5.4.3 正切函数的性质与图象 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
思考：
（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，应如何研究正切函数？
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象.
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
回顾:
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相较于点P(x,y).
把点P的纵坐标y与横坐标x的比值叫做α的正切函数，
记作tan α ，即
1.周期性
由诱导公式
可知，正切函数是周期函数，周期是π.
tan(x+π)=tanx,x∈R，且x≠+kπ，k∈Z
2.奇偶性
由诱导公式
可知，正切函数是奇函数.
tan(-x)=-tanx,x∈R，且x≠+kπ，k∈Z
可以先考察函数 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.
利用三角函数线得到 的图象：
利用三角函数线得到正切函数的动态图象：
根据正切函数是奇函数，只要画 的图象关于原点的对称图形，就可得到 的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线.
3.单调性
观察正切曲线可知，正切函数在区间 上
单调递增.由正切函数的周期性可得，
正切函数在每一个区间 上都单调递增.
4.值域
当 时，tan x在(-∞,+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.
解：
自变量x的取值应满足
所以，函数的定义域是
例1. 求函数 的定义域、周期及单调区间.
即
≠k
≠2k
解：
设 ，又tan(z+π)=tan z，
=tan
=tan
例1. 求函数 的定义域、周期及单调区间.
因为
所以，函数的周期为2.
都有
=
解：
由 解得
因此，函数在区间 上单调递增.
例1. 求函数 的定义域、周期及单调区间.
练习. 求函数 的定义域、周期及单调区间.
函数的定义域是
周期为
单调递增区间为
课堂小结
1.周期性
周期T=π.
2.奇偶性
正切函数是奇函数.
3.单调性
正切函数在每一个区间 上都单调递增.
4.值域
值域是实数集R.