2022-2023-2学期期中考试试题
高一数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟，答案
写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
1．若 sin α＝ ，则 cos 2α＝( )
3
8 7 7 8
A. B. C.－ D.－
9 9 9 9
2
2．在复平面内，复数 z对应的点与 对应的点关于实轴对称，则 z＝( )
1－i
A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i
3. 设 a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知正三角形 ABC的边长为 a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
3 3 6 6
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
4 8 8 16
c
5．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若
b
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
6．如图，测量河对岸的塔高 AB时可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C与 D，测得∠BCD＝15°，
∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C测得塔顶 A的仰角为 60°，则塔高 AB等于( )
A.5 6 B.15 3 C.5 2 D.15 6
3 1
7． ＋ ＝( )
cos 190° cos 80°
A.－4 B.4 C.－2 D.2
8．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 b2＋c2－ 3bc＝a2，bc＝ 3a2，则角 C的大小是( )
π 2π π 2π π
A. 或 B. C. D.
6 3 3 3 6
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．下列命题正确的是( )
A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
3＋2i
10．已知 i 为虚数单位，复数 z＝ ，则以下为真命题的是( )
2－i
A.z在复平面内对应的点在第一象限
7
B.z的虚部是－
5
C.|z|＝3 5
65
D.若复数 z1 满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为 1＋ 5
π
11．如图所示，设 Ox，Oy是平面内相交成 θ θ≠
角的两条数轴，e1，e2 分别是与2
x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 xOy为 θ反射坐标系.在 θ反射
→ → →
坐标系中，若OM＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)称为向量OM的反射坐标，记为OM
2π
＝(x，y).在 θ＝ 的反射坐标系中，a＝(1，2)，b＝(2，－1)，其中正确的是( )
3
A.a－b＝(－1，3) B.|a|＝ 5 C.a⊥b D.|b|＝ 7.
5π π 3π12．已知函数 f(x)＝sin －2x －2sin x－ ·cos x＋
，则下列关于函数 f(x)的描述正确的是( ) 6 4 4
A.f(x)在区间
π
0，
上单调递增 3
π
B.f(x)图象的一个对称中心是 ，0
3
π
C.f(x)图象的一条对称轴是 x＝－
6
π
D.将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后，所得函数图象关于 y轴对称
3
第Ⅱ卷(非选择题）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13．平面向量 a与 b的夹角为 45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于________.
5 10
14．已知 sin α＝ ，sin(α－β)＝－ ，α，β均为锐角，则 β＝________.
5 10
15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角
2
1 a2＋c2－b2
A，B，C的对边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三斜求积”公式为 S＝ 2 2
4 a c
2－ .若 a sin
2
C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.
→ → →
16．已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2 3，动点 P位于线段 AB上，则当PA·PO取最小值时，向量PA
→
与PO的夹角的余弦值为________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)
1 i
(1)已知复数 z满足 ＝ ，求|z|；
z z＋1
6
1＋i 2＋ 3i
(2)计算 ＋ .
1－i 3－ 2i
18. (本小题满分 12 分)
学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，
E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D 打印所用原
料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，求制作该模型所需原料的质量.
19. (本小题满分 12 分)
π
如图，在平面四边形 ABCD中，∠DAB＝ ，AD∶AB＝2∶3，BD＝ 7，AB⊥BC.
3
(1)求 sin∠ABD的值；
2π
(2)若∠BCD＝ ，求 CD的长.
3
20. (本小题满分 12 分
已知函数 f（x）＝2sin2ωx＋2 3sin ωxcos ωx－1（ω>0），且函数 f（x）的最小正周期为 π.
(1)求 f（x）的解析式，并求出 f（x）的单调递增区间；
π
(2)将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x）的最大值及 g（x）
4
取得最大值时 x的取值集合.
21. (本小题满分 12 分)
sin A b＋c c cos C＋1 → →
在① ＝ ；② ＝ ；③2S＝ 3CA·CB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线
sin B－sin C b－a a 3sin A
上，并加以解答.
在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，S是△ABC的面积，若 （填条件序号）
(1)求角 C的大小；
(2)点 D在 CA的延长线上，且 A为 CD的中点，线段 BD的长度为 2，求△ABC的面积 S的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
22. (本小题满分 12 分)
A＋C
△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asin ＝bsin A.
2
(1)求 B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且 c＝1，求 a的取值范围.2022-2023-2学期期中考试参考答案
高一数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若sin α＝，则cos 2α＝( )
A. B. C.－ D.－
答案 B
2．在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z＝( )
A.1＋i B.－1－I C.－1＋i D.1－i
答案D
3. 设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
4．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案 D
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案 A
6．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A.5 B.15 C.5 D.15
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
答案 D
7．＋＝( )
A.－4 B.4 C.－2 D.2
解析＋＝－
＝＝
＝＝＝4.
答案B
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是( )
A.或 B. C. D.
