河南省驻马店高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

驻马店高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学学科试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．-1
3．已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．或
4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．55 B．49 C．43 D．37
5．设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）
A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸
7．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）．
9．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和6个白球，从袋中一次抓出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球”，则（ ）
A．事件A与事件B是对立事件 B．事件A与事件B是相互独立事件
C． D．
10．函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．在平行六面体中，已知，°，则下列说法错误的是（ ）
A．E为中点，F为中点，则DE与BF为异面直线
B．线段的长度为
C．M为中点，则
D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为
12．已知直线与椭圆交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，使得 B．当时，，
C．当时，，使得 D．当时，，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知直线与曲线相切，则m的值为______．
14．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______．（结果用分数表示）
附参考数据：；；
．
15．函数的最小值为______．
16．已知函数，，数列满足，，给出下列两个条件：①函数是递减函数；②数列是递减数列．试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数的解析式：______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数，．
（1）若为的极小值点，求a的值；
（2）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值．
18．已知数列，满足：，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若______（从下列三个条件中任选一个），求数列的前n项和．
①；②；③．
19．已知四棱锥中，，，，，，．
（1）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；
（2）线段PB上是否存在一点M，使得？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
编号x 1 2 3 4 5
企业总数量y（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224
（1）根据表中数据判断，与（其中e＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）
附：线性回归方程中，，
参考数据：，，，，
（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
21．过点的动直线l与双曲线交于，M，N两点，当l与x轴平行时，，当l与y轴平行时，．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）点P是直线上一定点，设直线，PM，PN的斜率分别为，，若为定值，求点P的坐标．
22．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有两个不同的实数根，求a的取值范围．
数学期中考试卷参考答案
1．C
【详解】试题分析：由数列为等比数列，且，，成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式．
2．D
【分析】利用二项展开式写出，由展开式可知需要能被15整除，结合选项可得答案．
【详解】
，
75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知a的一个可能取值是-1，其他选项均不符合题意，
故选：D
3．A
【分析】根据题意结合两直线平行求得，再代入两平行线间距离公式运算求解．
【详解】若直线与直线平行，
则，解得或，
当时，直线与直线平行；
当时，直线与直线平行；
综上所述：若直线与直线平行，则或．
∵，则，此时直线，直线，
故直线、之间的距离．
故选：A．
4．A
【分析】由条件写出通项公式，即可求解．
【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么
，有．
故选：A
5．B
【分析】根据几何图形，结合抛物线的定义的性质，即可判断．
【详解】依题意，，，，
又，，则为等边三角形，有，
故选：B
6．C
【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．
【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
∵积水深9寸，∴水面半径为寸，
则盆中水的体积为（立方寸）
∴平地降雨量等于（寸）
故选：C．
7．C
【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答．
【详解】令，，因为，则
，
因此函数在上单调递减，则
，解得，
所以的解集为．
故选：C
8．B
【解析】由已知数列的特点依次求出，，，
的值，发现这些数依次为1，-1,1，-1,1，-1 ，进而可求出答案
【详解】由题设可知，斐波那契数列为：1，1，2，3，5，8……
