2023年中考数学探究性试题复习19 相似
一、综合题
1．（2023·东洲模拟）已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为 （直接写出答案）
【答案】（1）解：AD=OB，
如图1，连接AC，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=60°，
∴△ABC与△COD是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACD=∠BCO，
在△ACD与△BCO中，
，
∴△ACD≌△BCO，
∴AD=OB；
（2）解：AD=OB；
如图2，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=120°，
∴∠ACB=∠DCO=30°，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴ ，
∵∠CFB=90°，
∴=2sin60°=，
∴AD=OB；
（3）AD=2sinOB．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）如图3，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α，
∴∠ACB=∠DCO= ，
∴∠ACD=∠BCO，
同理可得：△ACD∽△BCO，
∴，
∵∠CFB=90°，
∴，
∴AD=2sinOB．
【分析】（1）连接AC， 易证△ABC与△COD是等边三角形， 可证△ACD≌△BCO， 可得答案；
（2）连接AC，过B作BF⊥AC于F， 证明和 △ACD∽△BCO，则 ，根据锐角三角函数的定义可得答案；
（3）连接AC，过B作BF⊥AC于F，证明△ACD∽△BCO，，根据锐角三角函数的定义可得答案。
2．（2023·莱西模拟）
（1）【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．
（2）【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且．连接．延长交于点F，交于点G．求的值．
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，
，即
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，即
，
；
（3）解： 和都是直角三角形，，且，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
设，则，
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
（2）根据两边成比例且夹角相等可证， 利用相似三角形的性质即可得解；
（3）先证， 可得，，从而得出，继而证明 ， 可得，从而得出，即得
，由，可设，则AC=5k，继而求解.
3．（2023·济南模拟）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
（1）发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：．
（2）类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：存在最小值，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，
∵，
∴ ，，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，，
∴存在最小值，最小值为．
（3）解：如图所示，连接，过作于，
∵为正方形的中心，
∴，即是等腰直角三角形，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，解得：或（舍），
∴，在中，，
∴的面积为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，再求解即可；
（3）连接，过作于，先证出，可得，设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，可得，最后利用三角形的面积公式求解即可。
4．（2023·彭州模拟）（1）【探究发现】如图，在正方形中，E为边上一点，将沿BE翻折得到，延长交边于点G.求证：；
（2）【类比迁移】如图，在矩形中，E为边上一点，且，将沿翻折得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求的长；
（3）【实践创新】如图，为等腰三角形，，O为斜边的中点， M，N为线段上的动点，且满足，设，，，证明：.
【答案】（1）证明：由翻折的性质以及正方形的性质可得，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点Q，
设，则，
在中，由勾股定理得，，即，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∴的长为；
（3）证明：∵为等腰三角形，，O为斜边的中点，
∴，，
如图，将绕B点顺时针旋转90°得到，连接，
由旋转的性质可得，，，，，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，，，，，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
即
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由翻折的性质以及正方形的性质可得AB=BF=BC，∠BFE=∠A=90°，利用HL证明△BFG≌△BCG，据此可得结论；
（2）延长BH、AD交于点Q，设FH=CH=x，则BH=6+x，在Rt△BCH中，根据勾股定理可得x的值，由DH=DC-HC求出DH的值，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DQH∽△AQB，根据相似三角形的性质可得DQ，利用勾股定理求出HQ，由FQ=FH+HQ求出FQ，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DQH∽△FQE，由相似三角形的性质可得EF，据此解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质可得∠A=∠ACB=45°，OB=OA=OC，由旋转的性质可得BM=BM′，AM=CM′，∠BCM′=∠BAM=45°，利用SAS证明△MBN≌△M′BN，得到MN=M′N=OM+ON，由三角函数的概念可得OB，表示出tan(α+β)，tanα，tanβ，tanα+tanβ，tanα·tanβ，由勾股定理可得M′N2=CM′2+CN2=AM2+CN2=2-2M′N+M′N2-2OM·ON，推出1+OM·ON=M′N，据此证明.
