3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（第一课时）-高中数学人教A版必修一 课件（共21张PPT）

第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（第一课时）
学习目标：
1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;?
2.掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法.
重点及难点：
1.增（减）函数概念的形成；
2.用定义证明函数的单调性.
课题引入：
前面学习了函数的定义以及表示法，知道函数描述了客观世界中变量之间 的一种对应关系.这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.
因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法.
提示：变化中的不变性、规律性就是性质.
我们的研究思路是，先画出函数的图象，通过观察和分析图象特征，得到函数的一些性质，然后再用精确的数学语言来表述.
比如，从函数图象上看自变量在哪个区间上取值的时候从左往右看，图象是连续上升的（或连续下降的），也就是初中时常说的“函数值随自变量值的增大而增大（或减小）”的变化规律——这一性质叫做函数的单调性.
探究一： 二次函数f(x)=x?的单调性
步骤一：观察图象
步骤二：语言描述
图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小.
y
o
x
y =x?
步骤三：符号语言
同样，图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大.用符号语言表达，
探究二： 函数f(x)=|x|，f(x)=-x?各有怎样的单调性？
想一想：怎样给增函数和减函数下定义？
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.
（2）单调区间D 定义域I.
思考一：
设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 ，
当 时，都有 ，我们能说函数 f(x) 在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？
解：不能.如
思考二：
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
f(x)=2x-1
f(x)=x?-3x-1
例1. 以下说法中正确的是（ ）
A. 定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R上是增函数；
B. 定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R上不是减函数；
C. 对于任意x1>0>x2，都有f(x1)> f(x2)成立，则f(x)在其定义域上是增函数；
B
D. 定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b，都有
成立，则f(x)在R上是减函数.
例2. 根据定义，研究函数 的单调性.
总结：在初中，我们利用函数图象得到了上述结论，这里用严格
的推理运算得到了一次函数的单调性.
分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数即可.
第一步：取值
第二步：做差变形
第三步：定号
第四步：判断
例3：物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大.试对此用函数的单调性证明.
也就是说，当体积V 减小时，压强 p将增大.
例4. 根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增.
所以，函数 在区间(1,+∞)上单调递增.
利用函数单调性定义证明函数单调性的步骤：
①在给定区间上任取两个自变量的值x1，x2 ，并使x1② f(x1)-f(x2) ，并判断其符号；
③作出f(x)在此区间上是增或减的结论.
课堂小结
函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
1.增函数：
2.减函数：
函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
3.判断函数单调性的步骤：
（1）取值
（2）做差变形
（3）定号
（4）判断