2023年中考数学探究性试题复习20 锐角三角函数
一、综合题
1．（2023·镇海模拟）
（1）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察图4－17，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。
（2）【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
（3）【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC；
（4）【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 ，求⊙O的半径．
【答案】解：∵ ， ， ， 同底等高 ∴ 【基础巩固】（2）如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值； 解：连结OC、OD ∵∴ 同理， ∴∴阴影面积与圆面积的比为 【尝试应用】（3）如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC； 解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO∴∴∠BDO＝∠CDO ∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO∵∠ACO＝2∠BDO∴∠BAC＝∠ACO ∴∴∠ABO＝∠BOC， 连接AO，过点O作 于点H ∴ ， ， ∴ 【拓展提高】（4）如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 ，求⊙O的半径． 解：连结DF，BD，OD∵AB为直径， 于点P ∴弧CB＝弧BD，CP＝PD又∵CF＝CB∴弧CF＝弧CB＝弧BD ∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴ ，BF＝CD 设EP＝a则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a ∵弧CF＝弧BD∴∠DCB＝∠CBF∴BE＝CE＝3a， ∵∴∴∴∴∴PB＝4， 在Rt△ODP中， ，设⊙O半径为r， 则 解得r＝6∴⊙O的半径为6
（1）解：∵ ， ， ， 同底等高
∴
（2）解：连结OC、OD
∵∴ 同理，
∴∴阴影面积与圆面积的比为
（3）解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO
∴
∴∠BDO＝∠CDO
∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO
∵∠ACO＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠ACO
∴∴∠ABO＝∠BOC，
连接AO，过点O作 于点H
∴ ， ，
∴
（4）解：连结DF，BD，OD
∵AB为直径， 于点P
∴弧CB＝弧BD，CP＝PD
∵CF＝CB
∴弧CF＝弧CB＝弧BD
∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴ ，BF＝CD
设EP＝a，则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a
∵弧CF＝弧BD
∴∠DCB＝∠CBF
∴BE＝CE＝3a，
∵∴∴
∴
∴∴PB＝4，
在Rt△ODP中， ，
设⊙O半径为r，
则
解得r＝6
∴⊙O的半径为6
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用同底等高的三角形的面积相等，可证得结论.
（2）连接OC，OD，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可证得S△AON=S△DON，S△BON=S△NCO，由此可推出S阴影部分=S扇形DOC，据此可求出阴影部分的面积.
（3）利用SSS证明△BDO≌△CDO，利用全等三角形的性质可证得∠BDO=∠CDO，利用圆周角定理去证明∠BAC=∠ACO，可推出CO∥AB，利用平行线的性质可证得∠ABO=∠BOC，同时可证得S△ABC=S△ABO；连接AO，过点O作OH⊥AB于点H，利用解直角三角形表示出HB的长，利用垂径定理表示出AB的长，利用勾股定理可表示出OH的长；利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积.
（4）连结DF，BD，OD，利用垂径定理可证得弧CF＝弧CB＝弧BD，可推出∠BFD＝∠CBF，利用圆周角定理可证得BF=CD，设EP＝a，可表示出CD，PC，CE，BE的长，利用勾股定理表示出PB的长，再由CB∥DF，可证得△CBF的面积等于△CBD的面积，由此可证得△EBD的面积等于△CEF的面积，利用三角形的面积公式可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到PB，PD的长；设⊙O半径为r，在Rt△ODP中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可求解.
2．（2023·海曙模拟）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线。如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA=BC，以BC为直径的00分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形。
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E(如图③)，若OF=3，求DE．
【答案】（1）①√；②×.
（2）解：作DE⊥AC交AC于点E，
∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB
∴AC×AB=AC×DE
∴DE=AB=3
∵DE⊥AC，AD=DC=5，
∴∠DEA=90°，AC=2AE
∴AE==4
∴AC=2AE=8
∴
（3）解：①连结OM交CN于点H，连结BM
∵BC为⊙O的直径
∴∠BNC=∠BMC=90°
∵BA=BC，
∴AM=CM，
∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即
在Rt△ANC中，MN=CM=AM=AC
∴弧MN=弧MC
∴OM⊥NC，NH=CH
设OH=a，则BN=2OH=2a
∵
∴MH=BN=2a
∴OC=OM=OH+MH=3a，BC=6a
∴Rt△COH中，
∴Rt△CMH中，
∴
∴
②连结OM交CN于点H，作MF中点P，连结DP
∵F为OC中点，∴OC=2OF=6，BC=2OC=12，BF=9
∴在Rt△BCM中，
∴
由①得BN=MH，∠BND=∠MHD=90°，∠BDN=∠MDH，
∴ΔBDN ΔMDH（AAS）
∴
∴
∵P为MF的中点，
∴DP为△MBF的中位线
∴DP=BF=4.5，且PD∥BC
∴△DPE∽△CFE
∴
∴
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵平行四边形的一条对角线分得的两个三角形全等，
∴这两个三角形的面积相等，
∴平行四边形是倍分四边形
②梯形的任意一条对角线分得的两个三角形的面积不相等，
∴梯形不是倍分四边形，
故答案为：√，×
【分析】（1）根据平行四边形的一条对角线分得的两个三角形全等，可对①作出判断；再根据梯形的任意一条对角线分得的两个三角形的面积不相等，可对②作出判断；
（2）作DE⊥AC交AC于点E，利用已知AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB及三角形的面积公式可证得DE=AB=3，再利用等腰三角形的性质可证得AC=2AE，利用勾股定理求出AE的长，可得到AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
（3）①连结OM交CN于点H，连结BM，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠BNC=∠BMC=90°，利用等腰三角形的性质可证得AM=CM，S△BMC=S△ABM＞S△BMN，可得到分四边形BCMN中，CN是倍分线，可得到S△BNC=S△MNC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得到弧MN=弧MC，利用垂径定理可证得OM⊥NC，NH=CH，设OH=a，可表示出NB，MH，OC，BC的长，利用勾股定理表示出CH，MC，BM的长，然后利用锐角三角函数的定义，可求出sin∠ACB的值；②连结OM交CN于点H，作MF中点P，连结DP，利用点F是OC的中点，可求出OC，BC的长，利用解直角三角形求出BM的长，利用AAS证明△BDM≌△MDH，利用全等三角形的性质，可求出DM的长，利用勾股定理求出CD的长；再证明DP为△MBF的中位线，利用三角形的中位线定理可求出DP的长，同时可证得PD∥BC，可推出△DPE∽△CFE，利用相似三角形的性质，可求出DE的长.
