推出AC为⊙D的切线，据此判断；
②AB与⊙D相切于点F，连接DF，设⊙D的半径为r，则CD=DF=r，证明△BDF∽△BCA，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（2）设P（t，t2+4），过点C作x轴的平行线，过点P作y的平行线，交x轴与点G，连接CP，由勾股定理可得OC的值，表示出点C的坐标，根据两点间距离公式可得PC2、PG2，推出PC=PG，得到PG是圆P的切线，据此解答.
13．（2023九上·泰兴期末）数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.
（1）如图1，一张圆形纸片，圆心为O，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心O上，折痕交于B、C两点，求的度数.
（2）把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M是弧上一动点.
①如图2，当点M是弧中点时，在线段、上各找一点E、F，使得是等边三角形.试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.
②在①的条件下，取的内心N，则 .
③如图3，当M在弧上三等分点S、T之间（包括S、T两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心N，请问的长度是否变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度.
【答案】（1）解：由折叠可得，
，
，
是等边三角形，
，
同理：，
；
（2）解：①作等边，作垂直平分线交于点F，以O为圆心为半径作圆交于点E，连接、、得；
根据作图可知，，
根据折叠可知，，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
②
③不变，理由如下：
如图，取中点H，连接，，，作交于点L，
设，，则，，，
在中，，
为的中点，
，
在中，，
在中，，
即有化简得，
在中，
；
即，的值不变.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）②根据解析①可知，为等边三角形，
，
∴内心的内心N在上，，，
设，则，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）由折叠可得AC=OC，由圆的相关知识可得OC=OA，则AC=OC=OA，推出△OAC为等边三角形，得到∠CAO=60°，同理可得∠BAO=60°，然后根据∠CAB=∠CAO+∠BAO进行计算；
（2）①作等边△OMG，作OG垂直平分线交OQ于点F，以O为圆心OF为半径作圆交OP于点E，连接EF、ME、MF得△EFM，根据作图可知OE=OF，根据折叠可知∠POQ=90°，易证△OME≌△OMF，得到∠EMO=∠FMO，EM=FM，根据等边三角形的性质可得MF垂直平分OG，则∠EMO=∠FMO=30°，∠EMF=60°，据此解答；
②根据解析①可知：△EFM为等边三角形，∠EMO=∠FMO=30°，则内心△EFM的内心N在OM上，设NH=x，则MN=2x，MH=3x，OH=6-3x，根据三角函数的概念可得EH，由EH=OH可得x的值，据此求解；
③取EF的中点H，连接OH、HM、OM，作OL⊥MH交于点L，设HN=x，LH=y，则MN=2x，EH=x，MH=3x，表示出OH，根据勾股定理可得OM2-LM2=OH2-LH2，代入并化简可得2x2+xy=6，接下来在Rt△ONL中，根据勾股定理求出ON的值，据此解答.
14．（2023九上·武义期末）如图，小明所在学习兴趣小组在探究“如何测量环形花坛面积（阴影部分）”的方法，准备了下列工具：①卷尺；②直木条（足够长）；③T型尺（EF所在的直线垂直平分线段CD）.
（1）在图1中，请你用T形尺的原理画出大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）.
（2）如图2，小明说：“我只用一根直木条和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直木条放留到与小圆相切，用卷尺量出此时直木条与大圆两交点G，H之间的距离，就可求出环形花坛的面积.”如果测得，请你求出这个环形花坛的面积.
【答案】（1）解：如图所示，点即为所求，
（2）解：如图所示，设切点为，连接，
∵是切线，
∴，
∴，
在中，，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆的面积
【解析】【分析】（1）直线C′D′与直线E′F′的交点即为大圆的圆心O；
（2）设切点为M，连接OG、OM，根据垂径定理可得GM=MH=3，根据勾股定理求出GO2，然后根据S圆环=S大圆-S小圆进行计算.
