高中数学知识要点.doc[上学期]
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高中数学知识要点
高一上数学知识要点
第一章 集合与简易逻辑
第一节：集合：1、集合的基本概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，如果a是集合A的元素，就说a属于A记作a∈A，如果a不是集合A的元素就说a不属于A，记作aA或aA。
2、集合中元素的三个性质：确定性，互异性，无序性。常称此为集合的三要素。
3、常用的数集的符号：（1）自然数集（即非负整数集）：N，（2）正整数集：N﹡，或N，（3）整数集合：Z，（4）有理数集：Q，（5）实数集：R。
4、不含任何元素的集合叫空集，记作：, 只含一个元素的集合叫做单元素集。
5、集合的分类：根据集合中元素的多少分为无限集，有限集，空集。
6、集合的表示方法：（1）列举法：在｛｝里将元素一一列出。（2）描述法：常有两种方式：如｛四边形｝＝｛x|x是四边形｝注：下面表示不妥｛实数集｝、｛所有实数｝（3）图示法（韦恩法）：用封闭的曲线表示。
第二节：子集，全集，补集：1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB（或说A包含于B），也可记为BA，此时说A是B的子集，任何一个集合是它本身的一个子集，即AA。规定空集是任何集合的子集，即A，如果AB，且BA，则A＝B。如果AB且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作
空集是任何非空集合的真子集。
2、含n个元素的集合A的子集有2个，非空子集有2－1个，非空真子集有2－2个。
3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合称为全集，通常用U表示。4、补集（也叫余集）：设S是一个集合，A是S的一个子集，则由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作CA＝
第三节：交集、并集：1、交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B。即A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B。即A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝
3、重要性质：（1）A∪A＝A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∪ ＝A， A∩＝ ，A∪＝U
（2）A∩BA，A∩BB，AA∪B，BA∪B，（3）（A∩B）＝（A）∪（B）
，（A∪B）＝（A）∩（B）（4）A∩B＝AAB，A∪B＝A BA
第四节：含绝对值不等式的解法：1、三个结论（1）|x|＜a的解集为｛x|－a＜x＜a
(2) |x|＞a的解集为｛x|x＞a或x＜-a(3)0＜a＜|x|＜b的解集为｛x|－b＜x＜-a,a＜x＜b
2、去掉多个绝对值符号的常用方法有：（1）分段讨论法（2）利用绝对值的定义（3）数形结合或利用公式－||a|-|b||≤|a|-|b|≤|ab|≤|a|+|b|，
第五节：不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax﹥b的形式，若a﹥0,则x﹥;若a﹤0,则x﹤;
2、一元二次不等式的解法：设a﹥0,x,x方程ax+bx+c=0的两实根，且x﹤x，一元二次不等式的解集如下表：
判别式的符号 ax+bx+c﹥0 ax+bx+c0 ax+bx+c﹤0 ax+bx+c0
△﹥0 ｛x︳x﹤x或x﹥ x｝ ｛x︳ x x或 x x｝ ｛x︳ x﹤ x﹤ x｝ ｛x︳ x x x｝
△＝0 ｛x︳ x≠-｝ R ｛x︳ x=-｝
△﹤0 R R
3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。
4、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。
5、 对含字母的不等式要注意进行讨论，而且讨论要合理，分类要恰当，层次要清楚。
第六节：逻辑联结词：1、逻辑联结词与命题、命题的分类：“或”“且”“非”这些词叫逻辑联结词。判断一件事情的语句叫命题。不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
2、复合命题的形式及真值表：（1）“非P”的复合命题的真假与命题“P”的真假相反。（2）“P且Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为真时才为真，否则为假，（3）“P或Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为假时才为假，否则为真。
第七节：四种命题：1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用﹁p或﹁q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q，（2）逆命题：若q则p，（3）否命题：若﹁p 则﹁q ，（4）逆否命题：若﹁q 则﹁p，
2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。
3、四种命题的相互关系：
4、反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。用反证法证题的步骤是：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立，（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知或学过的定理、公理等相矛盾的结论。（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立。
常见情况的反设：
原结论 是（一定是） 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多有一个 ＝ 存在
反设 不是（一定不是） 不都是 ≤（≥） 一个也没有（都不是） 至少有2个 ≠ 不存在
反设就相当于添加了一个已知条件，因此更便于推理论证。
5、要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。
第八节：充分条件与必要条件：1、一般地，如果已知pq,则称p是q的充分条件，q是p的必要条件，p的一个必要条件是q,q的一个充分条件是P。
2、如果既有pq又有qp，记作pq,这时p是q的充分必要条件，简称为充要条件。
第二章函数
第一节：函数：1、映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B，
2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
3、映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个，（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的城市污染，那么，从A到B的f：A→B，叫做A到B的函数，y=f(x),其中x∈A,y∈B,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合CB
5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
6、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f(x)的定义域是x∈M,g(x) 的定义域是x∈N，求y=f[g(x)]的定义域时，则只需求满足的x的集合。设y=f[g(x)]的定义域为P，则PN。
7、求函数值域的方法：（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如的函数。（2）利用函数的图象即数形结合的方法。（3）利用均值不等式，（4）利用判别式，（5）利用换元法（如三角换元），（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式，（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
第二节：函数的表示方法：1、函数的表示方法：（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系式。（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
2、分段函数在其定义域的不同子集上，其对应关系分别用几个不同的式子来表示，这种表示形式的函数叫做分段函数。
3、求函数解析式的常用方法有：（1）待定系数法：如果已知一个函数的类型如一次函数：可设y=kx+b，二次函数：可设y=ax+bx+c。（2）换元法：如已知f(2x+1)=4x+1，求f(x)的解析式？
（3）替换后解方程组。
第三节：函数的单调性：1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x,x∈D,当x f(x)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。
2、判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法，（1）定义法：其步骤是：1）任取x，x∈D，且x3、常见函数的单调性：
（1） 一次函数y=kx+b（k≠0） 1）当k>0时，f(x)在R上是增函数。2）当k<0时，f(x)在R上是减函数。
（2） 二次函数y=ax+bx+c 1）当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－）上是减函数，在[－，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－）上是增函数，在[－，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y= 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
（4） 形如,增区间为，
减区间为图象如右：
4、复合函数的单调性：设，若内外两函数的单调性相同，则在x的区间内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则在x的区间内单调递减。求复合函数的单调区间要特别注意x的取值范围。f(x)单调时，－f(x)一定单调且与f(x)的单调性相反。若f(x)大于0，则与f(x)的单调性相同，与f(x)的单调性相反。特别注意条件是f(x)大于0，否则不一定成立。
第四节，反函数：1、定义：设式子y=f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=(y),如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=(y)就表示y是x的函数，这样的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f(y),即x=(y)＝f(y)，一般对调x=f(y)中的字母x,y,把它改写成y =f(x)
2、求反函数的步骤是：（1）将y=f(x)看成方程，解出x=f(y)（2）将x,y互换得y =f(x)
（3）写出反函数的定义域，（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）（4）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
3、反函数的一些性质：（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性，（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数，（3）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f(x)的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f(x)的图象与其反函数x=(y)＝f(y)的图象相同。（对称性）（4）函数y=f(x)的反函数是y =f(x)。函数y= f(x )的反函数是y = f(x)，称为互反性，但要特别注意：
，（5）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f(x)的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如
（6）还原性：
第五节：指数：1、n次方根的定义：如果一个数的n次方a(n>1,n∈N)那么这个数叫做a的n次方根，即x=a,则x叫做a的n次方根(n>1,n∈N)。
2、n次方根的性质：（1）0的n次方根是0。即＝0(n>1,n∈N)，（2）＝a(n∈N)
(3)当n为奇数时，＝a, 当n为偶数时, ＝|a|
3、分数指数幂的定义：（1）
（2），（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
4、幂的运算性质：（1）
（3），若a>0,P是一个无理数，则a表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。
第六节：指数函数：1、定义：形如y=a（a>0,且a≠1）的函数叫做指数函数。
2、指数函数y=a（a>0,且a≠1）的图象和性质：
a>1 0图象
性质 （1） 定义域：R 值域： （0，＋∞）
（2） 都过点 （0,1） （1，a）
（3）
（4） 在R上是增函数 在R上是减函数
3、比较两个幂的大小：（1）四种基本情况：1）同底且大于1，指数大的幂大。2）同底且小于1，指数大的幂小。 3）同指数且大于0，底大幂大，即底大图高。4）同指数且小于0，底大幂小，即底大图低。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。
第7节 对数：1、对数的定义：如果，那么b叫做以a为底N的对数，记做，由定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做。以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数。记做。
2、对数的运算性质：
3、对数的恒等式：
第八节：对数函数：1、定义：形如y=logx (a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。
2、对数函数的图象与性质：
a>1 0图象
性质 （1） 定义域：（0，＋∞），值域为R
（2） 过点（1,0）与（a,1）
（3） logx logx
（4） 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
3、对数函数y=logx (a>0,a≠1)与指数函数y=a (a>0,a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x对称。
4、对数有关的大小比较：（1）类似指数函数分为四类： 1）同底且大于1，真数大的对数大。2）同底且小于1，真数大的对数小。 3）同真数且大于1，在x轴同侧时，底大图低，（这一点与指数函数相反）4）同真数且小于1，在x轴同侧时，底大图高。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。
第九节：函数的应用：1、数学应用题的文字叙述长，数量关系分散而难以把握，因此，在解答数学应用题时要把握好两点：（1）认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象，概括，将实际问题转化为相应的数学问题，（2）要合理选择变量，设定变量后，寻找各量之间的内存联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数，方程等数学模型，从而使实际问题获得解决。
2、常见的函数模型有：（1）建立一次函数或二次函数模型，（2）建立分段函数模型。（3）建立指数函数模型。（4）建立型。
第三章数列
第一节：数列的有关概念：1、定义：按一定次序排成的一列数，记作：｛a｝, a表示这个数列的第n项。如果数列｛a｝的第n项a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式，从函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2、并不是每个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式也可能有多种形式。
3、数列的图象是一群孤立的点。
4、按数列的项是有限还是无限，可将数列分为有穷数列和无穷数列，按数列的项与项之间的关系，可将数列分为递增数列，递减数列，摆动数列，常数列等。
5、如果已知数列｛a｝的第一项（或前几项），且任一项a与它的前一项a(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式。递推公式是给出数列的一种方法。
6、求数列通项公式的几种常用方法：（1）观察法：通过观察数列的某些项，找出数列的项与项数之间的等量关系，求出数列的任一项。（2）公式法：对于数列｛a｝，记S＝a+a+…+a，则称S为数列｛a｝的前n项的和，（3）递推法：用递推公式求a。
（4）逐差法：从某些数列的前面若干项，逐次求出它们的差数列（后项减前项），最后得到一个等差或等比数列，再由此倒推回去求出原数列的通项公式。
第二节：等差数列：1、等差数列的定义：a-a=d(常数)， n∈N*.
2、等数列的通项公式：a=a+(n-1)d, n∈N*, a=dn+ a-d,d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d. a=kn+b(k≠0 ) ｛a｝为等差数列，反之不能。
3、等差中项：若a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b。
4、等差数列的性质：（1）若公差d>0，则为递增等差数列，若公差d<0，则为递减等差数列，
若公差d＝0，则为常数列。
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项相等，并且等于首末两项之和。
（3）m, n∈N*，则a＝a+(m-n)d.
(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则a+a=a+a，其中a，a，a，a是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,有a+a=2a。
（5）若数列｛a｝,｛b｝均是等差数列，则数列｛ma+kb｝仍为等差数列，其中m,k均为常数。5、证明一个数列是等差数列，只需证明a-a是一个与n无关的常数即可。
第三节：等差数列的前n项和：1、等差数列的前n项和的公式：
当d≠0时，是关于n的二次函数且常数项为0，
｛a ｝为等差数列，反之不能。
2、等差数列中，已知5个 元素：a ，a ，n,d, S 中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…，偶数个成等差，可设为…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
3、等差数列的前n项和的有关性质：（1） ，…成等差数列。
（2）1)｛a ｝有2k项时， ＝kd,
2)｛a ｝有2k+1项时，S =(k+1)a =(k+1)a , S =k a =k a , S ：S =(k+1)：k
S －S ＝a = a
4、等差数列｛a ｝中，（1）若a =q,a =p，则列方程组可得：d=－1, a =p+q-1,a =0,S =-(p+q)
(2)当S ＝S 时（p≠q），数形结合分析可得S 中S 最大，S ＝0。此时公差d<0.
