热点04 二次函数 （浙江专版） 中考三轮热点问题专题（含解析）

浙江专版 中考三轮热点问题专题
热点04二次函数
一．选择题
1．（2023 温州二模）将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m个单位后过点（5，2），则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023 龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），下列选项正确的是（　　）
A．若对称轴为直线x＝1，则a＜0 B．若对称轴为直线x＝2，则a＜0
C．若对称轴为直线x＝3，则a＜0 D．若对称轴为直线x＝4，则a＞0
3．（2023 武义县一模）已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（1，0），则当2≤x≤6时，y的取值范围是（　　）
A．﹣5≤y≤5 B．﹣4≤y≤5 C．﹣3≤y≤5 D．0≤y≤5
4．（2023 余姚市一模）已知二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数），点A（1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜2 B．m＜2 C．2＜m＜3 D．m＞3
5．（2023 余杭区二模）已知y关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，下列结论中正确的序号是（　　）
①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为；
②当m≠0时，函数图象总过定点；
③当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则当m＜0时，函数在时一定能使成立．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
6．（2023 上城区模拟）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（　　）
A．若x1＜，则y1＞y2＞0 B．若＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜，则y1＞0＞y2 D．若＜x1＜2，则y2＞0＞y1
7．（2023 瓯海区模拟）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　）
A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜1＜n，则a1＜a2
C．若m＜n＜1，则a1＜a2 D．着m＜n＜1，则a2＜a1
8．（2023 上城区一模）二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误（其中a，b，c，m均为常数）．
x … ﹣2 0 2 3 …
y … ﹣m2 2 ﹣m2 ﹣m2 …
甲同学发现当a＞0时，x＝5是方程ax2+bx+c＝2的一个根；乙同学发现当a＜0时，则a+b＝0．下列说法正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
9．（2023 温州二模）已知函数y＝﹣x2+mx+n（﹣1≤x≤1），且x＝﹣1时，y取到最大值1，则m的值可能为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
10．（2023 萧山区模拟）已知抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）﹣4（a≠0）与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，点（x0，y0）是抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞0，则﹣1＜m＜n＜3
B．当x＝m+n 时，y＝﹣4
C．方程a（x﹣m）（x﹣n）﹣4＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3
D．若a＞0，当﹣1＜x0＜3时，则y0＜﹣4
11．（2023 萧山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③的最小值为．
其中，正确结论为（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
12．（2023 杭州一模）设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数的图象经过点（﹣2，p），，（4，q），设方程ax2+c+2＝0的正实数根为m，（　　）
A．若p＞1，q＜﹣1，则 B．若p＞1，q＜﹣1，则
C．若p＞3，q＜﹣3，则 D．若p＞3，q＜﹣3，则
二．填空题
13．（2023 鄞州区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 　 　．
14．（2023 瓯海区一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y＝1360﹣80x．当销售价格定为每瓶 　 　元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）．
15．（2023 宁波模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 　 　m．
16．（2023 柯桥区一模）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“平衡点”，例如：直线y＝﹣2x+3，上存在“平衡点”P（1，1）．若函数y＝（m﹣1）x2﹣3x+2m的图象上存在唯一“平衡点”，则m＝　 　．
17．（2023 义乌市校级模拟）下面是三个同学对问题“已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），你是否也知道二次函数y＝4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标？”的讨论；甲说：“这个题目就是求方程4ax2+2bx+c＝0的一个解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为二次函数y＝4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是　 　．
三．解答题
18．（2023 北仑区二模）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式；
（2）x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？
19．（2023 武义县一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为（0，t）（t≥0）．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
（1）当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若t＝1时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
（2）为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到的最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
20．（2023 宁波模拟）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
21．（2023 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，试求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：t＝s+1．
（3）若a＜0，且当自变量x满足0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，求m的值．
22．（2023 桐乡市一模）已知二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点A（1，3）．
（1）求该函数解析式．
