5.2.1 三角函数的概念-高中数学人教A版必修一 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
复习引入：如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，若已知a=3，b=4，c=5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.
在直角三角形中，我们能求锐角的三角函数值，若角是任意大小的角，我们还能求它的三角函数值吗？
如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
探究1. 时点P的坐标是什么？
如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
探究2.任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标唯一确定吗？
一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，是唯一确定的，所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.
任意角三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相较于点P(x,y).
把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α ，即
y = sin α ；
(2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α ，即
x = cos α ；
(3) 把点P的纵坐标y与横坐标x的比值叫做α的正切函数，记作tan α ，即
任意角三角函数
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，
通常将它们记为：
正弦函数 y = sin x ，x∈R；
余弦函数 y = cos x ，x∈R；
正切函数 y = tanx ， (k∈Z).
例1.求 的正弦、余弦和正切值.
x
y
O
B
A
解：在直角坐标系中，作 .
则 的终边与单位圆的交点坐标为
所以
练习：利用三角函数定义，求 的正弦、余弦和正切值.
x
y
O
P(x,y)
设α是一个任意角，α∈R，它的终边上任意一点
P的坐标为P(x,y)，点P与原点的距离为r.
练习.已知角 的终边过点P(-12,5)，求 的正弦、余弦和正切值.
三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号.
(1) sin α = y，因此sin α的符号与y的符号相同，当α的终边在第 象限时，sin α>0；当α的终边在第 象限时，sin α<0；
一、二
三、四
(2) cos α = x，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边在第 象限时，cos α>0；当α的终边在第 象限时，cos α<0；
(3) ，因此tan α的符号由x、y确定，当α的终边在第 象限时， xy >0 ， tan α >0；当α的终边在第 象限时， xy <0 ， tan α <0.
一、四
二、三
一、三
二、四
一全正、二正弦、三正切、四余弦
例2. 判断下列各式的符号：
解：
(1)sin α·cos α (其中α是第二象限角)；
(2)sin 285°cos (-105°)；
(1)∵ α是第二象限角，∴sin α>0，cos α <0 ，∴ sin α·cos α <0 .
(2)∵ 285°是第四象限角，∴sin 285°<0，∵-105°是第三象限角，∴cos (-105°) <0 ，∴sin 285°cos (-105°) >0 .
总结：准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.
诱导公式（一）
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等.
sin (α+k·2π) = sin α ，
cos (α+k·2π) = cos α ，(k∈Z)
tan (α+k·2π) = tan α ，
作用：把求任意角的三角函数值转化为求0~2π(或0°~360°)角的三角函数值.
练习.确定下列三角函数值的符号.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
正
负
0
负
正
课堂小结
1.任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为P(x,y)，点P与原点的距离为r.
2.三角函数值在各象限的符号
一全正、二正弦、三正切、四余弦
3.诱导公式（一）
sin (α+k·2π) = sin α ，
cos (α+k·2π) = cos α ，(k∈Z)
tan (α+k·2π) = tan α ，