3．（2023·广西模拟）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究.
（1）【初步尝试】我们知道： ， .
发现： （填“”或“”）.
（2）【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值.
（3）【拓展延伸】如图2，在中，，，.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值.
【答案】,,【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值【答案】解：如图1，在中，，，，∴. ∴，∴，∴，， ∴.【拓展延伸】如图2，在中，，，.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值.【答案】解：如图2，作的垂直平分线交于点E，连接. 则，，. ∵中，，，.∴，.设，则，在中，， 解得，即，. ∴.
（1）；；
（2）解：如图1，在中，，，，
∴.
∴，
∴，
∴，，
∴.
（3）解：如图2，作的垂直平分线交于点E，连接.
则，，.
∵中，，，.
∴，.
设，则，
在中，，
解得，即，.
∴.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（1） ，， ，
故答案为：；
【分析】 【初步尝试】根据特殊角的三角函数值可得tan60°、tan30°的值，据此解答；
【实践探究】利用勾股定理可得AB的值，由等腰三角形的性质可得∠D=∠ABD，结合外角的性质可得∠BAC=2∠D，则tanA=tanD，然后根据三角函数的概念进行计算；
【拓展延伸】作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE，根据tanA的值结合三角函数的概念可得BC、AB的值，设AE=x，则EC=3-x，由勾股定理可得x的值，然后根据tan2A=tan∠BEC结合三角函数的概念进行计算.
4．（2023·桂林模拟）综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度.
[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：
第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方法：用卷尺测量测角仪CD的高度和测角仪底部C与旗杆底部A之间的距离，用测角仪测量旗杆顶端B的仰角；
第二步，进行组员分工，制作测量数据记录表；
第三步，选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据；
第四步，整理数据，计算旗杆的高，撰写研究报告.
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果：
测量组别 的长（米） 的长（米） 仰角 计算的高（米）
位置1
位置2
位置3
平均值
研究结论：旗杆的高为n米
（1）表中n的值为 ；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是 .
（2）该测量模型中，若，仰角为，用含的代数式表示旗杆的高度为 .
（3）[拓展应用]第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，固定测角仪的高度为m，先在点C处测得旗杆顶端B的仰角，然后朝旗杆方向前进m到达点H处，再次测得旗杆顶端B的仰角，请你帮他们求出旗杆的高度（结果保留根号）.
【答案】（1）13.1；减小误差
（2）
（3）解：由题意得：，，，，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴旗杆的高度为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）表中n的值为；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是减小误差，
故答案为：；减小误差；
（2）由题意得：，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据表格中的数据可得n的值，多次测量取平均值的目的是减小误差；
（2）由题意得：∠DEB=90°，CD=AE=a，DE=AC=b，根据三角函数的概念可得BE，然后根据AB=BE+AE进行计算；
（3）由题意得：DC=FH=AE=1m，DF=CH=14m，∠DEB=90°，∠BFE=60°，∠BDF=30°，根据外角的性质可得∠DBF=∠BFE-∠BDF=30°，推出FD=FB=14m根据三角函数的概念可得BE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
5．（2023九下·江油月考）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知， ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；
【拓展应用】如图3， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．
【答案】解：【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，
∵ ABCD，
∴AE∥BC，
∴AG＝EH，
∵四边形ABCE恰为等腰梯形，
∵AB＝EC，
∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），
∴∠B＝∠ECH，
∵∠B＝80°，
∴∠BCE＝80°；
【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，
∵四边形BCEF是等腰梯形，
∴BF＝CE，
由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，
∴△BFC≌△CEB（SAS），
∴BE＝CF；
【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∵GO⊥AC，
∴AC＝CG，
∵AB∥CD，∠ABC＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∴∠CDG＝90°，
∴CD＝DG，
∴BA＝DG＝2，
∵∠CDG＝90°，
∴CG＝2 ，
∴AG＝2，
∵∠ADC＝∠DCG＝45°，
∴∠CDM＝135°，
∴∠GDM＝45°，
∴GM＝DM＝，
在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，
∴AD＝-，
∴BC＝-．
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，利用平行四边形的性质可证得AE∥BC，可得到AG=EH，再利用等腰梯形的性质可证得AB=EC，利用HL可证得Rt△ABG≌Rt△ECG，利用全等三角形的性质可推出∠B=∠ECH，据此可求出∠BCE的度数.