5．（2023·邗江模拟）
（1）【操作发现】
如图1，点M是中边的中点．
请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N；
（2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是 ；
（3）【类比探究】
如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使．
【答案】（1）解：过点M作，交于点N，则，如图所示：
（2）AB=2AN
（3）解：圆规取适当长度，在射线上依次截取，过点E作，交于点N，则，根据相似可得．
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）由（1）得：，
∴，
∴，
∵点M是中边的中点，
∴，
∴，
即AB=2AN；
故答案为：AB=2AN；
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出，再利用相似三角形的性质求出，最后求解即可；
（3）根据题意要求作图即可。
6．（2023·江西模拟）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
（1）【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是 ；
（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则 ，在上截取，则 ，在上截取，则的值为 ；
（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点；
（4）【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为 ．
【答案】（1）
（2）；；
（3）解：如图，设与交点为P
∵，且M为中点，
∴，
过P作，
∵平分，
∴．
设，
，
∵
即，解得，
经检验为原方程的解
∴
∴C为的黄金分割点．
（4）
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：设， 则，即
∴，解得或（舍去）
经检验，是原方程的解
．
故答案为：．
（2）解：在中，，
设，则
，解得或（舍去）
经检验是原方程的解
则．
故答案为：，，．
（4）解：如图：延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O．
∵，，
∴
即
又∵，
∴
∴
∴等腰
∴，
∴
在和中
∴
∵N为的黄金分割点，
∴设
∴
设
，解得
经检验，符合题意
．
【分析】（1）根据题意求出，再解方程即可；
（2）利用勾股定理求出AB的值，再求出，最后解方程即可；
（3）先求出 ，再求出 ， 最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可；
（4）结合图形，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数计算求解即可。
7．（2023·昔阳模拟）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．试猜想线段的数量关系并加以证明．
（1）数学思考：
请解答上述问题；
（2）问题解决：
如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，，求的值；
（3）问题拓展：
在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出的面积．
【答案】（1）证明：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（3）解：过点作于，于点，
为的中点，
，
，，
，
，
，
同理可得，
由（2）知，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出，再利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证出，可得，再结合，可得，最后求出即可；
（3）过点作于，于点，先证出，可得，再求出，再结合，可得，求出，最后利用三角形的面积公式求出即可。
8．（2023·江西模拟）
（1）课本再现
如图1，在和中，，，，
求证：．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证，可设法证，若设，则只需证．
请你根据以上分析，完成证明．
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，求的度数．
【答案】（1）解：设，则，，
在，由勾股定理，得
，
在，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴
∵
∴由（1）知：
∴
在中，，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）设，则，，利用勾股定理求出，再求出，可得；
（2）先证出，可得，再结合，可得。
9．（2023九下·柯桥月考）B，C是⊙O上的两个定点，A是圆上的动点，，，.
（1）如图1，如果是等边三角形，求证是⊙O的切线；
（2）如图2，如果，，分别交⊙O于E，F，研究五边形的性质；
①探索、和的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，若⊙O的半径为6，，求边的长；
③若，，直接写出，的数量关系.
【答案】（1）证明：如图1中，
，，
∴四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
∵点O是等边的外心，
∴∠OBC=30°，
，
，
是⊙O的切线.
（2）解：①结论：.
理由：如图2中，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3中，连接，，，.
由①可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
③
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）解：③结论：.
理由：如图3中，
，，
，
，
∴，
∵四边形ABDC是平行四边形，
，，
.
【分析】（1）先判断出四边形ABDC是平行四边形，得AD=CD，BD=AC，由等边三角形的性质得AB=BC=AC，进而判断出△BCD是等边三角形，得∠CBD=60°，根据点O是三角形ABC的外心得∠OBC=30°，从而得∠OBD=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）①结论是：AE=AF=BC，理由如下：连接BF、EC，由平行线的性质得∠ACB=∠CBE，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等得 ，推出 ，由等弧所对的弦相等得AE=BC，同理证得BC=AF，从而即可得出结论；
②连接OE、OF、EC、BF，由等边对等角得∠AEF=∠AFE，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得∠ACE=∠BAC=∠AFE=75°，由三角形内角和定理得∠EAF=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠EOF=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△OEF是等边三角形，可得EF=OE=6；
③结论：，理由如下：先判断出△DEF∽△DBC，得，由平行四边形的对边平行且相等得AB=CD=x，BD=AC=y，再代入即可得出结论.