15．（2022·镇江）操作探究题
（1）已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
（2）如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：操作：
交流： ，或 ；
探究：设 ，解得 （ 为非负整数）．
或设 ，解得 （ 为正整数）．
所以对于正整数 （ 不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆 的圆心角 所对的弧三等分；
（2）解：如图
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）操作：分别构造60°弧、15°弧、12°弧、6°弧即可解决问题；
交流：当n=28时，三者之间的数量关系为；
探究：设 或设，用含k的式子表示出n即可；
（2）以P为端点，用半径去截圆，与圆交于一点，再以该点为端点，重复上述步骤，得到点D，以Q为圆心，QP为半径画弧，与圆交于一点C，则弧即为所作.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习16 圆
一、综合题
1．（2023·镇海模拟）
（1）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察图4－17，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。
（2）【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
（3）【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC；
（4）【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 ，求⊙O的半径．
2．（2023·龙岗模拟）“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题.
（1）【知识理解】如图10，圆О的内接四边形ACBD中，，，
① ； （填“>”，“=”，“<”）
②将D点绕点B顺时针旋转60°得到点E，则线段DB，DC，DA的关系为 .
（2）【知识应用】如图11，AB是圆О的直径，，猜想DA，DB，DC的数量关系，并证明；
（3）【知识拓展】如图12，已知，A，B分别是射线DA，DB上的两个动点，以AB为边往外构造等边，点C在内部，若，直接写出四边形ADBC面积S的取值范围.
3．（2023·丰润模拟）如图1，，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且，为上靠近点的三等分点，是上的动点．
（1）的最小值为 ，的最大值为 ；
（2）沿直线向右平移半圆，若半圆的右移速度为每秒1个单位长，求点在的区域内部（包括边界）的时长；
（3）过点作于点，且，沿直线向右平移半圆．
①如图2，当点与点重合时，求半圆在上截得的线段的长；
②将半圆移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为．当半圆与的边相切时，直接写出点运动的路径长．（注：结果保留，，）
4．（2023·惠来模拟）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．
（1）已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形：
直线；直线；双曲线，是的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）．
（2）如图1，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．
（3）如图2，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．
5．（2023·宿州模拟）阿基米德（公元前287年-公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，是的弦，点在上，且于点，在弦上取点，使，点是上的一点，且，连接，求证：．
学习小组中的一位同学进行了如下证明：
如图2，连接，，
∵，．
∴
∵，
∴
……
请完成下列的任务：
（1）完成上面的证明：
（2）如图3，将上述问题中弦改为直径，若，求证点是的中点．
6．（2023·秀洲模拟）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.
（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 .（填序号）
①矩形；②菱形；③正方形
（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6， ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长.
（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°.
①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值.
7．（2023九下·滨江月考）【证明体验】
（1）如图1，是等腰的外接圆，，在上取一点，连结，求证：；
（2）【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点为的中点，，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，的半径为5，弦，弦，延长交的延长线于点，且，求的值.
8．（2023九下·兴化月考）如图，已知的半径为1，P是平面内一点.
（1）如图①，若，过点P作的两条切线、，切点分别为E、F，连接.则 ， .
（2）若点M、N是上两点，且存在，则规定点P为的“直角点”.
①如图②，已知平面内有一点D，，试说明点D是的“直角点”.
②如图③，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标.
9．（2023九下·沭阳月考）如图
如图①，已知矩形，.点E从点B出发，沿边运动至点C停止.以为直径作，与对角线交于点F，连接，.
（1）如图②，当E运动至终点C时，求的值；
（2）试探究：在点E运动的过程中，的值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）如图③，以，为边构造矩形，连接，求证：，并直接写出在这一运动过程中，点G所经过的路径长.
10．（2023·海南模拟）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即.下面是运用“截长法”证明的部分证明过程.
证明：如图2，在上截取，连接、、和.
是的中点，
，
又，，
，
，
又，
，
即.
（1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点M是的中点，于点D，则 ；
（2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
（3）【实践应用】如图4，是的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则AD＝ .
