1.1集合的概念 教学设计

1.1.1 集合的含义与表示
1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系．
2．了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号．
3．能用集合语言：描述法、列举法表示有关数学对象，并在描述法学习和应用过程中，提升学生的数学抽象素养．
教学重点：元素与集合之间的关系及其表示，以及用符号语言表示集合．
教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合；描述法中元素所满足的条件利用符号表述及识别．
PPT．
一、学习章引言，整体概览
我们知道，方程x2＝2在有理数范围内无解，但在实数范围内有解．在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合是圆，而在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础．集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言．使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容．我们将集合作为一种语言来学习，将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．
集合语言是一种抽象的数学语言，学习集合语言最好的方法就是使用，非洲大草原上生存着几千种动物，它们常常面临着生与死的考验，为了生存，它们过着“群居”的生活，这种“物以类聚”就产生某种动物集合．让我们一起走进“集合”世界，探索集合的奥秘．
二、概念的引入
问题1：下面的例子，每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，例子中的元素分别是什么？
（1）1－10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有的正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有点；
（5）方程x2－3x＋2＝0的所有实数根； （6）地球上的四大洋．
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
追问：例子中研究的对象分别是什么，构成的集合是什么．
预设的答案：（1）1～10之间的每个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合．
（2）立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一集合．
（3）每一个正方形作为元素，所有的正方形构成一个集合．
（4）到直线l的距离等于定长d的点作为元素，满足条件的点全体构成的一个集合．
（5）方程x2－3x＋2＝0的根作为元素，这些元素构成了一个集合．
（6）地球上的四大洋作为元素，这些大洋构成了一个集合．
设计意图：通过初中所学及实例，让学生感知、了解、抽象出元素与集合的含义．提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力．
三、概念的理解
例1 判断下列说法是否正确．
（1）所有好看的花可以构成一个集合．
（2）由1，3，0，5，|－3|这些数组成的集合中有5个元素．
（3）高一（3）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合发了改变．
师生活动：学生独立观察，充分思考，交流讨论．
追问：（1）你从哪个角度分析一些研究对象能否构成集合？（从集合中的元素是否确定）
（2）集合中的元素能否相同，可以重复吗？（不能重复，如问题（2）中|－3|＝3，所以集合只有4个元素1，3，0，5，集合中的元素是互异的）
（3）高一（3）班的全体同学调整座位后这个班集体变了吗？（班集体没有变，集合没有变化，集合中的元素是没有顺序的）
（4）通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？请你再举一些相应的例子．（确定性、互异性、无序性）
（5）如何判断两个集合相等？（元素是否完全一样，两个集合中元素是一样的，则这两个集合相等）
设计意图：通过具体的例子让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括出元素的三个特性，深刻理解集合概念．
问题2：元素和集合各用什么字母表示？元素和集合之间有哪两种关系？用什么符号表示？常用数集及其记法有哪些？
师生活动：学生独立阅读完成．给出练习检测其阅读效果．
预设的答案：
（1）元素用小写拉丁字母a，b，c…表示；集合用大写拉丁字母A，B，C…表示．
（2）元素与集合的关系：“属于”、“不属于”．
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果b不是集合A中的元素，就说b不属于集合A，记作b A．
（3）常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R．（根据学生的实际情况，适当回顾一下具体数集包含哪些数，对记忆有帮助）
设计意图：用数学语言表示集合和元素．元素、集合的字母表示，元素与集合的“属于”或“不属于”关系，常用数集及其记法，建议在运用中逐渐熟练掌握．
问题3：上面的例1使用自然语言表示集合，还有其他方法可以表示集合吗？例如，地球上的四大洋组成的集合，我们明确地知道地球上的4大洋是什么，而自然语言表达的不具体，那么该用什么方法呢？再比如，不等式x－3＜7的解集，又该用什么方法表示呢？
师生活动：学生独立思考，然后交流讨论．教师适时地选择下面问题进行追问．
追问1：上述两个例子有什么区别呢？从集合中元素的特点来分析．
预设的答案：第1个例子集合中的元素是有限个（4个），可以这样表示{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}．第2个集合中的元素都小于10，集合中的元素都是实数且是无数多个．
追问2：你能总结归纳出列举法的特征吗？使用列举法表示时需要注意什么？
预设的答案：把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．利用列举法表示集合时应注意：①大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；②元素虽然与顺序无关，但是防止不重不漏，按一定的顺序列举较好，如：从小到大或者从大到小等．
追问3：显然不能用列举法表示不等式x－3＜7的解集．那么解集中元素的共同特点是什么？将这个共同特征描述清楚，写出来也可以表示集合，这就是集合的描述法．阅读课本第4页，什么叫描述法？然后用描述法写出解集对应的集合．
预设的答案：共同特点是x＜10；在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，一般形式为：{x|p(x)}．这种用所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