10．（2023·太谷模拟）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知，，过点C任作一条直线l（不与重合），过点A作于点D，过点B作于点E，当点A、B在直线l同侧时，易证（下列解题可直接用此结论）．
（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：．
（2）模型应用：在平面直角坐标系中，已知直线l：（k为常数，）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作直角三角形且．若直线l经过点，当点C在第三象限时，点C的坐标为 ．
（3）若点D是函数图象上的点，且轴，当点C在第四象限时，连接交y轴于点E，求点C、D的坐标（用含k的式子表示）及的长．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）
（3）解：如图2，过点C作轴于点F．
对于直线1：，
令，则．
∴．
∴．
令，则．
∴．
∴．
∴．
同基础模型得．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∵点C在第四象限，
∴．
∵，轴，
∴点D的纵坐标是，
又点D在上，把代入，得，，
∴．
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】一次函数的图象；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）解：作轴，如图1，由（1）同理可证，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
当时，，
当时，，解得，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点C的坐标是；
故答案为：
【分析】（1）根据余角的性质可得，由∠ADC=∠BEC=90°，可证△ACD∽△CBE；
（2） 作轴，由（1）同理可证，可得，易求直线l的解析式为，从而求出，由可得，利用比例式求出MB、CM的长，从而求出OM的长，即得点C坐标；
（3） 过点C作轴于点F． 先求出A(4，0)，可得OA=4，证，可得 ∴， 据此求出BF、CF、OF的长，即得，再求出，
由可证，可得，据此即可求解.
11．（2023·鄱阳模拟）课本再现
如图1，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．
（1）与的数量关系是 ，与构成的锐角夹角的度数是 ．
（2）深入探究：将图1中的延长至点，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）
（3）迁移应用：如图3，在等腰中，，，分别是边，上的点，与相交于点．若，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，．
∵在等边中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：如图，延长至，使得，连接，，过点作，交于点．
设．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CAD，可得AD=BE，∠ABE=∠CAD，根据三角形的外角的性质可得；
（2）根据SAS证明△ABF≌△CBG，可得， 根据角的和差求出∠CGA=60°，根据角平分线的定义即得结论；
（3） 延长至，使得，连接，，过点作，交于点． 根据两边成比例且夹角相等可证，可得，再证， 可得 ， ∠CHA=∠BHG，利用平行线的性质可得， 从而得出，， 从而得出．
12．（2022·襄阳）矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝∠DCG＝45°． ∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．
【答案】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠3=∠DCG=45°，
∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠DCF=∠DCG=45°．
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴，
∵，E是BC边的中点，
∴EC=HB=BC，
∴AH=AB-BC=BC，
∴；
（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k=3，
∴，
设AB=3a，则BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中点，
∴BE=a，
∴HE=a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，
∴∠GEC=45°，
∴∠PGE=135°，
∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEG≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，
∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四边形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE=a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
∴，
∵
∴，
∵∠HEG=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠GEF，
∵∠PEG=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
过点P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PKEF，
∵，
∴PK=EF，
∴四边形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵，
∴，
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）在BA上截取BH=BE，连接EH，利用k的值可证得四边形ABCD是正方形，易得△BHE是等腰直角三角形，则∠1=∠2=45°，利用邻补角的定义求出∠AHE=135°，利用角平分线的定义可求出∠3=45°，从而可求出∠ECF=∠AHE=135°，根据同角的余角相等得∠5=∠6，再证明AH=CE，利用ASA证明△AHE≌△ECF，利用全等三角形的性质可证得结论；
（2）在BA上截取BH=BE，连接EH，易证∠BHE=∠BEH=45°，利用邻补角得∠AHE=135°，利用角平分线的定义可求出∠DCE=45°，即可求出∠ECF=∠AHE=135°，根据同角的余角相等得∠BAE=∠FEC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AHE∽△ECF，利用相似三角形的对应边成比例，可得，利用线段中点的定义可得到EC和BC的数量关系；再用含BC的代数式表示出AH的长；然后求出AE与EF的比值；
（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，利用k的值可得到AB与BC的比值；设AB=3a，则BC=2a，可得到∠P′AP=90°，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，则BH=a，BE=a，利用解直角三角形表示出HE的长，同时可求出∠BHE=45°，∠P'HE=135°；再证明∠PAE=∠P'AE，利用SAS证明△AEP'≌△AEP，利用全等三角形的对应边相等，可证得PE=P'E，∠PEG=∠P'EH，同时可推出∠APE=∠AP'E=90°，可得到四边形APEP'是正方形，利用正方形的性质可得到AP=PE，利用余角的性质可知∠DAP=∠EPC，利用AAS证明△APD≌△PEC，利用全等三角形的性质可得到AD=PC=2a，PD=ED=a，利用勾股定理表示出PE的长；然后利用相似三角形的对应边成比例，可表示出EF的长；再证明∠PEF=∠P'EH=45°，过点P作PK⊥AE交于K，易证PK∥EF，可得到PK=EF，可证得四边形PKEF是矩形，利用矩形的性质可证得PF=KE，由此可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到BC的长.
