八年级数学下第七章实数导学案

7.1算术平方根
【学习目标】
理解算术平方根的概念。
会求正数的算术平方根。
【知识准备】
1. 一个正方形的面积是4，它的边长是 。2. 一个正方形的面积是9，它的边长是 。3. 一个正数的平方是16，这个数是 。
【自学提示】
自学课本第40页的内容，完成下列知识：
1. 算术平方根： 记作： 读作：
2. 特别地规定0的算术平方根是 ，即 。
3. ()2= (a)
想一想，为什么上面的式子中a0？
【问题积累】
你遇到的疑惑：
【共同释疑】
例1 求下列各数的算术平方根：
（1） 49 　 （2）100 　　（3） 　　 （4）0.64
对应练习
求下列各数的算术平方根：
（1）36 　　（2）0 　　（3）1 　　（4） 　　（5） 　　（6）（-0.3）2

例2铺一间面积为60m2的教室的地面，需用大小完全相同的240块正方形地板砖。每块地板砖的边长是多少？
对应练习
一个正方形运动场地的面积是625m2，它的边长是多少？
【当堂测试】
1.算术平方根等于它本身的数是 。
2.判断
（1）5是25的算术平方根；（　　）
（2）9是3的算术平方根；（　　）
（3）6是的算术平方根；（　　）
（4）-1是1的算术平方根。（　　）
3.计算
（1） 　　　　（2） 　　　　　　　（3）
（4） 　　　（5）（）2 　　　　　　　（6） （）2
4.计算﹙ 选做题﹚
（1）－ 　　　　　 （2）×
（3）×﹙﹣﹚ 　　 （4）×
7.2 勾股定理
【学习目标】
1、经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，积累数学活动经验.
2、掌握勾股定理，会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题.
3、尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题方法的多样性.
【知识准备】
直角三角形、正方形及梯形的面积计算公式：
， ， .
【自学提示】
一、自学教材第43页-44页例1内容，完成下列题目：
1、图7-3①中四边形Ⅰ的形状是 ，它的面积是 .
2、图7-3①中四边形Ⅱ的形状是 ，它的面积是 .
3、图7-3②中四边形Ⅲ的形状是 ，它的面积是 .
4、面积与之和与面积之间的关系是 .
5、你发现直角三角形的三边（直角边分别为，，斜边为）之间的数量关系是 .
6、在直角三角形中，如果两条直角边分别为与，斜边为，那么 ，也就是说，直角三角形两直角边的平方和等于 .
上述结论称为 ，在国外也称 .
7、在Rt△ABC中, ∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为，b，c.
(1)若=6，b=8，则c= ； .
(2)若c=25，b=15，则= ；
(3)若：b=3：4，c=15，则= ，b= .
8、在例1中运用勾股定理的前提是在 三角形中， .
【问题积累】
在学习中还存在哪些疑问？
【共同释疑】(用多媒体出示)
1、利用右图解释勾股定理.
2、例2、
【当堂测试】
1、勾股定理用语言叙述为: .
2、在Rt△ABC中，∠C=90°.
①若=16，=12，则 .
②若=29，=21，则= .
3、如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，
AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是（ ）
A、76 B、70 C、60 D、48
4、在Rt△ABC中，∠A=90°，若=13cm，=5cm，则第三边的长度为多少？
7.3 是有理数吗？（1）
【学习目标】
1.经历的产生以及是无限不循环小数的探索过程，认识无理数并使学生体验数学的发展离不开实践、探索与创造感受现代信息技术是解决问题的强力工具.
2.能用有理数估计的大致范围，体会无理数与有理数的区别与联系；
【知识准备】
1.有理数的分类；任何一个有理数都能用分数表示.
2.如图，在Rt△ABC中，=90°，
⑴已知b=6，c=8，那么a= ；⑵已知a=15，c=9，则= .
3. 剪一个腰长为1的等腰直角三角形ABC，使直角顶点为点C.
【自学提示】
一、自学教材第48页-51页内容，完成下列题目：
1、图7-8中斜边AB的长为 .
2、在连续整数 和 之间，因此不可能是整数.
3、通过49页小博士的分析和你猜测的最简分数可知，不可能是 .