{x|x＜10}，或者{x∈R|x＜10}，或者{x|x－3＜7}，或者{x∈R|x－3＜7}．
追问4：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
预设的答案：
表示方法 特点 适用对象
自然语言 简单易懂、生活化 元素不可列或无共同特征
列举法 每个元素一一列举出来，直观明显 元素有限、可列
描述法 元素具有明显的共同特征 元素是无限的或比较多
设计意图：通过集合的表示法，学生对实例或问题的思考，去体验知识方法．不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关．通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性．学习描述法时，先用自然语言描述集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法．在这个过程中提升学生的数学抽象素养．
四、概念的巩固应用
例2 考查下列每组对象，能构成一个集合的是（ ）
①某校高一年级成绩优秀的学生；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④我国新型冠状病毒疫情期间支援武汉的白衣天使．
A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④
答案：B
设计意图：帮助学生理解集合中元素的特性．判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
例3 下列关系中，正确的有（ ）
①∈R；② Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q；⑤0＝｛0｝
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
设计意图：促进学生熟练判断元素与集合间的关系．判断元素与集合关系的两种方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
例4 用适当的方法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合；
（2）坐标平面内第一象限的点的集合；
（3）方程x2－9＝0的实数根组成的集合C；
（4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D．
师生活动：学生分析判断，交流讨论写出结果，教师巡视观察学生写的情况，纠正错误写法．
预设的答案：（1）根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
（2）第一象限内点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x＞0，y＞0}．
（3）方程x2－9＝0的实数根为－3，3，所以C＝{－3，3}．
（4）由得
所以，一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．
解题思路：描述法表示集合的2个步骤（如图1）：
设计意图：检验学生对集合表示方法的理解和掌握，集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用．因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换．养成良好的数学习惯．用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类，提升数学建模素养．
练习：教科书第5页练习1，2，3题．
五、归纳总结
问题5：（1）本节研究了哪些内容？请你用思维导图的形式表示出来．
（2）你还获得了哪些经验？请你列举出来．
预设的答案：
（获得经验略）
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结，帮助学生整体性地认识、更好地理解集合的概念及表示．
1.1.2集合间的基本关系
1．通过类比实数间的关系，观察、发现、形成集合间关系的概念，理解集合之间的包含与相等的含义，提升学生的数学抽象素养．
2．能识别给定集合的子集，了解空集的含义．
3．对集合之间的关系，能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养．
教学重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达数学对象或数学内容．
教学难点：对相似概念及符号的理解，例如区别元素与集合、属于与包含等概念及其符号表示．
PPT．
一、概念的引入
问题1：上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么？用什么方法研究？如果有困难可以阅读本节的引言．
师生活动：学生独立思考、讨论交流，教学时要特别关注研究方法的指引．
教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，类比已有的学习经验是一个好方法，比如我们已研究过“实数”，引导学生回顾实数研究了哪些内容，如实数间的关系、实数的运算等，最后确定集合的研究问题：集合间的关系，集合的运算
设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助于学生掌握研究数学对象的方法，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法．
问题2：阅读以下内容，类比实数之间的相等关系、大小关系，集合与集合之间有哪些关系？
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；
（2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； （3）E={x |x是两条边相等的三角形}，F={x |x是等腰三角形}
师生活动：学生独立观察，充分思考，交流讨论．
根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问．
追问：（1）你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？（从元素与集合之间的关系．）
（2）上述三个具体例子有什么共同特点？请你概括．（在每组的两个集合中，第一个集合中的任何一个元素都是第二个集合中的元素．）．
（3）上述三组集合中，前两组的两个集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处？（不同之处是：前两组集合中，集合B中有的元素属于集合A，有的元素不属于集合A；第三组集合中，集合A中的任何一个元素都属于集合B，反过来，集合B中的任何一个元素也都属于集合A．）
师生活动：教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括形成数学定义，介绍子集、包含关系和相等关系．
一般地：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集．记作：A B（B A）读作：A包含于B（或B包含A）．