5、几个重要的求和的公式：（1）1 ＋2 ＋3 ＋4 …＋n ＝ n(n+1)(2n+1)
(2) 1 +2 +3 +…＋n =
(3)1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)
(4)
第四节：等比数列：1、等差数列的定义：＝q（常数），其中n∈N*,a≠0,q≠0,
2、等比数列的通项公式：a=aq, n∈N*
3、等比中项：若数a,G,b成等比数列，那么就称G为a与b的等比中项，从而有G＝ab或G＝
4、等比数列的性质：在等比数列｛a｝中，有（1）若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*,则aa=aa,当m+n=2p时，aa=a（2）若m,n,∈N*，则a = aq,(3)若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列。（4）下标成等差数列的项构成等比数列。（5）证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或a=aa）（6）1）若a>0，q>1，则｛a｝为递增数列,2) a<0,q>1, 则｛a｝为递减数列,3) a>0,05、递推公式形如：为常数的数列都可以用待定系数法转化为等比数列且公比为k。
第五节：等比数列的前n项之和：1、等比数列的前n项和公式：
2、已知a,q,n, a,S中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数。公比为正时可如此设。
3、q≠1时，（a≠0,b≠0,a+b=0）
4、一个等比数列有3n项，若前n项之和为S，中间n项之和为S，最后n项之和为S，试判定S，S，S是否为等比数列？q≠-1时为等比数列，
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第四章三角函数的图象与性质
第一节：角的概念的推广：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角与轴线角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角。第一、二、三、四象限角分别可表示为：
角终边在x轴的非负半轴上时可表示为：＝360°k,k∈Z, 角终边在y轴的非负半轴上时可表示为：＝360°k+90°,k∈Z,在x轴的非正方向上，在y轴的非正方向上可类似表示。
3、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表成角与整数个周角的和。任意两个终边相同的角之差必是360°的整数倍。相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。
4、当、的终边关于x轴对称时，＝360°k－，当、的终边关于y轴对称时，＝k360°+180°-，当、的终边关于原点对称时，＝360°k+180°+，当、的终边互相垂直时，＝360°k90°+。
5、已知是第几象限的角，如何确定所在象限的角的常用方法有二：（1）分类讨论法，先根据的范围用整数k把的范围表示出来，再对k分n种情况讨论。（2）几何法：把各象限均先n等分，再从x轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则原来是第几象限对应的标号即为的终边所在的区域。
第二节：弧度制：1、弧度及其相等的概念：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制。一般地：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。角的弧度数的绝对值（l表示圆心角所对的弧长，r表示圆的半径）
第三节：任意角的三角函数：1、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它与原点的距离是，那么
以上以角为自变量，比值为函数的六个函数统称为三角函数。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
2、设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y），过P点作x轴的垂线，生路垂足为M，过点A（1,0）作单位圆的切线，设它与角的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线。
即：sin=MP,cos=OM,tan=AT。如下图：
特别地，当角的终边在x轴上时，上弦线、正切线分别变成一个点，当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。
3、象限角的三角函数符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。
4、根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区间。
4、诱导公式（一）：第四节：第四节同角三角函数的基本关系式：
1、平方关系：
2、倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
3、商数关系：
2、角度制与弧度制的换算：
3、弧度制下的弧长与扇形面积计算公式：
4、用弧度制表示终边相同的角、象限角与轴线角：
注：在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现。如：是错误的。
第五节：正、余弦的诱导公式
一：知识要点：1、诱导公式：
（1）sin（180°+）=-sin,cos（180°+）=-cos,tan（180°+）=tan
(2)sin（-）=-sin,cos（-）=cos,tan（-）=-tan,
(3) sin（180°-）=sin,cos（180°-）=-cos,tan（180°-）=-tan,
(4)sin（360°-）=-sin ,cos（360°-）=cos ,tan（360°-）=-tan,
(5)sin（90°-）=cos,cos（90°-）= sin ,tan（90°-）=cot,
(6) sin（90°+）=cos, cos（90°+）= -sin , tan（90°+）= -cot ,
(7)sin（270°+）=-cos, cos（270°+）= sin , tan（270°+）= -cot ,
(8) sin（270°-）=-cos, cos（270°-）=- sin , tan（270°-）= cot ,
2、规律：奇变偶不变，符号看象限。即形如（2k+1）90°，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°，则函数名称不变。
把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,,(2)转化为锐角三角函数。
3、特殊角的三角函数值：（见下表）
30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°
sin 0 1 0 -1
cos 1 0 -1 0
tan 1 0 0 2- 2+
cot 1 0 0 2+ 2-
30°,45°,60°的三角函数值的记忆口诀：正弦、余弦的分母均为2，正弦分子1,2，3。余弦分子3,2，1算术平方根。正切、余切含3不含2，两头互倒中为1，正切递增余切减。
第六节：两角和与差的正弦、余弦、正切：1、两点间的距离公式：平面内两点间的距离公式：
2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
对第三式的的值使等式两边有意义。
3、化一公式：
4、注意公式的变形应用如：
5、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式如：
第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。
第七节：二倍角的正弦、余弦、正切
一：知识要点：1、二倍角公式：
2、降幂公式与升幂公式：
3、半角公式：
4、和差化积与积化和差：
5、万能公式：
第八节：正弦函数、余弦函数的图象和性质：1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，如下图：
作图方法：常用五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。常选取横坐标分别为0，的五点。
2、正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是，对y=sinx,当时，y取最大值1，当时，y取最小值－1，对y=cosx,当时，y取最大值1，当时，y取最小值－1。
3、周期性：定义：对于函数y=f（x）,如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。对于周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数就叫做y=f（x）的最小正周期。
y=sinx,y=cosx的最小正周期都是2，
函数y=Asin的最小正周期都是
4、奇偶性与对称性：定义：如果对于函数f（x）的定义域内的每个值x,都有f（-x）=－f（x），则称f（x）为奇函数。如果对于函数f（x）的定义域内的每个值x,都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数的图象在关于原点的对称区间上的单调性相反。
正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是，对称轴是直线。
余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是，对称轴是直线。
5、单调性：上单调递增，
在单调递减。
y=cosx在上单调递减，在上单调递增。
第九节：函数的图象：1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T＝，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。
2、用“五点法”作函数的简图主要通过变量代换，设X＝由X取0，
来找出相应的x的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。
3、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系：
把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）， y=sin（x+）
把y=sin（x+）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的， y=sin（x+）
把y=sin（x+）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，
把的图象横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0），
+K
若由y=sin（x）得到y=sin（x+）的图象，则向左或向右平移个单位。
第十节：正切函数的图象和性质：1、正切函数的图象：正切函数的图象叫正切曲线。
2、正切函数的性质：（1）定义域：，。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值。（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期。（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是，无对称轴。
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
3、余切函数y=cotx的图象见上右图。
4、余切函数的性质：（1）定义域：，（2）值域是R，（3）周期性：最小正周期是，（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是，无对称轴。（5）单调性：在开区间内都是减函数
第十一节：已知三角函数值求角：1、反三角函数的定义：（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina,即x=arcsina,其中，且a=sinx.注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在内（-1≤a≤1）
（2）反余弦：在闭区间上，符合条件的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa,即x=arccosa,其中x.
(3)反正切：在开区间（－，）内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana,即x=arctana,其中
2、反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a, （-1≤a≤1）,cos（arccosa）=0, （-1≤a≤1）,
tan（arctana）=a,(2)arcsin（-a）=-arcsina,arccos（-a）=-arccosa,arctan（-a）=-arctana,
(3)arcsina+arccosa=,(4) arc sin （sinx）=x,只有当x在内成立。同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间上成立。
3、已知三角函数值求角的步骤：（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上），（2）若函数值为正数，先求出对应锐角，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角，（3）根据角所在象限，由诱导公式得出0－2间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是－，如果适合条件的角在第三象限，则它是＋，在第四象限，则它是2－，如果是－2到0的角，在第四象限时为－，在第三象限为－＋，在第二象限为－－，（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。也可参考下面的三角方程的解集的表示。
Sinx=a,x=,
,
tanx=a,
第五章平面向量
第一节：向量有关概念：1、向量：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，有向线段的长度叫向量的模，注意不能说向量就是有向线段。长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的。长度为一个单位长度的向量叫做单位向量，常用表示。
2、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
3、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后，（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等。（3）坐标表示法（以后将学）
4、共线向量（也叫平行向量）：方向相同或相反的非零向量，平行于，记作：∥，
规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移。
5、相反向量；长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
第二节：向量的加法和减法：
1、向量加法：设
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
2、向量的减法：向量与向量的相反向量的和，叫做向量与向量的差，记作：－。
作向量减法有“三角形法则”：设由减向量和终点指向被减向量和终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
3、向量加减法的运算律：（1）交换律：
(2)结合律：
第三节：实数与向量的积：1、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0
2、实数与向量积的运算律：（1）结合律，（2）分配律。
3、向量共线定理：与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得＝，
4、平面向量的基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量存在唯一的一对有序实数使成立，不共线向量，表示这一平面内所有向量的一组基底。
5、中点公式：若P为AB的中点，O为平面内任一点，则
第四节：平面向量的坐标运算：1、在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x,y）为向量的坐标，＝（x,y）叫做向量的坐标表示。有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数总量来解决。
如果向量的起点在原点那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
2、平面向量的坐标运算：设＝（x,y）, =（x,y）,
（1）向量的加减法运算：，
（2）实数与向量的积：
（3）若点A（x,y）,B（x,y）,则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
3、向量平行的坐标表示：
第五节：线段的定比分点：1、线段的定比分点：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使PP＝PP，叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点。当P点在线段 PP上时，>0，当P点在线段 PP的延长线上时，<－1，当P点在线段PP的延长线上时 －1<<0。
若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为
2、有向线段的定比分点的坐标公式：
设
在使用定比分点的坐标公式时，应明确（x,y）, （x,y）, （x,y）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。一般在计算中应根据题设，自行确定起点，分点和终点并根据这些点确定对应的定比。
3、当＝1时，就得到PP的中点公式：
4、三角形ABC的重心公式：
第六节：平面向量的数量积及运算律：
1、两个向量的夹角：对于非零向量，，作称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
2、平面向量和数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3、叫在上的投影。的几何意义是它等于的模与在上的投影的积。
4、向量数量积的性质：设两个非零向量，。
（5）当，同向时，＝，当与反向时，＝－，当为锐角时，为正且，不同向，≠，当为钝角时，为负且，不反向，≠－。
5、数量积的的运算律：已知向量实数，下面（1）（2）（3）分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。
第七节：平面向量数量积的坐标表示：
1、 平面向量数量积的坐标表示：非零向量，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。
2、 向量的长度和两点间的距离公式：
3、 两向量垂直的充要条件：
非零向量＝0
4、 两向量平行的充要条件：
第八节：平移：1、平移公式：将点P（x,y）,按平移至点P′（xˊ,yˊ）,
则，，叫平移向量。2、图象的平移：设函数y=f（x）的图象为C，将C上每一点均按平移，得一个新的图象C′，则C′对应的函数关系式为y-k=f（x-h）,即y=f（x-h）+k,
第九节：正弦定理，余弦定理：1、正弦定理：在三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，R为三角形ABC的外接圆的半径，则有，注意以下一些变式：
2、余弦定理：在三角形ABC中，有
3、其它公式：
（1） 射影公式：
（2） 三角形面积公式：
其中r为三角形ABC内切圆半径，R为外接圆的半径，
4、正弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。如已知a,b,A.（一）若A为钝角或直角，当b≥a时，则无解。当a≥b时，有只有一个解。（二）若A为锐角，结合下图理解。1）若a≥b或a=bsinA,则只有一个解。2）若bsinA＜a＜b,则有两解。3）若a＜bsinA,则无解。
也可根据a,b的关系及与1的大小关系来确定。
5、余弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两边和夹角，（2）已知三边。
高二上数学知识要点
第六章不等式
第一节：等式的基本性质：：1、不等式的性质 （1.）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：a＞b,c＞d ，则 a+c＞b+d, （a>b ,cb－d），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘但不能相除；异向不等式可以相除但不能相乘：a>b>0 c>d>0 (a>b, cbd（或）
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 a>b>0则a>b或 （4）ab>0,则a>b,(ab<0 则a>b)
2、 不等式大小比较的常用技巧 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）（3）分析法 （4）平方法 （5）分子（或分母）有理化 （6）利用函数的单调性 （7）判别式法 （8）寻找中间量或放缩法 (9)图象法
第二节：算术平均数与几何平均数：1、常用公式及变形：两个基本的不等式及其变
形：（1）
（2）
（3）
2、对于两个正数x,y，若已知xy,x+y,中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，
（2）x+y=S(定值)，那么当x=y时，积xy有最大值
（3）已知x+y=p,则x+y有最大值为
3、应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”
第3节 不等式的证明：1、比较法：（1）求差比较法：要证a﹥b,只要证a-b﹥0，（2）求商比较法：要证a﹥b，且b﹥0,只要证﹥1.比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
2、综合法：利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。
3、分析法：（1）从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因。（2）用分析法证明要注意格式：“若A成立，则B成立”的模式是：欲证B为真，只需证C为真，只需证D为真…最后得出A或已知的性质、公理、定理。从而得出B为真。也可使用简化叙述。即BCD…A或已知的性质、公理、定理。切不可使用BCD…A。
4、 放缩法（如利用真分数或假分数的性质、及利用均值不等式进行放缩）
5、 利用函数的单调性，
6、 反证法
7、 换元法
8、 判别式法
第4节 不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax﹥b的形式，若a﹥0,则x﹥;若a﹤0,则x﹤;
2、一元二次不等式的解法：设a﹥0,x,x方程ax+bx+c=0的两实根，且x﹤x，一元二次不等式的解集如下表：
判别式的符号 Y= ax+bx+c的图象 ax+bx+c﹥0 ax+bx+c0 ax+bx+c﹤0 ax+bx+c0
△﹥0 ｛x︳x﹤x或x﹥ x｝ ｛x︳ x x或 x x｝ ｛x︳ x﹤ x﹤ x｝ ｛x︳ x x x｝
△＝0 ｛x︳ x≠-｝ R ｛x︳ x=-｝
△﹤0 R R
3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。
6、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。
7、 绝对值不等式的解法：化为两种基本情形：（1）︳x︳﹤a的解集为-a﹤x﹤a,(2) ︳x︳﹥a的解集为x﹤-a,或x﹥a.复杂的绝对值不等式的解法详见下节。
8、 指数不等式：
9、 对数不等式：
10、 无理不等式：
第五节含有绝对值不等式：1、化为三种基本情形：（1）︳x︳﹤a的解集为-a﹤x﹤a,(2) ︳x︳﹥a的解集为x﹤-a,或x﹥a.（3）
2、和差的绝对值与绝对值的和差性质：
3、含多个绝对值符号的不等式可采用分段讨论法。
第七章直线和圆的方程
第一节直线的倾斜角和斜率：1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。（2）直线的倾斜角的范围。（3）在直线的倾斜角的定义 中抓住三个重要条件：“逆时针旋转、与直线l重合、最小正角”。
2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即k＝tan(≠90°).（2）倾斜角为90°的直线没有斜率。（3）经过两点P（x, x）,P (y,y)的直线的斜率公式为
第二节：直线的方程：1、直线方程的五种形式：（1）点斜式：已知直线过点（x,y）斜率为k，则直线方程为：y-y=k（x-x）,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为：y=kx+b,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过（x,y）,(x,y)两点，则直线方程为：
，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为：
，它不包括垂直于轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式。
2、基本的思想和方法：求直线方程是解析几何常见的问题之一，恰当选择方程的形式是每一步，然后釆用待定系数法确定方程，在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。
第三节：两条直线的位置关系：1、点与直线的位置关系：（1）若点P（x,y）在直线上，则Ax+By+C=0.(2) 若点P（x,y）不在直线上，则Ax+By+C≠0，此时点P（x,y）直线的距离d=
(3)由此可得，两平行线l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，间的距离为d=
2、直线与直线的位置关系：（1）斜率存在的两直线：l: y=kx+b, l：y=kx+b，有若l∥l k＝k，且b≠b，若l⊥l， k k＝－1，若l与l相交 k≠k，若l与l重合 k＝k，b＝b。
（2）一般的两直线：l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，有若l∥l A B- A B＝0，BC-BC≠0, (或AC－AC≠0)，若l⊥l，AA+BB=0，若l与l相交 A B- A B≠0，若l与l重合 A B- A B＝0，且BC-BC＝0,且AC－AC＝0
3、到角和夹角公式：（1）l到l：指直线l绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合所转的角，且tan=( k k≠-1).（2）l与l的夹角且
tan=︱︱( k k≠-1)。4、两直线：l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，当它们相交时，方程组
有唯一的解，以这个解为坐标的点就两直线直线的交点。若方程组无解时，两直线平行。若方程组有无数个解时则两直线重合。
第四节：简单的线性规划及实际应用：1、在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0及点P（x。,y。）。（1）当A﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的右边，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的上方，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的下方。当B﹤0时则相反。
2、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当A﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0表示直线l的右边，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0则表示直线l的上方，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的下方。当B﹤0时则相反。无等号时用虚线表示不包含直线l。有等号时用实线表示包含包含直线l。
3、设点P（x,y）,Q(x,y)，若Ax+By+C与Ax+By+C同号则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。
4、 满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量x,y的解析式叫目标函数。关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数，求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
第四节：简单的线性规划及实际应用：1、在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0及点P（x。,y。）。（1）当A﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的右边，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的上方，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的下方。当B﹤0时则相反。
2、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当A﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0表示直线l的右边，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0则表示直线l的上方，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的下方。当B﹤0时则相反。无等号时用虚线表示不包含直线l。有等号时用实线表示包含包含直线l。
3、设点P（x,y）,Q(x,y)，若Ax+By+C与Ax+By+C同号则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。
4、 满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量x,y的解析式叫目标函数。关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数，求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
第六节：圆的方程：1、圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。
2、圆的方程：（1）圆的标准方程：，特别当圆心是（0,0），半径为r时，，（2）圆的一般方程：
（3）圆的参数方程：圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程是
特别当圆心是原点时，
（4）
从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件来求。过两切点的直线方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程。
第八章圆锥曲线
第一节：椭圆及其标准：1、椭圆的定义：平面内与两个定点为F，F的距离的和等于常数（大于）的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离椭圆的焦距。特别地，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹。
2、椭圆的标准方程：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。当焦点在x轴上时标准方程为：（a﹥b﹥0）,焦点F（c，0）,当焦点在y轴上时，标准方程为＝1（a﹥b﹥0）,焦点F（0，c）说明：（1）方程中的两个参数与，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。（2）焦点F，F的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型。（3）常数a,b,c都大于零，其中a最大且a=b+c
3、椭圆焦点三角形：（1）设P为椭圆，上任意一点，F，F为焦点且∠F PF
＝，则△ABC为焦点三角形，（2设P F＝r,P F=r,则＝，当r=r即P为短轴端点时，最大且＝，（3）它的面积公式为： S＝btan＝c , 当=b时，P为短轴端点时，的最大值为bc。（4）焦点三角形为锐角三角形时，b＞c.
