4.2.1 指数函数的概念-高中数学人教A版必修一 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
学习目标：
1.理解指数函数的概念与意义．
2.理解指数函数增长变化迅速的特点.
3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养.
重点：理解指数函数的概念与意义.
难点：理解指数函数增长变化迅速的特点.
对于幂 ，我们已经把指数x的范围拓展到了实数集.
上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研
究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法.
下面继续研究其它类型的基本初等函数.
细胞的分裂
《庄子·天下篇》中写道：
“一尺之棰，日取之半，万世不竭”
一张纸很普通？科学家：将它对折103次，宇宙都无法装下这张纸.
问题1. 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.下表给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量：
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
时间/年 A地景区 B地景区
人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1244 126
分析：为了便于观察，可以先根据表格中数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连接起来.
人次/万次
1300
1100
900
700
500
300
2001
2003
2005
2007
2009
2011
2013
2015
时间/年
人次/万次
1300
1100
900
700
500
300
2001
2003
2005
2007
2009
2011
2013
2015
时间/年
A地景区
B地景区
观察图象和表格，可以发现，A,B景区采取不同措施后的15年游客人次变化情况：A景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增长量大致相等（约为10万次）；B景区的游客人次则是非线性增长，年增长量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.
试一试：从2002年起，计算一下B景区的游客人次的年增长率：
2002年的年增长率为：
2003年的年增长率为：
2015年的年增长率为：
··· ··· ··· ···
年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？
总结：B景区的游客人次的年增长率都约为0.11.增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B景区的游客人次近似于指数增长.
B景区：2001年的游客人次为278万；
1年后，即2002年的游客人次约为278+278×0.11=278(1+0.11)；
2年后，即2003年的游客人次约为278(1+0.11)+278(1+0.11)×0.11=278(1+0.11) ；
3年后，即2004年的游客人次约为278(1+0.11) +278(1+0.11) ×0.11=278(1+0.11) ；
··· ··· ··· ···
x年后，游客人次约为278(1+0.11)x= 278×1.11x ，即经过x年后B景区的游客
人次是2001年的 倍，
如果用字母a代替1.11，则得“ ”形式.
y=1.11x ，x∈[0，+∞)
将1.11x记作y，于是得到：
根据函数定义，这是一个以指数x为自变量，y为因变量的函数.
问题2.良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近300万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家在测定遗址年代时是怎样用碳14的残留量测定的么？
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
死亡1年后，生物体内碳14的含量为1-1·p=1-p；
死亡2年后，生物体内碳14的含量为(1-p)-(1-p)·p=(1-p) ；
死亡3年后，生物体内碳14的含量为(1-p) -(1-p) ·p=(1-p) ；
死亡5730年后，生物体内碳14的含量为(1-p)5730 ；
··· ··· ··· ···
死亡x年后，生物体内碳14的含量为(1-p)x .
分析：（1）设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，我们把刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，那么
（2）根据已知， ，从而 ，
所以 （是个常数）.
设生物体内碳14含量为y，死亡年数为x，
则
即
总结：根据函数定义，这是一个以指数x（生物体死亡年数）为自变量，生物体内碳14含量y为因变量的函数.像这样，衰减率（减少率）为常数的变化方式，我们称为指数衰减，因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.
如果用字母a代替 ，则得“ ”形式.
综上： y=1.11x ，x∈[0，+∞) 和 的函数式模板：
指数函数
一般地，函数y=f(x)=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x叫自变量，函数的定义域是实数集R.
注意：
函数式是幂的形式；
是单项式，且系数为1；
自变量在指数位置.
例1.判断下列函数是否是指数函数？
① y=-2x；② y=(-2)x ；③ y=2-x；
④ y=2x-1；⑤ y=2x (x>0)；⑥ y=(m-1)x (m>1,m≠2的常数) ；
⑦ y=x2；⑧ y=2x +1；⑨ y=3·2x；
答：③⑥是指数函数，其余都不是.
例2.已知指数函数f(x)=ax (a>0，且a≠1) ，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.
分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值.
解：因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3=π ，解得 ，于是
所以，
总结：待定系数法确定指数函数解析式，只需列一个方程.
例3.在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.
解：设经过x年，游客给A、B两地带来的收入分别为f(x)，g(x)，则
f(x)=1150(600+10x) ，g(x)=1000×278×1.11x ，
f(x)-g(x)=1150(600+10x) -1000×278×1.11x ，
利用计算工具可以算出：
当x=0时，f(0)-g(0)=412 000.
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22).
结合右图可知：
当x<10.22时，f(x)>g(x).
当x>10.22时，f(x)当x=14时，g(14)-f (14)≈347 303.
g(x)
f(x)
这说明：
（1）2001年，游客给A地带来的收入高于B地412000万元；
（2）2001后的10年，f(x)>g(x)，游客给A地带来的收入仍高于B地，但g(x)比f(x)增长的速度快，大约2011年2月某个时刻就有f(x)=g(x)了，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；
（3）10年后，f(x)例4.在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：设生物死亡x年后，它体内碳14的含量为h(x).
如果把刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，那么
当x=10000时，利用计算工具求得
所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的百分之三十.
说明：在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x ，x∈N.形如y=kax (k∈R，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
课堂小结
(1)定义域必须是实数集R；
(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；
(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1.
(4)底数a的范围必须是a>0且a≠1.
函数y = ax(a 0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .