四川省成都市城厢中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（PDF版含解析）

城厢中学 2022-2023 学年度下期高二年级半期考试
数学（理科）试卷
一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合 = { | 2 2 ≤ 0}， = {0,1}，则 ∩ =( )
A. [0,1] B. {0,1} C. [0,2] D. {0,1,2}
2. = 3+ 复数 1+ 在复平面内表示的点的坐标为( )
A. (2, 1) B. (1, 1) C. (1,2) D. (2,2)
+3
3. 函数 = , ≤ 0ln , > 0 ，则 1 =( )
A. 1 B. 0 C. ln2 D. 2
4. 在极坐标系中，圆 = 2 的圆心的极坐标是( )
A. (1, 2 ) B. (1,

2 ) C. (1,0) D. (1, )
5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )
A. ( ) = 2 3 + 3 B. ( ) = 5tan C. ( ) = 8 D. ( ) = +
6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 17
7. 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4名男生，2名女生，
现从中选出 4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（ ）
A. 8种 B. 14种 C. 12种 D. 9种
8. 收集一只棉铃虫的产卵数 与温度 的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不
同的曲线来拟合 与 之间的回归方程，并算出了对应的决定系数 2如下表：
拟合曲线 直线 指数曲线 抛物线 二次曲线

与 的回归方程 = 0.27 3.84 = 0.367 2 202 = ( 0.78)2 1
= 19.8 463.7
2 0.746 0.996 0.902 0.002
则这组数据模型的回归方程的最好选择应是( )
A. = 19.8 463.7 B. = 0.27 3.84 C. = 0.367 2 202 D. = ( 0.78)2 1
9. 4 4 3若 (x 1) a4x a3x a
2
2x a1x a0 ，则 a4 a3 a2 a1 （ ）
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A. 1 B. 1 C. 15 D. 16
10. =
2ln| |
函数 | | 的图象大致是( )
A. B. C. D.
11. 函数 ( ) = 3 2 2 + 4 ，当 ∈ [ 3,3]时，有 ( ) 2 14 恒成立，则实数 的取值范围是 ( )
A. 3,11 B. 3,11 C. 2,7 D. 3,11
12. f x x 1
2 sin x
已知函数 ，其导函数记为 f x ，则
x2 1
f 2022 f 2022 f 2022 f 2022 （ ）
A. -3 B. 3 C. 2 D. -2
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 复数 = (1 + 2 )的共轭复数为______ ．
14. x 1 10的展开式的第 6项系数是______.
15. 已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：
“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是______ ．
b
16. 已知 a，b为实数，不等式ax b ln x恒成立，则 的最小值为______．
a
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10.0分)在平面直角坐标系 中，曲线 ： 2 + 2 = 1 所对应的图形经过伸缩变换
′ = 2
得到图形 ′．
′ = 3
(1)写出曲线 ′的平面直角坐标方程；
(2)点 在曲线 ′上，求点 到直线 ： 3 + 6 = 0 的距离的最小值及此时点 的坐标．
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18. (本小题 12.0分)已知函数 ( ) = 3 + 2 2 + + 在 = 1处取得极大值 1．
(1)求 ， 的值；
(2)当 ∈ [ 1,1]时，求 ( )的最大值．
19. (本小题 12.0分)随着 2022年北京冬季奥运会的如火如荼地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物
“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利 50 元，
若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费 10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供
应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利 20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计 20
天)的需求量(单位：个)，统计数据得到下表：
每天需求量 162 163 164 165 166
频数 2 4 6 5 3
以上述 20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记 X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．
(Ⅰ)求 X的分布列；
(Ⅱ)若该店某一天购进 164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元．
20. (本小题 12.0分)