11．（2023九上·南宁期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l，圆心角为的扇形.工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.
（1）探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长 ；（填“相等”或“不相等”）若，，则n= .
（2）解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求n的值，请用含r，l的式子表示n；
（3）拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽，，，C是中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
12．（2023九上·宿城期末）概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，，经过点A，并与点A的对边相切于点D，则该就叫做的切接圆.根据上述定义解决下列问题：
（1）已知，中，，，.
①如图2，若点D在边上，，以D为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由.
②在图3中，若点D在的边上，以D为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，求的半径（直接写出答案）.
思维拓展
（2）如图4，中，.，把放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边落在x轴上.试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心都可以作过点C的的“切接圆”.
13．（2023九上·泰兴期末）数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.
（1）如图1，一张圆形纸片，圆心为O，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心O上，折痕交于B、C两点，求的度数.
（2）把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M是弧上一动点.
①如图2，当点M是弧中点时，在线段、上各找一点E、F，使得是等边三角形.试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.
②在①的条件下，取的内心N，则 .
③如图3，当M在弧上三等分点S、T之间（包括S、T两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心N，请问的长度是否变化.如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度.
14．（2023九上·武义期末）如图，小明所在学习兴趣小组在探究“如何测量环形花坛面积（阴影部分）”的方法，准备了下列工具：①卷尺；②直木条（足够长）；③T型尺（EF所在的直线垂直平分线段CD）.
（1）在图1中，请你用T形尺的原理画出大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）.
（2）如图2，小明说：“我只用一根直木条和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直木条放留到与小圆相切，用卷尺量出此时直木条与大圆两交点G，H之间的距离，就可求出环形花坛的面积.”如果测得，请你求出这个环形花坛的面积.
15．（2022·镇江）操作探究题
（1）已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
（2）如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵ ， ， ， 同底等高
∴
（2）解：连结OC、OD
∵∴ 同理，
∴∴阴影面积与圆面积的比为
（3）解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO
∴
∴∠BDO＝∠CDO
∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO
∵∠ACO＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠ACO
∴∴∠ABO＝∠BOC，
连接AO，过点O作 于点H
∴ ， ，
∴
（4）解：连结DF，BD，OD
∵AB为直径， 于点P
∴弧CB＝弧BD，CP＝PD
∵CF＝CB
∴弧CF＝弧CB＝弧BD
∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴ ，BF＝CD
设EP＝a，则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a
∵弧CF＝弧BD
∴∠DCB＝∠CBF
∴BE＝CE＝3a，
∵∴∴
∴
∴∴PB＝4，
在Rt△ODP中， ，
设⊙O半径为r，
则
解得r＝6
∴⊙O的半径为6
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用同底等高的三角形的面积相等，可证得结论.
（2）连接OC，OD，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可证得S△AON=S△DON，S△BON=S△NCO，由此可推出S阴影部分=S扇形DOC，据此可求出阴影部分的面积.
（3）利用SSS证明△BDO≌△CDO，利用全等三角形的性质可证得∠BDO=∠CDO，利用圆周角定理去证明∠BAC=∠ACO，可推出CO∥AB，利用平行线的性质可证得∠ABO=∠BOC，同时可证得S△ABC=S△ABO；连接AO，过点O作OH⊥AB于点H，利用解直角三角形表示出HB的长，利用垂径定理表示出AB的长，利用勾股定理可表示出OH的长；利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积.
（4）连结DF，BD，OD，利用垂径定理可证得弧CF＝弧CB＝弧BD，可推出∠BFD＝∠CBF，利用圆周角定理可证得BF=CD，设EP＝a，可表示出CD，PC，CE，BE的长，利用勾股定理表示出PB的长，再由CB∥DF，可证得△CBF的面积等于△CBD的面积，由此可证得△EBD的面积等于△CEF的面积，利用三角形的面积公式可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到PB，PD的长；设⊙O半径为r，在Rt△ODP中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可求解.