其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：
，
，
，
，
，
则
．
故选：B．
9．ACD（答案需修改）
【分析】由对立事件的定义可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；由古典概型的概率公式可得出关于n的等式，解出n的值，可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项．
【详解】对于A选项，由对立事件的定义可知，事件A、B互为对立事件，A对；
对于B选项，，，，显然
，故B不正确；
对于C，，，由，可得，
即，整理可得，因为，解得，
故C正确；
对于D，由C知，，，故D正确，
故选：ACD．
10．BC
【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项．
【详解】由函数解析式可知，a是不变号零点，b是变号零点，
A．由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误；
B．由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；
C．由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；
D．由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误．
故选：BC
11．ABD
【分析】利用棱台的定义判断A，利用空间向量的数量积运算律求解B，利用线面平行的判定定理判断C，利用线面角的定义判断D．
【详解】
对于A，如图，连接EF，DE，BF，E为中点，F为中点，
由图可知，，，且
，，
设，，则
，H重合，
即DE与BF相交，故A错误；
对于B，因为
，°，
所以，
，
所以，
所以，故B错误；
因为M为中点，连接AC交B于点O，
再连接OM，BM，DM，
则在中，，
，，
所以，C正确；
对于D：在中，
四边形ABCD是菱形，则，
又，
所以，，，，
所以，
又因为，
所以，
过点作于点P，
，
，所以
所以直线与平面ABCD所成角为，
，
所以，
所以，所以，故D错误；
故选：ABD．
12．BCD
【分析】对于A，将直线l的方程与椭圆方程联立，求出的取值范围，可求得的取值范围，可判断A选项；求出线段AB中点的轨迹方程，可求得的取值范围，可判断B选项；将直线l的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合可求得的取值范围，可判断C选项；求出线段AB中点的轨迹方程，可求得的最小值，可判断D选项．
【详解】在椭圆C中，，，
，
由题意可得，上焦点记为，
对于A选项，设点、，
联立可得
，
，
由韦达定理可得，，
，
所以，，故A错误；
对于B选项，设线段AB的中点为，
由题意可得，两式作差可得，
因为直线AB的斜率存在，则，所以，
，
整理可得，又因为，消去k可得，
其中，
所以，
，
所以，
，故B正确；
对于C选项，当k=1时，直线l的方程为，即
联立可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
，
同理，所以，
，
因为，所以，当时，，使得
，故C正确；
对于D选项，设线段AB的中点为，
由B选项可知，，即，即，
由可得，故点M的横坐标的取值范围是
，
而点F到直线的距离为，
由可得，当且仅当点
时，
取最小值，故D正确．
故选：BCD
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
13．1
【分析】求出函数的导数，设切点为，利用导数的几何意义求出切点坐标，代入切线方程，即可求得答案．
【详解】由题意，可得，
直线与曲线相切，设切点为，
则，∴，则，
即切点为，将该点坐标代入，可得，
故答案为：1
14．
【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出
的值．
【详解】由题意可知，，事件AB为，
，，
所以，
，
，
由条件概率公式得，故答案为．
【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题．
15．0
【分析】求出函数定义域，对x分段去绝对值，当时，分析函数的单调性；当时，利用导数分析函数的单调性并求最小值，即可得到的最小值．
【详解】解：函数的定义域为．
当时，，此时函数在上为减函数，
当时，，
则，所以在上单调递增，
∵在上是连续函数，
∴当时，单调递减，当时，单调递增．
∴当时取得最小值为．
故答案为：0．
16．（答案不唯一，均可）
【分析】若函数是递减函数，恒成立，由此可得不是递减函数的条件为，后结合任意，函数，，可得满足题意的m的范围．
【详解】若函数是递减函数，则在恒成立．
则．
则若在上不是递减函数，可得；
数列是递减数列，等价于对任意，函数，
，
又，，则在上单调递减．
则可使m满足：，则取即可满足②，不满足①．
故答案为：（答案不唯一，均可）
17．（1）
（2）8
【分析】（1）求导，根据导数判断极值情况，进而确定参数值；
（2）求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而确定参数值及最值情况．
【详解】（1），
则，
∵为的极小值点，
∴，解得或2，
当时，，
令，解得，
x -1 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时是的极小值点；
当时，，
令，解得或，
x 1 3
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时是的极大值点，不成立；
所以；
（2）∵在上，
∴，
∴在上，
∴，
又，
∴，
解得，，
∴，，
令，解得或，
x 0 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∵，，，，
所以函数在区间上的最大值为8．
18．（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：因为，，
所以，
所以，
又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列；
（2）由（1）知，
又因为，
所以数列为常数列．
若选条件①或③，均可得，
所以，所以．
若选②，因为，，所以，又因为，
所以，，所以，所以，所以．
19．（1）
（2）不存在点M，理由见解析
