二、多选题（每小题 5分，共 20分）
5月月考试卷 数学试题 9．已知 a，b，c∈R，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ac2 bc2 ，则 a b B．若 a b 0，则 a2 ab
a b 1 1
C．若 c a b 0，则 D．若 a b 1，则 a b
一、单选题（每小题 5分，共 40分） c a c b b a
1．已知集合 A {x∣ 2 x 1},B {x∣ 1 x 2} ，则 A B （ ） 10．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A和事件 B，满足
A． ( 1,1] B． ( 2,2] C． ( 2,1] D． ( 1, 2] n Ω 32,n A 16,n B 8,n A B 20，则下列结论正确的是（ ）
2．设 f (x)
5
是周期为 2的奇函数，当 0 x 1时， f (x) 2x(1 x)，则 f ( ) （ ）
2
A． P AB 1 B． P(AB) 1
1 1 1 1 8 4A． B． C． D．
2 4 4 2 C．A与 B相互独立 D．A与 B互斥
P 2, 4 1 13．已知角 的终边经过点 ，则 sin 3cos 的值等于（ ） 11．已知函数 f x sinx cosx sinx cosx ，则下列结论正确的是（ ）
2 2
3 5 5 1A B C D 2 3． ． ． ． A． f x 的值城为[ 1,1]
5 5 5 3
4．已知 a sin152 ，b log 2023， c 2 0.92022 ，则（ ） B．当且仅当 x 2kπ
π
(k Z)时，函数 f x 取得最大值
A． c b a B． c
5．我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以 π
C．当且仅当 x 2kπ,2kπ k Z 时， f x 0
至于不可割，则与圆周合体无所失矣”. 刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正 3072 2
边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正 n边形与圆内接正2n边形分别计算
D． f x 的最小正周期是 π
出的圆周率的比值为（ ）
180 ln x , x 0 2A． sin B． cos
180 C 360 360 ． 2sin D． 2cos 12．已知函数 f x x 且方程 f x m 1 f x m 0的 6个解分别为 n n n n 3 , x 0
1 1
6．已知正实数 a，b满足 a 2b 4，则 的最小值是（ ） x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 ，则（ ）a b 1
33 3 2 2 1A．1 B． C． D 1 3． A．m e B． x2 x3 C． x3x6 1 D． x6 x1 e28 6 3 e
P(sin cos , tan ) 三、填空题（每小题 5分，共 20分）7．已知点 在第一象限，则在 0,2 内的 的取值范围是（ ）
13．已知有 8个样本数据分别为 4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第 75百
( , 3 ) ( , 5 ) ( ,
分位数为______．
A． B． ) ( ,
5 )
2 4 4 4 2 4 1
( , 3 ) (5 , 3
2
) ( 3 3
14．
C D , ) ( , ) log2 7 log3 8 log 3 2
log 12 4 2 7 ( 2 1)
lg1 (lg5)2 lg 2 lg50=_____________________
． ．
2 4 4 2 2 4 4 4
8．符号 [x]表示不超过 x的最大整数，如[2.1] 2，[ ] 3，[ 1.2] 2，定义函数{x} x [x]，以
下结论正确的是（ ） 15．如图，扇形半径为 6，阴影部分周长为10 3π，则矩形OABC面积等
于______________.
①函数{x}
1
的定义域是 R，值域为[0,1)； ②方程{x} 有无数个解；
2
③函数{x}不是奇函数； ④函数{x}是增函数.
16．函数 f (x) x a cos x 在 0,b 上的值域为 1, 3 b，则 的值为
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 2 a
______________．（注： y x cos x为 R上的增函数）
1
四、解答题(17题 10分，18-22题每题 12分，共 70分） 1
20 2．已知函数 f x 2cos x 2a sin x 2a 1的最大值为 .
2
17 2．设 a R，集合 A x log2 x a 2 , B x x a 3 x 0 ， (1)求 a的值；
(1)若 a 2，求 A B
(2)当 x R时，求函数 f x 的最小值以及取得最小值时 x的集合.
(2)若3 A RB ，求 a的取值范围.
21．若函数 f x 定义域的为 R，对任意的 x1, x2 R，恒有 f x1 x2 f x1 f x2 ，则称 f x 为“V
18．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40名学生的测试成绩，整 形函数”.
理数据并按分数段 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组，制作成如图所示的频率
（1）当 f x x2时，判断 f x 是否为“V 形函数”.并说明理由:
分布直方图.
(1)体育成绩大于或等于 80的学生被称为“体育良好”，已知该校
（2）当 f x lg x2 2 时，证明: f x 是“V 形函数”
高一年级有 1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的
学生人数；
3 f x lg 2x（ ）当 a 时，若 f x 为“V 形函数”，求实数 a的取值范围.