光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴
政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：
年份 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8
新增光伏装机
0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2
量 兆瓦
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某位同学分别用两种模型：① = 2 + ，② = + 进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分
析，残差图如下(注：残差等于 ；)
经过计算得8 =1 = 72.8，
8
=1 ( )
2
= 42，8 =1 = 686.8，
8 =1 ( )
2 = 3570 1，其中 8 = 2， = 8 =1 ．
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由．
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立 关于 的回归方程，并预测该地区 2020年新增光伏装机量是多
少. (在计算回归系数时精确到 0.01)
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=

=1
， =
．
=1 2
21. (本小题 12.0分)
已知函数 ( ) = 1 + 1．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)①若 ( ) ≥ 0恒成立，求实数 的取值集合；
②证明： ln( + 2) > 0．
22. (本小题 10.0分)
在极坐标系中，点 的极坐标是(1, )，曲线 的极坐标方程为 2 2 8 = 0，以极点为坐标原点，
极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1的直线 经过点 ．
(1)写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
(2) | | | |若直线 和曲线 相交于两点 ， ，求| | + | |的值．
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答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合 = { | 2 2 ≤ 0} = { |0 ≤ ≤ 2}， = {0,1}，
则 ∩ = {0,1}．
2.【答案】
= 3+ = (3+ )(1 ) 3 3 +
2 4 2
【解析】解： 1+ (1+ )(1 ) = 1 2 = 2 = 2 ．
则复数 = 3+ 1+ 在复平面内表示的点的坐标为(2, 1)．
3.【答案】
+3
解：根据题意，函数 ( ) = , ≤ 0,ln , > 0, ,
则 ( 1) = 2 > 0，
则 [ ( 1)] = 2 = 2 = 2，
4.【答案】
解：圆 = 2 即 2 = 2 ，
即 2 + 2 + 2 = 0，即( + 1)2 + 2 = 1，
表示以( 1,0)为圆心，半径等于 1的圆．
而点( 1,0)的极坐标为(1, )，
5.【答案】A
解：函数 = 2 3 + 3 是奇函数，且在定义域内是增函数，A正确；
函数 = 5tan 在定义域内不具有单调性，B错误；
= 8函数 在定义域内不具有单调性，C错误；
函数 ( ) = + 的定义域是 0, + ∞ ，不具有奇偶性，D错误；
综上，应选 A．
6.【答案】
【解析】解：模拟程序的运行，可得
= 1
执行循环体， = 3
不满足条件 > 10，执行循环体， = 7
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不满足条件 > 10，执行循环体， = 15
满足条件 > 10，退出循环，输出 的值为 15．
故选： ．
7.【答案】
【解析】
4
【分析】采用采用间接法，任意选有C6 15种，都是男生有 1种，进而可得结果.
4
【详解】任意选有C6 15种，都是男生有 1种，则至少有一名女生有 14种.
故本题选 B．
8.【答案】
【解析】由决定系数 2来刻画回归效果， 2的值越大越接近 1，说明模型的拟合效果最好．
故选： ．
9. 【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法结合条件即得.
4 4 3 2
【详解】因为 (x 1) a4x a3x a2x a1x a0 ，
令 x 0得， a0 1，
令 x= 1 4得， a4 a3 a2 a1 a0 2 16，
所以， a4 a3 a2 a1 16 1 15．
故选：C.
10.【答案】
解：当 > 0 时， = ， ′ = 1 + ，
即 0 < < 1 1 时，函数 单调递减，当 > ，函数 单调递增，
又因为函数 为偶函数，故排除 ，
故选： ．
11.【答案】
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解：因为 ( ) = 3 2 2 + 4 ，
所以 ′( ) = 3 2 4 + 4，
令 ′( ) = 0 得 = 23或 = 2，
2 2
可知函数 ( )在 3, 2 上单调递减，在 2, 3 上单调递增，在 3 , 3 上单调递减，
而 ( 3) = 3， ( 2) = 8 ( 2 ) = 40， 3 27， (3) = 33，
所以函数 ( )在[ 3,3]上的最小值为 33，
因为当 ∈ [ 3,3]时， ( ) ≥ 2 14 恒成立，
只需 2 14 ≤ ( ) ，
即 2 14 ≤ 33，即 2 14 + 33 ≤ 0，
解得 3 ≤ ≤ 11．
故选 D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】利用求导法则求出 f x ，即可知道 f x f x ，再利用 f x f x 2，即可求解.