4、方程表示椭圆的充要条件是：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B。A＞B时，焦点在y轴上，A＜B时，焦点在x轴上。
第二节：椭圆简单的几何性质：1、两种标准方程、图形、四个顶点、两个焦点坐标（略），准线方程： （a﹥b﹥0）的准线方程为x=,
2、椭圆的范围和对称性：（a﹥b﹥0）中-a≤x≤a,-b≤y≤b,对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
3、离心率e＝，0﹤e﹤1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
4、焦半径公式：P(x,y)为（a﹥b﹥0）上一点， F为左焦点， F为右焦点，P F＝a+ ex,P F= a- ex
5、弦长公式：（1）通径：通过焦点且垂直于长轴的弦长：＝，P，Q为弦与椭圆的交点。
（2）过（a﹥b﹥0）的焦点F（或F）的弦长：＝2a+e(x+x) (或＝2a-e(x+x) )，x，x分别P，Q为的横坐标。
（3）一般的弦长公式：x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入椭圆方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝，
6、以P(x,y)为中点的弦A（x,y）,B（x,y）所在直线的斜率k=－，直线AB的方程为：y-y=- (x-x). AB的中垂线方程为y-y=(x-x)
7、直线与椭圆的位置关系：设直线l的方程为：Ax+By+C=0，椭圆（a﹥b﹥0），消去y(或x)利用判别式的符号来确定。
8、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(x,y),Q(x,y)，中点M（x,y），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得（椭圆内不含端点的线段）
9、设P（x,y）是椭圆（a﹥b﹥0）上一点，则过P点的切线方程是：
（利用导数求出斜率或利用判别式求斜率）
10、椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e(0﹤e﹤1)的点的轨迹，叫做椭圆，定点F叫椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线。e叫椭圆的离心率。
11、点P和椭圆（a﹥b﹥0）的关系：（1）点P（x,y）在椭圆外﹥1，（2）点P（x,y）在椭圆上＝0，（3）点P（x,y）在椭圆内﹤1
12、椭圆的参数方程为：（a﹥b﹥0）
13、椭圆（a﹥b﹥0）按＝（x,y）平移得（它的中心、对称轴、焦点、准线方程都按＝（x,y）作了相应的平移。
第三节：双曲线及其标准方程：1、双曲线的定义：平面内与两定点F，F的距离的差的绝对值等于定长2a（小于|FF|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF|-|PF||=2a(2a＜|FF|。此定义中，“绝对值”与2a＜|FF|，不可忽视。若2a＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点射线，若2a﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2、双曲线的标准方程：中心在原点，（1）焦点在x轴上： =1（2）焦点在y轴上：＝1（a﹥0,b﹥0）与判断椭圆方程中焦点位置不同的是，双曲线不是通过比较x,y系数的大小，而是看x,y的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”
与椭圆另一个区别在于：的关系是c=a+b（而不是c=a-b）
3、与椭圆类似对于双曲线的焦点三角形有：（1）（2）
第四节：双曲线的简单的几何性质：对于双曲线
1、它的顶点为（－a,0）,(a,0)，取值范围：x≤-a或x≥a，y∈R，焦点F (-C，0), F(C,0),对称轴是坐标轴，对称中心是原点。
2、准线方程：x=
3、离心率：e=＞1,e越大，开口越大，e越小，开口越小。
4、渐近线：＝0（或或）
5、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。＝1与＝1互为共轭双曲线，它们有相同的渐近线。
6、等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线，表示为，P为等轴双曲线上一点，则，等轴双曲线的渐近线为y=x,离心率e=
7、焦半径公式：|PF|=ex+a, |PF|=ex-a(左加右减)
8、弦长公式：（1）通径长： |AB|＝,(2)过焦点的弦长：|AB|＝|e(x+x)|，(3)一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入双曲线方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝，
9、双曲线：＝1按＝（x,y）平移得（它的中心、对称轴、焦点、准线方程都按＝（x,y）作了相应的平移。
10、双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(e＞1)的动点的轨迹叫双曲线。
11、过双曲线＝1上一点P（x,y）的切线方程是（与椭圆类似）
12、过双曲线＝1外一点P（x,y）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
（1） P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条。（2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条。（3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线。（4）P为原点时不存在这样的直线。
13、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(x,y),Q(x,y)，中点M（x,y），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得＝0（当|k|＞时，P，Q各在一支上，此时M的轨迹两条不含端点的射线，当|k|＜时，P，Q在同一支上，此时M的轨迹为过原点的直线。
14、以P(x,y)为中点的弦A（x,y）,B（x,y）所在直线的斜率k=，直线AB的方程为：y-y= (x-x). AB的中垂线方程为y-y=－(x-x)
第五节：抛物线及其标准方程：1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2、抛物线的图形，标准方程，焦点坐标及准线方程：
图 形 标 准 方 程 焦 点 准线方程
y=2px（p＞0） F（p,0） x=-p
y=-2px（p＞0） F（-p,0） x=p
x=2py（p＞0） F（0,p） y=-p
x=-2py（p＞0） F（0,-p） y=p
3、抛物线标准方程中P的几何意义是：焦点到准线的距离，故P＞0
4、抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。
第六节：抛物线简单的几何性质：以标准方程是y=2px（p＞0）为例
1、 范围：x≥0,对称性：关于x轴对称，无其它对称轴和对称中心，顶点是原点，离心率为1，准线方程：x=-
2、 焦半径公式：|PF|＝x+, x为P点的横坐标。
3、 弦长公式：（1）通径：2p,是过焦点的所有弦中最短的弦(2)过焦点F(,0)的弦长：x，x分别为弦AB的端点的横坐标，y,y分别为弦AB的端点的纵坐标，弦|AB|＝x+x＋p，，yy＝－p
(3)一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，y,y分别为弦PQ的纵坐标弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝
4、 斜率为k的弦的中点的轨迹方程是：y=,一条平行于x轴且不包括端点在抛物线内部的射线。
5、 与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切，（2）设AB为焦点弦，端点在准线上的射影为A，B，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF，（3）若P为AB的中点，则PA⊥PB，（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
6、 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
高二下数学知识要点
第九章直线、平面、简单的几何体
第1节 平面的基本性质：
1、 平面的概念、表示方法和常见的画法
2、 三个公理和三条推论
公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么，这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。
公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断古籍三条直线共点的方法之一。公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。
3、 点、线、面的关系的表示方法。
4、 直观图的画法（斜二侧画法规则）：（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴OX、OY，取OZ轴，使∠XOZ＝90°，∠YOZ＝90°。（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′X′、O′Y′、O′Z′，使∠X′O′Y′＝45°或135°，∠X′O′Z′＝90°，X′O′Y′所确定的平面表示水平平面。（3）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴和z′轴的线段。（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中其长度为原来的一半。
第二节 空间的平行直线与异面直线 ：1、平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的仁慈传递性。
2、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
3、空间直线的位置关系：（1）相交直线＿＿有且只有一个公共点。（2）平行直线＿＿在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线＿＿不在同一平面内，也没有公共点。
4、异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
5、异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线aˊ／／a , b＇／／b,相交直线a＇，b＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b所成的角∈（0°,90°），如果两条异直线所成的角为直角就称这两条异面直线垂直。求异面直线的夹角常用平移法和向量法。
6、异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的向量在平行于两条异面直线的平面的法向量上的投影。
第三节 直线与平面平行和平面与平面平行：1、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内 （2）直线与平面相交 （3）直线与平面平行 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
2、直线与平面平行的判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”
3、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。
4、平面与平面的位置关系 （1）平行＿＿没有公共点（2）相交＿＿有一条公共直线。
5、两个平面平行的判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
6、 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、 直线和平面垂直
第四节直线与平面垂直：1、直线与平面垂直的概念：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
2、直线和平面垂直的判定：（1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
3、直线和平面垂直的性质定理：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。（2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
4、正射影和斜线：自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影），这一点和垂足之间的线段叫做这个平面的垂线段，垂线段的长叫做这一点到这个平面的距离。图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形F＇，则F＇叫图形F在平面内的射影。
如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。
5、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
第五节空间的向量及其运算：1、平面向量的有关概念和运算律可以类推到空间。如：空间直线的向量参数方程 如图：A，B，P三点共线
=
特别当t=时 此时P为AB的中点。
2、共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量，空间任意两个向量都共面。
共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y，使得＝x+y.