2．【答案】（1）60°；=；DC=DB+DA
（2）解：
过作于
∵，∴，
∴，
∴
∵是直径，∴∴
又∵，∴
∴∴
∵
∴即
（3）解：
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1） ①， ，则△ABC为等边三角形，由分析可知， ； = 。
②将D点绕点B顺时针旋转60°得到点E，则△DBE为等边三角形，所以DB=EB，而AB=BC， = ，所以 △DAB ≌ △ECB，则AD=EC，而DE=DB，所以DC=DE+EC= DB+DA 。
（3）由分析可知，当A或B与D重合时，得到的四边形ADBC面积S=S△ABC=，但 A，B分别是射线DA，DB上的两个动点 ，不可能与D重合，所以S＞；当AD=BD时，得到的四边形ADBC面积最大， 此时 = =30°，则S=S△ABC+S△ABD=+=，所以 四边形ADBC面积S的取值范围为 。
【分析】（1） ① 同弧所对圆周角相等；
②根据全等三角形的判定和性质进行分析。
（2）根据三角函数和相似三角形的判定及性质进行分析。
（3）当A或B与D重合时，得到的四边形ADBC面积最小；当AD=BD时，得到的四边形ADBC面积最大，结合三角形的面积进行分析。
3．【答案】（1）4；
（2）解：如图1，点G落在边上，连接，过点G作于点F．
∵为上靠近点的三等分点，为直径，
∴，
在中，，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2，点G落在边上，，
∴，
∴是半圆O的切线，
∴．
在中，．
点G在的区域内部（包括边界）的时长为；
（3）解：①如图3，过点O作，垂足为P，连接．
在中，，，
∴．
在中，，
∴；
②或
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵F是上的动点，
∴当点F和点E重合时，有最小值，即的长度，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为4；
如图所示，连接并延长，交于点F，此时有最大值，
∵是半圆O的直径，且，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴；
故答案为：4，；
（3）②如图4，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则．
在中，，
∴，
此时点E走过的路径长为；
如图5，当半圆O与边相切时，设切点为Q，则．
在中，，
∴，
∴，
此时点E走过的路径长为．
综上：时点E走过的路径长为或．
【分析】（1）根据题意先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）①根据题意先求出 ，再利用勾股定理计算求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】（1）
（2）解：如图所示：
直线是的关联直线，
直线的临界状态是和相切的两条直线和，
当临界状态是时，连接， 则，
中，当，，当，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
点；
同理可得当临界状态是时，点，
点的横坐标；
（3）解：或
【知识点】圆的综合题；圆-动点问题
【解析】【解答】（1）解：假设双曲线上点到原点的距离为2，
则，即，
整理，得，即，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
因此双曲线上点和到原点的距离为2，
故双曲线与有公共点；
如图所示，
直线和 双曲线与有公共点，直线与没有公共点，
因此是的关联图形，
故答案为：；
（3）解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点，
，，
，
，
轴，
，
，
设点，则，，
，
解得，
当最小时，，取最大值为2，越大，越小， ，
此时h取值范围为；
②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点，
同理可得： ，
设点，则，，
，
解得，
当最小时，，取最小值为，越大，越大，
此时h取值范围为；
综上可得或．
【分析】（1）根据关联直线的定义，结合函数图象求解即可；
（2）先求出 为等腰直角三角形， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定与性质求解即可。
5．【答案】（1）证明：，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如答图，连接，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∴点是的中点．
【知识点】菱形的判定与性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 四边形为菱形， 最后证明求解即可。
6．【答案】（1）③
（2）解：∵∠BAC=90°，AB=6， ，
∴ ， ，BD为直径，
∴∠BED=∠DEC=90°，
∵四边形ABED是“婆氏四边形”，
∴AE⊥BD，
∴AD=DE，AB=BE=6，
设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，
在Rt△EDC中，根据勾股定理，
，即 ，解得 ，即DE=3；
（3）解：①设AC，BD相交于点E如图所示
∵ ， ，∠BOC+∠AOD=180°，
∴ ，
∴∠CED=90°，
即AC⊥BD，
又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴四边形ABCD是“婆氏四边形”；
②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC，
∴ ， ，∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA=OB=OC=OD，
∴ ， ，
∵∠BOC+∠AOD=180°，
∴ ，
∴ ，
在△OAM和△BON中
∵
∴△OAM≌△BON（AAS），
∴ ，
∵AD+BC=4
设 ，则 ， ， ，
在Rt△BON中，
，
当 时，取得最小值 ，即⊙O半径的最小值为 .