设计意图：让学生通过观察、比较、归纳、概括出集合间的基本关系．并创设情境，让学生运用类比、联想、抽象、概括的思维方法解决问题，提升学生数学抽象素养．教学时要确保学生独立思考、讨论交流的时间．
二、概念的理解
问题3：请回答下列问题：
（1）你能举几个具有包含关系、相等关系的集合，并用符号语言和Venn图表示吗？
（2）子集和真子集的区别与联系是什么？
（3）什么是空集？请你再举几个空集的例子．
师生活动：让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己感到困惑的问题．
教师根据学生回答的情况，进行补充，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子．
设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言、符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子，抽象概念具体化，深入理解概念．
问题4：包含关系｛a｝ A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例作出解释．
师生活动：让学生独立思考，然后讨论交流，教师提问．
预设的答案：｛a｝ A表示集合与集合间的关系，集合｛a｝是集合A的子集；而a∈A表示元素a与集合A间的关系．如针对集合A＝{0，1，2}，{0} {0，1，2}而0∈{0，1，2}．
设计意图：通过新学习的知识和已学习知识的对比，学生更容易区别集合的子集、元素与集合的关系，以及符号间的区别．
问题5：通过类比实数关系的性质，你能发现集合之间的关系有哪些性质？
师生活动：学生回顾、讨论、交流，教师提问．
预设的答案：（1）任何一个集合是它本身的子集，即A A
（2）对于集合A B，B C，那么A C．
设计意图：类比实数关系的对称性、传递性等性质，得出两个集合间的关系的性质．在旧知识的基础上学习新知识有生长点，学生容易类比、掌握．
三、概念的巩固应用
例1 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范，特别突出有规律地列举．
答案：子集有Φ，{a}，{b}，{a，b}，其中真子集是Φ，{a}，{b}．
设计意图：巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类．
例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
（1）A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}；
（2）A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．
师生活动：学生判断，教师给出解答示范．
答案：（1）A＝{1，2，3}，
B＝{x|x是8的约数}＝{1，2，4，8}，
其中3 B，
所以集合A不是集合B的子集．
（2）A＝B．
设计意图：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间关系的基本方法——定义法．
例3 （1）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
（2）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
答案：（1）(－∞，3] ；（2）(－∞，3)．
设计意图：巩固两个集合的基本关系．两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．特别要注意易错点：丢掉空集．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
练习：教科书第8－9页练习1，2，3题．
四、归纳总结
问题6：本节课你有哪些收获？可以从以下几方面思考：
（1）两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？
（2）你是如何研究集合间基本关系的？
（3）包含关系与属于关系有什么区别？
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．
1.1.3集合的基本运算（1）
1．通过类比实数的运算，发现和提出问题，形成并理解两个集合的并集与交集的含义，提升数学抽象素养；
2．对于并集、交集运算，能进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，能求两个集合的并集与交集，提升数学运算素养．
教学重点：交集与并集含义，用集合语言表达数学对象或数学内容．
教学难点：利用Venn图解决一些与集合运算有关的问题．
PPT．
一、问题导入
问题1：实数有加、减、乘、除等运算，集合是否也有类似的运算？
师生活动：学生讨论交流、总结发言，教师补充．
设计意图：利用已有的知识类比学习新知识，学生容易接受、掌握．
二、并集
1．形成概念
问题2：通过以下两个例子，类比实数的加法运算，分析这两个例子的共同特点，集合是否也可以“相加”呢？你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
（1）A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2，3，4，5，6}
（2）A＝{x |x是有理数}，B＝{ x |x是无理数}，C＝{ x |x是实数}
师生活动：学生独立思考，发言交流．教师引导学生通过观察集合中的元素，找到三个集合之间的关系．在学生概括的基础上，教师给出定义．
设计意图：通过回顾实数的运算，寻找实数与集合间的相似性，建立实数与集合之间的类比关系，抽象概括集合的并集的定义．
2．理解概念
问题3：通过阅读教科书，请你概括并集的特点．
师生活动：学生归纳概括特点，教师板书（如图1）．
追问：（1）如何理解并集定义中的“或”的含义，即“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
（2）如果集合A与B中的元素个数是有限的，那么集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？举例说明．
答案：（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B．用Venn图表示如图2所示．
（2）A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．比如：A＝{1，2，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∪B中一共有四个元素，而集合A与集合B的元素一共有5个．
设计意图：利用自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）表示集合的并集，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并理解并集的含义．
此图片为动画缩略图，本动画资源为《集合的并集》知识探究，以交互式动画的方式探究并展示集合并集的知识.若需使用，请插入【数学探究】集合的并集.
问题4：完成下面的例1，例2．
例1 设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B．
解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}．
例2 设集合A={x|－1解：A∪B={x|－1师生活动：学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正．
设计意图：巩固并集运算．
问题5：在实数的学习中，定义一种运算之后，为简便计算会研究其运算律．回忆一下加法运算律有哪些？通过类比、猜想并集运算有哪些运算律？
师生活动：学生通过回顾、讨论得出结论．
预设的答案：加法运算律如下：
①加法的交换律 a＋b＝b＋a；
②加法的结合律 a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；
③存在数0，使 0＋a＝a＋0＝a；
类比加法运算律得交集运算律：
A∪A＝________，A∪＝________．
设计意图：通过类比初中学过的实数知识，得出并集的运算律．
三、交集
1．形成概念
在集合基本运算的研究过程中，注重其内部联系性和整体性，这种联系性和整体性用Venn图能直观地呈现出来，如图，并集是两个集合中所有元素组成的集合，那么两个集合A、B中的公共元素组成的集合该如何定义呢？
2．理解概念
问题6：思考下面两个例子，结合并集定义的形成过程，并分析这两个例子的共同特点，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
（1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}；
（2）A={x|x是立德中学今年在校的女同学}，B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}，C={x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学}．
师生活动：学生独立思考，讨论交流．教师引导学生通过观察集合中的元素，找到三个集合之间的关系．在学生概括的基础上，教师给出定义．
预设的答案：集合C中的元素是集合A、B的公共元素．
追问：如何定义集合的交集？用自然语言、符号语言及Venn图表示出来．
师生活动：学生归纳发言，教师板书（如图3）．
设计意图：通过教科书中的例子，并类比并集的定义，抽象概括出集合交集的定义．
追问：并集和交集利用符号语言表述时有何不同？
师生活动：学生独立思考，然后总结交流．
预设的答案：运算符号写法不同，描述法表示两种运算时联结词不同．
设计意图：通过自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）表示集合的交集，并理解交集的含义．在比较交集和并集书写过程中，对二者有更深刻的理解．
此图片为动画缩略图，本动画资源为《集合的交集》知识探究，以交互式动画的方式探究并展示集合交集的知识.若需使用，请插入【数学探究】集合的交集.