共面向量定理的推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使
或对空间任一点O，有
＝（同m＋n+k=1）.这也是证四点共面的方法。
3、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序组x,y,z,使＝x+y+z.其中｛，，｝叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。4、空间两个向量的夹角和数量积类似平面向量的对应的定义。
第六节空间向量的坐标：1、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k｝表示，而空间坐标系的建立是：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，O－xyz为空间坐标系，向量i,j,k为坐标向量，通过第一体协贩平面叫做坐标平面，分别叫做xOy平面，yOz平面, xOz平面,作空间坐标系时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.在空间坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称此坐标系为右手直角坐标系。
2、空间向量的坐标表示与运算：给定一个空间坐标系和向量，且设向量i,j,k为坐标向量存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得＝xi+yj+zk=（x,y,z）, =（a,a,a） =（b,b,b）则 （1）∥ a＝λb， a＝λb， a＝λb （2）⊥ a b＋a b＋a b＝0 （3）＝a b＋a b＋a b
3、夹角和距离公式：设=（a,a,a） =（b,b,b）则
，cos〈,〉==
设A（），B（），，
向量与平面垂直：如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面ａ，则称这个向量垂直于平面ａ，此时向量叫做平面ａ的法向量。
第七节直线和平面所成的角与二面角
一 知识要点：1、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是﹝0°,90°﹞
2、平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。设AB是平面ａ的一条斜线，A为斜足，直线m是平面ａ内任一直线，AB′是AB在平面ａ内的射影。为AB和m所成的角，为AB和射影所成的角，射影AB′和m所成的角，则cos=coscos
直线L1与L2所成的角为≠，直线L与L1，L2所成的角都是
，（1）若∈（0，/2），则这样的直线L有0条
（2）若＝/2，则这样的直线有1条
（3）若∈（/2，），则这样的直线L有2条
（4）若＝，则这样的直线L有3条
（5）若∈（，），则这样的直线L有4条
（6）若＝，则这样的直线L有1条
3、二面角：平面内的一条直线把平面分
为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，
从一条直线出发的两个半平面所组成的图
形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的面，棱为l，两个
面分别为，的二面角记为-l-,
一个平面垂直于二面角-l-的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角-l-,的平面角。
一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］
4、两个平面垂直：（1）定义：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，则称这两个平面互相垂直。
（2）两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交骊的直线垂直于另一个平面。
5、计算二面角的方法有：（1）定义法，（2）面积法，（3）向量法。
第八节 距离：1、距离的定义：图形F内的任何一点与图形F内任一点间的距离的最小值，叫做图形F和图形F的距离。常见的距离有：（1）点到直线的距离：点向直线引垂线，这一点到垂足之间的距离。（2）点到平面的距离：由此点向平面引垂线，这点到垂足之间的距离。（3）相交直线之间的距离为0。两平行线之间的距离处处相等，等于任意一点到另一条直线的距离。两异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线之间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线之间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。（4）直线与平面相交时，直线与平面的距离为0，直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等。（5）两平行平面之间的距离：和两个平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线。两个平行平面的公垂线夹在两个平行平面之间的线段叫公垂线段，公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离。
2、异面直线的距离公式：已知两条异面直线a,b所成的角为，在a,b上分别取点E，F，已知AB为公垂线段,BE＝m,AF=n,EF=l则AB＝（同侧为加，异侧为减）
3、求点到平面的距离的常用方法：直接法（定义法），等积法，等价法（ （如利用平行线），向量法。
第9节 棱柱和棱锥：1、多面体有关概念：（1）由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面 对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这外平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
2、棱柱的概念：如果一个多面体有两个面互相带着笑地，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面。其余各个面都叫棱柱的侧面。两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱。棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。
3、棱柱的分类：（1）按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫八时棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。（2）按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、、、、、、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、
4、棱柱的性质：（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。（2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
5、平行六面体与长方体：（1）平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到A＇B＇C＇D＇的轨迹所形成的几何体。（或底面平行四边形的四棱柱叫平行六面体）（2）直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体。（3）长方体：底面是矩形的直平行六面体。（4）正方体：棱长都相等的长方体。
6、平行六面体的性质：（1平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分，（2）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。（3）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。（4）若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端的三个相邻面所成的角分别为
，，，则Sin+sin+sin=1
7、棱柱的体积计算公式：V＝Sh，其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高。
8、棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面。棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱。棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
9、锥的分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥…
10、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
11、正棱锥的概念与性质：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
12、棱锥的体积公式：V＝Sh (S是棱锥的底面积，h是棱锥的高)
第十节 正多面体与欧拉公式：1、由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体，把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体。
2、正多面体的概念：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
3、正多面体的分类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。共五种。
4、欧拉公式：简单多面体的顶点数V，棱数E，面数F间的关系：V＋F－E＝2，应用时，还要注意实际情况，如V≥4，F≥4。再如V≥5时，F≥5。
5、设正多面体的每个面的边数为n,每个顶点连的棱数为m，则有如下的关系：
对简单多面体而然，E＝各面多边形的边数之和的一半＝顶点数与共顶点的棱数的一半。
6、正多面体的各个面的内角总和＝F（m-2）×180°,F为面数，m为每个面的边数。
第十一节 球1、球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。定点叫做球心。定长叫做球的半径。球面：与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。
2、球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面 心和截面圆的距离d与球的半径R及截面的半径r构成的关系：r＝ 。
大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。
3、 球面距离：球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。
4、 球的体积和表面积公式：V＝
第十章排列、组合、二项式定理
第一节：分类计数原理分步计数原理：1、分类计数原理（也称加法原理）：完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有m种不同的方法，在第二类方法中有m种不同的方法，…，在第n类方法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+m+…+m不同的方法。
注：每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事。
2、分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，…做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=mm…m不同的方法。注：一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各步是关联的。
3、某些复杂的计数问题有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，分类中有分步，分步中有分类。
4、全错位法，n个编有号码1,2，3，…n的元素，放入编有号码1,2，3，…n的n个位置，并使元素编号与位置编号不同，则共有多少种放法？n=1时，有0种，n=2时有1种,n=3时，有2种，n=4时，有9种，n=5时，有44种,…一般，，分析：1号放2号位置时，分两类：第一类，2号放1号位置，有种，第二类，2号不放1号位置，有种，
第二节：排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1×2×3×…×n表示 .
第三节：组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C表示。
3、组合数公式：C＝
4、组合数性质：（1）C＝，（2）
5、排列数公式：A＝n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=,规定：0！＝1
6、排列应用题的最基本的解法有：（1）直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法。（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
第四节：二项式定理：1、二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…＋ Cab+…+Cb n∈R
它共有n+1项，其中C（r=0,1,2…n）叫做二项式系数，Cab叫做二项式的通项，用T
表示，即通项为展开式的第r+1项，T＝Cab
2、在二项式定理中，对a,b取不同的值可推出许多常用的式子：
（1）（1＋x）=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)
(2) C+ C+…＋ C+…+C=2 (a=b=1)
(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)
3、杨辉三角： 1
1 1 （a+b）
1 2 1 （a+b）
1 3 3 1 （a+b）
1 4 6 4 1 （a+b）
1 5 10 10 5 1 （a+b）
1 6 15 20 15 6 1 （a+b）
表中除1以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。
当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。
4、二项式系数的性质：
（1） 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
（2） 增减性与最大值：当r≤时，二项式系数C的值逐渐增大，当r≥时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值
第十一章概率
第一节：随机事件的概率：1、随机事件的概念：（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件。（3）在一定条件下不可能发生的事件。
2、概率的定义：在大量进行重复试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A），m,n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。因0≤m≤n,所以，0≤P（A）≤1。必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
3、等可能事件的概率：（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。（2）每一个基本事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有出现的结果可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是。（3）等可能性事件是指每个基本事件出现的可能性都相等，若某一试验由n个基本事件组成如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝.
第二节：互斥事件有一个发生的概率：1、互斥事件的基本概念：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。如果A，A…A中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A，A…A彼此互斥。两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。事件A的对立事件记做。
注意：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
2、事件A＋B的意义及其计算公式：（1）事件A＋B：如果事件A，B中有一个发生发生。（2）如果事件A，B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），如果事件A，A…A彼此互斥时，那么P（A＋A＋…＋A）＝P（A）＋P（A）＋…＋P（A）。对立事件：P（A＋）＝P（A）＋P（）＝1
第三节：相互独立事件同时发生的概率：1、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若A，B是两个相互独立事件，则A与，与，与B都是相互独立事件。
2、相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生，记做AB，P（AB）＝P（A）P（B）。若A，A…A相互独立，则n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（AA…A）＝P（ A）P（A）…P（A）
3、独立重复试验：在同样的条件下，重复各次之间相互独立地进行的一种试验。如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好k次的概率记为P（k）=
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第十二章统计与分布
第一节：离散型随机变量的人分布列：1、如果在随机试验中，试验结果能用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，常用字母等来表示随机变量。
2、如果随机变量可能取的值是可数的，或者说可以按一定次序一一列出的，那么，这样的随机变量叫做离散型随机变量。如果随机变量可以取某一区间内的一切值，那么这样的随机就是叫做连续型随机变量。
3、如果离散型随机变量可能取的值为x,x,x…x,…,而取每一个值x (i=1,2,3,…)的概率P（＝x）=p,那么如下表所示
x x x … x …
p p p p … p …
就称为随机变量的分布列。
4、任一随机变量的分布列都具有下列性质：（1）0≤p≤1，(i=1,2,3,…)，（2）p＋p＋ p＋…p＋…＝1（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
5、如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复的试验中这个事件发生k次的概率是：，k=0,1,2,…n.这时因为展开式中的第k+1项，称服从二项分布，记作，并记
n＝1时，称为贝努利分布。
6、在独立重复的试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数也是一个取值为正整数的离散型随机变量，“＝k”表示在第k次独立重复的试验时事件第一次发生。如果把第k次试验时事件A发生记为,事件A不发生记为，，那么服从几何分布。
记
其中q=1-p,k=1,2,3,…
第二节：离散型随机变量的期望与方差：1、称为的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。
2、称为的均方差，简称为方差，
叫做随机变量的标准差，记作：。
3、易证：（1），。
（2）若
（3）若
（4）若服从几何分布，则
第三节：抽样方法：如何通过对样本的分析、整理及计算，通过样本的有关情况来推断，分析总体的有关情况，是概率统计的基本方法和主要任务。因此从总体中抽取样本是使得统计结果客观、准确的关键步骤。常用的抽样方法有下列三种：
1、简单随机抽样：设一个总体中的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则称这样的抽样方法为简单随机抽样。
注意：（1）从个体数为N的总体中任意抽取一个个体时，每个个体被抽到的概率都是1/N，（2）从个体数为N中总体中随机抽取一个容量为n的样本时，每个个体被抽到的概率都是n/N。因此简单随机抽样又叫等概率抽样。
常用的简单随机抽样方法有:（1）抽签法：即将总体中所有个体进行统一编号，并将号码写在形状、大小相同的号签上，再将这些号签放在同一个盒子里，每次从中抽取一个号码，连续抽取n次，便得到的一个容量为n的样本。
（2）随机数表法:事先制作一张表，使表中共出现0,1，2，…,9这十个数字，并且表中每个位置上的数字是等概率出现的。
2、系统抽样：当整体中个体数较多时，将整体均分为几个部分，然后按一定的规则，从每一个部分抽取1个个体而得到所需要的样本的方法叫系统抽样。步骤如下：（1）采用随机方式将总体中的个体编号，（2）将整个编号进行均匀分段在确定相邻间隔k后，若不能均匀分段，即n/N=k不是整数时，可采用随机方法从总体中剔除一些个体，使总体中剩余的个体数是整数。（3）在第一段中采用简单随机抽样方法确定第一个被抽得的个体编号l,（4）依次将l加上ik,i=1,2,…，（n-1），得到其余被抽取的个体的编号，从而得到整个样本。
3、分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成时，为了更加切实了解总体状况而将总体按照各种差异分成几个部分，然后按照各部分所占比例进行随机抽样的方法叫分层抽样。