4、既不是整数，也不是分数，那么就不是 .借助于计算器可知：
是一个整数部分是 的小数，它的十分位上的数字是 ，百分位上的数字是 ，千分位的数字是 ，万分位上的数字是 ，……
5、任何有限小数或循环小数都可化为分数，由于的小数数位是无限的，而且是不循环的，所以把这样的数叫做无限不循环小数，类似的数有很多，请写出3-5个： ，无限不循环小数叫做 .
6、常见无理数的三种表示形式：
①开方开不尽的数，如：
②与圆周率有关的数，如；
③特殊形式的数，如：
7、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.1415926，－，，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
8、下列的说法正确吗？如果不正确，说明理由。
（1）无限小数都是有理数； （2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数； （4）无理数都是带根号的数.
9、若直角三角形的两边长分别为3和4,那么它的第三边长可能是有理数吗?可能是无理数吗?说明你的理由?
【问题积累】
在学习中还存在哪些疑问？
【共同释疑】(用多媒体出示)
1、如果一个圆的半径是2，那么该圆的周长是（ ）
A、一个分数 B、一个有理数 C、一个无理数 D、一个整数
2、正方形的边长为3，它的对角线长m可能是分数吗？可能是整数吗？
请你估计一下m在相邻整数 和 之间.
3、已知是的整数部分，是小数部分，则　 .
【当堂测试】
1.在下列各数，0.31，，，，，0.90108，0.232332…（两个2之间依次多1个3），中，无理数有（ ）个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法:①零是绝对值最小的数；②有限小数和无限循环小数都是有理数；③无理数就是带根号的数；④一个正数的算术平方根有一个，该算术平方根大于零；⑤面积为4的正方形边长是无理数.其中正确的说法有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若a是一个无理数，则1-a是（ ）
A.正数 B.负数 C.无理数 D.有理数
4、写出1和2之间的五个不相等的无理数，并按由小到大的顺序排列.
7.3 是有理数吗？（第二课时）
【学习目标】
1.用不同的方法理解无理数、、等的几何解释.
2.会利用勾股定理在数轴上或方格纸上表示、、等无理数，感悟数形结合的思想.
【知识准备】
1.在数0,1，0.1235，,，,中无理数的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.边长为1的正方形的对角线是（ ）
A.整数 B.有理数 C.分数 D.无理数
3. 求出下列含直角的图形中线段c的长度:
c= . c= . c= . c= .
【自学提示】
一、自学教材第52页-53页内容，完成下列题目：
1、在直角三角形中：（利用直角三角形或正方形、矩形对角线）
①若两条直角边分别为1和1，则斜边的长为 ；
②若两条直角边分别为和1，则斜边的长为 ；
③若两条直角边分别为和1，则斜边的长为 ；
④若两条直角边分别为和1，则斜边的长为 ；
⑤若两条直角边分别为和1，则斜边的长为 ；
⑥若两条直角边分别为和1，则斜边的长为 ；……
2、要作出斜边的长为的直角三角形，两条直角边的长可为 较为简单.
3、任何一个无理数都可以用 的点来表示，数轴上除去表示有理数的点以外，其他的点表示的数都是 .
【问题积累】
在学习中还存在哪些疑问？
【共同释疑】(用多媒体出示)
1、在Rt△ABC中，如果∠B是直角，AB=6，BC=5，则AC的长为 .
2、如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，
在△ABC中边长为无理数的边有（ ）条
A、0 B、1 C、2 D、3
3、例2
【当堂测试】
1、判断正误：
（1）所有的无理数都能在数轴上表示.（ ）
（2）数轴上的点都表示无理数.（ ）
2、如图所示，OA=OB，
点A表示的数是 .
3、如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，在三个方格纸中分别画出一个三角形，使第一个三角形有一边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的边长都是无理数。
7.4 勾股定理的逆定理
【学习目标】
1、探索并理解勾股定理的逆定理得出过程；
2、会运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形.
【知识准备】
1、勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于 .
2、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是 .
3、已知直角三角形其中两边的长分别为5㎝和3㎝，则第三边的长是_________.
【自学提示】
一、自学教材第56页-57页例1内容，完成下列题目：
（一）“实验与探究”部分：
1、长度为12单位的细绳首尾相接围成的△ABC的
三边的长分别为：（图上标出即可）
2、该△ABC的长 （填“=”或“≠” ）
3、你用三角尺或量角器检验可知∠B 90°，所以该△ABC是 三角形.
4、图7-15中，最长为13单位的边所对角的度数为 ，所以该△也是 .