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和
[80,90)的样本学生中随机抽取 2人，求在抽取的 2名学生中，恰
有 1人体育成绩在[80,90)的概率.
22 f (x) 2e
x
．已知函数 x k 是奇函数.（e是自然对数的底）e 1
(1)若 x 0时，关于 x的不等式 f (2x) mf (x) 恒成立，求实数 m的取值范围；
5 7 12 f (x) 119．求下列各式的值：已知 sin
cos
，且 0
. (2)设 g(x) a,b,c (0,n]1 f (x) ，对任意实数 ，若以 a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均 2 2 25 4
（1）求 tan 的值； 有以 g(a)， g(b)， g(c)为长度的线段也能构成三角形，求实数 n的最大值.
cos 3 sin （2）求 sin 3 2cos 2 2 的值.
2数学参考答案： n AB P AB 4 1 P(AB) n(AB) 12 3 ， ，故 A正确，B错误； n AB 4, AB An Ω 32 8 与n(Ω) 32 8
1．A 2．A 3．B 4．D
n A 16 1 n B 8 1
360 1 360 n 360 B不互斥，故 D错误； P A , P B ,
1 1 1
P A P B P AB
5．B【详解】对于正 n边形，其圆心角为 ，面积为 S1 n r r sin r
2
sin ， n Ω
32 2 n Ω 32 4 2 4 8
n 2 n 2 n 事件 A与 B相互独立，故 C正确.
360 2n 1对于正 边形，其圆心角为 ，面积为 S2 2n r r sin
360 nr 2 sin 180 ，由此可得， 1 1
cos x, sin x cos x
2n 2 2n n 11．BC【详解】因为 f (x) (sin x cos x) sin x cos x ，作出函数 f (x)的2 2 sin x, sin x cos x
n r 2 sin 360
nr 2 sin 180
cos
180
S 1 2 n n n 180 2
S 180 180
cos . 故选：B.
n 图象，如图所示： 所以，
f (x)的值域为 1, ，A错误；
2 nr 2 sin nr 2 sin 2
n
n
6 C a 2 b 1 6 1 a 2 b 1 1. a,b 0 π． 【详解】由已知可得， ，所以 又 ，所 函数 f (x)6 的最小正周期是 2π，D错误；当且仅当 x 2kπ (k Z)时，函数 f (x)取得最大值，B正4
1 1 1 1 1 a 2 b 1 1 1 2 2 b 1 a 1 2 b 1 a 3
π
a b 1 a b 1 6 6 a b 1 6 a b 1
确；当且仅当 x 2kπ,2kπ k Z 时， f (x) 0，C正确. 2
1 b 1 a 2
2 2 3
1 2 2 3 3 2 2 b 1 a f x m 1 f x m 0 f x m f x 1 0 f x m6 a b 1 . 2
12．CD【详解】 ，整理得到 ，故 或当且仅当 ，即 ，
6 6 a b 1
a 6 2 6
ln x , x 0
1 1
. 3 2 2
f x 1，画出 f x x 的图象，如下：
b 5 3 2时，等号成立 所以， 的最小值是 . 3 , x 0a b 1 6 1
7．B【详解】由已知点 P(sin cos , tan )在第一象限得：sin cos 0，tan 0，即 sin cos ， 显然 f x 1有三个根，分别为 x2 0, x4 , xe 5 e，
tan 0 sin cos ，当 ，可得 2k 5 2k ，k Z．当 tan 0，可得 2k 2k 或
4 4 2 f x m有三个根，分别为 x1, x3 , x x 0 x
1
6， 1 ， 3 0, ， x6 e，
2k 3
e
2k ， k Z ． 2k 5 2k 或 2k 2k ， k Z．
2 4 2 4 1A 选项，数形结合得到m 1，A错误；B选项，由于 x 0，x
5 5 2 3
0,
e
当 k 0时， 或 ． 0 2 ， 或 ．
4 2 4 4 2 4 0 x x 1 B C ln x m x e m m故 2 3 ，故 错误； 选项，由 3 得 3 ，由 ln x6 m，得到 x6 e ，故
8．C【详解】对于①：函数 x 的定义域是 R，但0 x x 1，其值域为[0,1)，故正确；对于②： e
x3x6 e
m em 1，C正确；D选项，因为 x1 0， x6 e，故 x6 x1 e，D正确.
x x [x] 1 1 ，可得 x [x]，则 x 1.5，2.5，3.5L都是方程的解，故正确；对于③：函数 x
2 2 13．17.5【详解】由题意，数据的总体的第 75百分位数，又样本数据有 8个，所以第三四分位数为
的定义域是 R，而 x x [ x] x ，如 2.1 2.1 [ 2.1] 2.1 ( 3) 0.9， 15 20 17.5 .