解析 由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos A＝＝＝，
因为0由bc＝a2及正弦定理，
得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin C＝，
即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，
整理得cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，又0<2C<，
即2C＝或，即C＝或.
答案 A
9．下列命题正确的是( )
A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
答案 AC
10．已知i为虚数单位，复数z＝，则以下为真命题的是( )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z的虚部是－
C.|z|＝3
D.若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋
解析 ∵z＝＝＝＋i，∴z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；z的虚部是，故B不正确；|z|＝＝，故C不正确；设z1＝x＋yi，x，y∈R，由|z1－z|＝1得＋＝1，则点(x，y)在以为圆心，以1为半径的圆上，则(x，y)到(0，0)的距离的最大值为1＋＝1＋，即|z1|的最大值为1＋，故D正确.
答案 AD
11．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系.在θ反射坐标系中，若＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)称为向量的反射坐标，记为＝(x，y).在θ＝的反射坐标系中，a＝(1，2)，b＝(2，－1)，其中正确的是( )
A.a－b＝(－1，3) B.|a|＝ C.a⊥b D.|b|＝.
答案 AD
12．已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是( )
A.f(x)在区间上单调递增
B.f(x)图象的一个对称中心是
C.f(x)图象的一条对称轴是x＝－
D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称
解析 f(x)＝sin－2sincos
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时， ，故A正确；
f＝sin ＝1≠0，故B不正确；
f＝－sin ＝－1，故C正确；
将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确.
答案 AC
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于________.
答案
14．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
答案
15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sin C＝4sin A，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为________.
解析 根据正弦定理及a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，
由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
所以S△ABC＝
＝＝.
答案
16．已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为________.
解析 法一 易知∠AOB＝120°，记＝a，＝b，
则a·b＝－2，设＝λ＝λa－λb(0≤λ≤1)，
则＝＋＝(λ－1)a－λb，
则·＝(λa－λb)·[(λ－1)a－λb]＝12λ2－6λ，
当λ＝时，·取最小值－，
此时，||＝||＝，
＝－a－b＝－(3a＋b)，
||＝|3a＋b|＝，
所以此时向量与的夹角的余弦值为
＝＝－.
法二 取线段AB的中点C，连接OC，以线段AB的中点C为原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立直角坐标系，则O(0，1)，A(－，0)，B(，0)，设P(x，0)(－≤x≤).
则·＝(－－x，0)·(－x，1)＝x2＋x，
当x＝－时，·取最小值－.
此时＝，＝，
所以向量与的夹角的余弦值为
＝＝－.
答案 －
三、解答题（本大题共6 小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
（1）已知复数z满足＝，求|z|；
(2)计算＋.
解析 (1) 由题设得z＋1＝zi，∴z＝＝＝，则|z|＝＝.
(2)原式＝＋
＝i6＋＝－1＋i.
18．（本小题满分12分）
学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，求制作该模型所需原料的质量.
解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，其对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3).
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).
19．（本小题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
解 (1)∵AD∶AB＝2∶3，
∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).
又BD＝，∠DAB＝，∴由余弦定理，
得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
∴sin∠DBC＝，
在△DCB中，由正弦定理，得
CD＝＝＝.
20．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1（ω>0），且函数f（x）的最小正周期为π.
（1）求f（x）的解析式，并求出f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及g（x）取得最大值时x的取值集合.
解 （1）f（x）＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1
＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx－1＝2sin.
由函数f（x）的最小正周期T＝＝π，得ω＝1.
所以f（x）＝2sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
（2）g（x）＝f＝2sin
＝2sin，
则g（x）的最大值为2，
此时有2sin＝2，即sin＝1，
即2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
解得x＝kπ＋，k∈Z，
所以当g（x）取得最大值时x的取值集合为
{x|x＝kπ＋，k∈Z}.
21．（本小题满分12分）
在①＝；②＝；③2S＝·这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S是△ABC的面积，若 （填条件序号）
（1）求角C的大小；
（2）点D在CA的延长线上，且A为CD的中点，线段BD的长度为2，求△ABC的面积S的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
解 （1）选①：＝，
∵由正弦定理得＝，
∴a（b－a）＝（b＋c）（b－c），即a2＋b2－c2＝ab，
∴cos C＝.
由C∈（0，π），得C＝.
选②：由正弦定理得＝，
∴sin C＝1＋cos C，则sin＝.
由C∈（0，π），知C－＝，则C＝.
选③：因为2S＝·，
所以absin C＝abcos C，则tan C＝.
由C∈（0，π），得C＝.
（2）在△BCD中，由余弦定理知a2＋（2b）2－2×a×2b×cos 60°＝22，
∴a2＋4b2－2ab＝4≥2·a·2b－2ab＝2ab，
∴ab≤2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时取等号，此时ab的最大值为2.
可得△ABC的面积S＝absin C＝ab取得最大值.
22．（本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求a的取值范围.
解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°结合A＋C＝120°，得30°