【知识点】正方形的判定；垂径定理；圆的综合题；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如下图，
∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，
∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD为正方形.
故答案为：③；
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC，根据圆内接四边形的对角互补可得∠ABC+∠ADC=180°， 则∠ABC=∠ADC=90°， 推出平行四边形ABCD为矩形，由题意可得AC⊥BD，然后根据正方形的判定定理进行解答；
（2）利用三角函数的概念可得BC的值，由勾股定理可得AC，由圆周角定理得∠BED=∠DEC=90°， 根据题意可得AE⊥BD，则AD=DE，AB=BE=6， 设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=4， 然后在Rt△EDC中，根据勾股定理求解即可；
（3）①设AC，BD相交于点E，由圆周角定理可得∠DCA=∠AOD，∠BDC=∠BOC，由已知条件可知∠BOC+∠AOD=180°， 则∠CED=90°， 据此证明；
②作OM，ON分别垂直于AD，BC， 由垂径定理可得AM=AD，BN=BC，由等腰三角形的性质可得∠AOM=∠AOD，∠BON=∠BOC，结合∠BOC+∠AOD=180°可推出∠OAM=∠BON，利用AAS证明△OAM≌△BON，得到ON=AM=AD， 设ON=AM=n，则AD=2n，BC=4-2n，BN=2-n，在Rt△BON中，由勾股定理可表示出OB，然后根据偶次幂的非负性可得ON的最小值，进而可得⊙O半径的最小值.
7．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴，
∴∠ABC＝∠APB，
∵∠PAC＝∠PBC，∠PCA＝∠PBA，
∴∠PAC＋∠PCA＝∠ABC，
∴∠APB＝∠PAC＋∠PCA.
（2）解：延长BP至点D，使得PD＝PC，
∵若点P为的中点，
∴，
∴AP＝CP，∠PAC＝∠PBA＝∠PCA，
∴AP＝DP，∠APB＝2∠PBA，
∴∠PAD＝∠D，
∴∠APB=2∠PAD＝2∠D，
∴∠PBA＝∠PAD＝∠D，
∴AD＝AB＝6，
∵∠D＝∠D，
∴，
∴
∴，
∴（舍去）或.
∴PA的值为4.
（3）解：连结OC，OP，过点C作CH⊥BP于点H，
∵OC＝OP＝5＝CP，
∴△OCP为等边三角形，
∴，
∵BC＝6，
∴，，
∴，
∴，
∵∠E＝∠ABP，∠BAP＝∠PCE，
∴，
∴，
∴.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得弧AB=弧AC，由圆周角定理可得∠ABC=∠APB，∠PAC=∠PBC， ∠ACP=∠PBA，然后结合等式的性质可求解；
（2）延长BP至点D，使得PD＝PC，由圆周角定理和三角形外角的性质易得∠PBA=∠PAD=∠D，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，于是可得比例式求解；
（3）连结OC，OP，过点C作CH⊥BP于点H，由题意易得三角形OCP是等边三角形，由等边三角形的性质和圆周角定理得∠PBC=∠POC=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得CH=BC，在直角三角形PCH中，用勾股定理求得PH的值，则BP=BH+PH，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，于是得比例式求解.
8．【答案】（1）；
（2）解：①过点D作⊙O的两条切线、，切点分别为E、F，
在中，，，
，
，
同理可得，
，
点D是的“直角点”；
②直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，
时，；时，，
、，
，，
，
由①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点，
如图，设半径为r的圆的圆心为M，
线段上所有点都是的“直角点”，
在以为圆心，为半径的圆上及圆内，
若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，，
，最小半径.