第四节总体分布估计：用样本的频率分布去估计总体的频率分布就是总体分布估计。
1、 当总体中个体取值时，若所取的不同数值很少，则频率分布表由所取样本中的不同数值及相应的频率来表示，频率分布图可用条形图，条形图的高表示取各个值的频率，也可将高度用来表示取各个值的频数，只是纵轴的意义不同。
2、 当总体中个体取值较多甚至无限时，则应对样本中各数据圆心整理，按从小到大划分若干个区间或小组，频率分布表表示各个不同区间内取值的频数，频率，而频率分布图则用无间隔的直方图，相应图形中直方形的面积大小表示各个不同区间内取值的频率。
3、 绘频率分布图的步骤：（1）找出最大值、最小值，计算其差。（2）决定组距从而得出组数，（3）决定第一组的起点（一般稍小一点），从而决定各个分段点，（4）算出各组的频数和频率，从而列出频率分布表，（5）画出频率分布直方图。直方图中各矩形的面积之和为1。
4、 在样本的频率分布中，随着样本容量的不断增大，其分布越来越接近总体分布，当样本容量无限增大时，而组距无限缩小时，频率分布直方图的上方将演变成一条光滑的曲线，叫做总体密度曲线。
5、 累计频率分布图：常在频率分布表的右边增设一列累积频率，累积频率分布图是一条折线，利用它可近似得到样本数据在任意两个端点值之间的频率，即为这两个端点值的累积频率之差，这一点优于频率分布直方图，样本容量无限增大时，频率分布直方图接近于总体密度曲线时，相应的累积频率分布图也接近于一条光滑的曲线，叫做累积频率分布曲线，累积频率分布曲线上的点M（x,y）的意义是：。
第五节正态分布与线性回归：1、正态分布是自然界中最常见的，也是概率论中最重要的一种分布，一般来说，如果影响某数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个数量指标就服从正态分布。定义：如果随机变量的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：
，x∈R,则称服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中表示总体平均数，叫标准差，正态分布常用来表示，当＝0，＝1时，称服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。叫标准正态曲线。
2、正态曲线，x∈R的有关性质：（1）曲线在x轴上方，与x轴永不相交，（2）曲线关于直线x＝对称，且在x＝两旁延伸时无限接近x轴，（3）曲线在x＝处达到最高点，（4）当一定时，曲线形状由的大小来决定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
3、在标准正态总体N（0，1）
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第一章 集合与简易逻辑
第一节：集合：1、集合的基本概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，如果a是集合A的元素，就说a属于A记作a∈A，如果a不是集合A的元素就说a不属于A，记作aA或aA。
2、集合中元素的三个性质：确定性，互异性，无序性。常称此为集合的三要素。
3、常用的数集的符号：（1）自然数集（即非负整数集）：N，（2）正整数集：N﹡，或N，（3）整数集合：Z，（4）有理数集：Q，（5）实数集：R。
4、不含任何元素的集合叫空集，记作：, 只含一个元素的集合叫做单元素集。
5、集合的分类：根据集合中元素的多少分为无限集，有限集，空集。
6、集合的表示方法：（1）列举法：在｛｝里将元素一一列出。（2）描述法：常有两种方式：如｛四边形｝＝｛x|x是四边形｝注：下面表示不妥｛实数集｝、｛所有实数｝（3）图示法（韦恩法）：用封闭的曲线表示。
第二节：子集，全集，补集：1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB（或说A包含于B），也可记为BA，此时说A是B的子集，任何一个集合是它本身的一个子集，即AA。规定空集是任何集合的子集，即A，如果AB，且BA，则A＝B。如果AB且B中至少有一个元素不在A中，则A叫B的真子集，记作
空集是任何非空集合的真子集。
2、含n个元素的集合A的子集有2个，非空子集有2－1个，非空真子集有2－2个。
3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合称为全集，通常用U表示。4、补集（也叫余集）：设S是一个集合，A是S的一个子集，则由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作CA＝
第三节：交集、并集：1、交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B。即A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B。即A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝
3、重要性质：（1）A∪A＝A，A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∪ ＝A， A∩＝ ，A∪＝U
（2）A∩BA，A∩BB，AA∪B，BA∪B，（3）（A∩B）＝（A）∪（B）
，（A∪B）＝（A）∩（B）（4）A∩B＝AAB，A∪B＝A BA
第四节：含绝对值不等式的解法：1、三个结论（1）|x|＜a的解集为｛x|－a＜x＜a
(2) |x|＞a的解集为｛x|x＞a或x＜-a(3)0＜a＜|x|＜b的解集为｛x|－b＜x＜-a,a＜x＜b
2、去掉多个绝对值符号的常用方法有：（1）分段讨论法（2）利用绝对值的定义（3）数形结合或利用公式－||a|-|b||≤|a|-|b|≤|ab|≤|a|+|b|，
第五节：不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax﹥b的形式，若a﹥0,则x﹥;若a﹤0,则x﹤;
2、一元二次不等式的解法：设a﹥0,x,x方程ax+bx+c=0的两实根，且x﹤x，一元二次不等式的解集如下表：
判别式的符号 ax+bx+c﹥0 ax+bx+c0 ax+bx+c﹤0 ax+bx+c0
△﹥0 ｛x︳x﹤x或x﹥ x｝ ｛x︳ x x或 x x｝ ｛x︳ x﹤ x﹤ x｝ ｛x︳ x x x｝
△＝0 ｛x︳ x≠-｝ R ｛x︳ x=-｝
△﹤0 R R
3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。
4、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。
5、 对含字母的不等式要注意进行讨论，而且讨论要合理，分类要恰当，层次要清楚。
第六节：逻辑联结词：1、逻辑联结词与命题、命题的分类：“或”“且”“非”这些词叫逻辑联结词。判断一件事情的语句叫命题。不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题。
2、复合命题的形式及真值表：（1）“非P”的复合命题的真假与命题“P”的真假相反。（2）“P且Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为真时才为真，否则为假，（3）“P或Q”形式的复合命题的真假，只有命题“P”与“Q”都为假时才为假，否则为真。
第七节：四种命题：1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用﹁p或﹁q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式是：（1）原命题：若p则q，（2）逆命题：若q则p，（3）否命题：若﹁p 则﹁q ，（4）逆否命题：若﹁q 则﹁p，
2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。
3、四种命题的相互关系：
4、反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。用反证法证题的步骤是：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立，（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知或学过的定理、公理等相矛盾的结论。（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立。
常见情况的反设：
原结论 是（一定是） 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多有一个 ＝ 存在
反设 不是（一定不是） 不都是 ≤（≥） 一个也没有（都不是） 至少有2个 ≠ 不存在
反设就相当于添加了一个已知条件，因此更便于推理论证。
5、要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。
第八节：充分条件与必要条件：1、一般地，如果已知pq,则称p是q的充分条件，q是p的必要条件，p的一个必要条件是q,q的一个充分条件是P。
2、如果既有pq又有qp，记作pq,这时p是q的充分必要条件，简称为充要条件。
第二章函数
第一节：函数：1、映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B，
2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
3、映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个，（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的城市污染，那么，从A到B的f：A→B，叫做A到B的函数，y=f(x),其中x∈A,y∈B,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合CB
5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
6、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f(x)的定义域是x∈M,g(x) 的定义域是x∈N，求y=f[g(x)]的定义域时，则只需求满足的x的集合。设y=f[g(x)]的定义域为P，则PN。
7、求函数值域的方法：（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如的函数。（2）利用函数的图象即数形结合的方法。（3）利用均值不等式，（4）利用判别式，（5）利用换元法（如三角换元），（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式，（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
第二节：函数的表示方法：1、函数的表示方法：（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系式。（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
2、分段函数在其定义域的不同子集上，其对应关系分别用几个不同的式子来表示，这种表示形式的函数叫做分段函数。
3、求函数解析式的常用方法有：（1）待定系数法：如果已知一个函数的类型如一次函数：可设y=kx+b，二次函数：可设y=ax+bx+c。（2）换元法：如已知f(2x+1)=4x+1，求f(x)的解析式？
（3）替换后解方程组。
第三节：函数的单调性：1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x,x∈D,当x
2、判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法，（1）定义法：其步骤是：1）任取x，x∈D，且x
（1） 一次函数y=kx+b（k≠0） 1）当k>0时，f(x)在R上是增函数。2）当k<0时，f(x)在R上是减函数。
（2） 二次函数y=ax+bx+c 1）当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－）上是减函数，在[－，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－）上是增函数，在[－，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y= 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
（4） 形如,增区间为，
减区间为图象如右：
4、复合函数的单调性：设，若内外两函数的单调性相同，则在x的区间内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则在x的区间内单调递减。求复合函数的单调区间要特别注意x的取值范围。f(x)单调时，－f(x)一定单调且与f(x)的单调性相反。若f(x)大于0，则与f(x)的单调性相同，与f(x)的单调性相反。特别注意条件是f(x)大于0，否则不一定成立。
第四节，反函数：1、定义：设式子y=f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=(y),如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=(y)就表示y是x的函数，这样的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f(y),即x=(y)＝f(y)，一般对调x=f(y)中的字母x,y,把它改写成y =f(x)
2、求反函数的步骤是：（1）将y=f(x)看成方程，解出x=f(y)（2）将x,y互换得y =f(x)
（3）写出反函数的定义域，（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）（4）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
3、反函数的一些性质：（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性，（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数，（3）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f(x)的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f(x)的图象与其反函数x=(y)＝f(y)的图象相同。（对称性）（4）函数y=f(x)的反函数是y =f(x)。函数y= f(x )的反函数是y = f(x)，称为互反性，但要特别注意：
，（5）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f(x)的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上，
如
（6）还原性：
第五节：指数：1、n次方根的定义：如果一个数的n次方a(n>1,n∈N)那么这个数叫做a的n次方根，即x=a,则x叫做a的n次方根(n>1,n∈N)。
2、n次方根的性质：（1）0的n次方根是0。即＝0(n>1,n∈N)，（2）＝a(n∈N)
(3)当n为奇数时，＝a, 当n为偶数时, ＝|a|
3、分数指数幂的定义：（1）
（2），（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
4、幂的运算性质：（1）
（3），若a>0,P是一个无理数，则a表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。
第六节：指数函数：1、定义：形如y=a（a>0,且a≠1）的函数叫做指数函数。
2、指数函数y=a（a>0,且a≠1）的图象和性质：
a>1 0
性质 （1） 定义域：R 值域： （0，＋∞）
（2） 都过点 （0,1） （1，a）
（3）
（4） 在R上是增函数 在R上是减函数
3、比较两个幂的大小：（1）四种基本情况：1）同底且大于1，指数大的幂大。2）同底且小于1，指数大的幂小。 3）同指数且大于0，底大幂大，即底大图高。4）同指数且小于0，底大幂小，即底大图低。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。
第7节 对数：1、对数的定义：如果，那么b叫做以a为底N的对数，记做，由定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做。以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数。记做。
2、对数的运算性质：
3、对数的恒等式：
第八节：对数函数：1、定义：形如y=logx (a>0,a≠1)的函数叫做对数函数。
2、对数函数的图象与性质：
a>1 0
性质 （1） 定义域：（0，＋∞），值域为R
（2） 过点（1,0）与（a,1）
（3） logx logx
（4） 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
3、对数函数y=logx (a>0,a≠1)与指数函数y=a (a>0,a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x对称。
4、对数有关的大小比较：（1）类似指数函数分为四类： 1）同底且大于1，真数大的对数大。2）同底且小于1，真数大的对数小。 3）同真数且大于1，在x轴同侧时，底大图低，（这一点与指数函数相反）4）同真数且小于1，在x轴同侧时，底大图高。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。
第九节：函数的应用：1、数学应用题的文字叙述长，数量关系分散而难以把握，因此，在解答数学应用题时要把握好两点：（1）认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象，概括，将实际问题转化为相应的数学问题，（2）要合理选择变量，设定变量后，寻找各量之间的内存联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数，方程等数学模型，从而使实际问题获得解决。
2、常见的函数模型有：（1）建立一次函数或二次函数模型，（2）建立分段函数模型。（3）建立指数函数模型。（4）建立型。
第三章数列
第一节：数列的有关概念：1、定义：按一定次序排成的一列数，记作：｛a｝, a表示这个数列的第n项。如果数列｛a｝的第n项a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式，从函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2、并不是每个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式也可能有多种形式。
3、数列的图象是一群孤立的点。
4、按数列的项是有限还是无限，可将数列分为有穷数列和无穷数列，按数列的项与项之间的关系，可将数列分为递增数列，递减数列，摆动数列，常数列等。
5、如果已知数列｛a｝的第一项（或前几项），且任一项a与它的前一项a(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式。递推公式是给出数列的一种方法。
6、求数列通项公式的几种常用方法：（1）观察法：通过观察数列的某些项，找出数列的项与项数之间的等量关系，求出数列的任一项。（2）公式法：对于数列｛a｝，记S＝a+a+…+a，则称S为数列｛a｝的前n项的和，（3）递推法：用递推公式求a。
（4）逐差法：从某些数列的前面若干项，逐次求出它们的差数列（后项减前项），最后得到一个等差或等比数列，再由此倒推回去求出原数列的通项公式。
第二节：等差数列：1、等差数列的定义：a-a=d(常数)， n∈N*.
2、等数列的通项公式：a=a+(n-1)d, n∈N*, a=dn+ a-d,d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d. a=kn+b(k≠0 ) ｛a｝为等差数列，反之不能。
3、等差中项：若a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2A=a+b。
4、等差数列的性质：（1）若公差d>0，则为递增等差数列，若公差d<0，则为递减等差数列，
若公差d＝0，则为常数列。
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项相等，并且等于首末两项之和。
（3）m, n∈N*，则a＝a+(m-n)d.
(4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则a+a=a+a，其中a，a，a，a是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,有a+a=2a。
（5）若数列｛a｝,｛b｝均是等差数列，则数列｛ma+kb｝仍为等差数列，其中m,k均为常数。5、证明一个数列是等差数列，只需证明a-a是一个与n无关的常数即可。
第三节：等差数列的前n项和：1、等差数列的前n项和的公式：
当d≠0时，是关于n的二次函数且常数项为0，
｛a ｝为等差数列，反之不能。
2、等差数列中，已知5个 元素：a ，a ，n,d, S 中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…，偶数个成等差，可设为…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
3、等差数列的前n项和的有关性质：（1） ，…成等差数列。
（2）1)｛a ｝有2k项时， ＝kd,
2)｛a ｝有2k+1项时，S =(k+1)a =(k+1)a , S =k a =k a , S ：S =(k+1)：k
S －S ＝a = a
4、等差数列｛a ｝中，（1）若a =q,a =p，则列方程组可得：d=－1, a =p+q-1,a =0,S =-(p+q)
(2)当S ＝S 时（p≠q），数形结合分析可得S 中S 最大，S ＝0。此时公差d<0.
