2023 年春期六校第二次联考
高一年级数学参考答案
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．【答案】A
1 1+ i 1 3i 1 3i
【解析】 z = + i＝ + i = + ， z = ，
1 i (1 i)(1+ i) 2 2 2 2
1 3i 1 3i 1 9 5
z z ( + ) ( ) = + =则 ＝ .
2 2 2 2 4 4 2
2．【答案】A
1 1
S = lr = ×8r =16,∴ r = 4
【解析】 ， l = α r = 8,∴α = 2.
2 2
3．【答案】B
5 5
α ，t cosα =
【解析】因为 的终边与单位圆相交于点 ，所以 ，
5 5
3π 2 3
所以 sin + 2α = cos2α = (2cos α 1) = .
2 5
4．【答案】A
π 3 1
【解析】根据函数 f (x)＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象，k＝
2 2
3 ( 1) 3 2π 11π π π π
＝1，A＝ ＝2， × = ，∴ω＝2．再根据五点法做图，可得 2× +φ＝ ，
2 4 ω 12 6 6 2
π π
∴φ＝ ，故 f (x)＝2sin（2x+ ）+1．
6 6
5．【答案】D
1 1
【解析】由题意可得 AB = AE + EB = AE + DA = AE + (DF + FA)
2 2
1 1 7 1 1 7 3
= AE × ( AE + FD) = AE + DF，∴m = ，n = ，∴m n = .
2 4 8 2 2 8 8
6．【答案】B
【解析】作出图形，如图所示：
π
若△ABC有两解，则 csinB＜b＜c，即8sin ＜b＜8，解得 4＜b＜8，故 b的值可以是 6．
6
1 6
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7．【答案】C
2 2 2
【解析】因为 a b = ( 3, 2)，所以 a b = a 2a b + b = 5，即1 2a b + 2 = 5，解得
a b = 1，∴ a + b = 1+ 2 + 2× ( 1) =1．
8．【答案】C
π π π π 4
【解析】∵ sin(α + ) = cos[ (α + )]=cos( α )＝ ，
3 2 3 6 5
π π π π π 16 7
sin(2α + ) = cos[ (2α + )]=cos( 2α ) 2cos2 ( α ) 1= 2× 1= .
∴ ＝
6 2 6 3 6 25 25
二、选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．）
9．【答案】BCD
1
cos(80° +α ) = cos[90° (10° α )] = sin(10° α ) =
【解析】对于 A， ，A错误；对于 B，
3
1 2sin10 cos10 = (sin10 cos10 )2 = cos10 sin10，∴B正确；对于 C，在任
tan B + tanC
意斜△ABC中， tan A = tan(B +C) = ，整理得 tanA(1﹣tanBtanC)＝
1 tan B tanC
﹣(tanB+tanC)，即 tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC，C正确；对于 D，在△ABC中，
2 2 2 2 2 2 2
a + b c c + a b 2a
bcosC + ccosB = b + c = = a，D正确．
2ab 2ac 2a
10．【答案】ABD
7 49 240
【解析】∵θ∈（0，π）， sinθ + cosθ = ①，则 1+sin2θ＝ ，即 sin2θ＝ ，故θ
17 289 289
2 240 23
为钝角，故 A正确；再根据 sinθ cosθ = (sinθ cosθ ) = 1+ = ②，故 D正确；由
289 17
15 8 sinθ 15
①②可得 sinθ＝ ，cosθ＝ ，∴tanθ＝ ＝ ，B正确，C错误。
17 17 cosθ 8
11．【答案】AD
π
【解析】 f (x) = sin 2x + 3 cos 2x +1= 2sin(2x + ) +1，对于 A项，函数 f (x)的最小
3
2π 2π π
正周期T = = = π ，故 A正确；对于 B项，f (x)的图象向右平移 个单位后为
ω 2 3
π
g(x) = 2sin(2x ) +1，所以图象不关于 y轴对称，故 B错误；对于 C项，由
3
π π kπ π kπ
2x + = kπ x = + ，k∈Z，所以 f（x）的对称中心为 ( + ,1)，k∈Z，所以
3 6 2 6 2
π π π π 2π 4π ,0 不是 f (x)的对称中心，故C错误；对于D项，因为 x∈ ( , )，所以 2x + ∈ ( , )，
6 6 2 3 3 3
2 6
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π 2π 4π 2π 4π
令 t = 2x + ，则 y＝sint+1， t∈ ( , )，因为 y＝sint在 ( , )上单调递减，所以 f（x）
3 3 3 3 3