【分析】（1）求出相关线段的长，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面PBD的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；
（2）假设存在满足条件的点M，表示出其坐标，利用向量的垂直列出方程，根据方程解的情况可得出结论．
【详解】（1）因为，，所以．
又因为，，所以，．
因为，，，
所以，．又，所以．
以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面PBD的法向量为，
则，即，得，
令，可得平面PBD的一个法向量为．
设直线PC与平面PBD所成的角为，，
则，
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为
另解：
如图，连接AC．因为，，
所以．
因为，，所以，．
因为，所以．
因为，，，
所以，，．
因为，所以，
．
所以，
．
设点C到平面PBD的距离为h，
由，得，即
，解得．
设直线PC与平面PBD所成的角为，，则．
所以直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
（2）不存在点M，理由如下：
假设存在满足条件的点M（如图）．
可设，，所以，
所以．
又由（1）知为平面PBD的一个法向量，所以，
即，无解．
所以线段PB上不存在满足条件的点M．
另解：
不存在点M，理由如下：
假设存在满足条件的点M，
由，，，得，且，
因为，，所以．
因为，且，，，
所以．又，所以．
若存在满足条件的点M，则点M必与点B重合．
又BC与BD不垂直，所以线段PB上不存在满足条件的点M．
20．（1）适宜
（2）
（3）甲公司获得“优胜公司”的概率最大
【分析】（1）根据增加速度逐渐变快即可得解；
（2）对两边取自然对数，得，转化为线性相关，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程即可；
（3）对于首场比赛的选择分A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论．
【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，
所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；
（2）对两边取自然对数，得，
令，，，得，
由于，，，，
则，
，
∴z关于x的回归直线方程为，
则y关于x 的回归方程为；
（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：
A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，
则甲公司获胜的概率分别是
，
，
，
由于，
甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．
21．（1）
（2）
【分析】（1）根据l与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标，代入双曲线方程即可求得结果；
（2）方法一：由三点共线可整理得到，代入双曲线方程可整理得到，结合两点连线斜率公式可化简得到，根据为常数可构造方程求得，进而得到P点坐标，验证可知符合题意；方法二：设，与双曲线方程联立可得一元二次方程，根据该方程的根可化简得到，同理可得，由此可化简得到，由为常数可构造方程求得P点坐标，验证可知当直线MN斜率为0和斜率不存在时依然满足题意，由此可得结论．
【详解】（1）由题意可知：双曲线过点，，
将其代入方程可得：，解得：，
∴双曲线E的标准方程为：．
（2）方法一：设，，
∵点与M，N三点共线，∴，
∴（其中，），∴，
∴，又，
整理可得：，
当时，，，不合题意；
当时，由得：，
设，则，
∴
，
若为定值，则根据约分可得：且，
解得：；
当时，，此时；
∴当时，为定值．
方法二：设，，，直线，
由得：，
∵，为方程的两根，
∴，
则，
由得：，
由可得：，
同理可得：，
则
，
若为定值，则必有，
解得：或或，
又点P在直线上，∴P坐标为；
当直线MN斜率为0时，M，N坐标为，若，
此时；
当直线MN斜率不存在时，M，N坐标为，若，
此时；
综上所述：当时，为定值．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线中的定点定值问题的求解，本题求解的基本思路是能够利用直线与双曲线相交的位置关系确定两交点横纵坐标所满足的等量关系，进而通过等量关系化简所求的，根据为常数来构造方程求得定点的坐标．
22．（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）对求导，分类讨论和时的正负，即可得出的单调性；
（2）解法一：“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”．对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；解法二：由方程得，转化为与的图象有两个交点，对求导，得出的单调性和最值即可得出答案．
【详解】（1）由条件知，，
当时，在上恒成立，所以在单调递增．
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）解法一：由方程得，“方程有两个不同的实数根”等价于“函数有两个零点”．
，．
①当时，，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
②当时，由得，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减．
（ⅰ）若，则，最多只有一个零点；
（ⅱ）若，因为，且，，所以在区间内有一个零点．
令函数，则，．
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
所以，故．
所以，又，
所以在区间内有一个零点．
综上可知：当时，有两个零点，即方程有两个不同的实数根，故a的取值范围为．
解法二：由方程得．
设函数，则，．
令，得，设，
则当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值也就是最大值为，
且当，x趋近于0时，趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，，且趋近于0．
方程有两个不同的实数根，转化为直线与的图象有两个交点，
结合函数图象可知 a 的取值范围是．