问题7：自己独立完成例3、例4．
例3 立德中学开运动会，设A={x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B．
解：A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．所以，
A∩B={x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}．
例4 设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．
解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．
（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为：L1∩L2={点P}；
（2）直线l1，l2平行可表示为：L1∩L2= ；
（3）直线l1，l2重合可表示为：L1∩L2=L1=L2．
师生活动：学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正．
设计意图：巩固练习交集运算．
问题8：为简便集合计算，会研究其运算律．通过类比并集运算律，猜想交集有哪些运算律？
师生活动：学生独立完成，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑．
预设的答案：A∩A＝________，A∩＝________．
追问：利用学过的知识填空：
（1）A∩B______A，B______A∪B，A∩B______A∪B（填写集合间的关系）
（2）若A B，则A∩B＝________，A∪B＝________，反过来是否成立？
设计意图：通过结合前面学过的集合间的关系，不仅仅复习了有关知识，也巩固了集合的运算，也有助于辨别易混符号．
四、巩固应用
例1 求下列两个集合的并集和交集：
（1）A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－1，0，1，2，3}；
（2）A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|－2＜x＜2}；
师生活动：学生判断，教师追问其解题依据和步骤，并给出解答示范．
答案：（1）A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}，A∩B＝{1，2，3}．
（2）A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|－1＜x＜2}．
设计意图：通过应用加深对概念的理解提升数学运算素养．求两个集合的并集、交集，的依据是定义．对于用列举法给出的集合，可直接观察或借助于Venn图写出结果．对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助数轴表示结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，数轴上方“双线”（即公共部分）下面的实数组成了交集．其中的易错点是：忽略端点是否在集合中．
例2 设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝（ ）
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
师生活动：学生判断，教师给出解答示范．
答案：B．
设计意图：通过对多个集合之间同时交集或并集，熟练其运算规则，形成一定的求解程序，总结相应的方法，提升数学运算素养．
四、归纳总结
问题7：本节研究了哪些内容？你还获得了哪些经验？请你列举出来．
设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结，帮助学生整体认识、更好地理解并集、交集运算．
1.1.3 集合的基本运算（2）
1．能举例说明全集；对于具体的集合，能写出其补集；并会用符号语言、图形语言表示补集运算．
2．在具体问题情景中，用三种语言表示集合的基本运算，并能进行转换，有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验．
教学重点：全集、补集的含义．
教学难点：补集的含义，利用Venn图解决一些与集合运算有关的问题．
PPT．
一、问题导入
问题1：上一节课学习了交集和并集，请你默写定义，并用符号语言和图形语言表示．集合的并集是类比了实数的加法运算，实数也有减法运算，那么集合是否也可以“相减”呢？如集合A＝{1，2，3}，B＝{3}，则集合A“减去”集合B应该是什么呢？请写出你的猜想．
师生活动：学生先默写，之后互相检查，再写出猜想，以小组交流，教师适时引导．
设计意图：通过回顾并集概念，寻找集合运算与实数运算之间的相似性，为类比引入补集做好铺垫．
二、全集
1．形成概念
问题2：小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到整数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数．思考下面两个集合中元素是否相同？为什么？
A＝{x∈Q|(x－1)(x2－2)＝0}；B＝{x∈R|(x－1)(x2－2)＝0}．
师生活动：学生独立完成，之后展示交流，教师补充．
预设的答案：两个集合中的元素不相同．原因如下：
A＝{x∈Q|(x－1)(x2－2)＝0}＝{1}；
B＝{x∈R|(x－1)(x2－2)＝0}＝{1，，－}．
教师讲解：在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果，如上述方程(x－1)(x2－2)＝0的根在不同数集范围下是不同的．因此，在研究问题时，经常要确定研究对象的范围．即：
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U．
设计意图：利用已有的知识类比学习新知识，学生容易接受，举例说明让学生体会到在研究对象时，确定研究范围的重要性．
2．初步理解
追问：你能再举出几个全集的例子吗？
师生活动：学生举例，展示交流，教师补充．
预设的答案：上操站队时，全校学生构成的集合是全集；班主任分配宿舍时，我班所有学生构成的集合就是全集；参加学校运动会按班级报参赛项目时，我班的运动员构成的集合就是全集．
设计意图：通过举例，让学生初步理解全集的概念．
三、补集
3．形成概念
问题3：阅读教科书，说说什么是补集？默写定义．在问题1中，你的猜想正确吗？有哪些值得肯定之处？
师生活动：学生阅读课本获得定义，并通过比较发现自己的猜想与教科书中定义的一致之处，以及不同之处．
