4.4.3 不同函数增长的差异-高中数学人教A版必修一 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
学习目标：
1.了解指数函数、对数函数、幂函数 (一次函数) 的增长差异.
2.经过探究对函数的图象观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸.培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力.
教学重点：函数增长快慢比较的常用方法.
教学难点：了解影响函数增长快慢的因素.
在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？
虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.
我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.
下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k>0 ，指数函数g(x)=ax(a>1) ，对数函数 在定义域内增长方式的差异.
以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
分析：
(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
x y=2x y=2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
y=2x
y=2x
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
结论一：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)
结论二：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
结论三：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下
结论四：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.
请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？
想象：随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.
总结一：函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”.
随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.
尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
总结二：一般地，指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.
即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数 值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
x y=lgx
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
y=lgx
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
总结一：虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.
在(0,+∞)上增长速度不变， y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.
随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.
思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与 比较，仍有上面规律吗？先想象一下.
总结二：一般地，虽然对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢.
不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，
但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，
当x>x0时，恒有 .
例1. 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505
y2 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120
y3 5 30 55 80 105 130 155
其中关于x呈指数增长的变量是 .
y2
课堂小结
1.指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长差异.
即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
课堂小结
2. 对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上的增长差异.
随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢.
不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，
但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，
当x>x0时，恒有 .