13．（2022·威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（2）解：添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，
∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（3）能.
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，
当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
②方法同①，通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（2）添加条件CD=BE，再通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，先证明△CBF∽△BAF，可得，再设CF=x，可得，整理得到，求出x的值，即可得到答案。
14．（2022·武汉）如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
【答案】（1）解：
（2）证明：取的中点，连接.
∵是的中点，∴，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取的中点，证明也可以求解.
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴.
（3）取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
【分析】（1）取AB的中点G，连接DG，易得DG为△ABC的中位线，则DG∥BC，易得△ABC为等边三角形，∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DBC=30°，进而推出△ADG为等边三角形，得到AF=AG，然后结合AG=AB进行计算即可；
（2）取BC的中点H，连接DH，同理可得DH∥AB，DH=AB，根据等腰三角形的性质可得∠DHC=∠DCH，∠DBH=∠DEC，结合外角的性质可得∠BDH=∠EDC，证明△DBH≌△DEC，得到BH=EC，证明△EDH∽△EFB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）取BC的中点H，连接DH，易证△DGH≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得GH=CE；利用已知条件可得到HE和BE的比值，利用DH∥BF，可证得△EDH∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合DH＝AB，可求出AF与AB的比值.
15．（2021九上·普陀期末）如图
（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）（探究证明）
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）（拓展延伸）
如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【答案】（1）BD＝CE；BD⊥CE
（2）解：BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）解：如图3，过A作AF⊥EC，
由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴ ，即 ，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝ ，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝ AC BD＝ BC AC，
∴AC＝AE＝ ，AD＝ ，
∴AF= ，CE＝2CF＝2× ，
∴BE＝ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
【分析】（1）利用旋转的性质可证得∠BAC＝∠DAE＝90°，可推出∠BAD＝∠CAE，利用等腰直角三角形的性质可得到∠B＝∠ACB＝45°，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得BD=CE，同时求出∠ACE的度数；然后求出∠BCE的度数.
（2）连接BD，利用旋转的性质可证得∠BAD＝∠CAE，利用SAS证明△CEA≌△BDA，利用全等三角形的性质可推出∠BDA＝∠AEC＝45°；然后根据∠BDE＝∠ADB+∠ADE，可求出∠BDE的度数，利用垂直的定义可证得结论.
（3）过A作AF⊥EC， 易证Rt△ABC∽Rt△AED，可得对应边成比例，再根据有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△BAE∽△CAD，可推出∠ABE=∠ACD；再证明∠BEC=90°，可得到BE⊥CE，利用勾股定理求出BD的长；再利用三角形的面积公式可求出AC，AD，AF的长，从而可求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习19 相似
一、综合题
1．（2023·东洲模拟）已知点O是四边形ABCD内一点，AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α．
（1）如图1，α=60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α=120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为 （直接写出答案）
2．（2023·莱西模拟）
（1）【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．
（2）【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且．连接．延长交于点F，交于点G．求的值．
3．（2023·济南模拟）某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
（1）发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接．求证：．
（2）类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，，求的面积．
4．（2023·彭州模拟）（1）【探究发现】如图，在正方形中，E为边上一点，将沿BE翻折得到，延长交边于点G.求证：；
（2）【类比迁移】如图，在矩形中，E为边上一点，且，将沿翻折得到，延长交边于点G，延长交边于点H，且，求的长；
（3）【实践创新】如图，为等腰三角形，，O为斜边的中点， M，N为线段上的动点，且满足，设，，，证明：.
5．（2023·邗江模拟）
（1）【操作发现】
如图1，点M是中边的中点．
请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N；
（2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是 ；
（3）【类比探究】
如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使．
6．（2023·江西模拟）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点为线段的黄金分割点．
（1）【问题发现】如图1，请直接写出与的比值是 ；
（2）【尺规作黄金分割点】如图2，在中，，，，则 ，在上截取，则 ，在上截取，则的值为 ；
（3）【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点；
（4）【拓展延伸】如图4，正方形中，为对角线上一点，点在边上，且，当为的黄金分割点时，，连，延长交于，请用相似的知识求出的值为 ．
7．（2023·昔阳模拟）综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．试猜想线段的数量关系并加以证明．
（1）数学思考：
请解答上述问题；
（2）问题解决：
如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，，求的值；
（3）问题拓展：
在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出的面积．
8．（2023·江西模拟）
（1）课本再现
如图1，在和中，，，，
求证：．我们在数学课上探索这一结论时进行了分析：要证，可设法证，若设，则只需证．
请你根据以上分析，完成证明．
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，求的度数．
9．（2023九下·柯桥月考）B，C是⊙O上的两个定点，A是圆上的动点，，，.
