安徽省定远重点中学中学2023届高中毕业生调研考试数学试卷（二）（含解析）

2023届高中毕业生调研考试数学试题（二）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
4. 正六边形中，用和表示，则( )
A. B. C. D.
5. 数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为，公差为的等差数列．若，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为
A. B. C. D.
7. 阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数若为无理数，则取无理数，，此时为有理数”依据这段文字可以证明的结论是( )
A. 是有理数 B. 是无理数
C. 存在无理数，，使得为有理数 D. 对任意无理数，，都有为无理数
8. 已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、然料电池电动汽车、氢发动机汽车等我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续年产销量位居世界第一下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比占我国汽车年总产量的比例情况，则( )
A. 年我国新能源汽车年产量逐年增加
B. 年我国新能源汽车年产量的极差为万辆
C. 年我国汽车年总产量超过万辆
D. 年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量
10. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有( )
A. B. C. D.
11. 函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
12. 三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列说法中正确的有( )
A. 三棱锥体积的最小值为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D. 直线与平面所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知，则
14. 如图，实心铁制几何体由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知，，，，且，底面某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗，则铸得的铁球的半径为 ．
15. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为 ，若直线的倾斜角为，则其斜率为 ．
16. 若不等式对一切恒成立，其中，，为自然对数的底数，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 记为数列的前项和．已知．
证明：是等差数列；
若成等比数列，求的最小值．
18. 设的内角，，所对的边分别为，，，且有．
求角
若边上的高，求C.
19. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的菱形，，点为棱上动点不与，重合，平面与棱交于点．
求证：
若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在场比赛后，甲获胜次数不低于场的概率为现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
若两人各抛掷次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率
若甲抛掷次，乙抛掷次，，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
21. 已知双曲线的实轴长为，直线为的一条渐近线．
求的方程；
若过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数．
当时，证明：函数只有一个零点；
当时，，求实数的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】因为，
所以，故选B．
2.
【解析】由，得，的虚部为故选．
3.
【解析】由题意可知：，
设，，
，故选A．
4.
【解析】设边长为，有，，
则
，选：

5.
【解析】数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式，
又数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式，
若，则，解得
故选：．

6.
【解析】由题意可知，，所以
又知抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可知，，整理得，解得，
所以的焦点坐标为，故选C．
7.
【解析】题意阐述的过程为：存在为无理数，为无理数，使得为有理数，故选C．
8.
【解析】因为曲线：，求导得，
易知在点处切线的方程为，
下面证明恒成立，
构造函数，求导得，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
故函数，即恒成立，
又：，求导得，当时，，且过点，
故C在点处的切线方程为．
下面证明在上恒成立．
令 ，
则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则 ，即在上恒成立，
因为，且直线：与直线：平行，
，，等于，之间的距离，如图所示：
所以．故答案选：．
9.
【解析】年的产量是万辆，年的产量是万辆，，故A错；
万辆，对；
万辆万辆，对；
年的总产量为万辆年的总产量为万辆，，对；故选BCD．
10.
【解析】圆的方程化为标准方程：，
当上顶点为，焦点为或，则或，
当焦点为，右顶点为，则，故选：．
11.
【解析】当时，，
令，易知，其在上为减函数，上为增函数，
所以在上为增函数，在上为减函数，故D正确；
当时，，，
令，，开口向上，
故函数有两个极值，先正后负再正，则先增后减再增，
且 ，故A正确；
当时，，，
令，，开口向下，
故函数有两个极值，先负后正再负，则先减后增再减，
且 ，故B正确；
综上，的图象不可能为．故本题选ABD．
12.
【解析】作平面，则．
设，，，
．
又有，，圆心，半径，
所以，则，
，A正确，B错误；
由
当最小时，有在外部，如图，此时，二面角为锐角，为钝角，D正确．故选：．
13.
【解析】
．

14.
【解析】设铸得的铁球的半径为，依题意，
可得该几何体的体积为，
则，
解得．故答案为．
15.
　
【解析】设点为角终边上一点，如图所示，．
由三角函数的定义可知： ， ，
则，则直线的倾斜角为，
将点绕原点逆时针旋转到点，
得直线的倾斜角为，
且点在角的终边上，由三角函数定义可得
点的坐标为，即，
又 ，则 ．
故答案为：．

16.
【解析】设，，
即对任意，，
所以为函数的最大值点，显然也为极大值点，
因为，
则，
则，
得，
当时，不合题意
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，符合题意
当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
且时，，
所以，符合题意．
故，，
所以．
则的取值范围是．
故答案为．
17.解：因为，即，
当时，，
得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
由可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．

18.解：由，
则，
有，即，
又，所以．
由，则，所以
有，则，
又，则．

19.证明：，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
．
解：连结，取中点，连结，，
在菱形中，，是等边三角形，
又为中点，，
平面平面，平面平面，
平面，且，
平面，平面，
，
又，，
以点为原点，为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，又，
设与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率，
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝
上次数的概率相等，故．
可以先考虑甲乙各抛赛次的情形，
如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，则第次甲必须
再抛掷出正面朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数
如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次
数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为
如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第次无论结果如何，甲正面朝上次
数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为，由对称性可知
故，而由
可得．

21.解：由题意知：，，解得，，
所以双曲线的方程为；
设直线的方程为，
与联立可得，
设，，
则，，
，，
假设轴上存在定点，使得为定值，
，
若为定值，则必有，
解得，此时
若直线斜率为，则，，
所以．
所以轴上存在定点，使得为定值．
22.解：证明：当时，，其定义域为，，
令，，
由，解得；由，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，即，在上单调递减，
又，
有唯一的零点；
当时，恒成立，
即在上恒成立，
设，，则，
考虑的分子：令，开口向下，对称轴为，
在上单调递减，，
当，即时，，所以，，
在上单调递减，，满足题意；
当时，，
设的两个实数根为、，
，，，
当时，，即；当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
，不合题意，
综上所述，．