预设的答案：在学生默写的基础上教师修正，给出答案（如图1）．
设计意图：阅读获得定义，默写记忆定义，并通过比较，肯定学生猜想中的合理之处，激发学生的兴趣．
4．精致定义
问题4：学习了集合的三种运算，它们之间有哪些异同，你是如何区别的？
师生活动：学生先独立梳理，再展示交流，教师设计表格帮助学生进行整理．
预设的答案：
语言 并集 交集 补集
自然语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集
记法 A∪B A∩B
记法读作 A并B A交B A在全集U中的补集
符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ＝{x∈U，且x A}
图形语言
集合关系 A、B可以是任意集合 A、B可以是任意集合 AU
设计意图：集合的三种运算（并集、交集、补集）的定义相近，符号语言表示相似，易混淆，通过将三者放在一起对比，异同点一目了然，帮助学生进一步理解概念．
四、概念应用
问题5：自己独立完成例5、例6，想想每一个题目求解的依据是什么？
例1 设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求 UA， UB．
解：根据题意，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以
UA={4，5，6，7，8}， UB={1，2，7，8}．
例2 设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B， U(A∪B)．
解：根据三角形的分类可知
A∩B= ，A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U(A∪B)={x|x是直角三角形}．
师生活动：学生独立完成，教师巡视观察学生做的情况，有个别问题个别纠正，共性问题教师再针对性讲解．
答案略．
设计意图：练习补集运算，巩固集合运算．
五、运算律
问题6：定义了一种运算之后，为简便计算会研究其运算律．回忆一下并集、交集运算律有哪些？通过类比猜想补集运算有哪些运算律？
师生活动：学生思考交流，教师给出如下提示：
A∪（CUA）＝________，A∩（CUA）＝________，CU（CUA）＝________．（其中U为全集）
预设的答案：
A∪（CUA）＝U，A∩（CUA）＝，CU（CUA）＝A ．（其中U为全集）
设计意图：通过类比并集、交集的运算律，探索发现补集的运算律．
六、巩固应用
例1 （1）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则CUM＝（ ）
A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}
（2）设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则CUA＝________．
（3）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝（ ）
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
（4）设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则CR(A∪B)＝________，(CRA)∩B＝________．
师生活动：学生独立完成之后展示交流．
预设的答案：（1）C；
（2）{x|x≤2，或x＞5}；
（3）B；
（4）{x|x≤2，或x≥10}，{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}
解：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图2知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴CR(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
∵CRA＝{x|x＜3，或x≥7}，
∴(CRA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．
设计意图：巩固集合的基本运算．
问题7：本题求解的依据是什么？每个题目中所给集合有什么特点？你获得了什么求解经验？
师生活动：学生观察总结，展示交流，师生完善补充．
预设的答案：求解的依据是定义．对于用列举法给出的集合，可直接观察或借助于Venn图写出结果．对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助数轴表示结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集，要注意端点是否在集合中．
设计意图：通过应用加深对概念的理解，并提升数学运算素养．
例2 设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(CUA)∩B＝，则m＝__________．
问题8：本题中两个集合可否化简？集合B化简之后有几种情况？待求解的问题是否可以化简？
师生活动：学生根据问题7的引导，对题目进行化简，教师引导学生对集合B要分类讨论写出其化简后的情况．然后再对化简后的问题进行求解就比较容易了．
解：A＝{－2，－1}，由( UA)∩B＝，得B A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠．
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，
且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2．
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2．
设计意图：通过两个集合的运算，转化为两个集合间的关系，利用学生熟悉的一元二次方程根的情况，分类讨论求解，培养学生分析问题的能力，提升数学运算素养．
七、归纳总结
问题9：本节课你有哪些收获？可以从以下几方面思考：
（1）两个集合间的基本运算有哪些？
（2）求解集合运算问题，你获得了哪些经验？
师生活动：相互讨论、概括总结．
预设的答案：（1）略；
（2）①集合中的元素若是离散的，一般采用什么方法；集合中的元素若是连续的实数，则用什么方法，此时要注意端点的情况．②已知集合的运算结果求参数，要注意检验参数的值是否满足题意，或者是否满足集合中元素的互异性．
设计意图：梳理总结，深化理解．