5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-高中数学人教A版必修一 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面入手？
前面我们在学习函数时，先作出函数的图象，再根据函数图象的的特点总结出函数的性质．我们怎样做出正弦函数和余弦函数的图象呢？
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式
sin(x±2π) =sin x，cos(x±2π) =cos x
来表示.这说明，自变量每增加（减少）2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
下面先研究函数y =sin x，x∈R的图象，从画函数y =sin x，x∈[0,2π]的图象开始.
思考：在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0, sin x0)？
如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1,0).在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0 =sin x0.由此，以x0为横坐标， y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0, sin x0).
1
-1
0
y
x
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
事实上，利用信息技术，可使x0在区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(x0, sin x0)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y =sin x，x∈[0,2π]的图象.
终边相同角的三角函数值相等，即
sin(x±2kπ) =sin x，k∈Z
y =sin x，x∈[0,2π]
y =sin x，x∈R
f(x±2kπ) = f(x)
x
y
0
1
-1
y=sinx (x R)
利用图象平移
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察上图，在函数y =sin x，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y =sin x，x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找到这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的.
正弦函数的“五点画图法”
0
x
y
1
-1
●
●
●
●
●
一般地，函数y=f(x＋a)(a>0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？
向左平移a个单位.
想一想：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？
对于函数y=cos x，由诱导公式 得，
而函数 的图象可以通过正弦函数
的图象向左平移 个单位长度而得到.
x∈R
x∈R
x∈R
所以，将函数的图象向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图象.
余弦函数y=cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
x
y
O
2π
π
1
-1
例1. 画出下列函数的简图.
(1) y=1+sin x，x∈[0,2π]；
解：
(1) 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+sin x 1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
解：
(2) 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-cos x -1 0 1 0 -1
例1. 画出下列函数的简图.
(2) y=-cos x，x∈[0,2π].
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
练习：（1）画出函数y=-sinx x∈ [0,2π]
(2)画出函数y=1+cosx x∈ [0,2π]
(3)画出函数y=2sinx x∈ [0,2π]
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
课堂小结
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.