1 x
2 sin x 1 x 2 sin x
【详解】由已知得 f x 2 ，x 1 x2 1
x 1
2 sin x 1 xf x f x
2 sin x
则 2 2 2，x 1 x 1
2 x 1 cos x x 2 1 2x x 1
2 sin x
f x
x2 2 1
2 cos x x2 1 2xsin x
，
x2 2 1
2 cos x x2 1 2xsin x
则 f x ，
x2 1 2
即 f x f x ，
则 f 2022 f 2022 f 2022 f 2022
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f 2022 f 2022 f 2022 f 2022 2，
故选：C.
13.【答案】 2
【解析】解：复数 = (1 + 2 ) = 2 + ，
其共轭复数为 2 ．
14.【答案】 252
【解析】
【分析】应用二项式定理写出第 6项系数.
r 10 r r r r 10 r
【详解】由Tr 1 C10x ( 1) ( 1) C10x ，
所以，第 6项为 r = 5，则T6 ( 1)
5C5 510x 252x
5
，
故第 6项系数是 252 .
故答案为： 252
15.【答案】乙
【解析】解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；
假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；
假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意不符，所以丙不会．
综上可得：会中国象棋的是乙，
16.【答案】-1
【解析】
b ln a 1
【分析】先由 ax b ln x恒成立得出b lna 1，进而 ，
a a
g a ln a 1构造函数 a 0 求解.
a
【详解】设 f x ln x ax b x 0 ，则不等式 ax b ln x恒成立等价于 f x 0max 成立，
1 1 ax
显然当 a 0时不符合题意．当 a 0时， f x a x 0 ，
x x
0 x 1 1
1 1
∴当 时， f (x)> 0，当 x 时， f x 0，则 f x 在 0,

a a a
上单调递增，在 , 上单调
a
递减，
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f x f 1 ∴ lna 1 bmax ．由 f x 0
b ln a 1
max 得b lna 1，∴ ． a a a
令 g a ln a 1 a 0 g a ln a，则 ，当 0 a 1时， g a 0， g a2 在 0,1 上单调递减，a a
当 a 1时， g a 0， g a 在 1, 上单调递增，∴ g a g 1min 1，
b b
∴ 1，则 1，此时 a 1，a b = -1
．
a min
故答案为： 1.
= ′ ′ = 2 2 2
17.【答案】解：(1)由 得到 2 ，代入到 2 + 2 = 1 中，得( ′) + ( ′) ′ 4 3 = 1． ′ = 3 = 3
2 2
即 + 为曲线 的直角坐标方程；4 3 = 1 ′
(2)设 (2 , 3 )，则点 到直线 的距离为
，
其中 ，
当 sin( + ) = 1 时，即 + = 2 + 2 ( ∈ )，
于是 ，
同理 ，此时 ，即距离最小值为 ，此时点 ．
18.【答案】解：(1)已知函数 ( ) = 3 + 2 2 + + 在 = 1处取得极大值 1，
∵ ′( ) = 3 2 + 4 + ，且函数 ( )在 = 1处有极值 1，
∴ ′( 1) = 3 4 + = 0 ，
( 1) = 1 + 2 + = 0
= 1
解得 = 1；
又当 = = 1 时， ′( ) = 3 2 + 4 + 1 = 3( + 1)( + 13 )，
∴ ( )在( ∞, 1) 1 1和( 3 , + ∞)上单调递增，在( 1, 3 )单调递减，
故 ( )在 = 1处取得极大值，满足题意；
综上， = = 1；
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(2)当 = 1， = 1 时， ( ) = 3 + 2 2 + + 1，则 ′( ) = 3 2 + 4 + 1 = 3( + 1)( + 13 )，
当 变化时， ′( )与 ( )的变化情况如下表：
1 1 1 1( 1, 3 ) 3 ( , 1)
1
3
′( ) 0 +
( ) 1 23单调递减 极小值27 单调递增 5
所以 ∈ [ 1,1]时， ( )的最大值为 5．
19.【答案】解：（1） X 可取 162，163，164，165，166，
P X 162 2 1 ， P X 163 4 1 ， P X 164 6 3 ，
20 10 20 5 20 10
P X 165 5 1 ， P X 166 3 ，
20 4 20
所以分布列为：
X 162 163 164 165 166
1 1 3 1 3
P
10 5 10 4 20
（2）设Y 表示每天的利润，
当 X 162时，Y 162 50 2 10 8080，当 X 163时，Y 163 50 10 8140，
当 X 164时，Y 164 50 8200，当 X 165时，Y 164 50 20 8220，
当 X 166时，Y 164 50 2 20 8240，
1 1 3 1 3
所以平均利润为8080 8140 8200 8220 8240 8187（元）.