2.1 2.1 2.1 2.1 2 0.1， 2.1 2.1 2故函数不是奇函数，故正确；对于④：由②可 1
15
log 4 1 2 lg1 2
知 1.5 1 1 1 1 14． 【详解】 2， 2.5 ， 3.5 ，当 x 1.5, 2.5,3.5, 时，函数函数 x 的值都是 ，所以不是增 2 log2 7 log3 8 log7 3 2 2 ( 2 1) (lg5) lg 2 lg502 2 2 2 4
1
函数，故错误。 2 2
9 ABD 3． 【详解】对于 A：因为 ac2 bc2 ，所以 c2 0，所以 a b，故 A正确；对于 B：因为 a b 0 ， log2 7 log7 3 log3 8 4 ( 2 1)
0 (lg52) lg 2 2gl 5 lg 2
2
所以 a b 0，两边同乘以 a得a2 ab ，故B正确；对于C：因为 c a b 0，所以0 c a c b，
1 1 a b log 8 4 3 1 (lg5 lg 2)2 3 4 3 1 1 15所以 0，又a b 0，两式相乘得 ，故 C错误；对于 D： 2 ，.
c a c b c a c b 2 2 2
a 1 1 1 1 a b ab 1
15．14【详解】设OA a,OC c，因为扇形半径为 6，阴影部分周长为10 3π，
b
b a b a b a b ,因为 a b 1，所以 ab 1 ,所以
a b a ab ab π所以 (6 a) (6 c) 6 a2 c2 10 3π，且 a2 c2 36 .
a b ab 1
2
0，所以 a
1 1
b ，故 D正确.故选：ABD a2 c2ab 36 (a c)2 b a OABC ac (a
2 c2 ) 64 36
则 ，即矩形 面积等于 14 .
10．AC【详解】因为 n Ω 32， n A 16,n B 8,n A B 20，所以 a c 8 2 2
n AB n A n B n A B 16 8 20 4， n AB n Ω n A B 32 20 12 ，
1
5
16． 【详解】因为 x a 0， cos x 1，所以当且仅当 x a 0且 cos x 1 f (x) 1 综上所述： a 1.时 ，
2 1 1
3 （2）由（1）可得： g t 2t
2 2t 1 在 1, 上单调递增，在 ,1 上单调递减，
所以 a x 2k ,k N ,又 f (0) | a | 1 [ 1, ] ，所以a 2 2
2 g t g 1 5min ，即 f x 5min ，此时 sin x 1，则取得最小值时 x的取值集合为
所以 f (x) x cos x，易知 f (x)在 (0, )上单调递减，在 ( , )单调递增，
x x π3 2kπ,k Z
.
所以当b 时， f (x) f (0) 1
，不满足题意；当b 时，因为 f (x)max ，所以 2 2 2
3 5 3 21．【详解】（1）当 f x x 时， f x 不是为“V形函数”.取 x1 1, x2 2f (b) b cosb ，注意到 f ( ) ，且 f (x)在 ( , )单调递增，
2 2 2 f x1 x2 9, f x1 f x2 1 4 5，不满足 f x1 x2 f x1 f x2 ；
b 5 b 5所以 ，所以 （2）当 f x lg x2 2 时， f x1 x2 lg[(x x )21 2 2], f x1 f x2 lg(x 21 2) lg(x 22 2)，
2 a 2
2 f x f x f x x lg(x 2 2) lg(x 2 2) lg[(x x )2 2]17【详解】（1）当 a 2时，A x | log x 2 2 x | 2 x 2 ，B x | x 5x 0 x | 0 x 5 ， 1 2 1 2 1 2 1 22
A B x | 2 x 2 x | 0 x 5 x | 2 x 5 lg (x
2 2)(x 2 2) x 2x 2 2x 2 2x 2 4 2 2 2 2 21 2 lg 1 2 1 2 lg x1 x2 2 x1 x2 x1 x
2
2 2
所以 . (x x 2 2 2 2
2 2 1 2
) 2 x1 x2 2x1x2 2 (x1 x2 ) 2
（2）集合B x | x a 3 x 0 ，所以 RB x | x a 3 x 0 . 2
lg x1 x
2 2 2x x 2 22 1 2 x1 x2 2 lg (x1 x2 )