【性质再探】利用矩形的性质可证得AE∥BC，利用等腰梯形的性质可证得BF=CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，根据SAS可证得△BFC≌△CEB，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
【拓展应用】连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，利用平行四边形的性质可证得点O是AC的中点，由此可证得GO垂直平分AC，利用垂直平分线的性质可推出AC=CG；再证明CD=DG，可求出DG的长，利用直角三角形求出CG、AG的长，再证明∠GDM=45°，可得到GM＝DM＝；在Rt△AGM中，利用勾股定理求出AD的长，即可得到BC的长.
6．（2023·乐清模拟）如图，点G在线段AC上，AG=6，点B是线段AG上一动点，以AB为边向下方作正方形ABEF，以BC为腰向下方作等腰直角三角形BCD，∠CBD=90°，当AB＜BC时，2BG－DE=4．
（1）如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求CG的长，请你将解答过程补充完整．
探究1 假设BG=3，求CG的长． 探究2 设BG=x，求CG的长．
解：… 解：…
（2）过点A，F，G的⊙O交边CD于点H．①连结GH，FH，若△CGH是等腰三角形，求AB的长．②当⊙O与边CD有两个交点时，求AB的取值范围．
【答案】（1）解：如图，
探究1：∵AG=6，BG=3
∴AB=3
∵四边形ABEF是正方形
∴BE=AB=3
又∵2BG－DE=4
∴DE=6－4=2
∴BD=3+2=5
∵△BCD是等腰直角三角形
∴BC=BD=5∴CG=BC－BG=5-3=2
探究2：
∵2BG－DE=4
∴DE=2x－4
∵四边形ABEF是正方形，AG=6
∴BE=AB=6－x
∵△BCD是等腰直角三角形∴CG=BC－BG=BD－BG=2x－4＋6－x－x=2
（2）解：①Ⅰ．当CG=GH时，∠C=∠GHC=45°
∴∠CGH=90°=∠AGH，GH=CG=2
∵∠A+∠FHG=180°，∠A=90°
∴∠FHG=90°∴四边形AFHG是矩形
∴AF=GH=2∴AB=2Ⅱ．当CG=CH时，CH=2，作HM⊥AC，HN⊥AF，
∴
∵
∴
∴AB=AN+NF=10-10．
②当点D在圆上时，连结DF，DG，设AB=m，则EF=m，
BC=BD=8-m，BG=6-m，DE=DB-BE=8-m-m=8-2m，
由得，，即解得(舍去).
当⊙O与边CD相切于点H时，连结FG，OH，作OR//AC
交CD于点R，作OP⊥AC，RQ⊥AC，易知PG=AP=3，设OP=n，
则，
∴
由得，解得
综上所述，.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）探究1，利用已知条件求出AB的长，利用正方形的性质可得到BE的长，再根据2BG－DE=4，可求出DE，BD的长；再利用等腰直角三角形的性质，可求出BC的长，即可求出CG的长；探究2，利用已知可得到DE=2x－4，利用正方形的性质，可表示出BE的长，利用等腰直角三角形的性质可求出CG的长.
（2）①当CG=GH时，∠C=∠GHC=45°，易证四边形AFHG是矩形，利用矩形的性质可求出AB的长；当CG=CH时，CH=2，作HM⊥AC，HN⊥AF，可求出CM的长，即可求出MG，HN的长，再利用解直角三角形求出FN的长，根据AB=AN+NF，可求出AB的长，；②当点D在圆上时，连结DF，DG，设AB=m，则EF=m，可表示出CB，BG，DE的长，再利用相似三角形的性质，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；当⊙O与边CD相切于点H时，连结FG，OH，作OR//AC，交CD于点R，作OP⊥AC，RQ⊥AC，易知PG=AP=3，设OP=n，可表示出QR，OR的长，即可得到IOH的长；再根据OG=OH，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，由此可求出AB的取值范围.
7．（2023九下·泰兴月考）我们给出以下定义：如图（1）若点P在不大于的的内部，作于点Q，于点I，则称为点P与的“点角距离”记作.如图（2）在平面直角坐标系中，x、y的正半轴组成的，O为坐标原点.
（1）如图（2）点，则 ；
（2）若点B为内一点，，以点B为圆心r为半径作圆，与x轴、y轴均相切，求点B的坐标；
（3）已知点.
①已知点D的坐标为，求的解析式和的值.
②已知点在的内部，，当s为大于0的任意实数时，代数式（m为常数）的值为定值，求m的值及该定值.
【答案】（1）5
（2）解：如图，过点B作轴于点E，过点B作轴于点F，
∵，
∴，
∵与x轴、y轴均相切，
∴，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
过点D作轴于点G，过点D作于点H，连接，
∵，，，
∴，，，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴，则（负值舍去），
∴；
②过点E作轴于点M，过点E作于点N，
∵，
∴
把代入，得：，解得：，
∴，则，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，整理得：，
即，
∵当s为大于0的任意实数时，代数式（m为常数）的值为定值，
∴，则，
把代入得：，
∴，
把代入得：，
综上：，定值为3.
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义；定义新运算；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴点A到x轴距离为1个单位长度，到y轴距离为4个单位长度，
∴，
故答案为：5；
【分析】（1）根据点A的坐标可得：点A到x轴距离为1个单位长度，到y轴距离为4个单位长度，据此求解；
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据题意可得BE+BF=6，由切线长定理可得BE=BF，据此解答；
（3）①利用待定系数法求出直线OC的解析式，过点D作DG⊥y轴于点G，DH⊥OC于点H，连接CD，利用勾股定理可得DG、OC、OD、CD的值，设OH=x，则CH=-x，在Rt△CDH、Rt△ODH中，根据勾股定理可得x的值，然后求出DH，据此解答；
②过E作EM⊥y轴于点M，EN⊥OC于点N，根据点E的坐标可得ME=s，将y=t代入y=2x中表示出x，得到点P的坐标，然后求出PE、OP，根据三角函数的概念可得EN，然后表示出d(E，∠COY)，进而可得t与s的关系式，由题意可得mt=s+ms，将t代入可求出m的值，据此解答.