5、结合图7-16，利用勾股定理和SSS可得出：勾股定理的逆定理：
如果两条直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 .
（二）勾股定理的逆定理的应用：
1、判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形:
（1），，； （2），，.
2、如果把一个直角三角形的三边同时扩大到原来的倍，得到的新三角形还是直角三角形吗？
【问题积累】
在学习中还存在哪些疑问？
【共同释疑】(用多媒体出示)
1、已知的三边分别a,b,c a=, b=2mn, c=(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由.
2、例2
（该四边形ABCD的面积是多少？）
【当堂测试】
1、如果三条线段长，，满足，其中最长的边为 ，最长的边所对角的度数为 ，该三角形是 三角形.
2、有6根细木棒，它们的长度分别是2,4,6,8,10,12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别是（ ）
A、2,4,8 B、4,8,10 C、6,8,10 D、8,10,12
3、已知三角形的三条边的长度分别是，，，试判断该三角形是否是直角三角形.
4、如图所示，点D是上的一点，若AB=10，AD=8，
AC=17，BD=6，求BC的长.
平方根
【学习目标】
了解平方根的意义，知道平方根与算术平方根的区别与联系。
了解开平方运算的意义，知道开平方运算与平方运算互为逆运算。
【知识准备】
算术平方根：____________________________________-
平方等于4的数有几个？是哪些数？平方等于2的数呢？
【自学提示】
自学课本第61—62页的内容，完成下列问题：
平方根（二次方根）：___________________________________________-
平方根的意义：
正数的平方根有___个，它们________________; 0的平方根有____个，是__;
负数的平方根有____个。
开平方：________________________________,a叫做_________________.
【问题积累】
你有哪些问题：
【共同释疑】
求下列各数的平方根：
　　　（2）0.64 　　　（3）3 　　　（4）
对应练习
求下列各数的平方根：
144， 2500， 0.81， ， （-2）， 。
　
求下列各式的值：
（1）- （2）-
对应练习
求下列各式的值：
-， -， ，
【当堂测试】
判断
（1）0的平方根是0； 　　　　　　（　　）
（2）1的平方根是1； 　　　　　　（　　）
（3）-1的平方根是-1； 　　　　　　（　　）
（4）的平方根是-1. 　　　　（　　）
（5）16的平方根是4； 　　　　　（　　）
（6）-4是16的平方根。　　　　　（　　）
2.求下列各数的平方根
0.25， 225， ，
3. 求下列各式的值
； -； +； -。
7.6立方根
【学习目标】
了解立方根的意义，会用符号表示一个数的立方根。
了解开立方与立方互为逆运算。
【知识准备】
1. 平方根： 。
2. 要做一个正方体形状的水箱，使它的体积为125m3，怎样计算出它的棱长？
3．想一想，有没有立方等于-8的数？如果有，这个数是多少？
【自学提示】
预习课本第64—65页的内容，完成以下知识：
1.立方根（三次方根）： ，记作：______________________-,读作：__________________-,其中a叫做_______________-,左上角的数3叫做____________________-.
2.开立方：___________________________________________________________-.
3.立方根的性质：
正数有一个____的立方根，负数有一个____的立方根，0的立方根是_______.
【问题积累】
我的疑惑是：________________________________________-
【共同释疑】
例1.求下列各数的立方根：
64；　　　　　 —64；　　　　 ； 　　　　 —0.125.
对应练习
说出下列各数的立方根：；
216； —8； —； —； 2； —3.
.例2求下列各式的值：
；　　　 ； 　　　—； 　　　（ ）3。
对应练习
求下列各式的值：
； 　　 —；　　 —；　　 ；
【当堂测试】
判断
（1）8的立方根是（　　）； （2）—0.064的立方根是0.4（　　）；
（3）—的立方根是—（　　）； （4）1的立方根是1和—1. （　　）
2. 求下列各式的值
；　　　　 ；　　　　 ； 　　　　 。
3（选做题）.求下列各式中x的值
（1）x3=-0.125; (2) x3 +512 =0; (3) 8x3 = -125； （4） （x -3）3 = -1.
7.8 实数（第1课时）
【学习目标】
1、了解实数的概念，会对实数进行分类、会说出一个实数的相反数和绝对值。
2、了解实数与数轴上点的一一对应关系，初步感受数学中的对应和一一对应的关系。
【知识准备】
列举以前学过的数
【自学提示】
一、自学书本第70--72页内容，完成下列题目
1、有理数和无理数统称为
2、实数的分类：
正有理数
有理数 有限小数或
无限不循环小数


正无理数
无理数 无限不循环小数


3、实数与 一一对应。
4、 与坐标平面上的点也是一一对应的。
5、数轴上的任意两点，右边的点所表示的数 .