π π
在 ( , )上单调递减，故 D正确．
6 2
12．【答案】AC
2π 11π 2π 4π 4π 2π 11π
【解析】 f (x) ( , ) f ( ) = f ( ) ∈ ( , )在 上单调， ， ，
5 42 5 15 15 5 42
π T 11π 2π 29π T π 29π
∴ f (x)的一个对称中心为 ( ,0)，且 ＞ + = ，则 = ＞ ，
3 2 42 5 210 2 ω 210
210 7 7π π 2π T π π π
∴ω＜ =7 = ＜ x = ω × + = + k π
，且 ，∴ f (x)的一条对称轴为 ，从而 1 ，
29 29 30 10 15 2 6 6 2
π
且ω × ( )+ = k π ,k ,k ∈Z，
2 1 2 ∴ω = 2k +1,k∈Z，又 f (x)在 (0,π )上有且仅有 7个零点，
3
6π 8π π π π π
∴3T < π < 4T ,即 < π < ,6 <ω < 8 ∴ω = 7 ∴7× + = + k π 0＜ ＜ ∴ =， ， 1 ，又 ， ，ω ω 6 2 2 3
π π π
A正确，B错误； f (x) = sin(7x + )，令 y =1，则 7x + = 2kπ + ,k∈Z，
3 3 2
π 2kπ π π 2π 13π π 4π 25π
x = + ,k∈Z, x∈ (0,π ) k = 0, x = ,k =1, x = + = ,k = 2, x = + = ,
，
42 7 42 42 7 42 42 7 42
π 6π 37π
k = 3, x = + = ，共有 4个解，则 y = f (x)与 y =1在 (0,π )上有且仅有 4个公共点，
42 7 42
π π π 5π 2kπ π 2kπ
C + 2kπ ≤ 7x + ≤ 2kπ + ,k∈Z + ≤ x ≤ +正确；由 ，得 ，
2 3 2 42 7 42 7
5π 2kπ π 2kπ π π π
即 f (x)在 [ + , + ]上单调递增，∴ f (x)在 (0, )上单调递增，在 ( , )上
42 7 42 7 42 42 28
单调递减，D错误．
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．）
13．【答案】（3,2）或（-3，-2）（答不全不得分）
【解析】设 a = (x, y), 2则x + y2 =13，由 a ⊥ b得 2x-3y=0，联立解得 x=3，y=2或 x=-3，y=-2。
19
14．【答案】
17
2sin 2α 3sinα cosα cos2α 2 tan2α 3tanα 1 19
【解析】原式= = = ．
sin 2α + cos2α tan2α +1 17
6 2
15．【答案】 +
2 2
π π π π π π π 6 2
【解析】原式= sin + cos + 2sin cos = 2 sin( + ) + sin = + ．
12 12 8 8 12 4 4 2 2
3 6
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16．【答案】- 3
π
【解析】将函数 f (x) = sin(ωx + ) (ω∈R且ω≠0)的图象上所有点的横坐标变为原来的 2
6
ω π
y = sin( x + )
倍，且纵坐标保持不变，所得图象的函数为 ，又 g(x)＝cos(x+φ)(0＜φ＜π)与
2 6
ω π π ω π π ω ω π
y = sin( x + ) = cos( x ) = cos( x) = cos( x2 )为同一函数，
2 6 2 2 6 3 2 2 3
ω π π
∴ = ±1，当ω = 2时， = ，当ω = 2时， = + 2kπ ,k∈Z，舍去，
2 3 3
π 2π π π π
∴ tan( ω + ) = tan( + ) = tan( ) = tan = 3
．
3 3 3 3 3
四、解答题（本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．【解析】
（1）若 z是纯虚数，
m2 3m + 2 = 0
则 ，解得 m＝1． .....................5分2
2m 3m 2 ≠ 0
（2）z在复平面内对应的点在第四象限，
m2 3m + 2 > 0 1
则 ，解得 ＜m＜1，
2m
2 3m 2 < 0 2
1
故 m的取值范围为 ( ,1)．.......................10分
2
18．【解析】
1 2π π
由 A是锐角，且 cos2A= ，得 2A= ，A= . .......................2分
2 3 3
1 b2 + c2 a2 m
（1） mbc=b2 + c2 a2可变形为 = . ......................................4分
2 2bc 4
b2 + c2 a2 m m 1
依据余弦定理，可知 cosA= = ，即 = ，
2bc 4 4 2
所以 m=2. ........................................6分
π 3 2 2 2 2
（2）因为 sinA=sin = ，所以 bc=b + c a ≥ 2bc a ，当且仅当 b=c时等号成立.