8．（2023九上·江北期末）如图
（1）【基础巩固】如图1，和都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，与交于点F.求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若，求的长度.
（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值.
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，
A，B，C，E四点共圆，，
，
，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
设，，
，，解得，
.
（3）解：如图添加辅助线，构造以为边的等边，连接，过点B作交的延长线于点M，
，
是正三角形，
，
，
在和中， ，
，
，，
，
，
，，
设，，
则，
解得，
，
在中，，
，，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠AED=∠ACB=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠BEC=∠BAC=60°，则∠ADF=∠CEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据等边三角形的性质可得AD=DE=AE，结合已知条件可得DF=2，AD=DE=AE=6，根据相似三角形的性质可得CE的值，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE=12，证明△AFE∽△BFC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）构造以AB为边的等边△ABH，连接DH，过点B作BM⊥AE交AE的延长线于点M，则△EAD是正三角形，结合角的和差关系可得∠BAE=∠HAD，利用SAS证明△BAE≌△HAD，得到∠AEB=∠ADH=120°，BE=DH=3，进而推出AE∥DH，证明△AEFE∽△HDF，设EF=x，AE=ED=x-2，根据相似三角形的性质可求出AE的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
9．（2023九上·龙泉驿期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC沿x轴平移（边AB在x轴上，点C在x轴上方），其中A（a，0），三角形ABC与反比例函数（x>0）交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
（1）第一小组提出“当a＝2时，求点D的坐标”；
（2）第二小组提出“若AD＝CE，求a的值”：
（3）第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在（x>0）上，求a的值”；
【答案】（1）解：过点C作CH⊥AB，
∵等边三角形ABC
∴AC=AB=2，AH=1，∠AFC=90°，∠CAH=60°，
∴CF=AHtan∠CAH=tan60°=
∵a=2，
∴点C（3，）
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴
与反比例函数联立方程组
解得：，（舍去）
带入可得点
（2）解：过点D作轴，垂足为点F设，则
∴点
因为∴点
因为点D，E均在反比例函数上
∴
由（1）得：（3）
带入（2）得
化简得：
由（3）得：
（3）解：连接，过点做轴，垂足为点
易得
∴
∴
故
∴点，点
∴
∴，∴
∵点在反比例函数上
∴
解得：，（舍去）
故
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由过点C作CF⊥AB，利用等边三角形的性质可得到AC=AB=2，AF=1，∠AFC=90°，∠CAF=60°，利用解直角三角形求出CF的长，可得到点C的坐标，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，将点A，C的坐标代入函数解析式，可求出k，b的值，即可得到函数解析式；将反比例函数和一次函数解析式联立方程组，解方程组求出点D的坐标.
（2）过点D作DF⊥x轴于点F，设AF=m，可表示出DF的长，可得到点D和点E的坐标，根据点D，E都在反比例函数解析式上，可得到关于a，m的方程组，解方程组求出a的值.
（3）连接CE′，过点E作EG⊥x轴于点G，利用旋转的性质可得到△ACE′≌△ABE，利用全等三角形的性质可推出∠ACE′=∠ABC=∠BAC=60°，可得到CE′∥AB，即可表示出点C，E的坐标，同时可表示出CE′，BG，EG的长及点E的坐标，根据点E在反比例函数解图象上，可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
10．（2023九上·青秀期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点.
（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值.
（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）.
【答案】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=∠BEG=90°， 根据同角的余角相等得∠DEH=∠ABE， 从而即可判断出△ABE∽△DEH ；
（2）易得AD=4DH， 设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x， 则DE=4x-a， 根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可用含a的式子表示出x，进而根据正切函数的定义即可求出答案；
（3）根据相似矩形的性质得EG=nBE， 当FH=BH时， 利用HL判断出Rt△BEH≌Rt△FGH，根据全等三角形的性质得EH=GH=，再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案； 当FH=BF=nBE时， 根据勾股定理表示出HG，进而根据线段的和差表示出EH， 再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案.
11．（2022·济宁）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，．
．
．
．
．
（2）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【知识点】推理与论证；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 ，再求解即可。
12．（2022·自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴
∴.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
，
，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴
∴
解之：
∴
答：PH的长为米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠PON=90°，∠COM=90°，利用同角的余角相等，可证得结论.
（2）过点O作OQ⊥PH于点Q，易证四边形OKHQ是矩形，利用矩形的性质可求出QH，OQ的长；再利用解直角三角形求出PQ的长；然后根据PH=PQ+QH，代入计算求出PH的长.
（3）过点O1作O1D⊥PH于点D，利用矩形的性质可求出DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，利用解直角三角形分别表示出O1D，O2D的长，根据O2D-O1D=O1O2=m，可得方程，从而可求出PD的长；然后根据PH=PD+DH，代入计算求出PH的长.
1 / 12023年中考数学探究性试题复习20 锐角三角函数
一、综合题
1．（2023·镇海模拟）
（1）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察图4－17，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。
（2）【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
（3）【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC；
（4）【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 ，求⊙O的半径．
2．（2023·海曙模拟）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线。如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA=BC，以BC为直径的00分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形。
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E(如图③)，若OF=3，求DE．
3．（2023·广西模拟）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究.