如果a是实数，那么|a|就是在数轴上表示数a的点到 。
【问题积累】
在学习中还存在哪些疑问？
【共同释疑】
例1、把下列各数填入相应的集合内：
-6.8，，，，-5，，-π，，0.21，0，-5.151151115…（相邻两个5之间依次多1个1），,5.1515151515…
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）正实数集合：{ }；
（4）负实数集合：{ }。
对应练习
把下列各数写入相应的集合内：
，，，0.26，，0.10，5.12，，0.1040040004…（相邻两个4之间0的个数逐次加1）。
（1）有理数集合：{ }；
（2）无理数集合：{ }；
（3）正实数集合：{ }；
（4）负实数集合：{ }。
例2 比较两个数的大小 3.14与 π
　　　　　　　　　
例3 求下列各数的相反数和绝对值：
（1）； （2）； （3）3-π； （4）2- （5）-
【当堂测试】
1、将下列各数填入相应的集合内.
-7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）有理数集合｛ ｝
无理数集合｛ ｝
负实数集合｛ ｝
2、的绝对值和相反数是（ ）
A、3和3 B、3和-3 C、和-D、-和
3（选做题）、如果0A、x B、? C、 D、
4（选做题）、大家知道，是一个无理数，那么在哪两个整数之间（ ）
A、1与2 B、2与3 C、3与4 D、4与5
7.8 实数（第2课时）
【学习目标】
1、知道有序实数对与直角坐标系所有点的一一对应关系，再次感受数学中的对应和一一对应的关系。
【知识准备】
实数的定义与分类，实数与数轴上点的一一对应关系。
【自学提示】
一、自学书本第73页内容，完成下列题目
1、在坐标系中标出表示有序实数对（ ，0），（0，-），（ ，-）
2、在坐标系中标出表示有序实数对（ ，1）与（-2， ）
3、总结：把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一个有序实数对都可以用直角坐标系中 来表示.反之，
.因此
.
【问题积累】
在学习中还存在哪些疑问？
【共同释疑】
例4、如图，在直角坐标系中，已知等边三角形ABC的边长为2，求△ABC各顶点的坐标.
例5、在直角坐标系中，已知点A(, )
分别作出与点A关于y轴成轴对称的点B，关于x轴成轴对称的点D，并写出它们的坐标；
如果A,B,D是矩形的三个顶点，写出第四个顶点C的坐标；
求点D到原点O的距离.
对应练习
在直角坐标系中描出下列各点：A (1，) B ( ,-1) C (- ,- )
D ( 0，-) E (- ,0)
【当堂测试】
已知，如图等腰直角三角形ABC的斜边AB的长为2.分别写出顶点A,B,C的坐标.
7.8 实数（第3课时）
【学习目标】
1、会说出一个实数的相反数和绝对值.
2、会根据指定的的精确度进行实数的近似计算.
【知识准备】
1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律。
3、说一说有理数的混合运算顺序。
4、的相反数是 ，的相反数是 ，0的相反数是 。
5、（1）分别写出，的相反数和绝对值；
（2）指出，，各是什么数的相反数；
（3）求的绝对值；（4）已知一个数的绝对值是，求这个数。

【自学提示】
一、自学书本第75页内容，完成下列题目
1、填空：
（1）的相反数是 ，绝对值是 。
（2）绝对值等于的是 ， 的平方等于 。
（3）比较大小：－７ 。
2、计算下列各式的值，并说出每一步的依据是什么？
（1）； （2）
（3）； （4）
（5）、（+2） （6）、（+）
【问题积累】
在学习中还存在哪些疑问？
【共同释疑】
求+的值（精确到0.01）
求的值（精确到0.001）
球的体积公式是V=∏r3，其中r是球的半径，一个钢球的体积是200cm3，求它的半径（精确到0.01）
对应练习
计算（结果保留小数点后两位）（1）=
（2）=
【当堂测试】
A组
1、一个圆形喷水池的面积为120m2，求喷水池的半径（0.1m）
B组
2、在两个连续整数和之间，即，那么、的值是
3、已知:，求：的平方根