3 2
........................8分
2
即 bc≤ a . ......................................9分
bc a2 3
故 S ABC = sin A ≤ × = 3 3 . .............................11分△
2 2 2
即所求△ABC面积的最大值是3 3 ......................12分
4 6
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19．【解析】
3 2 2 3 2 1 3 3
（1） f (x) = (cos x + sin x) + sin x + sin 2x
2 2 4 4
3 3(1 cos2x) 1 3 3
= + + sin 2x
2 4 4 4
3 1 1 π
= cos2x + sin 2x = sin(2x )，......................3分
4 4 2 3
2π
∴f (x)的最小正周期T = = π ，........................................4分
2
π π 3π 5π 11π
由 + 2kπ ≤ 2x ≤ + 2kπ ,k∈Z，得 + kπ ≤ x ≤ + kπ ,k∈Z，
2 3 2 12 12
5π 11π
∴f (x)的单调减区间为 + kπ , + kπ ，k∈Z；..........................6分 12 12
π π π 2π
（2）∵ x∈ 0, ，∴ 2x ∈ , ，.......................8分 2 3 3 3
π π 3
∴当 2x = 时，即 x＝0时，f (x)取最小值 ；........................10分
3 3 4
π π 5π 1
2x = 时，即 x = 时，f (x)取最大值 ．........................12分
3 2 12 2
20．【解析】
（1）因为摩天轮转一圈的时间是 28min，即周期 T＝28，
2π π
所以角速度ω＝ ＝ ， ...............................2分
28 14
因为摩天轮离地面最近为 128﹣114＝14米，摩天轮半径为 114÷2＝57米，
即摩天轮中心离地面的距离 14+57＝71米， ..................4分
π
所以 H(t) t＝71﹣57cos (0 ≤ t ≤ 28) . .............................6分
14
π
（2）由（1）知甲出发 t分钟后离地面的高度 H1(t)＝71﹣57cos t，
14
14 π 14
当 t≥ 时，乙离地面的高度为 H2(t)＝71﹣57cos[ (t﹣ )]，..................8分
3 14 3
设两人的高度差第一次达到最大时的时间为 t0，
π 14 π π π π
则 h＝H1(t0)﹣H2(t0)＝57cos[ (t0﹣ )]﹣57cos t0＝57cos( t0﹣ )﹣57cos t0
14 3 14 14 3 14
3 π 1 π π π
＝57[ sin( t0)﹣ cos( t0)]＝57sin( t0﹣ )=57，...................................10分
2 14 2 14 14 6
π π π 28
此时 t = ，即 t0＝ ，0
14 6 2 3
28
所以 t0＝ (min)时两人高度差第一次达到最大值，为 57米. ..................12分
3
5 6
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21．【解析】
π π π β π α π
1 < α < π，0 < β < < α < π， < β <（ ）因为 ，所以 ，
2 2 4 2 4 2 2
β 2 β 21
所以 sin α = 1 cos α = ， .................2分
2 2 7
α α 3
cos β = 1 sin2 β = ， .......................4分
2 2 2
α+β β α
cos = cos α β
所以
2 2 2
β α β α
= cos α cos β + sin α sin β
2 2 2 2
2 7 3 21 1 21
= × + × = . ..............................6分
7 2 7 2 14
π α+β 3π α+β 21
（2）因为 < < ，cos = ，
4 2 4 2 14
α+β 2 α+β 5 7