（1）如图1，如果是等边三角形，求证是⊙O的切线；
（2）如图2，如果，，分别交⊙O于E，F，研究五边形的性质；
①探索、和的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，若⊙O的半径为6，，求边的长；
③若，，直接写出，的数量关系.
10．（2023·太谷模拟）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，老师给出如下基础模型：如图①，已知，，过点C任作一条直线l（不与重合），过点A作于点D，过点B作于点E，当点A、B在直线l同侧时，易证（下列解题可直接用此结论）．
（1）如图②，当点A、B在直线l异侧时，求证：．
（2）模型应用：在平面直角坐标系中，已知直线l：（k为常数，）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作直角三角形且．若直线l经过点，当点C在第三象限时，点C的坐标为 ．
（3）若点D是函数图象上的点，且轴，当点C在第四象限时，连接交y轴于点E，求点C、D的坐标（用含k的式子表示）及的长．
11．（2023·鄱阳模拟）课本再现
如图1，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．
（1）与的数量关系是 ，与构成的锐角夹角的度数是 ．
（2）深入探究：将图1中的延长至点，使，连接，，如图2所示．求证：平分．（第一问的结论，本问可直接使用）
（3）迁移应用：如图3，在等腰中，，，分别是边，上的点，与相交于点．若，且，求的值．
12．（2022·襄阳）矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝∠DCG＝45°． ∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．
13．（2022·威海）回顾：用数学的思维思考
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
14．（2022·武汉）如图
问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值.
（1）问题探究：
先将问题特殊化.如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形.如图（1），证明（1）中的结论仍然成立.
（3）问题拓展：
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点.直接写出的值（用含的式子表示）.
15．（2021九上·普陀期末）如图
（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）（探究证明）
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）（拓展延伸）
如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：AD=OB，
如图1，连接AC，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=60°，
∴△ABC与△COD是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACD=∠BCO，
在△ACD与△BCO中，
，
∴△ACD≌△BCO，
∴AD=OB；
（2）解：AD=OB；
如图2，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=120°，
∴∠ACB=∠DCO=30°，
∴∠ACD=∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴ ，
∵∠CFB=90°，
∴=2sin60°=，
∴AD=OB；
（3）AD=2sinOB．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（3）如图3，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=BC，OD=OC，∠ABC=∠DOC=α，
∴∠ACB=∠DCO= ，
∴∠ACD=∠BCO，
同理可得：△ACD∽△BCO，
∴，
∵∠CFB=90°，
∴，
∴AD=2sinOB．
【分析】（1）连接AC， 易证△ABC与△COD是等边三角形， 可证△ACD≌△BCO， 可得答案；
（2）连接AC，过B作BF⊥AC于F， 证明和 △ACD∽△BCO，则 ，根据锐角三角函数的定义可得答案；
（3）连接AC，过B作BF⊥AC于F，证明△ACD∽△BCO，，根据锐角三角函数的定义可得答案。
2．【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，
，即
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，即
，
；
（3）解： 和都是直角三角形，，且，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
设，则，
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
（2）根据两边成比例且夹角相等可证， 利用相似三角形的性质即可得解；
（3）先证， 可得，，从而得出，继而证明 ， 可得，从而得出，即得
，由，可设，则AC=5k，继而求解.