5、几个重要的求和的公式：（1）1 ＋2 ＋3 ＋4 …＋n ＝ n(n+1)(2n+1)
(2) 1 +2 +3 +…＋n =
(3)1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)
(4)
第四节：等比数列：1、等差数列的定义：＝q（常数），其中n∈N*,a≠0,q≠0,
2、等比数列的通项公式：a=aq, n∈N*
3、等比中项：若数a,G,b成等比数列，那么就称G为a与b的等比中项，从而有G＝ab或G＝
4、等比数列的性质：在等比数列｛a｝中，有（1）若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*,则aa=aa,当m+n=2p时，aa=a（2）若m,n,∈N*，则a = aq,(3)若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列。（4）下标成等差数列的项构成等比数列。（5）证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或a=aa）（6）1）若a>0，q>1，则｛a｝为递增数列,2) a<0,q>1, 则｛a｝为递减数列,3) a>0,0
第五节：等比数列的前n项之和：1、等比数列的前n项和公式：
2、已知a,q,n, a,S中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数。公比为正时可如此设。
3、q≠1时，（a≠0,b≠0,a+b=0）
4、一个等比数列有3n项，若前n项之和为S，中间n项之和为S，最后n项之和为S，试判定S，S，S是否为等比数列？q≠-1时为等比数列，
高一下数学知识要点
第四章三角函数的图象与性质
第一节：角的概念的推广：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角与轴线角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角。第一、二、三、四象限角分别可表示为：
角终边在x轴的非负半轴上时可表示为：＝360°k,k∈Z, 角终边在y轴的非负半轴上时可表示为：＝360°k+90°,k∈Z,在x轴的非正方向上，在y轴的非正方向上可类似表示。
3、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，即任一与角终边相同的角，都可以表成角与整数个周角的和。任意两个终边相同的角之差必是360°的整数倍。相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。
4、当、的终边关于x轴对称时，＝360°k－，当、的终边关于y轴对称时，＝k360°+180°-，当、的终边关于原点对称时，＝360°k+180°+，当、的终边互相垂直时，＝360°k90°+。
5、已知是第几象限的角，如何确定所在象限的角的常用方法有二：（1）分类讨论法，先根据的范围用整数k把的范围表示出来，再对k分n种情况讨论。（2）几何法：把各象限均先n等分，再从x轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则原来是第几象限对应的标号即为的终边所在的区域。
第二节：弧度制：1、弧度及其相等的概念：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制。一般地：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。角的弧度数的绝对值（l表示圆心角所对的弧长，r表示圆的半径）
第三节：任意角的三角函数：1、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它与原点的距离是，那么
以上以角为自变量，比值为函数的六个函数统称为三角函数。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
2、设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y），过P点作x轴的垂线，生路垂足为M，过点A（1,0）作单位圆的切线，设它与角的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线。
即：sin=MP,cos=OM,tan=AT。如下图：
特别地，当角的终边在x轴上时，上弦线、正切线分别变成一个点，当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。
3、象限角的三角函数符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。
4、根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区间。
4、诱导公式（一）：第四节：第四节同角三角函数的基本关系式：
1、平方关系：
2、倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
3、商数关系：
2、角度制与弧度制的换算：
3、弧度制下的弧长与扇形面积计算公式：
4、用弧度制表示终边相同的角、象限角与轴线角：
注：在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现。如：是错误的。
第五节：正、余弦的诱导公式
一：知识要点：1、诱导公式：
（1）sin（180°+）=-sin,cos（180°+）=-cos,tan（180°+）=tan
(2)sin（-）=-sin,cos（-）=cos,tan（-）=-tan,
(3) sin（180°-）=sin,cos（180°-）=-cos,tan（180°-）=-tan,
(4)sin（360°-）=-sin ,cos（360°-）=cos ,tan（360°-）=-tan,
(5)sin（90°-）=cos,cos（90°-）= sin ,tan（90°-）=cot,
(6) sin（90°+）=cos, cos（90°+）= -sin , tan（90°+）= -cot ,
(7)sin（270°+）=-cos, cos（270°+）= sin , tan（270°+）= -cot ,
(8) sin（270°-）=-cos, cos（270°-）=- sin , tan（270°-）= cot ,
2、规律：奇变偶不变，符号看象限。即形如（2k+1）90°，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°，则函数名称不变。
把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,,(2)转化为锐角三角函数。
3、特殊角的三角函数值：（见下表）
30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°
sin 0 1 0 -1
cos 1 0 -1 0
tan 1 0 0 2- 2+
cot 1 0 0 2+ 2-
30°,45°,60°的三角函数值的记忆口诀：正弦、余弦的分母均为2，正弦分子1,2，3。余弦分子3,2，1算术平方根。正切、余切含3不含2，两头互倒中为1，正切递增余切减。
第六节：两角和与差的正弦、余弦、正切：1、两点间的距离公式：平面内两点间的距离公式：
2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
对第三式的的值使等式两边有意义。
3、化一公式：
4、注意公式的变形应用如：
5、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式如：
第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。
第七节：二倍角的正弦、余弦、正切
一：知识要点：1、二倍角公式：
2、降幂公式与升幂公式：
3、半角公式：
4、和差化积与积化和差：
5、万能公式：
第八节：正弦函数、余弦函数的图象和性质：1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，如下图：
作图方法：常用五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。常选取横坐标分别为0，的五点。
2、正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是，对y=sinx,当时，y取最大值1，当时，y取最小值－1，对y=cosx,当时，y取最大值1，当时，y取最小值－1。
3、周期性：定义：对于函数y=f（x）,如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。对于周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数就叫做y=f（x）的最小正周期。
y=sinx,y=cosx的最小正周期都是2，
函数y=Asin的最小正周期都是
4、奇偶性与对称性：定义：如果对于函数f（x）的定义域内的每个值x,都有f（-x）=－f（x），则称f（x）为奇函数。如果对于函数f（x）的定义域内的每个值x,都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数的图象在关于原点的对称区间上的单调性相反。
正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是，对称轴是直线。
余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是，对称轴是直线。
5、单调性：上单调递增，
在单调递减。
y=cosx在上单调递减，在上单调递增。
第九节：函数的图象：1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T＝，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。
2、用“五点法”作函数的简图主要通过变量代换，设X＝由X取0，
来找出相应的x的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。
3、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系：
把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）， y=sin（x+）
把y=sin（x+）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的， y=sin（x+）
把y=sin（x+）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，
把的图象横坐标不变，纵坐标向上（k>0）或向下（k<0），
+K
若由y=sin（x）得到y=sin（x+）的图象，则向左或向右平移个单位。
第十节：正切函数的图象和性质：1、正切函数的图象：正切函数的图象叫正切曲线。
2、正切函数的性质：（1）定义域：，。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值。（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期。（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是，无对称轴。
（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
3、余切函数y=cotx的图象见上右图。
4、余切函数的性质：（1）定义域：，（2）值域是R，（3）周期性：最小正周期是，（4）奇偶性：是奇函数，对称中心是，无对称轴。（5）单调性：在开区间内都是减函数
第十一节：已知三角函数值求角：1、反三角函数的定义：（1）反正弦：在闭区间上符合条件sinx=a（-1≤a≤1）的角x，叫做实数a的反正弦，记作arcsina,即x=arcsina,其中，且a=sinx.注意arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在内（-1≤a≤1）
（2）反余弦：在闭区间上，符合条件的角x，叫做实数a的反余弦，记作arccosa,即x=arccosa,其中x.
(3)反正切：在开区间（－，）内，符合条件tanx=a（a为实数）的角x，叫做实数a的反正切，记做arctana,即x=arctana,其中
2、反三角函数的性质：（1）sin（arcsina）=a, （-1≤a≤1）,cos（arccosa）=0, （-1≤a≤1）,
tan（arctana）=a,(2)arcsin（-a）=-arcsina,arccos（-a）=-arccosa,arctan（-a）=-arctana,
(3)arcsina+arccosa=,(4) arc sin （sinx）=x,只有当x在内成立。同理arccos（cosx）=x只有当x在闭区间上成立。
3、已知三角函数值求角的步骤：（1）由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限（或终边在哪条坐标轴上），（2）若函数值为正数，先求出对应锐角，若函数值为负数，先求出与其绝对值对应的锐角，（3）根据角所在象限，由诱导公式得出0－2间的角，如果适合条件的角在第二象限，则它是－，如果适合条件的角在第三象限，则它是＋，在第四象限，则它是2－，如果是－2到0的角，在第四象限时为－，在第三象限为－＋，在第二象限为－－，（4）如果要求适合条件的所有角，则利用终边相同的角的表达式来写出。也可参考下面的三角方程的解集的表示。
Sinx=a,x=,
,
tanx=a,
第五章平面向量
第一节：向量有关概念：1、向量：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，有向线段的长度叫向量的模，注意不能说向量就是有向线段。长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的。长度为一个单位长度的向量叫做单位向量，常用表示。
2、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
3、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后，（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等。（3）坐标表示法（以后将学）
4、共线向量（也叫平行向量）：方向相同或相反的非零向量，平行于，记作：∥，
规定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移。
5、相反向量；长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
第二节：向量的加法和减法：
1、向量加法：设
作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
2、向量的减法：向量与向量的相反向量的和，叫做向量与向量的差，记作：－。
作向量减法有“三角形法则”：设由减向量和终点指向被减向量和终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
3、向量加减法的运算律：（1）交换律：
(2)结合律：
第三节：实数与向量的积：1、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0
2、实数与向量积的运算律：（1）结合律，（2）分配律。
3、向量共线定理：与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得＝，
4、平面向量的基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量存在唯一的一对有序实数使成立，不共线向量，表示这一平面内所有向量的一组基底。
5、中点公式：若P为AB的中点，O为平面内任一点，则
第四节：平面向量的坐标运算：1、在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x,y）为向量的坐标，＝（x,y）叫做向量的坐标表示。有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数总量来解决。
如果向量的起点在原点那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
2、平面向量的坐标运算：设＝（x,y）, =（x,y）,
（1）向量的加减法运算：，
（2）实数与向量的积：
（3）若点A（x,y）,B（x,y）,则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
3、向量平行的坐标表示：
第五节：线段的定比分点：1、线段的定比分点：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使PP＝PP，叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点。当P点在线段 PP上时，>0，当P点在线段 PP的延长线上时，<－1，当P点在线段PP的延长线上时 －1<<0。
若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为
2、有向线段的定比分点的坐标公式：
设
在使用定比分点的坐标公式时，应明确（x,y）, （x,y）, （x,y）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。一般在计算中应根据题设，自行确定起点，分点和终点并根据这些点确定对应的定比。
3、当＝1时，就得到PP的中点公式：
4、三角形ABC的重心公式：
第六节：平面向量的数量积及运算律：
1、两个向量的夹角：对于非零向量，，作称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
2、平面向量和数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3、叫在上的投影。的几何意义是它等于的模与在上的投影的积。
4、向量数量积的性质：设两个非零向量，。
（5）当，同向时，＝，当与反向时，＝－，当为锐角时，为正且，不同向，≠，当为钝角时，为负且，不反向，≠－。
5、数量积的的运算律：已知向量实数，下面（1）（2）（3）分别叫做交换律，数乘结合律，分配律。
第七节：平面向量数量积的坐标表示：
1、 平面向量数量积的坐标表示：非零向量，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。
2、 向量的长度和两点间的距离公式：
3、 两向量垂直的充要条件：
非零向量＝0
4、 两向量平行的充要条件：
第八节：平移：1、平移公式：将点P（x,y）,按平移至点P′（xˊ,yˊ）,
则，，叫平移向量。2、图象的平移：设函数y=f（x）的图象为C，将C上每一点均按平移，得一个新的图象C′，则C′对应的函数关系式为y-k=f（x-h）,即y=f（x-h）+k,
第九节：正弦定理，余弦定理：1、正弦定理：在三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，R为三角形ABC的外接圆的半径，则有，注意以下一些变式：
2、余弦定理：在三角形ABC中，有
3、其它公式：
（1） 射影公式：
（2） 三角形面积公式：
其中r为三角形ABC内切圆半径，R为外接圆的半径，
4、正弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。
（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。如已知a,b,A.（一）若A为钝角或直角，当b≥a时，则无解。当a≥b时，有只有一个解。（二）若A为锐角，结合下图理解。1）若a≥b或a=bsinA,则只有一个解。2）若bsinA＜a＜b,则有两解。3）若a＜bsinA,则无解。
也可根据a,b的关系及与1的大小关系来确定。
5、余弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两边和夹角，（2）已知三边。
高二上数学知识要点
第六章不等式
第一节：等式的基本性质：：1、不等式的性质 （1.）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：a＞b,c＞d ，则 a+c＞b+d, （a>b ,c
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 a>b>0则a>b或 （4）ab>0,则a>b,(ab<0 则a>b)
2、 不等式大小比较的常用技巧 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）（3）分析法 （4）平方法 （5）分子（或分母）有理化 （6）利用函数的单调性 （7）判别式法 （8）寻找中间量或放缩法 (9)图象法
第二节：算术平均数与几何平均数：1、常用公式及变形：两个基本的不等式及其变
形：（1）
（2）
（3）
2、对于两个正数x,y，若已知xy,x+y,中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，
（2）x+y=S(定值)，那么当x=y时，积xy有最大值
（3）已知x+y=p,则x+y有最大值为
3、应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”
第3节 不等式的证明：1、比较法：（1）求差比较法：要证a﹥b,只要证a-b﹥0，（2）求商比较法：要证a﹥b，且b﹥0,只要证﹥1.比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
2、综合法：利用某些已知的不等式或已证过的不等式或不等式的性质推导出所要证的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即由因导果。利用均值不等式的有关公式最为常见。
3、分析法：（1）从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，即执果索因。（2）用分析法证明要注意格式：“若A成立，则B成立”的模式是：欲证B为真，只需证C为真，只需证D为真…最后得出A或已知的性质、公理、定理。从而得出B为真。也可使用简化叙述。即BCD…A或已知的性质、公理、定理。切不可使用BCD…A。
4、 放缩法（如利用真分数或假分数的性质、及利用均值不等式进行放缩）
5、 利用函数的单调性，
6、 反证法
7、 换元法
8、 判别式法
第4节 不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax﹥b的形式，若a﹥0,则x﹥;若a﹤0,则x﹤;
2、一元二次不等式的解法：设a﹥0,x,x方程ax+bx+c=0的两实根，且x﹤x，一元二次不等式的解集如下表：
判别式的符号 Y= ax+bx+c的图象 ax+bx+c﹥0 ax+bx+c0 ax+bx+c﹤0 ax+bx+c0
△﹥0 ｛x︳x﹤x或x﹥ x｝ ｛x︳ x x或 x x｝ ｛x︳ x﹤ x﹤ x｝ ｛x︳ x x x｝
△＝0 ｛x︳ x≠-｝ R ｛x︳ x=-｝
△﹤0 R R
3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。
6、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。
