5.7 三角函数的应用 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.
本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用.
问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0
t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画.根据已知数据作出散点图.
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A=20；振子振动的周期为0.6s，即 ，解得 ；再由初始状态(t=0)振子的位移为-20，可得sin φ=-1，因此 .所以振子位移关于时间的函数解析式为
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
A>0就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
这个简谐运动的频率是由公式 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
问题2. 图(1)是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t(单位：s)变化的图象.将测得的图象放大，得到图(2).
(1) 是某求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；
(2) 当 时，求电流 i.
(1)
(2)
解：
由交变电流的产生原理可知，电流 i 随时间 t 的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相.
由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5；
(2)
电流变化的周期为 s，频率为50Hz，即 ，解得ω=100π；
再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得sin φ=0.866，因此φ约为 .
所以电流随时间变化的函数解析式是
[变式探究1]　若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
练习1.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.
（1）求这条曲线对应的函数解析式；
（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.
2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.
课堂小结