3．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）解：存在最小值，理由如下：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，
∵，
∴ ，，
∴，即，
∴，
∴，
在中，，，
∴存在最小值，最小值为．
（3）解：如图所示，连接，过作于，
∵为正方形的中心，
∴，即是等腰直角三角形，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，解得：或（舍），
∴，在中，，
∴的面积为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）连接，过点作延长线于点，根据点到直线的垂线段最短可知，当点与重合时，即时，最小，最小值为，再求解即可；
（3）连接，过作于，先证出，可得，设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，可得，最后利用三角形的面积公式求解即可。
4．【答案】（1）证明：由翻折的性质以及正方形的性质可得，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点Q，
设，则，
在中，由勾股定理得，，即，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∴的长为；
（3）证明：∵为等腰三角形，，O为斜边的中点，
∴，，
如图，将绕B点顺时针旋转90°得到，连接，
由旋转的性质可得，，，，，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，，，，，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
即
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由翻折的性质以及正方形的性质可得AB=BF=BC，∠BFE=∠A=90°，利用HL证明△BFG≌△BCG，据此可得结论；
（2）延长BH、AD交于点Q，设FH=CH=x，则BH=6+x，在Rt△BCH中，根据勾股定理可得x的值，由DH=DC-HC求出DH的值，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DQH∽△AQB，根据相似三角形的性质可得DQ，利用勾股定理求出HQ，由FQ=FH+HQ求出FQ，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DQH∽△FQE，由相似三角形的性质可得EF，据此解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质可得∠A=∠ACB=45°，OB=OA=OC，由旋转的性质可得BM=BM′，AM=CM′，∠BCM′=∠BAM=45°，利用SAS证明△MBN≌△M′BN，得到MN=M′N=OM+ON，由三角函数的概念可得OB，表示出tan(α+β)，tanα，tanβ，tanα+tanβ，tanα·tanβ，由勾股定理可得M′N2=CM′2+CN2=AM2+CN2=2-2M′N+M′N2-2OM·ON，推出1+OM·ON=M′N，据此证明.
5．【答案】（1）解：过点M作，交于点N，则，如图所示：
（2）AB=2AN
（3）解：圆规取适当长度，在射线上依次截取，过点E作，交于点N，则，根据相似可得．
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）由（1）得：，
∴，
∴，
∵点M是中边的中点，
∴，
∴，
即AB=2AN；
故答案为：AB=2AN；
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出，再利用相似三角形的性质求出，最后求解即可；
（3）根据题意要求作图即可。
6．【答案】（1）
（2）；；
（3）解：如图，设与交点为P
∵，且M为中点，
∴，
过P作，
∵平分，
∴．
设，
，
∵
即，解得，
经检验为原方程的解
∴
∴C为的黄金分割点．
（4）
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：设， 则，即
∴，解得或（舍去）
经检验，是原方程的解
．
故答案为：．
（2）解：在中，，
设，则
，解得或（舍去）
经检验是原方程的解
则．
故答案为：，，．
（4）解：如图：延长交于点K，过N作，过A作交于点S，过S作，取交点O．
∵，，
∴
即
又∵，
∴
∴
∴等腰
∴，
∴
在和中
∴
∵N为的黄金分割点，
∴设
∴
设
，解得
经检验，符合题意
．
【分析】（1）根据题意求出，再解方程即可；
（2）利用勾股定理求出AB的值，再求出，最后解方程即可；
（3）先求出 ，再求出 ， 最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可；
（4）结合图形，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】（1）证明：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（3）解：过点作于，于点，
为的中点，
，
，，
，
，
，
同理可得，
由（2）知，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出，再利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证出，可得，再结合，可得，最后求出即可；
（3）过点作于，于点，先证出，可得，再求出，再结合，可得，求出，最后利用三角形的面积公式求出即可。
8．【答案】（1）解：设，则，，
在，由勾股定理，得
，
在，由勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴
∵
∴由（1）知：
∴
在中，，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）设，则，，利用勾股定理求出，再求出，可得；
（2）先证出，可得，再结合，可得。
9．【答案】（1）证明：如图1中，
，，
∴四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
∵点O是等边的外心，
∴∠OBC=30°，
，
，
是⊙O的切线.
（2）解：①结论：.
理由：如图2中，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3中，连接，，，.
由①可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
③
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）解：③结论：.
理由：如图3中，
，，
，
，
∴，
∵四边形ABDC是平行四边形，
，，
.
【分析】（1）先判断出四边形ABDC是平行四边形，得AD=CD，BD=AC，由等边三角形的性质得AB=BC=AC，进而判断出△BCD是等边三角形，得∠CBD=60°，根据点O是三角形ABC的外心得∠OBC=30°，从而得∠OBD=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）①结论是：AE=AF=BC，理由如下：连接BF、EC，由平行线的性质得∠ACB=∠CBE，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等得 ，推出 ，由等弧所对的弦相等得AE=BC，同理证得BC=AF，从而即可得出结论；
②连接OE、OF、EC、BF，由等边对等角得∠AEF=∠AFE，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得∠ACE=∠BAC=∠AFE=75°，由三角形内角和定理得∠EAF=30°，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠EOF=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△OEF是等边三角形，可得EF=OE=6；
③结论：，理由如下：先判断出△DEF∽△DBC，得，由平行四边形的对边平行且相等得AB=CD=x，BD=AC=y，再代入即可得出结论.