7、 绝对值不等式的解法：化为两种基本情形：（1）︳x︳﹤a的解集为-a﹤x﹤a,(2) ︳x︳﹥a的解集为x﹤-a,或x﹥a.复杂的绝对值不等式的解法详见下节。
8、 指数不等式：
9、 对数不等式：
10、 无理不等式：
第五节含有绝对值不等式：1、化为三种基本情形：（1）︳x︳﹤a的解集为-a﹤x﹤a,(2) ︳x︳﹥a的解集为x﹤-a,或x﹥a.（3）
2、和差的绝对值与绝对值的和差性质：
3、含多个绝对值符号的不等式可采用分段讨论法。
第七章直线和圆的方程
第一节直线的倾斜角和斜率：1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。（2）直线的倾斜角的范围。（3）在直线的倾斜角的定义 中抓住三个重要条件：“逆时针旋转、与直线l重合、最小正角”。
2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即k＝tan(≠90°).（2）倾斜角为90°的直线没有斜率。（3）经过两点P（x, x）,P (y,y)的直线的斜率公式为
第二节：直线的方程：1、直线方程的五种形式：（1）点斜式：已知直线过点（x,y）斜率为k，则直线方程为：y-y=k（x-x）,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为：y=kx+b,它不包括垂直于轴的直线。（3）两点式：已知直线经过（x,y）,(x,y)两点，则直线方程为：
，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为：
，它不包括垂直于轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成：Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式。
2、基本的思想和方法：求直线方程是解析几何常见的问题之一，恰当选择方程的形式是每一步，然后釆用待定系数法确定方程，在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。
第三节：两条直线的位置关系：1、点与直线的位置关系：（1）若点P（x,y）在直线上，则Ax+By+C=0.(2) 若点P（x,y）不在直线上，则Ax+By+C≠0，此时点P（x,y）直线的距离d=
(3)由此可得，两平行线l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，间的距离为d=
2、直线与直线的位置关系：（1）斜率存在的两直线：l: y=kx+b, l：y=kx+b，有若l∥l k＝k，且b≠b，若l⊥l， k k＝－1，若l与l相交 k≠k，若l与l重合 k＝k，b＝b。
（2）一般的两直线：l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，有若l∥l A B- A B＝0，BC-BC≠0, (或AC－AC≠0)，若l⊥l，AA+BB=0，若l与l相交 A B- A B≠0，若l与l重合 A B- A B＝0，且BC-BC＝0,且AC－AC＝0
3、到角和夹角公式：（1）l到l：指直线l绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合所转的角，且tan=( k k≠-1).（2）l与l的夹角且
tan=︱︱( k k≠-1)。4、两直线：l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0，当它们相交时，方程组
有唯一的解，以这个解为坐标的点就两直线直线的交点。若方程组无解时，两直线平行。若方程组有无数个解时则两直线重合。
第四节：简单的线性规划及实际应用：1、在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0及点P（x。,y。）。（1）当A﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的右边，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的上方，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的下方。当B﹤0时则相反。
2、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当A﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0表示直线l的右边，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0则表示直线l的上方，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的下方。当B﹤0时则相反。无等号时用虚线表示不包含直线l。有等号时用实线表示包含包含直线l。
3、设点P（x,y）,Q(x,y)，若Ax+By+C与Ax+By+C同号则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。
4、 满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量x,y的解析式叫目标函数。关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数，求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
第四节：简单的线性规划及实际应用：1、在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0及点P（x。,y。）。（1）当A﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的右边，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax。＋By。＋C﹥0则点P在直线l的上方，若Ax。＋By。＋C﹤0则点P在直线l的下方。当B﹤0时则相反。
2、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当A﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0表示直线l的右边，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的左边。当A﹤0时则相反。（2）当B﹥0时，若Ax＋By＋C﹥0则表示直线l的上方，若Ax＋By＋C﹤0则表示直线l的下方。当B﹤0时则相反。无等号时用虚线表示不包含直线l。有等号时用实线表示包含包含直线l。
3、设点P（x,y）,Q(x,y)，若Ax+By+C与Ax+By+C同号则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。
4、 满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。关于变量x,y的解析式叫目标函数。关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数，求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。
第六节：圆的方程：1、圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆，定点是圆心，定长是半径。
2、圆的方程：（1）圆的标准方程：，特别当圆心是（0,0），半径为r时，，（2）圆的一般方程：
（3）圆的参数方程：圆心在（a,b），半径为r的圆的参数方程是
特别当圆心是原点时，
（4）
从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件来求。过两切点的直线方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程。
第八章圆锥曲线
第一节：椭圆及其标准：1、椭圆的定义：平面内与两个定点为F，F的距离的和等于常数（大于）的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离椭圆的焦距。特别地，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹。
2、椭圆的标准方程：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。当焦点在x轴上时标准方程为：（a﹥b﹥0）,焦点F（c，0）,当焦点在y轴上时，标准方程为＝1（a﹥b﹥0）,焦点F（0，c）说明：（1）方程中的两个参数与，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。（2）焦点F，F的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型。（3）常数a,b,c都大于零，其中a最大且a=b+c
3、椭圆焦点三角形：（1）设P为椭圆，上任意一点，F，F为焦点且∠F PF
＝，则△ABC为焦点三角形，（2设P F＝r,P F=r,则＝，当r=r即P为短轴端点时，最大且＝，（3）它的面积公式为： S＝btan＝c , 当=b时，P为短轴端点时，的最大值为bc。（4）焦点三角形为锐角三角形时，b＞c.
4、方程表示椭圆的充要条件是：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B。A＞B时，焦点在y轴上，A＜B时，焦点在x轴上。
第二节：椭圆简单的几何性质：1、两种标准方程、图形、四个顶点、两个焦点坐标（略），准线方程： （a﹥b﹥0）的准线方程为x=,
2、椭圆的范围和对称性：（a﹥b﹥0）中-a≤x≤a,-b≤y≤b,对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
3、离心率e＝，0﹤e﹤1,e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
4、焦半径公式：P(x,y)为（a﹥b﹥0）上一点， F为左焦点， F为右焦点，P F＝a+ ex,P F= a- ex
5、弦长公式：（1）通径：通过焦点且垂直于长轴的弦长：＝，P，Q为弦与椭圆的交点。
（2）过（a﹥b﹥0）的焦点F（或F）的弦长：＝2a+e(x+x) (或＝2a-e(x+x) )，x，x分别P，Q为的横坐标。
（3）一般的弦长公式：x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入椭圆方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝，
6、以P(x,y)为中点的弦A（x,y）,B（x,y）所在直线的斜率k=－，直线AB的方程为：y-y=- (x-x). AB的中垂线方程为y-y=(x-x)
7、直线与椭圆的位置关系：设直线l的方程为：Ax+By+C=0，椭圆（a﹥b﹥0），消去y(或x)利用判别式的符号来确定。
8、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(x,y),Q(x,y)，中点M（x,y），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得（椭圆内不含端点的线段）
9、设P（x,y）是椭圆（a﹥b﹥0）上一点，则过P点的切线方程是：
（利用导数求出斜率或利用判别式求斜率）
10、椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e(0﹤e﹤1)的点的轨迹，叫做椭圆，定点F叫椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线。e叫椭圆的离心率。
11、点P和椭圆（a﹥b﹥0）的关系：（1）点P（x,y）在椭圆外﹥1，（2）点P（x,y）在椭圆上＝0，（3）点P（x,y）在椭圆内﹤1
12、椭圆的参数方程为：（a﹥b﹥0）
13、椭圆（a﹥b﹥0）按＝（x,y）平移得（它的中心、对称轴、焦点、准线方程都按＝（x,y）作了相应的平移。
第三节：双曲线及其标准方程：1、双曲线的定义：平面内与两定点F，F的距离的差的绝对值等于定长2a（小于|FF|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF|-|PF||=2a(2a＜|FF|。此定义中，“绝对值”与2a＜|FF|，不可忽视。若2a＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点射线，若2a﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2、双曲线的标准方程：中心在原点，（1）焦点在x轴上： =1（2）焦点在y轴上：＝1（a﹥0,b﹥0）与判断椭圆方程中焦点位置不同的是，双曲线不是通过比较x,y系数的大小，而是看x,y的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”
与椭圆另一个区别在于：的关系是c=a+b（而不是c=a-b）
3、与椭圆类似对于双曲线的焦点三角形有：（1）（2）
第四节：双曲线的简单的几何性质：对于双曲线
1、它的顶点为（－a,0）,(a,0)，取值范围：x≤-a或x≥a，y∈R，焦点F (-C，0), F(C,0),对称轴是坐标轴，对称中心是原点。
2、准线方程：x=
3、离心率：e=＞1,e越大，开口越大，e越小，开口越小。
4、渐近线：＝0（或或）
5、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。＝1与＝1互为共轭双曲线，它们有相同的渐近线。
6、等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线，表示为，P为等轴双曲线上一点，则，等轴双曲线的渐近线为y=x,离心率e=
7、焦半径公式：|PF|=ex+a, |PF|=ex-a(左加右减)
8、弦长公式：（1）通径长： |AB|＝,(2)过焦点的弦长：|AB|＝|e(x+x)|，(3)一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入双曲线方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝，
9、双曲线：＝1按＝（x,y）平移得（它的中心、对称轴、焦点、准线方程都按＝（x,y）作了相应的平移。
10、双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(e＞1)的动点的轨迹叫双曲线。
11、过双曲线＝1上一点P（x,y）的切线方程是（与椭圆类似）
12、过双曲线＝1外一点P（x,y）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
（1） P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条。（2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条。（3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线。（4）P为原点时不存在这样的直线。
13、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点P(x,y),Q(x,y)，中点M（x,y），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得＝0（当|k|＞时，P，Q各在一支上，此时M的轨迹两条不含端点的射线，当|k|＜时，P，Q在同一支上，此时M的轨迹为过原点的直线。
14、以P(x,y)为中点的弦A（x,y）,B（x,y）所在直线的斜率k=，直线AB的方程为：y-y= (x-x). AB的中垂线方程为y-y=－(x-x)
第五节：抛物线及其标准方程：1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2、抛物线的图形，标准方程，焦点坐标及准线方程：
图 形 标 准 方 程 焦 点 准线方程
y=2px（p＞0） F（p,0） x=-p
y=-2px（p＞0） F（-p,0） x=p
x=2py（p＞0） F（0,p） y=-p
x=-2py（p＞0） F（0,-p） y=p
3、抛物线标准方程中P的几何意义是：焦点到准线的距离，故P＞0
4、抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。
第六节：抛物线简单的几何性质：以标准方程是y=2px（p＞0）为例
1、 范围：x≥0,对称性：关于x轴对称，无其它对称轴和对称中心，顶点是原点，离心率为1，准线方程：x=-
2、 焦半径公式：|PF|＝x+, x为P点的横坐标。
3、 弦长公式：（1）通径：2p,是过焦点的所有弦中最短的弦(2)过焦点F(,0)的弦长：x，x分别为弦AB的端点的横坐标，y,y分别为弦AB的端点的纵坐标，弦|AB|＝x+x＋p，，yy＝－p
(3)一般的弦长公式：类似于椭圆，x，x分别为弦PQ的横坐标，y,y分别为弦PQ的纵坐标弦PQ所在直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax+Bx+C=0,则＝，若y,y分别为弦PQ的纵坐标，则＝
4、 斜率为k的弦的中点的轨迹方程是：y=,一条平行于x轴且不包括端点在抛物线内部的射线。
5、 与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切，（2）设AB为焦点弦，端点在准线上的射影为A，B，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF，（3）若P为AB的中点，则PA⊥PB，（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
6、 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
高二下数学知识要点
第九章直线、平面、简单的几何体
第1节 平面的基本性质：
1、 平面的概念、表示方法和常见的画法
2、 三个公理和三条推论
公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么，这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。
公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断古籍三条直线共点的方法之一。公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。
3、 点、线、面的关系的表示方法。
4、 直观图的画法（斜二侧画法规则）：（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴OX、OY，取OZ轴，使∠XOZ＝90°，∠YOZ＝90°。（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O′X′、O′Y′、O′Z′，使∠X′O′Y′＝45°或135°，∠X′O′Z′＝90°，X′O′Y′所确定的平面表示水平平面。（3）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴和z′轴的线段。（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中其长度为原来的一半。
第二节 空间的平行直线与异面直线 ：1、平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的仁慈传递性。
2、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
3、空间直线的位置关系：（1）相交直线＿＿有且只有一个公共点。（2）平行直线＿＿在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线＿＿不在同一平面内，也没有公共点。
4、异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
5、异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线aˊ／／a , b＇／／b,相交直线a＇，b＇所成的锐角（直角）叫异面直线a,b所成的角∈（0°,90°），如果两条异直线所成的角为直角就称这两条异面直线垂直。求异面直线的夹角常用平移法和向量法。
6、异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的向量在平行于两条异面直线的平面的法向量上的投影。
第三节 直线与平面平行和平面与平面平行：1、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内 （2）直线与平面相交 （3）直线与平面平行 其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
2、直线与平面平行的判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”
3、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。
4、平面与平面的位置关系 （1）平行＿＿没有公共点（2）相交＿＿有一条公共直线。
5、两个平面平行的判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
6、 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、 直线和平面垂直
第四节直线与平面垂直：1、直线与平面垂直的概念：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
2、直线和平面垂直的判定：（1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。（2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。
3、直线和平面垂直的性质定理：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。（2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
4、正射影和斜线：自一点向平面引垂线，垂足叫做这一点在平面内的正射影（简称为射影），这一点和垂足之间的线段叫做这个平面的垂线段，垂线段的长叫做这一点到这个平面的距离。图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形F＇，则F＇叫图形F在平面内的射影。
如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。
5、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
第五节空间的向量及其运算：1、平面向量的有关概念和运算律可以类推到空间。如：空间直线的向量参数方程 如图：A，B，P三点共线
=
特别当t=时 此时P为AB的中点。
2、共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量，空间任意两个向量都共面。
共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y，使得＝x+y.