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）解：连接，和相交于点Q，
为的切线，且切点为E，
，
是直角三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，
，
是等边三角形，
，
故答案为：30，；
【分析】（1）连接OE，EF和OP相交于点Q，由圆的切线的性质可得OE⊥PE，在直角三角形OEP中，用勾股定理可求得PE的值；根据锐角三角函数并结合特殊角的三角函数值可得∠EPO=30°，于是∠PEF=60°；同理可得∠FPO=30°，则∠EPF=60°，根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形可得三角形PEF是等边三角形；然后根据等边三角形的性质得EF=PE可求解；
（2）①过点D作⊙O的两条切线DE、DF，切点分别为E、F，在直角三角形DEO中，根据锐角三角函数并结合特殊角的三角函数值可得∠EPO=45°，同理可得∠FDO=45°，根据三角形内角和定理可得∠FDE=90°；由 圆的“直角点” 的定义可得 点D是的“直角点”；
②由直线y=x-2分别与x轴、y轴相交于点A、B，分别令y=0，x=0可求得A、B两点的坐标，用勾股定理求得AB的值；由①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点，
如图，设半径为r的圆的圆心为M，由线段上所有点都是的“直角点”可知AB在以为圆心，为半径的圆上及圆内， 若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，由线段中点定义和勾股定理可得AM=r，以及点M的坐标，则r=可求解.
9．【答案】（1）解：如图②，
∵为直径，
∴.
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）解：的值为定值.
如图①，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴点C在上.
∵在中，，
∴.
在中，，
∵为直径，
∴，
∴在中，.
（3）解：∵四边形是矩形，
∴由（2）得，，
∴，
∵，
∴，即，
∴.
点G所经过的路径长.
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠DFE=90°，由矩形的性质可得∠ADE=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DEF∽△AED，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算；
（2）连接OC，由矩形的性质可得∠DCE=90°，易得OC=OD=OE，由圆周角定理可得∠FED=∠FCD，∠DFE=90°，据此解答；
（3）由（2）可得，则，根据同角的余角相等可得∠ADF=∠CDG，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.
10．【答案】（1）
（2）解：.
证明：在上截取，连接、、、，
是弧的中点，
，，
又，
，
，
，
又，
，
，即.
（3）或
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，即，
，
，
.
（3）如图，当点在下方时，过点作于点，
是圆的直径，
，
，圆的半径为5，
，
，
，
，
.
当点在上方时，，同理易得.
综上所述：的长为或.
【分析】（1）由题意可得CD=DB+BA=6-CD+AB，则CD=6-CD+4，求出CD的值，然后根据BD=BC-CD进行计算；
（2）在DB上截取BG=BA，连接MA、MB、MC、MG，利用SAS证明△MAB≌△MGB，得到MA=MG，则MC=MG，由等腰三角形的性质可得DC=DG，据此证明；
（3）当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，由圆周角定理可得∠BAC=90°，利用勾股定理可得AC的值，根据CG1+AB=AG1可得AG1，进而可求出AD1的值；当点D2在BC上方时，∠D2AC=45°，同理求解即可.
11．【答案】（1）相等；120°
（2）解：由圆锥的底面周长等于扇形的弧长
得：
∴
（3）解：
∵，，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为
∴
∵
∴
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：（1）圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等；
∵，，，
∴，
故答案为：相等，.
【分析】（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出等式并求解即可；
（3）利用（1）结论先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为180°， 从而求出，利用勾股定理求出A'C，继而求解.
12．【答案】（1）解：①是，理由如下：
过点D作，交于点E，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线，
∵点B在上，
∴是的“切接圆”；
②
（2）解：设P为抛物线上任意一点，坐标为：，过点C作x轴的平行线，过点P作y的平行线，交轴与点G，连接，
∵，，把放在平面直角坐标系中，使点C落在y轴上，边落在x轴上.