（1）【初步尝试】我们知道： ， .
发现： （填“”或“”）.
（2）【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值.
（3）【拓展延伸】如图2，在中，，，.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值.
4．（2023·桂林模拟）综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度.
[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：
第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方法：用卷尺测量测角仪CD的高度和测角仪底部C与旗杆底部A之间的距离，用测角仪测量旗杆顶端B的仰角；
第二步，进行组员分工，制作测量数据记录表；
第三步，选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据；
第四步，整理数据，计算旗杆的高，撰写研究报告.
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果：
测量组别 的长（米） 的长（米） 仰角 计算的高（米）
位置1
位置2
位置3
平均值
研究结论：旗杆的高为n米
（1）表中n的值为 ；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是 .
（2）该测量模型中，若，仰角为，用含的代数式表示旗杆的高度为 .
（3）[拓展应用]第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，固定测角仪的高度为m，先在点C处测得旗杆顶端B的仰角，然后朝旗杆方向前进m到达点H处，再次测得旗杆顶端B的仰角，请你帮他们求出旗杆的高度（结果保留根号）.
5．（2023九下·江油月考）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知， ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；
【拓展应用】如图3， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．
6．（2023·乐清模拟）如图，点G在线段AC上，AG=6，点B是线段AG上一动点，以AB为边向下方作正方形ABEF，以BC为腰向下方作等腰直角三角形BCD，∠CBD=90°，当AB＜BC时，2BG－DE=4．
（1）如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求CG的长，请你将解答过程补充完整．
探究1 假设BG=3，求CG的长． 探究2 设BG=x，求CG的长．
解：… 解：…
（2）过点A，F，G的⊙O交边CD于点H．①连结GH，FH，若△CGH是等腰三角形，求AB的长．②当⊙O与边CD有两个交点时，求AB的取值范围．
7．（2023九下·泰兴月考）我们给出以下定义：如图（1）若点P在不大于的的内部，作于点Q，于点I，则称为点P与的“点角距离”记作.如图（2）在平面直角坐标系中，x、y的正半轴组成的，O为坐标原点.
（1）如图（2）点，则 ；
（2）若点B为内一点，，以点B为圆心r为半径作圆，与x轴、y轴均相切，求点B的坐标；
（3）已知点.
①已知点D的坐标为，求的解析式和的值.
②已知点在的内部，，当s为大于0的任意实数时，代数式（m为常数）的值为定值，求m的值及该定值.
8．（2023九上·江北期末）如图
（1）【基础巩固】如图1，和都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，与交于点F.求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若，求的长度.
（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中，，，，求的值.
9．（2023九上·龙泉驿期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC沿x轴平移（边AB在x轴上，点C在x轴上方），其中A（a，0），三角形ABC与反比例函数（x>0）交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
（1）第一小组提出“当a＝2时，求点D的坐标”；
（2）第二小组提出“若AD＝CE，求a的值”：
（3）第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在（x>0）上，求a的值”；
10．（2023九上·青秀期末）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点.
（1）【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值.
（3）【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）.
11．（2022·济宁）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵，
∴，
∴
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
12．（2022·自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
答案解析部分
1．【答案】解：∵ ， ， ， 同底等高 ∴ 【基础巩固】（2）如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值； 解：连结OC、OD ∵∴ 同理， ∴∴阴影面积与圆面积的比为 【尝试应用】（3）如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC； 解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO∴∴∠BDO＝∠CDO ∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO∵∠ACO＝2∠BDO∴∠BAC＝∠ACO ∴∴∠ABO＝∠BOC， 连接AO，过点O作 于点H ∴ ， ， ∴ 【拓展提高】（4）如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 ，求⊙O的半径． 解：连结DF，BD，OD∵AB为直径， 于点P ∴弧CB＝弧BD，CP＝PD又∵CF＝CB∴弧CF＝弧CB＝弧BD ∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴ ，BF＝CD 设EP＝a则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a ∵弧CF＝弧BD∴∠DCB＝∠CBF∴BE＝CE＝3a， ∵∴∴∴∴∴PB＝4， 在Rt△ODP中， ，设⊙O半径为r， 则 解得r＝6∴⊙O的半径为6
（1）解：∵ ， ， ， 同底等高
∴
（2）解：连结OC、OD
∵∴ 同理，
∴∴阴影面积与圆面积的比为
（3）解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO
∴
∴∠BDO＝∠CDO
∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO
∵∠ACO＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠ACO
∴∴∠ABO＝∠BOC，
连接AO，过点O作 于点H
∴ ， ，
∴
（4）解：连结DF，BD，OD
∵AB为直径， 于点P
∴弧CB＝弧BD，CP＝PD
∵CF＝CB
∴弧CF＝弧CB＝弧BD
∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴ ，BF＝CD
设EP＝a，则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a
∵弧CF＝弧BD
∴∠DCB＝∠CBF
∴BE＝CE＝3a，
∵∴∴
∴
∴∴PB＝4，
在Rt△ODP中， ，
设⊙O半径为r，
则
解得r＝6
∴⊙O的半径为6
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用同底等高的三角形的面积相等，可证得结论.
（2）连接OC，OD，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可证得S△AON=S△DON，S△BON=S△NCO，由此可推出S阴影部分=S扇形DOC，据此可求出阴影部分的面积.
