上海市华二附中2023届高三下学期5月模拟冲刺（2）数学试题（含答案）

上海市华二附中2023届高三下学期5月模拟冲刺（2）
数学
2023.05
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 已知集合，，，则实数______.
2. 已知，命题“存在，使得”为假命题，则a的取值范围是______.
3. 的二项展开式中的常数项为______.
4. 已知复数，则______.
5. 若非负实数x，y满足，则的最小值为______.
6. 李老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才算合格.某同学只能背出其中的4篇，则该同学能合格的概率是______.
7. 如图，在棱长为2的正方体中，点E是棱AD的中点，点F是棱的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______.
8. 在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为______.
9. 已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在处的切线方程为______.
10. 教授对外汉语的张老师要求班上的留学生们从周一到周四每天学习2首唐诗及正确注释，每周五对一周内所学唐诗随机抽取4首进行检测.若已知抽取进行检测的4首唐诗中有一首是周四学的，则所抽取的4首唐诗中恰有3首来自本周后两天所学内容的概率为______.
11. 若关于x的方程恰有两个不同的实数解，则实数______.
12. 已知平面上的点A、B、M、N满足，，，，则______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项）
13，设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14. 某高中的高一、高二、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本.若其中包含高三学生25名，则（ ）
A. 75 B. 85 C. 90 D. 100
15. 在中，若，则（ ）
A. C的最大值为 B. C的最大值为 C. C的最小值为 D. C的最小值为
16. 若数列满足“对任意正整数i，j（），都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.有以下两个命题：①若是等比数列，则具有性质P；②若等差数列的公差，则不具有性质P.那么（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（14分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.
（1）求该圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小.
18.（14分）
已知函数，.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，若，求.
19.（16分）某网店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：
1 2 3 4 5
2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案.
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立.
①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客获得100元现金奖励的概率.
②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由.
20.（16分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C经过点，离心率为，直线l过点与椭圆C交于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点N为的内心，求与面积的比值；
（3）设点A，，B在直线上的射影依次为点D，G，E.连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由.
21.（18分）已知.记，其中常数m，.
（1）证明：对任意m，，曲线过定点；
（2）证明：对任意s，，；
（3）若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围.
答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 0或3 2. 3. 240 4. 2 5. 0 6. 7.
8. 49 9. 10.
11.【答案】e
【解析】显然.当时，由单调性得，方程有且仅有一解.因此当时，方程也恰有一解.考虑函数得，故当时，，从而.
12.【答案】36
【解析】以AB中点O为原点，为x轴正方向，建立平面直角坐标系.则，.且点M、N分别在双曲线的右支和左支.同时，点M在圆上，点N在圆上，，.故.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项）
13. A 14. C 15. A
16.【答案】B
【解析】当时，不存在正整数k，使得，故①是假命题.由题意，，且存在，使得当时，且，于是当i，时，且，从而不存在正整数k使得，故②是真命题.故选B.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，得，，
，
，；
（2）取PO的中点E，连接DE，CE，则或其补角即为所求，
易证平面EOC，∴，，
，
于是，即异面直线AB与CD所成角的大为.
18.【答案】（1），；（2），.
【解析】（1），
由，，得
的单调递减区间为，，
故在递增，在递减，
故，.
（2），则，
，，所以，
所以，，
因为，所以由正弦定理得，①
由余弦定理得，即，②
由①②解得：，.
故.
19.【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析.
【解析】（1）由题，，，，，
则，
故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.
（2）①顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A..
②设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，
所以.
由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为：元.
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以专营店老板希望顾客参加抽奖.
20.【答案】（1）；（2）；（3）定点.
【解析】（1）由题意，，又因为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）因为点N为的内心，
所以点N为的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.
则.
（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，
此时AE与BD交于的中点，
下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点.
设直线l的方程为，
，化简得，
因为直线l经过椭圆C内的点，所以，
设，，
则，.
由题意，，，
直线AE的方程为，
令，此时
，
所以点在直线AE上，
同理可证，点在直线BD上.
所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点.
21.【解析】（1），故曲线过原点.
（2）因为，故等价于.
考虑.则.
因为，所以，而，且时，，故，函数在上严格增.
因此当时，.特别地，.证毕.
（3）首先证明对数平均不等式：当时，.
考虑函数，则，等号成立当且仅当.
故当时，.
因为，所以由得.
下证当时，对任意和一切使得的函数成立.
由题意，，故.
令，考虑函数.
则.
当且时，.由对数平均不等式，.
故，
从而函数在上严格增，得，即证.
综上，所求范围为.