4.1 指数-高中数学人教A版必修一 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
学习目标：
1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；
2. 理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理数指数幂的运算性质；
3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养.
重点：根式的概念、分数指数幂的概念；
难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质.
前面通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数.为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.
情境导入
初中学习过整数指数幂.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 ，记作 .
像 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根入手展开研究.
情境导入
如果 ，那么x叫做a的平方根，记作
如：4的平方根是 ；3的平方根是 ；
-4没有平方根，即 没有意义；
-3没有平方根，即 没有意义；
0的平方根是 .
探索新知
结论：
①不是任意实数都有平方根；
②任意正数都有两个平方根，它们互为相反数；
③任意负数都没有平方根；
④零的平方根是零.
探索新知
如果 ，那么x叫做a的立方根，记作
如：8的立方根是 ；9的立方根是 ；
0的立方根是 .
结论：任意实数都有唯一立方根.
-8的立方根是 ；-9的立方根是 ；
思考：类似地，你能给出n(n>1，n∈N*)次方根的概念吗？
探索新知
如果 ，那么x叫做a的n次方根.
①n是奇数时，a的n次方根是 （a是任意实数）；
②n是偶数时，a的n次方根是 (a≥0).
n次方根
探索新知
结论：
①任意实数都有唯一的奇次方根；
②任意正实数都有一对偶次方根；
③负实数没有偶次方根；
④0的任何次方根都是0，记作 .
探索新知
如：
式子 叫做根式 (radical)，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
探索新知
根据n(n>1，n∈N*)次方根的概念，有结论：
(1) ，类似地， ，∴n是奇数， .
(2) ，类似地， ，∴n是偶数， .
探索新知
(3) ，类似地， ，∴n是奇数， .
(4) ，类似地， ，∴n是偶数， .
根据n(n>1，n∈N*)次方根的概念，有结论：
探索新知
综上：n>1，且n∈N*时，
1.
2.
探索新知
n次方根的性质
（1）当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
典型例题
例1.求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）
（4）
探索新知
根据n次方根的定义和数的运算：
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示成
分数指数幂的形式.
思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示成分数指数幂的形式？
分数指数幂：规定如下，
(1) 正分数指数幂 ；
(2) 负分数指数幂 .
作用：根式和有理指数幂互化.
探索新知
有理指数幂的运算性质：
设a>0，b>0，r，s∈Q，则：
(1)
(3)
(2)
探索新知
典型例题
例2.求下列各式的值.
（1）
（2）
解：（1）
（2）
例3..用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
（1）
（2）
典型例题
解：（1）
（2）
典型例题
例4.计算下列各式（式中字母均是正数）.
（1）
（2）
（3）
解：（1）
典型例题
例4.计算下列各式（式中字母均是正数）.
（1）
（2）
（3）
解：（2）
典型例题
例4.计算下列各式（式中字母均是正数）.
（1）
（2）
（3）
解：（3）
分数指数幂的运算技巧
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
方法总结
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
分数指数幂的运算技巧
方法总结
3.进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
4.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
5.对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
我们将 中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数.那么当指数x是无理数时， 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
探索新知
以 为例：
根据 的不足近似值x和过剩近似值y，利用计算工具计算相应的
， 的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
探索新知
的不足近似值x 的近似值 的过剩近似值y 的近似值
1.4 9.51826969 1.5 11.1803399
1.41 9.67269973 1.42 9.82963533
1.414 9.73517104 1.415 9.75085181
1.414 2 9.73830517 1.414 3 9.73987262
1.414 21 9.73846191 1.414 22 9.73861864
1.414 213 9.73850893 1.414 214 9.7385246
1.414 213 5 9.73851676 1.414 213 6 9.73851833
1.414 213 56 9.73851771 1.414 213 57 9.73851786
1.414 213 562 9.73851774 1.414 213 563 9.73851775
··· ··· ··· ···
探索新知
探索新知
可以发现，当 的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近 时， 和 都趋向于同一个数，这个数就是 .也就是说， 是一串逐渐增大的有理数指数幂 ，···和另一串逐渐减小的有理数指数幂 ，···逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.这个过程可以用下图数轴表示.
无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，
均有下面的运算性质：
探索新知
(1)
(3)
(2)
课堂小结
如果 ，那么x叫做a的n次方根.
1.n次方根：
2.分数指数幂：
(1) 正分数指数幂 ；
(2) 负分数指数幂 .
课堂小结
3.实数指数幂，即对于任意实数r，s，有下面的运算性质：
(1)
(3)
(2)