10．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）
（3）解：如图2，过点C作轴于点F．
对于直线1：，
令，则．
∴．
∴．
令，则．
∴．
∴．
∴．
同基础模型得．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∵点C在第四象限，
∴．
∵，轴，
∴点D的纵坐标是，
又点D在上，把代入，得，，
∴．
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】一次函数的图象；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）解：作轴，如图1，由（1）同理可证，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
当时，，
当时，，解得，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴点C的坐标是；
故答案为：
【分析】（1）根据余角的性质可得，由∠ADC=∠BEC=90°，可证△ACD∽△CBE；
（2） 作轴，由（1）同理可证，可得，易求直线l的解析式为，从而求出，由可得，利用比例式求出MB、CM的长，从而求出OM的长，即得点C坐标；
（3） 过点C作轴于点F． 先求出A(4，0)，可得OA=4，证，可得 ∴， 据此求出BF、CF、OF的长，即得，再求出，
由可证，可得，据此即可求解.
11．【答案】（1）；
（2）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，．
∵在等边中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：如图，延长至，使得，连接，，过点作，交于点．
设．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CAD，可得AD=BE，∠ABE=∠CAD，根据三角形的外角的性质可得；
（2）根据SAS证明△ABF≌△CBG，可得， 根据角的和差求出∠CGA=60°，根据角平分线的定义即得结论；
（3） 延长至，使得，连接，，过点作，交于点． 根据两边成比例且夹角相等可证，可得，再证， 可得 ， ∠CHA=∠BHG，利用平行线的性质可得， 从而得出，， 从而得出．
12．【答案】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵k=2，
∴AB=BC．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠AHE=180°-∠1=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠3=∠DCG=45°，
∴∠ECF=∠3+∠4=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6+∠AEB=90°，
∵∠5+∠AEB=90°，
∴∠5=∠6，
∵AB=BC，BH=BE，
∴AH=EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．
∵∠B=90°，BH=BE，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，
∴∠DCF=∠DCG=45°．
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，
∴，
∵，E是BC边的中点，
∴EC=HB=BC，
∴AH=AB-BC=BC，
∴；
（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，
∵k=3，
∴，
设AB=3a，则BC=2a，
∵∠PAE=45°，
∴∠P'AP=90°，
连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，
∵AH=AD=2a，
∴BH=a，
∵E是BC的中点，
∴BE=a，
∴HE=a，∠BHE=45°，
∴∠P'HE=135°，
∵CG=EC=a，
∴∠GEC=45°，
∴∠PGE=135°，
∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，
∴△AEP'≌△AEP（SAS），
∴PE=P'E，
∴△PEG≌△P'EH（AAS），
∴∠PEG=∠P'EH，
∵∠HEG=∠EGH=45°，
∴∠HEG=90°，
∴∠PEP'=90°，
∴∠AEP=∠AEP'=45°，
∴∠APE=∠AP'E=90°，
∴四边形APEP'是正方形，
∴AP=PE，
∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，
∴∠DAP=∠EPC，
∵AP=PE，
∴△APD≌△PEC（AAS），
∴AD=PC=2a，PD=ED=a，
∴PE=a，
由（2）得△AHE∽△ECF，
∴，
∵
∴，
∵∠HEG=∠AEF=90°，
∴∠HEA=∠GEF，
∵∠PEG=∠P'EH，
∴∠PEF=∠P'EH=45°，
过点P作PK⊥AE交于K，
∵EF⊥AE，
∴PKEF，
∵，
∴PK=EF，
∴四边形PKEF是矩形，
∴PF=KE，
∵，
∴，
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）在BA上截取BH=BE，连接EH，利用k的值可证得四边形ABCD是正方形，易得△BHE是等腰直角三角形，则∠1=∠2=45°，利用邻补角的定义求出∠AHE=135°，利用角平分线的定义可求出∠3=45°，从而可求出∠ECF=∠AHE=135°，根据同角的余角相等得∠5=∠6，再证明AH=CE，利用ASA证明△AHE≌△ECF，利用全等三角形的性质可证得结论；
（2）在BA上截取BH=BE，连接EH，易证∠BHE=∠BEH=45°，利用邻补角得∠AHE=135°，利用角平分线的定义可求出∠DCE=45°，即可求出∠ECF=∠AHE=135°，根据同角的余角相等得∠BAE=∠FEC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AHE∽△ECF，利用相似三角形的对应边成比例，可得，利用线段中点的定义可得到EC和BC的数量关系；再用含BC的代数式表示出AH的长；然后求出AE与EF的比值；
（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，利用k的值可得到AB与BC的比值；设AB=3a，则BC=2a，可得到∠P′AP=90°，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，则BH=a，BE=a，利用解直角三角形表示出HE的长，同时可求出∠BHE=45°，∠P'HE=135°；再证明∠PAE=∠P'AE，利用SAS证明△AEP'≌△AEP，利用全等三角形的对应边相等，可证得PE=P'E，∠PEG=∠P'EH，同时可推出∠APE=∠AP'E=90°，可得到四边形APEP'是正方形，利用正方形的性质可得到AP=PE，利用余角的性质可知∠DAP=∠EPC，利用AAS证明△APD≌△PEC，利用全等三角形的性质可得到AD=PC=2a，PD=ED=a，利用勾股定理表示出PE的长；然后利用相似三角形的对应边成比例，可表示出EF的长；再证明∠PEF=∠P'EH=45°，过点P作PK⊥AE交于K，易证PK∥EF，可得到PK=EF，可证得四边形PKEF是矩形，利用矩形的性质可证得PF=KE，由此可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到BC的长.
