5.2.2 同角三角函数的基本关系-高中数学人教A版必修一 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
第五章 三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
复习引入
提示：利用三角函数定义证明.
在初中我们已经知道，对于同一个锐角 ，存在关系式：
当角 推广到任意角后，关系式是否仍成立？
=tan
O
x
y
P(x,y)
B
设点P(x ， y)是角 的终边与单位圆的交点.
过点P作x轴的垂线，交x轴于点B.
在直角三角形PBO中， ，
即 .
探索新知
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
根据三角函数的定义，当α 时，有
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
商数关系
平方关系
变形
变形
题型一：利用同角三角函数关系式求值
例1 已知 ，且α是第三象限角，求sin α ，cos α的值.
又
②
解：
由 ，得
①
由①②得 ，即 ，
又α是第三象限角，
所以 .
题型探究
解题技巧
已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“ ”.
题型二： 三角函数式的化简
例2 若 ，化简： .
[思路探索]先化简根式，化切为弦，然后通分，再去掉根号.
解：
解题技巧
解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1) 化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数.从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2) 对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
练习 求证： .
证明 方法一
[思路探索]利用 求证，也可用作差变形法求证.
证明 方法二
例3 若 ，且A是三角形的一个内角，求 的值.
解：
因为 ，所以A为锐角或钝角，
当A为锐角时， ，
当A为钝角时， ，
题型三： 三角函数式的求值
所以原式=6.
所以原式=
易错警示
疏漏讨论三角函数值的符号而导致错误.
由 说明A是锐角或钝角，那么cosA就有正、负之分，常见解法中忽视开放的符号而出现疏漏，上面解法就犯了此种错误.
使用开方关系 和 时，一定要注意正负号的选取，确定正负的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需按象限进行讨论.
题型四：利用 与 的关系解题
例4 已知0<α<π， ，求tanα的值.
由 得 ，
解：
∴sin α>0，cos α<0，sin α-cos α>0，
解得 ， ，所以 .
又0<α<π，
(1) sin α+cos α，sin α·cos α，sin α-cos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”.它们的关系是(sin α-cos α) =1+2 sin α·cos α；
(2) 求sin α+cos α或sin α-cos α的值，要注意判断它们的符号.
解题技巧
(1)“同角”的概念与角的表达形式无关.
(2) 公式都必须在定义域允许的范围内成立.
解题的步骤：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值.若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切，则可构造方程组求值.
1.同角三角函数的基本关系
课堂小结
2.对于同一个角α，可以利用基本关系式，“知一求二”