（3）利用SSS证明△BDO≌△CDO，利用全等三角形的性质可证得∠BDO=∠CDO，利用圆周角定理去证明∠BAC=∠ACO，可推出CO∥AB，利用平行线的性质可证得∠ABO=∠BOC，同时可证得S△ABC=S△ABO；连接AO，过点O作OH⊥AB于点H，利用解直角三角形表示出HB的长，利用垂径定理表示出AB的长，利用勾股定理可表示出OH的长；利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积.
（4）连结DF，BD，OD，利用垂径定理可证得弧CF＝弧CB＝弧BD，可推出∠BFD＝∠CBF，利用圆周角定理可证得BF=CD，设EP＝a，可表示出CD，PC，CE，BE的长，利用勾股定理表示出PB的长，再由CB∥DF，可证得△CBF的面积等于△CBD的面积，由此可证得△EBD的面积等于△CEF的面积，利用三角形的面积公式可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到PB，PD的长；设⊙O半径为r，在Rt△ODP中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值，即可求解.
2．【答案】（1）①√；②×.
（2）解：作DE⊥AC交AC于点E，
∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB
∴AC×AB=AC×DE
∴DE=AB=3
∵DE⊥AC，AD=DC=5，
∴∠DEA=90°，AC=2AE
∴AE==4
∴AC=2AE=8
∴
（3）解：①连结OM交CN于点H，连结BM
∵BC为⊙O的直径
∴∠BNC=∠BMC=90°
∵BA=BC，
∴AM=CM，
∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即
在Rt△ANC中，MN=CM=AM=AC
∴弧MN=弧MC
∴OM⊥NC，NH=CH
设OH=a，则BN=2OH=2a
∵
∴MH=BN=2a
∴OC=OM=OH+MH=3a，BC=6a
∴Rt△COH中，
∴Rt△CMH中，
∴
∴
②连结OM交CN于点H，作MF中点P，连结DP
∵F为OC中点，∴OC=2OF=6，BC=2OC=12，BF=9
∴在Rt△BCM中，
∴
由①得BN=MH，∠BND=∠MHD=90°，∠BDN=∠MDH，
∴ΔBDN ΔMDH（AAS）
∴
∴
∵P为MF的中点，
∴DP为△MBF的中位线
∴DP=BF=4.5，且PD∥BC
∴△DPE∽△CFE
∴
∴
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵平行四边形的一条对角线分得的两个三角形全等，
∴这两个三角形的面积相等，
∴平行四边形是倍分四边形
②梯形的任意一条对角线分得的两个三角形的面积不相等，
∴梯形不是倍分四边形，
故答案为：√，×
【分析】（1）根据平行四边形的一条对角线分得的两个三角形全等，可对①作出判断；再根据梯形的任意一条对角线分得的两个三角形的面积不相等，可对②作出判断；
（2）作DE⊥AC交AC于点E，利用已知AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB及三角形的面积公式可证得DE=AB=3，再利用等腰三角形的性质可证得AC=2AE，利用勾股定理求出AE的长，可得到AC的长，然后利用勾股定理求出BC的长.
（3）①连结OM交CN于点H，连结BM，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠BNC=∠BMC=90°，利用等腰三角形的性质可证得AM=CM，S△BMC=S△ABM＞S△BMN，可得到分四边形BCMN中，CN是倍分线，可得到S△BNC=S△MNC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得到弧MN=弧MC，利用垂径定理可证得OM⊥NC，NH=CH，设OH=a，可表示出NB，MH，OC，BC的长，利用勾股定理表示出CH，MC，BM的长，然后利用锐角三角函数的定义，可求出sin∠ACB的值；②连结OM交CN于点H，作MF中点P，连结DP，利用点F是OC的中点，可求出OC，BC的长，利用解直角三角形求出BM的长，利用AAS证明△BDM≌△MDH，利用全等三角形的性质，可求出DM的长，利用勾股定理求出CD的长；再证明DP为△MBF的中位线，利用三角形的中位线定理可求出DP的长，同时可证得PD∥BC，可推出△DPE∽△CFE，利用相似三角形的性质，可求出DE的长.
3．【答案】,,【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值【答案】解：如图1，在中，，，，∴. ∴，∴，∴，， ∴.【拓展延伸】如图2，在中，，，.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值.【答案】解：如图2，作的垂直平分线交于点E，连接. 则，，. ∵中，，，.∴，.设，则，在中，， 解得，即，. ∴.
（1）；；
（2）解：如图1，在中，，，，
∴.
∴，
∴，
∴，，
∴.
（3）解：如图2，作的垂直平分线交于点E，连接.
则，，.
∵中，，，.
∴，.
设，则，
在中，，
解得，即，.
∴.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：（1） ，， ，
故答案为：；
【分析】 【初步尝试】根据特殊角的三角函数值可得tan60°、tan30°的值，据此解答；
【实践探究】利用勾股定理可得AB的值，由等腰三角形的性质可得∠D=∠ABD，结合外角的性质可得∠BAC=2∠D，则tanA=tanD，然后根据三角函数的概念进行计算；
【拓展延伸】作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE，根据tanA的值结合三角函数的概念可得BC、AB的值，设AE=x，则EC=3-x，由勾股定理可得x的值，然后根据tan2A=tan∠BEC结合三角函数的概念进行计算.