∴，
∴
∴，，
∴，
∴是圆P的切线，
∴以抛物线图像上任意一点为圆心都可以作过点C的的“切接圆”.
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）②如图，与相切于点F，连接，设的半径为r，
则：，，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：；
【分析】（1）①过点D作DE⊥AC，交AC于点E，则DE∥AB，由勾股定理可得BC，证明△CED∽△CAB，根据相似三角形的性质可求出DE，由BD=BC-CD求出BD，推出AC为⊙D的切线，据此判断；
②AB与⊙D相切于点F，连接DF，设⊙D的半径为r，则CD=DF=r，证明△BDF∽△BCA，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（2）设P（t，t2+4），过点C作x轴的平行线，过点P作y的平行线，交x轴与点G，连接CP，由勾股定理可得OC的值，表示出点C的坐标，根据两点间距离公式可得PC2、PG2，推出PC=PG，得到PG是圆P的切线，据此解答.
13．【答案】（1）解：由折叠可得，
，
，
是等边三角形，
，
同理：，
；
（2）解：①作等边，作垂直平分线交于点F，以O为圆心为半径作圆交于点E，连接、、得；
根据作图可知，，
根据折叠可知，，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
②
③不变，理由如下：
如图，取中点H，连接，，，作交于点L，
设，，则，，，
在中，，
为的中点，
，
在中，，
在中，，
即有化简得，
在中，
；
即，的值不变.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）②根据解析①可知，为等边三角形，
，
∴内心的内心N在上，，，
设，则，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）由折叠可得AC=OC，由圆的相关知识可得OC=OA，则AC=OC=OA，推出△OAC为等边三角形，得到∠CAO=60°，同理可得∠BAO=60°，然后根据∠CAB=∠CAO+∠BAO进行计算；
（2）①作等边△OMG，作OG垂直平分线交OQ于点F，以O为圆心OF为半径作圆交OP于点E，连接EF、ME、MF得△EFM，根据作图可知OE=OF，根据折叠可知∠POQ=90°，易证△OME≌△OMF，得到∠EMO=∠FMO，EM=FM，根据等边三角形的性质可得MF垂直平分OG，则∠EMO=∠FMO=30°，∠EMF=60°，据此解答；
②根据解析①可知：△EFM为等边三角形，∠EMO=∠FMO=30°，则内心△EFM的内心N在OM上，设NH=x，则MN=2x，MH=3x，OH=6-3x，根据三角函数的概念可得EH，由EH=OH可得x的值，据此求解；
③取EF的中点H，连接OH、HM、OM，作OL⊥MH交于点L，设HN=x，LH=y，则MN=2x，EH=x，MH=3x，表示出OH，根据勾股定理可得OM2-LM2=OH2-LH2，代入并化简可得2x2+xy=6，接下来在Rt△ONL中，根据勾股定理求出ON的值，据此解答.
14．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求，
（2）解：如图所示，设切点为，连接，
∵是切线，
∴，
∴，
在中，，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆的面积
【解析】【分析】（1）直线C′D′与直线E′F′的交点即为大圆的圆心O；
（2）设切点为M，连接OG、OM，根据垂径定理可得GM=MH=3，根据勾股定理求出GO2，然后根据S圆环=S大圆-S小圆进行计算.
15．【答案】（1）解：操作：
交流： ，或 ；
探究：设 ，解得 （ 为非负整数）．
或设 ，解得 （ 为正整数）．
所以对于正整数 （ 不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆 的圆心角 所对的弧三等分；
（2）解：如图
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）操作：分别构造60°弧、15°弧、12°弧、6°弧即可解决问题；
交流：当n=28时，三者之间的数量关系为；
探究：设 或设，用含k的式子表示出n即可；
（2）以P为端点，用半径去截圆，与圆交于一点，再以该点为端点，重复上述步骤，得到点D，以Q为圆心，QP为半径画弧，与圆交于一点C，则弧即为所作.
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