所以 sin = 1 cos = ， .........................8分
2 2 14
α+β
α+β sin 5 3
tan = 2α+β = 所以 ， ...............................10分2 cos 3
2
α+β 5 3
2tan 2× 3 5 3
tan(α + β) = 2
所以 2α+β
= 2 = . ..................12分
1 tan 5 3 11
2 1
3
22．【解析】
2
（1）f(x) = 1 = cos x + sinx( 3sinx + 4cosx) 1
= 2sin2x + cos2x 3sin2
π
x 1 = 2sin2x + 2cos2x 2 = 2 2sin 2x + 2
，......2分
4
π 2 π π 3π
f(x) = 0 + 2kπ，k ∈ !令 ，得 sin 2x + = ， ∴ 2x + = + 2kπ或 ，...........4分
4 2 4 4 4
π
∴ x = kπ + kπ，k ∈ !， ∴ f(x) [0,π ] π ,π或 在 上零点为 0, . ...................6分
4 4
π π π
2 g(x) = 2f x + = 4 2sin 2 x + + 4 = 4 2cos2x 4（ ）令 ，..............8分
8 8 4
π π
g(x) ，0 0，在 单调递增，在 单调递减，
6 3
π π
g(0) = 4 2 4，g = 2 2 4，g = 2 2 4
且 ，...............10分
6 3
∴ a
若 g(x)= 有 2个不等实根，
2
a
2 2 4 ≤ < 4 2 4
则
2
∴ 4 2 8 ≤ a < 8 2 8 . .........................................12分
6 6
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高一年级数学试题
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如
需改动，用擦皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.)
1
L已知复数：1一ti(i为壶数单位)，则：i
A
吗
D.2
2.若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是
A.2
B.3
C.4
D.5
3.在平面直角坐标系x0y中，角α的顶点为0，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相
交于点，，则m受+2
A-号
B
c
35
4.函数fx)=Asin(ox+p)+k(A>0,w>0,lpl<牙)的部分图象如图所示，则
11
12
Afx)=2sin(2x+君)+1
B.f(x)=2sin(2x+)-1
Cf)=2in(x+)+1
D.x)=2sm(x+号)-1
高一年级数学试题第1页（共4页）
5、在平行四边形ABCD中，=号BC,亦=}店若=mD示+n店，则m-n=
A号
B
c-8
D-8
6在△A5G中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,且c=8,B=君若△ABC有两解，则b的值可
以是
A.4
B.6
C.8
D.10
7.已知向量a,b满足a=1,lb1=2,a-b=(5,2),则|a+bl=
A.2②
B.√/1o
C.1
D.25
&已知ma+）-号则(2x+君)
器
C.25
D.-25
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.)
9.下列选项中，正确的是
A若m(80°+a)=号，则m(10°-e)=-号
B.√1-2sinl0cos10°=cos10°-sinl0°
C.在任意斜△ABC中tanAtanBtanC=tand+tanB+tanC
D.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=bcosC+ccosB
10已知8e0)m9+-7则
A.0e(受，)
Bm0-5
C.om
D.inc
11.已知函数fx)=sin2x+5cos2x+l,则
A.函数x)的最小正周期为π
B将函数(x)的图象向右平移号个单位后的图象关于y轴对称
C函数)的一个对称中心为-君0
D.函数x)在区间（君，号）上单调递减
12.已知函数)=m(ar+p)(u>0.0
--智)小哥)=八沿).若)在(0，)上有且仅有7个零点，则下列说法正确的是
高一年城数学诚题第2页（共4页）