10 5 10 4 20
20.【答案】解：(1)选择模型①，理由如下：
根据残差图可以看出，模型①残差对应点分布在以横轴为对称轴，宽度小于 1的水平带状区域内，模型①
的各项残差的绝对值要远远小于模型②的各项残差的绝对值，所以模型①的拟合效果相对较好．
(2)由(1)知， 关于 的回归方程为 = 2 + ，令 = 2，则 = + ．
1
由所给数据可得 = 88 =1 =
1
8 × (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64) = 25.5，
= 18 = 18 =1 8 × (0.4 + 0.8 + 1.6 + 3.1 + 5.1 + 7.1 + 9.7 + 12.2) = 5，
8
则 = =1 ( )( ) 686.8
8 2
=
=1 ( ) 3570
≈ 0.19，
= ≈ 5 0.19 × 25.5 ≈ 0.16．
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所以 关于 的回归方程为 = 0.19 2 + 0.16．
预测该地区 2020年新增光伏装机量为 = 0.19 × 102 + 0.16 = 19.16(兆瓦)．
21.【答案】解：(1)因为 ( ) = 1 + 1，所以 ′( ) = 1 ，
①当 ≤ 0时， ′( ) > 0，函数 ( )在区间 上单调递增；
②当 > 0 时，令 ′( ) > 0， > + 1，令 ′( ) < 0， < + 1，
所以 ( )在( ∞, + 1)上单调递减，在( + 1, + ∞)上单调递增．
(2)①由(1)可得当 ≤ 0，函数 ( )在区间 上单调递增，
又 (1) = 0 + 1 = 0，所以 < 1，则 ( ) < 0，与条件矛盾，
当 > 0 时， ( )在( ∞, + 1)上单调递减，在( + 1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ ( + 1)，由已知 ( + 1) ≥ 0，
所以 1 ≥ 0，
设 ( ) = 1，则 ′( ) = 1 1 = ，
所以当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，函数 ( ) = 1单调递增，
∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0，函数 ( ) = 1单调递减，
又 (1) = 1 1 1 = 0，
所以不等式 1 ≥ 0的解集为{1}．
②证明：设 ( ) = + 1 ln( + 2)，则 ′( ) = 1 1 +1 +2 = +2，
当 ∈ ( 2, 1)时， ′( ) < 0，函数 ( ) = + 1 ln( + 2)单调递减，
∈ ( 1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( ) = + 1 ln( + 2)单调递增，
又 ( 1) = 0 1 = 0，
所以 + 1 ln( + 2) ≥ 0，当且仅当 = 1时取等号，
由① ≥ + 1，当且仅当 = 0 时取等号，
所以 ln( + 2) > 0．
22. 3 【答案】解：(1)点 的直角坐标是( 1,0)，直线 的倾斜角是 4，
= 1 2
∴直线 的参数方程为 2

，( 为参数)，
= 22
由直角坐标与极坐标互化公式得曲线 的直角坐标方程为( 1)2 + 2 = 9．
= 1 2
(2)将 2 代入( 1)2 + 2 = 9，得 2 ，
= 2
+ 2 2 5 = 0
2
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设 ， 对应参数分别为 1， 2，则 1 + 2 = 2 2， 1 2 = 5，
根据直线参数方程 的几何意义得：
| | + | | = | |
2+| |2 21+
2
2 ( 2 21+ 2) 2 1 2 (2 2) 2×( 5) 18．
| | | | | | | | = | 1
= = =
2| | 1 2| | 5| 5
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