13．【答案】（1）解：①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（2）解：添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，
∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
（3）能.
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，
当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）①通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
②方法同①，通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（2）添加条件CD=BE，再通过证明△ABD≌△ACE，即可得到BD=CE；
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，先证明△CBF∽△BAF，可得，再设CF=x，可得，整理得到，求出x的值，即可得到答案。
14．【答案】（1）解：
（2）证明：取的中点，连接.
∵是的中点，∴，.
∵，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∴.
另解1：证明，得也可求解.
另解2：取的中点，证明也可以求解.
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）取AB的中点G，连接DG，
∵点D是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝CD，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠BFE=180°-∠ABC-∠E=180°-60°-30°=90°，
∴DF⊥AB，
∵∠AGD＝∠ADG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG，
∵AG＝AB，
∴AF＝AB，
∴.
（3）取BC的中点H，连接DH，
由（2）同理可证明△DGH≌△DEC（ASA），
∴GH＝CE，
∴HE＝CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DH∥BF，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∵DH＝AB，
∴，
∴．
【分析】（1）取AB的中点G，连接DG，易得DG为△ABC的中位线，则DG∥BC，易得△ABC为等边三角形，∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DBC=30°，进而推出△ADG为等边三角形，得到AF=AG，然后结合AG=AB进行计算即可；
（2）取BC的中点H，连接DH，同理可得DH∥AB，DH=AB，根据等腰三角形的性质可得∠DHC=∠DCH，∠DBH=∠DEC，结合外角的性质可得∠BDH=∠EDC，证明△DBH≌△DEC，得到BH=EC，证明△EDH∽△EFB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）取BC的中点H，连接DH，易证△DGH≌△DEC，利用全等三角形的性质可证得GH=CE；利用已知条件可得到HE和BE的比值，利用DH∥BF，可证得△EDH∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合DH＝AB，可求出AF与AB的比值.
15．【答案】（1）BD＝CE；BD⊥CE
（2）解：BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）解：如图3，过A作AF⊥EC，
由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴ ，即 ，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝ ，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝ AC BD＝ BC AC，
∴AC＝AE＝ ，AD＝ ，
∴AF= ，CE＝2CF＝2× ，
∴BE＝ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
【分析】（1）利用旋转的性质可证得∠BAC＝∠DAE＝90°，可推出∠BAD＝∠CAE，利用等腰直角三角形的性质可得到∠B＝∠ACB＝45°，利用SAS证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得BD=CE，同时求出∠ACE的度数；然后求出∠BCE的度数.
（2）连接BD，利用旋转的性质可证得∠BAD＝∠CAE，利用SAS证明△CEA≌△BDA，利用全等三角形的性质可推出∠BDA＝∠AEC＝45°；然后根据∠BDE＝∠ADB+∠ADE，可求出∠BDE的度数，利用垂直的定义可证得结论.
（3）过A作AF⊥EC， 易证Rt△ABC∽Rt△AED，可得对应边成比例，再根据有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△BAE∽△CAD，可推出∠ABE=∠ACD；再证明∠BEC=90°，可得到BE⊥CE，利用勾股定理求出BD的长；再利用三角形的面积公式可求出AC，AD，AF的长，从而可求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长.
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