3.3 幂函数-高中数学人教A版必修一 课件（共17张PPT）

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第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
学习目标：
1.理解幂函数的概念，会画常见幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化及其性质；
2.能用幂函数的性质解决简单问题.
重点及难点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的图象，并由图象概括其性质.
初中研究过三类函数：一次函数、二次函数和反比例函数.
前面学习了函数的概念，然后利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的单调性、最值和奇偶性.本节利用这些知识研究一类新的函数.
问题1. 请写出下列函数的解析式.
①如果某人购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么他需要付的钱数P（元）关于购买的蔬菜量w（千克）的函数解析式为 .
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S关于a的函数解析式为 .
③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V关于a的函数解析式为 .
④如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a关于S的函数解析式为 .
⑤如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的速度v关于t的函数解析式为 .
问题2. 如果将上述函数解析式左侧的因变量改成y，右侧自变量改成x，请仔细观察得到的函数解析式，它们具有什么共同的结构特征？
新得到的函数解析式分别是：
共同的结构特征：
1.单项式；
2.幂的形式且系数为1；
3.幂的底数是自变量x；
4.幂的指数是常数.
幂函数
一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
例1. 若幂函数过点 ，求此幂函数的解析式.
总结：待定系数法求幂函数解析式只需要一个方程.
解：设幂函数的解析式 ，将 代入解析式 得，
解得α=-2，因此所求幂函数的解析式为 .
问题3. 根据学习函数的经验，你认为应该如何研究幂函数
的性质？
先根据解析式求出定义域，研究函数的部分性质，画出函数图象，再利用图象和解析式，讨论函数的其他性质.
问题4. 分别画出上述函数的图象.
①定义域： R
②值域：R；没有最值；
③单调性：在R上是增函数；
④奇偶性：奇函数
①定义域：{x|x≥0} ；
②值域：{y|y≥0}；有最小值0，没有最大值；
③单调性：在R上是增函数；
④奇偶性：非奇非偶函数
总结：
定义域 R R R [0,+∞)
(-∞, 0) ∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞, 0) ∪(0,+∞)
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 R上增 [0,+∞)增 (-∞, 0)减 R上增 [0,+∞)增
(-∞, 0)减
(0,+∞)减
定点 (1, 1)
问题5. 请在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
α<0，幂函数在第一象限图象单调递减；
幂函数 在第一象限图象规律：
“双曲线”型
“抛物线”型
1. α<0
2. 0<α<1
3. α>1
α>0，幂函数在第一象限图象单调递增.
幂函数的性质
都经过定点(1,1).
幂函数 在图象规律：
1. α<0
2. 0<α<1
3. α>1
幂函数的性质
奇函数，图象分布在第一、三象限，关于原点中心对称；
偶函数，图象分布在第一、二象限，关于y轴对称；
没有奇偶性的函数，图象只在第一象限.
综上所述，m=-1.
例2. 幂函数 在(0，+∞)上是减函数，求m的值.
解：令 ，解得m=4或m=-1.
(1)若m=4 ，则 ，在(0，+∞)上是增函数，不符合已知.
(2)若m=-1 ，则 ，在(0，+∞)上是减函数，符合已知.
例3.证明函数 在 上是增函数.
1.幂函数的定义.
2.5类典型幂函数的图像及性质.
3. 掌握幂函数中指数的变化对图像影响.
课堂小结