共面向量定理的推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使
或对空间任一点O，有
＝（同m＋n+k=1）.这也是证四点共面的方法。
3、空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序组x,y,z,使＝x+y+z.其中｛，，｝叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。4、空间两个向量的夹角和数量积类似平面向量的对应的定义。
第六节空间向量的坐标：1、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用｛i,j,k｝表示，而空间坐标系的建立是：在空间选定一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，O－xyz为空间坐标系，向量i,j,k为坐标向量，通过第一体协贩平面叫做坐标平面，分别叫做xOy平面，yOz平面, xOz平面,作空间坐标系时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.在空间坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称此坐标系为右手直角坐标系。
2、空间向量的坐标表示与运算：给定一个空间坐标系和向量，且设向量i,j,k为坐标向量存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得＝xi+yj+zk=（x,y,z）, =（a,a,a） =（b,b,b）则 （1）∥ a＝λb， a＝λb， a＝λb （2）⊥ a b＋a b＋a b＝0 （3）＝a b＋a b＋a b
3、夹角和距离公式：设=（a,a,a） =（b,b,b）则
，cos〈,〉==
设A（），B（），，
向量与平面垂直：如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面ａ，则称这个向量垂直于平面ａ，此时向量叫做平面ａ的法向量。
第七节直线和平面所成的角与二面角
一 知识要点：1、直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0°，所以直线和平面所成的角的范围是﹝0°,90°﹞
2、平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。设AB是平面ａ的一条斜线，A为斜足，直线m是平面ａ内任一直线，AB′是AB在平面ａ内的射影。为AB和m所成的角，为AB和射影所成的角，射影AB′和m所成的角，则cos=coscos
直线L1与L2所成的角为≠，直线L与L1，L2所成的角都是
，（1）若∈（0，/2），则这样的直线L有0条
（2）若＝/2，则这样的直线有1条
（3）若∈（/2，），则这样的直线L有2条
（4）若＝，则这样的直线L有3条
（5）若∈（，），则这样的直线L有4条
（6）若＝，则这样的直线L有1条
3、二面角：平面内的一条直线把平面分
为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，
从一条直线出发的两个半平面所组成的图
形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的面，棱为l，两个
面分别为，的二面角记为-l-,
一个平面垂直于二面角-l-的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角-l-,的平面角。
一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］
4、两个平面垂直：（1）定义：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，则称这两个平面互相垂直。
（2）两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交骊的直线垂直于另一个平面。
5、计算二面角的方法有：（1）定义法，（2）面积法，（3）向量法。
第八节 距离：1、距离的定义：图形F内的任何一点与图形F内任一点间的距离的最小值，叫做图形F和图形F的距离。常见的距离有：（1）点到直线的距离：点向直线引垂线，这一点到垂足之间的距离。（2）点到平面的距离：由此点向平面引垂线，这点到垂足之间的距离。（3）相交直线之间的距离为0。两平行线之间的距离处处相等，等于任意一点到另一条直线的距离。两异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线之间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线之间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。（4）直线与平面相交时，直线与平面的距离为0，直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等。（5）两平行平面之间的距离：和两个平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线。两个平行平面的公垂线夹在两个平行平面之间的线段叫公垂线段，公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离。
2、异面直线的距离公式：已知两条异面直线a,b所成的角为，在a,b上分别取点E，F，已知AB为公垂线段,BE＝m,AF=n,EF=l则AB＝（同侧为加，异侧为减）
3、求点到平面的距离的常用方法：直接法（定义法），等积法，等价法（ （如利用平行线），向量法。
第9节 棱柱和棱锥：1、多面体有关概念：（1）由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面 对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这外平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
2、棱柱的概念：如果一个多面体有两个面互相带着笑地，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面。其余各个面都叫棱柱的侧面。两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱。棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。
3、棱柱的分类：（1）按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫八时棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。（2）按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、、、、、、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，、、、
4、棱柱的性质：（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。（2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
5、平行六面体与长方体：（1）平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到A＇B＇C＇D＇的轨迹所形成的几何体。（或底面平行四边形的四棱柱叫平行六面体）（2）直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体。（3）长方体：底面是矩形的直平行六面体。（4）正方体：棱长都相等的长方体。
6、平行六面体的性质：（1平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分，（2）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。（3）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。（4）若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端的三个相邻面所成的角分别为
，，，则Sin+sin+sin=1
7、棱柱的体积计算公式：V＝Sh，其中S为棱柱的底面积，h为棱柱的高。
8、棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面。棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱。棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。
9、锥的分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥…
10、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
11、正棱锥的概念与性质：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
12、棱锥的体积公式：V＝Sh (S是棱锥的底面积，h是棱锥的高)
第十节 正多面体与欧拉公式：1、由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体，把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体。
2、正多面体的概念：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
3、正多面体的分类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。共五种。
4、欧拉公式：简单多面体的顶点数V，棱数E，面数F间的关系：V＋F－E＝2，应用时，还要注意实际情况，如V≥4，F≥4。再如V≥5时，F≥5。
5、设正多面体的每个面的边数为n,每个顶点连的棱数为m，则有如下的关系：
对简单多面体而然，E＝各面多边形的边数之和的一半＝顶点数与共顶点的棱数的一半。
6、正多面体的各个面的内角总和＝F（m-2）×180°,F为面数，m为每个面的边数。
第十一节 球1、球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。定点叫做球心。定长叫做球的半径。球面：与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。
2、球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面 心和截面圆的距离d与球的半径R及截面的半径r构成的关系：r＝ 。
大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。
3、 球面距离：球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。
4、 球的体积和表面积公式：V＝
第十章排列、组合、二项式定理
第一节：分类计数原理分步计数原理：1、分类计数原理（也称加法原理）：完成一件事，有n类方法，在第一类方法中有m种不同的方法，在第二类方法中有m种不同的方法，…，在第n类方法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+m+…+m不同的方法。
注：每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事。
2、分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，…做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=mm…m不同的方法。注：一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各步是关联的。
3、某些复杂的计数问题有时既要用分类计数原理，又要用分步计数原理，分类中有分步，分步中有分类。
4、全错位法，n个编有号码1,2，3，…n的元素，放入编有号码1,2，3，…n的n个位置，并使元素编号与位置编号不同，则共有多少种放法？n=1时，有0种，n=2时有1种,n=3时，有2种，n=4时，有9种，n=5时，有44种,…一般，，分析：1号放2号位置时，分两类：第一类，2号放1号位置，有种，第二类，2号不放1号位置，有种，
第二节：排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1×2×3×…×n表示 .
第三节：组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C表示。
3、组合数公式：C＝
4、组合数性质：（1）C＝，（2）
5、排列数公式：A＝n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=,规定：0！＝1
6、排列应用题的最基本的解法有：（1）直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法。（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
第四节：二项式定理：1、二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…＋ Cab+…+Cb n∈R
它共有n+1项，其中C（r=0,1,2…n）叫做二项式系数，Cab叫做二项式的通项，用T
表示，即通项为展开式的第r+1项，T＝Cab
2、在二项式定理中，对a,b取不同的值可推出许多常用的式子：
（1）（1＋x）=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)
(2) C+ C+…＋ C+…+C=2 (a=b=1)
(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)
3、杨辉三角： 1
1 1 （a+b）
1 2 1 （a+b）
1 3 3 1 （a+b）
1 4 6 4 1 （a+b）
1 5 10 10 5 1 （a+b）
1 6 15 20 15 6 1 （a+b）
表中除1以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。
当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。
4、二项式系数的性质：
（1） 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
（2） 增减性与最大值：当r≤时，二项式系数C的值逐渐增大，当r≥时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值
第十一章概率
第一节：随机事件的概率：1、随机事件的概念：（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件。（3）在一定条件下不可能发生的事件。
2、概率的定义：在大量进行重复试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A），m,n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。因0≤m≤n,所以，0≤P（A）≤1。必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。
3、等可能事件的概率：（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。（2）每一个基本事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有出现的结果可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是。（3）等可能性事件是指每个基本事件出现的可能性都相等，若某一试验由n个基本事件组成如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝.
第二节：互斥事件有一个发生的概率：1、互斥事件的基本概念：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。如果A，A…A中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A，A…A彼此互斥。两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。事件A的对立事件记做。
注意：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
2、事件A＋B的意义及其计算公式：（1）事件A＋B：如果事件A，B中有一个发生发生。（2）如果事件A，B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），如果事件A，A…A彼此互斥时，那么P（A＋A＋…＋A）＝P（A）＋P（A）＋…＋P（A）。对立事件：P（A＋）＝P（A）＋P（）＝1
第三节：相互独立事件同时发生的概率：1、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若A，B是两个相互独立事件，则A与，与，与B都是相互独立事件。
2、相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生，记做AB，P（AB）＝P（A）P（B）。若A，A…A相互独立，则n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（AA…A）＝P（ A）P（A）…P（A）
3、独立重复试验：在同样的条件下，重复各次之间相互独立地进行的一种试验。如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好k次的概率记为P（k）=
高三数学知识要点
第十二章统计与分布
第一节：离散型随机变量的人分布列：1、如果在随机试验中，试验结果能用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，常用字母等来表示随机变量。
2、如果随机变量可能取的值是可数的，或者说可以按一定次序一一列出的，那么，这样的随机变量叫做离散型随机变量。如果随机变量可以取某一区间内的一切值，那么这样的随机就是叫做连续型随机变量。
3、如果离散型随机变量可能取的值为x,x,x…x,…,而取每一个值x (i=1,2,3,…)的概率P（＝x）=p,那么如下表所示
x x x … x …
p p p p … p …
就称为随机变量的分布列。
4、任一随机变量的分布列都具有下列性质：（1）0≤p≤1，(i=1,2,3,…)，（2）p＋p＋ p＋…p＋…＝1（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
5、如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复的试验中这个事件发生k次的概率是：，k=0,1,2,…n.这时因为展开式中的第k+1项，称服从二项分布，记作，并记
n＝1时，称为贝努利分布。
6、在独立重复的试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数也是一个取值为正整数的离散型随机变量，“＝k”表示在第k次独立重复的试验时事件第一次发生。如果把第k次试验时事件A发生记为,事件A不发生记为，，那么服从几何分布。
记
其中q=1-p,k=1,2,3,…
第二节：离散型随机变量的期望与方差：1、称为的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。
2、称为的均方差，简称为方差，
叫做随机变量的标准差，记作：。
3、易证：（1），。
（2）若
（3）若
（4）若服从几何分布，则
第三节：抽样方法：如何通过对样本的分析、整理及计算，通过样本的有关情况来推断，分析总体的有关情况，是概率统计的基本方法和主要任务。因此从总体中抽取样本是使得统计结果客观、准确的关键步骤。常用的抽样方法有下列三种：
1、简单随机抽样：设一个总体中的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则称这样的抽样方法为简单随机抽样。
注意：（1）从个体数为N的总体中任意抽取一个个体时，每个个体被抽到的概率都是1/N，（2）从个体数为N中总体中随机抽取一个容量为n的样本时，每个个体被抽到的概率都是n/N。因此简单随机抽样又叫等概率抽样。
常用的简单随机抽样方法有:（1）抽签法：即将总体中所有个体进行统一编号，并将号码写在形状、大小相同的号签上，再将这些号签放在同一个盒子里，每次从中抽取一个号码，连续抽取n次，便得到的一个容量为n的样本。
（2）随机数表法:事先制作一张表，使表中共出现0,1，2，…,9这十个数字，并且表中每个位置上的数字是等概率出现的。
2、系统抽样：当整体中个体数较多时，将整体均分为几个部分，然后按一定的规则，从每一个部分抽取1个个体而得到所需要的样本的方法叫系统抽样。步骤如下：（1）采用随机方式将总体中的个体编号，（2）将整个编号进行均匀分段在确定相邻间隔k后，若不能均匀分段，即n/N=k不是整数时，可采用随机方法从总体中剔除一些个体，使总体中剩余的个体数是整数。（3）在第一段中采用简单随机抽样方法确定第一个被抽得的个体编号l,（4）依次将l加上ik,i=1,2,…，（n-1），得到其余被抽取的个体的编号，从而得到整个样本。
3、分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成时，为了更加切实了解总体状况而将总体按照各种差异分成几个部分，然后按照各部分所占比例进行随机抽样的方法叫分层抽样。
第四节总体分布估计：用样本的频率分布去估计总体的频率分布就是总体分布估计。
1、 当总体中个体取值时，若所取的不同数值很少，则频率分布表由所取样本中的不同数值及相应的频率来表示，频率分布图可用条形图，条形图的高表示取各个值的频率，也可将高度用来表示取各个值的频数，只是纵轴的意义不同。
2、 当总体中个体取值较多甚至无限时，则应对样本中各数据圆心整理，按从小到大划分若干个区间或小组，频率分布表表示各个不同区间内取值的频数，频率，而频率分布图则用无间隔的直方图，相应图形中直方形的面积大小表示各个不同区间内取值的频率。
3、 绘频率分布图的步骤：（1）找出最大值、最小值，计算其差。（2）决定组距从而得出组数，（3）决定第一组的起点（一般稍小一点），从而决定各个分段点，（4）算出各组的频数和频率，从而列出频率分布表，（5）画出频率分布直方图。直方图中各矩形的面积之和为1。
4、 在样本的频率分布中，随着样本容量的不断增大，其分布越来越接近总体分布，当样本容量无限增大时，而组距无限缩小时，频率分布直方图的上方将演变成一条光滑的曲线，叫做总体密度曲线。
5、 累计频率分布图：常在频率分布表的右边增设一列累积频率，累积频率分布图是一条折线，利用它可近似得到样本数据在任意两个端点值之间的频率，即为这两个端点值的累积频率之差，这一点优于频率分布直方图，样本容量无限增大时，频率分布直方图接近于总体密度曲线时，相应的累积频率分布图也接近于一条光滑的曲线，叫做累积频率分布曲线，累积频率分布曲线上的点M（x,y）的意义是：。
第五节正态分布与线性回归：1、正态分布是自然界中最常见的，也是概率论中最重要的一种分布，一般来说，如果影响某数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个数量指标就服从正态分布。定义：如果随机变量的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：
，x∈R,则称服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中表示总体平均数，叫标准差，正态分布常用来表示，当＝0，＝1时，称服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。叫标准正态曲线。
2、正态曲线，x∈R的有关性质：（1）曲线在x轴上方，与x轴永不相交，（2）曲线关于直线x＝对称，且在x＝两旁延伸时无限接近x轴，（3）曲线在x＝处达到最高点，（4）当一定时，曲线形状由的大小来决定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
3、在标准正态总体N（0，1）