2 2 x 21 x
2 2 x 2x 22 2
log 3 a 2 0 3 a 4 2 2 = lg[1
1 2
2 ] 0 ，
3 A B 3 A 3 B . 2 (x1 x2 ) 2 (x1 x2 ) 2 (x x ) 2因为 R ，所以 且 R 则 32 ，即 ，解得 3 a 0 .
1 2
3 a 3 0
3a 0 所以 f x1 x2 f x1 f x2 ，所以 f x 是“V形函数”；
18．【详解】（1）因为体育成绩大于或等于 80的学生所占的频率为 0.0075 0.0375 10 0.45， （3）当 f x lg 2x a 时，若 f x 为“V 形函数”，则 f x1 x2 f x1 f x2 ，
所以估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数为1000 0.45 450 . lg 2x1 x2 a lg 2x1 a lg 2x即 2 a lg 2x1 x2 a (2x1 2x2 ) a2 ，则 a(2x1 2x2 ) a2 a 0恒成立，
（2）因为体育成绩在 60,70 的样本中的学生数为0.005 10 40 2，记为 A,B，体育成绩在 80,90
当 a 0时，上式成立；
的样本中的学生数为0.0075 10 40 3，记为 c,d ,e，
当 a 0时， (2x1 2x2 ) a 1 0，因为 2x1 2x2 0，所以a 1 0，解得a 1；
在以上 5人中随机抽取 2人，有 AB,Ac,Ad ,Ae,Bc,Bd ,Be,cd ,ce,de ，共 10种情形，
6 3 当 a<0时， (2
x1 2x2 ) a 1 0，显然 (2x1 2x2 ) a 1无最大值，所以无解.综上：a 1或 a 0 .
恰有 1人体育成绩在 80,90 的有 Ac, Ad , Ae,Bc,Bd ,Be，共 6种情形，故所求概率为 P .
10 5 22．【详解】（1）因为 f (x)是奇函数，且定义域为 R，所以 f (0) 0，
0
5 7 2e
19．【详解】（1）因为 sin cos cos sin
12
， 即 0 k 0，解得 k 1 .经检验，此时 f (x)是奇函数 2 2 25 e 1
x
12 sin cos tan k 1 . f (x) 2e 1 e
x 1 2 x xx 0 f (2x) mf (x) e 1 m e 1 2 2 2 ， 12 tan
2 25tan 12 0，即 3tan 4 4 tan 3 0， 所以 知 x e 1 e x ，由 时， 恒成立，得 1 e2 x ，因25 sin cos tan 1 1 e
x 1
3 x 2 e x 1
2
e 2 x 2e x 1 2e x 2
0 ，则0 tan 1， tan ； 为 ex 1 0 e 1 ，所以 m ，设 h ( x ) 2 x 2 x 1 1 4 4 2 x e 1 e 1 e 2 x 1 ，因为e 1 e x 1 e x
（2） cos
3 sin
sin 3 2cos ex 1 12 2 2 ，当且仅当 x 0时，等号成立，又 x 0，所以 e
x 2，故
ex ex
9 3 x 2
2 2 2 2 e 1 h ( x ) 1 2 2 1 2
sin cos 9 12 32 11sin 2cos sin sin cos 2cos tan tan 2 16 4 . e 2 x 1 x 1 2 ，所以m 2 .
sin 2 cos2 tan 2 1 9 9 16 25 e 1 e x
16 x
2 e 120【详解】（1）f x 2 1 sin x 2a sin x 2a 1 2sin 2 x 2a sin x 2a 1 ；令 t sin x，则 t 1,1 ， x 1
（2）由题意得： g(x)
f (x) 1
e 1 e x ，不妨设0 a b c n，
g t 2t 2 2at 2a 1 t a a 1 a 2 g t 1,1 1 f (x) e
x 1
，对称轴为 ；①当 ，即 时， 在 上单调递减， 1
2 2 ex 1
a 以 a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即a b c，且 ea b c g t g 1max 1，不合题意；②当 1，即 a 2时， g t 在 1,1 e e
，
上单调递增，
2 以 g(a)， g(b)， g(c)为长度的线段也能构成三角形，则 ea eb ec 恒成立，得ea c eb c 1恒成立，
1 a b 2c c
g t g 1 4a 1 ，解得：a 1 a（舍）；③当 1 1，即 2 a 2时，g t 1, a 在 上 因为 ea c eb c 2 ea c b c
max 2 8 2 2 e 2e
2 2e 2 ，仅当 a=b时前一个等号成立，
a 2 所以
c
2 ，即 c 2ln
1
2ln 2 ，于是 n的最大值为 2 ln 2 .
单调递增，在 ,1 上单调递减， g t g
a a 1
2a 1 max ，解得：a 1或 a 3（舍）；
2e 1 2
2 2 2 2
2