4.5.1 函数的零点与方程的解-高中数学人教A版必修一 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标：
1.了解函数零点的概念：结合二次函数说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系.
2.理解函数零点存在定理.
3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.
重点：
1.理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法.
2.掌握函数零点存在定理并能应用.
难点：函数零点存在定理的理解.
中外历史上的方程求解
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.
约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法.
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法.
19世纪挪威数学家阿贝尔
证明了五次及五次以上代数方程没有根式解.
指数方程、对数方程等超越方程也没有求根公式.
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，
知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.
例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,
则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3.
y
6
3
x
0
2
在图像上显示为
函数零点的定义
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标.
函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标
总结：学过的函数零点情况
反比例函数 无零点；
指数函数 无零点；
对数函数 有零点1；
幂函数 的零点因α值而定，α≤0时无零点； α>0时零点是0.
问题:
函数f(x)=lnx+2x-6的零点是什么？也就是说lnx+2x-6=0的实数根是什么？
由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x) =0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x) =0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.
问题：满足什么条件的函数有零点呢？
从分析二次函数f(x)=x -2x-3入手，由特殊到一般，由具体到抽象.
发现：在零点3和-1附近.
(1) 图象是连续不断；
(2) 图象是“穿过”x轴的，即
3∈(2,4)，-1∈(-2,0)，有，
f(2)·f(4)<0，f(-2)·f(0)<0
函数在零点所在区间，区间端点处的函数异号.
观察函数的图象
①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a) f(b)_____0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b) f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c) f(d) _____ 0（＜或＞）．
b
a
c
0
y
x
d
有
＜
有
＜
有
＜
函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0 ，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
0
y
x
这说明什么？
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可.
思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
x
y
0
这说明什么？
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件.
问题4 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
这又说明什么？
函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数.
由表和图可知
f(2)<0, f(3)>0，
即：f(2) f(3)<0，
由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点.
解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象.
例1. 已知函数 f(x)=lnx+2x－6，能判断出函数零点大致在那个区间上吗？
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
解：由已知，函数 f(x)= lnx+2x-6 的定义域为 (0,+∞).
∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数，
∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数，
又∵f(2)=ln2+2 ×2－6<0
f(3)=ln3+2 ×3－6>0
∴函数 ( )在定义域(0,+∞)内仅有一个零点.
如何求方程lnx+2x－6=0实数解的个数？
思考：
求方程lnx+2x－6=0实数解的个数可不可以转化成求函数f(x)= lnx和f(x)= -2x+6图象交点的个数？
y=lnx
y=-2x+6
请同学们课本练习P144 1题
思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点.
函数零点存在定理的推论：
练习1：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
则函数f(x)有零点的区间个数至少是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解：∵函数f(x)有零的图象是连续不断的，且
f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
∴函数f(x)在(2,3)、(3,4)、(4,5)存在零点.
C
练习2： 函数f(x) = ex-1+4x-4的零点所在区间为( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
B
分析一：同一系作y= ex-1，y = -4x+4图象：
分析二：定义域R，图象连续不断，计算
f(-1) = e-2-4-4<0
f(1) = e0+4-4>0
f(2) = e1+8-4>0
f(3) = e2+12-4>0
f(0) = e-1-4<0
∴f(0)·f(1)<0
函数 y =f (x) 有零点
函数 y =f (x) 的图象与 x 轴有公共点
1、函数的零点与方程的解的关系：
方程 f (x)=0 有实数解
2、判断在某个区间是否存在零点的方法
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解.
函数零点存在定理
课堂小结