4．【答案】（1）13.1；减小误差
（2）
（3）解：由题意得：，，，，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴旗杆的高度为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：（1）表中n的值为；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是减小误差，
故答案为：；减小误差；
（2）由题意得：，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据表格中的数据可得n的值，多次测量取平均值的目的是减小误差；
（2）由题意得：∠DEB=90°，CD=AE=a，DE=AC=b，根据三角函数的概念可得BE，然后根据AB=BE+AE进行计算；
（3）由题意得：DC=FH=AE=1m，DF=CH=14m，∠DEB=90°，∠BFE=60°，∠BDF=30°，根据外角的性质可得∠DBF=∠BFE-∠BDF=30°，推出FD=FB=14m根据三角函数的概念可得BE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
5．【答案】解：【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，
∵ ABCD，
∴AE∥BC，
∴AG＝EH，
∵四边形ABCE恰为等腰梯形，
∵AB＝EC，
∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），
∴∠B＝∠ECH，
∵∠B＝80°，
∴∠BCE＝80°；
【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，
∵四边形BCEF是等腰梯形，
∴BF＝CE，
由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，
∴△BFC≌△CEB（SAS），
∴BE＝CF；
【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∵GO⊥AC，
∴AC＝CG，
∵AB∥CD，∠ABC＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∴∠CDG＝90°，
∴CD＝DG，
∴BA＝DG＝2，
∵∠CDG＝90°，
∴CG＝2 ，
∴AG＝2，
∵∠ADC＝∠DCG＝45°，
∴∠CDM＝135°，
∴∠GDM＝45°，
∴GM＝DM＝，
在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，
∴AD＝-，
∴BC＝-．
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，利用平行四边形的性质可证得AE∥BC，可得到AG=EH，再利用等腰梯形的性质可证得AB=EC，利用HL可证得Rt△ABG≌Rt△ECG，利用全等三角形的性质可推出∠B=∠ECH，据此可求出∠BCE的度数.
【性质再探】利用矩形的性质可证得AE∥BC，利用等腰梯形的性质可证得BF=CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，根据SAS可证得△BFC≌△CEB，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
【拓展应用】连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，利用平行四边形的性质可证得点O是AC的中点，由此可证得GO垂直平分AC，利用垂直平分线的性质可推出AC=CG；再证明CD=DG，可求出DG的长，利用直角三角形求出CG、AG的长，再证明∠GDM=45°，可得到GM＝DM＝；在Rt△AGM中，利用勾股定理求出AD的长，即可得到BC的长.
6．【答案】（1）解：如图，
探究1：∵AG=6，BG=3
∴AB=3
∵四边形ABEF是正方形
∴BE=AB=3
又∵2BG－DE=4
∴DE=6－4=2
∴BD=3+2=5
∵△BCD是等腰直角三角形
∴BC=BD=5∴CG=BC－BG=5-3=2
探究2：
∵2BG－DE=4
∴DE=2x－4
∵四边形ABEF是正方形，AG=6
∴BE=AB=6－x
∵△BCD是等腰直角三角形∴CG=BC－BG=BD－BG=2x－4＋6－x－x=2
（2）解：①Ⅰ．当CG=GH时，∠C=∠GHC=45°
∴∠CGH=90°=∠AGH，GH=CG=2
∵∠A+∠FHG=180°，∠A=90°
∴∠FHG=90°∴四边形AFHG是矩形
∴AF=GH=2∴AB=2Ⅱ．当CG=CH时，CH=2，作HM⊥AC，HN⊥AF，
∴
∵
∴
∴AB=AN+NF=10-10．
②当点D在圆上时，连结DF，DG，设AB=m，则EF=m，
BC=BD=8-m，BG=6-m，DE=DB-BE=8-m-m=8-2m，
由得，，即解得(舍去).
当⊙O与边CD相切于点H时，连结FG，OH，作OR//AC
交CD于点R，作OP⊥AC，RQ⊥AC，易知PG=AP=3，设OP=n，
则，
∴
由得，解得
综上所述，.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）探究1，利用已知条件求出AB的长，利用正方形的性质可得到BE的长，再根据2BG－DE=4，可求出DE，BD的长；再利用等腰直角三角形的性质，可求出BC的长，即可求出CG的长；探究2，利用已知可得到DE=2x－4，利用正方形的性质，可表示出BE的长，利用等腰直角三角形的性质可求出CG的长.
（2）①当CG=GH时，∠C=∠GHC=45°，易证四边形AFHG是矩形，利用矩形的性质可求出AB的长；当CG=CH时，CH=2，作HM⊥AC，HN⊥AF，可求出CM的长，即可求出MG，HN的长，再利用解直角三角形求出FN的长，根据AB=AN+NF，可求出AB的长，；②当点D在圆上时，连结DF，DG，设AB=m，则EF=m，可表示出CB，BG，DE的长，再利用相似三角形的性质，可得到关于m的方程，解方程求出m的值；当⊙O与边CD相切于点H时，连结FG，OH，作OR//AC，交CD于点R，作OP⊥AC，RQ⊥AC，易知PG=AP=3，设OP=n，可表示出QR，OR的长，即可得到IOH的长；再根据OG=OH，可得到关于n的方程，解方程求出n的值，由此可求出AB的取值范围.
7．【答案】（1）5
（2）解：如图，过点B作轴于点E，过点B作轴于点F，
∵，
∴，
∵与x轴、y轴均相切，
∴，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
过点D作轴于点G，过点D作于点H，连接，
∵，，，
∴，，，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴，则（负值舍去），
∴；
②过点E作轴于点M，过点E作于点N，
∵，
∴
把代入，得：，解得：，
∴，则，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，整理得：，
即，
∵当s为大于0的任意实数时，代数式（m为常数）的值为定值，
∴，则，
把代入得：，
∴，
把代入得：，
综上：，定值为3.
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义；定义新运算；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴点A到x轴距离为1个单位长度，到y轴距离为4个单位长度，
∴，
故答案为：5；
【分析】（1）根据点A的坐标可得：点A到x轴距离为1个单位长度，到y轴距离为4个单位长度，据此求解；
（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据题意可得BE+BF=6，由切线长定理可得BE=BF，据此解答；
（3）①利用待定系数法求出直线OC的解析式，过点D作DG⊥y轴于点G，DH⊥OC于点H，连接CD，利用勾股定理可得DG、OC、OD、CD的值，设OH=x，则CH=-x，在Rt△CDH、Rt△ODH中，根据勾股定理可得x的值，然后求出DH，据此解答；
②过E作EM⊥y轴于点M，EN⊥OC于点N，根据点E的坐标可得ME=s，将y=t代入y=2x中表示出x，得到点P的坐标，然后求出PE、OP，根据三角函数的概念可得EN，然后表示出d(E，∠COY)，进而可得t与s的关系式，由题意可得mt=s+ms，将t代入可求出m的值，据此解答.
8．【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，
A，B，C，E四点共圆，，
，
，
（2）解：是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，，
，
设，，
，，解得，
.
（3）解：如图添加辅助线，构造以为边的等边，连接，过点B作交的延长线于点M，
，
是正三角形，
，
，
在和中， ，
，
，，
，
，
，，
设，，
则，
解得，
，
在中，，
，，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠AED=∠ACB=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠BEC=∠BAC=60°，则∠ADF=∠CEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据等边三角形的性质可得AD=DE=AE，结合已知条件可得DF=2，AD=DE=AE=6，根据相似三角形的性质可得CE的值，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE=12，证明△AFE∽△BFC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）构造以AB为边的等边△ABH，连接DH，过点B作BM⊥AE交AE的延长线于点M，则△EAD是正三角形，结合角的和差关系可得∠BAE=∠HAD，利用SAS证明△BAE≌△HAD，得到∠AEB=∠ADH=120°，BE=DH=3，进而推出AE∥DH，证明△AEFE∽△HDF，设EF=x，AE=ED=x-2，根据相似三角形的性质可求出AE的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
9．【答案】（1）解：过点C作CH⊥AB，
∵等边三角形ABC
∴AC=AB=2，AH=1，∠AFC=90°，∠CAH=60°，
∴CF=AHtan∠CAH=tan60°=
∵a=2，
∴点C（3，）
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴
与反比例函数联立方程组
解得：，（舍去）
带入可得点
（2）解：过点D作轴，垂足为点F设，则
∴点
因为∴点
因为点D，E均在反比例函数上
∴
由（1）得：（3）
带入（2）得
化简得：
由（3）得：
（3）解：连接，过点做轴，垂足为点
易得
∴
∴
故
∴点，点
∴
∴，∴
∵点在反比例函数上
∴
解得：，（舍去）
故
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由过点C作CF⊥AB，利用等边三角形的性质可得到AC=AB=2，AF=1，∠AFC=90°，∠CAF=60°，利用解直角三角形求出CF的长，可得到点C的坐标，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，将点A，C的坐标代入函数解析式，可求出k，b的值，即可得到函数解析式；将反比例函数和一次函数解析式联立方程组，解方程组求出点D的坐标.
（2）过点D作DF⊥x轴于点F，设AF=m，可表示出DF的长，可得到点D和点E的坐标，根据点D，E都在反比例函数解析式上，可得到关于a，m的方程组，解方程组求出a的值.
（3）连接CE′，过点E作EG⊥x轴于点G，利用旋转的性质可得到△ACE′≌△ABE，利用全等三角形的性质可推出∠ACE′=∠ABC=∠BAC=60°，可得到CE′∥AB，即可表示出点C，E的坐标，同时可表示出CE′，BG，EG的长及点E的坐标，根据点E在反比例函数解图象上，可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值.
10．【答案】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=∠BEG=90°， 根据同角的余角相等得∠DEH=∠ABE， 从而即可判断出△ABE∽△DEH ；
（2）易得AD=4DH， 设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x， 则DE=4x-a， 根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可用含a的式子表示出x，进而根据正切函数的定义即可求出答案；
（3）根据相似矩形的性质得EG=nBE， 当FH=BH时， 利用HL判断出Rt△BEH≌Rt△FGH，根据全等三角形的性质得EH=GH=，再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案； 当FH=BF=nBE时， 根据勾股定理表示出HG，进而根据线段的和差表示出EH， 再根据相似三角形对应边成比例可得 ，根据线段的和差表示出AE，最后根据正切函数的定义可得答案.
11．【答案】（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，，
同理：，．
．
．
．
．
（2）解：在ΔABC中，
∴
解得：
答：点A到点B的距离为m．
【知识点】推理与论证；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 ，再求解即可。
12．【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴
∴.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
，
，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴
∴
解之：
∴
答：PH的长为米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠PON=90°，∠COM=90°，利用同角的余角相等，可证得结论.
（2）过点O作OQ⊥PH于点Q，易证四边形OKHQ是矩形，利用矩形的性质可求出QH，OQ的长；再利用解直角三角形求出PQ的长；然后根据PH=PQ+QH，代入计算求出PH的长.
（3）过点O1作O1D⊥PH于点D，利用矩形的性质可求出DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，利用解直角三角形分别表示出O1D，O2D的长，根据O2D-O1D=O1O2=m，可得方程，从而可求出PD的长；然后根据PH=PD+DH，代入计算求出PH的长.
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