（2）将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，经过点B（﹣2，2），求n的值．
（3）若点在该函数图象上，当x≤a时，函数的最小值大于4﹣m，请求出m的取值范围．
23．（2023 杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）抛物线上两点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3时，若存在y1＝y2，直接写出m的取值范围．
24．（2023 定海区模拟）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
答案与解析
一．选择题
1．（2023 温州二模）将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m个单位后过点（5，2），则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据“左加右减”的规律得到平移后抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣14；然后将点（5，2）代入来求m的值即可．
【解析】解：∵y＝x2﹣8x+2＝（x﹣4）2﹣14，
∴将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m个单位后所得二次函数解析式为：y＝（x﹣4+m）2﹣14．
将（5，2）代入，得（5﹣4+m）2﹣14＝2，
解得m＝3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2．（2023 龙港市二模）二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），下列选项正确的是（　　）
A．若对称轴为直线x＝1，则a＜0 B．若对称轴为直线x＝2，则a＜0
C．若对称轴为直线x＝3，则a＜0 D．若对称轴为直线x＝4，则a＞0
【点拨】应用二次函数的性质分别判断即可．
【解析】解：二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）的图象过点（5，6），则有25a+5b+1＝6，即5a+b＝1．
A、若对称轴为直线x＝1，则，又5a+b＝1，得a＝＞0；不符合题意．
B、若对称轴为直线x＝2，则，又5a+b＝1，得a＝1＞0；不符合题意．
C、若对称轴为直线x＝3，则，又5a+b＝1，得a＝﹣1＜0；符合题意．
D、若对称轴为直线x＝4，则，又5a+b＝1，得a＝＜0；不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，及图象上的点坐标与函数解析式的关系．
3．（2023 武义县一模）已知二次函数y＝x2+bx+5的图象经过点（1，0），则当2≤x≤6时，y的取值范围是（　　）
A．﹣5≤y≤5 B．﹣4≤y≤5 C．﹣3≤y≤5 D．0≤y≤5
【点拨】先将点（1，0）代入y＝x2+bx+5求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在2≤x≤6时的最大值和最小值即可．
【解析】解：将点（1，0）代入y＝x2+bx+5，
得：0＝1+b+5，
解得：b＝﹣6，
∴该二次函数的表达式为：y＝x2﹣6x+5，
∴该函数的对称轴为直线，
∵a＝1＞0，
∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵6﹣3＞3﹣2，
∴再2≤x≤6之间，当x＝6时，函数有最大值y＝62﹣6×6+5＝5，
当x＝3时，函数有最小值y＝32﹣6×3+5＝﹣4，
∴当2≤x≤6时，y的取值范围是﹣4≤y≤5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
4．（2023 余姚市一模）已知二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数），点A（1，y1），B（3，y2）是该函数图象上的点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．1＜m＜2 B．m＜2 C．2＜m＜3 D．m＞3
【点拨】分别求出y1，y2，利用y1＜y2，得出关于m的不等式，即可求出m的范围．
【解析】解：∵点A（1，y1），B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣m）2+3（m为常数）图象上的点，
∴y1＝（1﹣m）2+3，y2＝（3﹣m）2+3，
∵y1＜y2，
∴（1﹣m）2+3＜（3﹣m）2+3，
解得m＜2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
5．（2023 余杭区二模）已知y关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，下列结论中正确的序号是（　　）
①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为；
②当m≠0时，函数图象总过定点；
③当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；
④若函数图象上任取不同的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则当m＜0时，函数在时一定能使成立．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【点拨】①把m＝﹣1代入y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，再化为顶点式即可；
②求得与x轴的交点，进而求得|x1﹣x2|的值，即可判断；
③由y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，可知当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关，然后求出x，y的对应值即可；
④m＜0时，抛物线的对称轴：x＝＞0，抛物线开口向下，只有当对称轴在x＝右侧时，y才随x的增大而减小，即可求解．
【解析】解：①当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x＝﹣2（x﹣）2+，
∴顶点坐标为（，），
故①正确；
②当m≠0时，y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，
当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关，
此时x1＝1，x2＝﹣，
当x1＝1，y＝0；当x2＝﹣时，y2＝﹣，
∴函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣），
故②正确；
③当m＞0时，由y＝0得：Δ＝（1﹣m）2﹣4×2m（﹣1﹣m）＝（3m+1）2，
∴x＝，
∴x1＝1，x2＝﹣﹣，
∴|x1﹣x2|＝+＞，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，
故③正确；
④m＜0时，抛物线的对称轴：x＝＞0，抛物线开口向下，
故x＞时，只有当对称轴在x＝右侧时，y才随x的增大而减小，即使成立，
故④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6．（2023 上城区模拟）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（　　）
A．若x1＜，则y1＞y2＞0 B．若＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜，则y1＞0＞y2 D．若＜x1＜2，则y2＞0＞y1
【点拨】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x＝代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x2﹣x1＝3求解．
【解析】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
当x1＝时，x2＝3+＝，
∴＝2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1＝y2，
将x＝代入y＝（x﹣2）2﹣1得y＝0，
当＜x1＜2时，＞2，
∴y2＞0＞y1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
7．（2023 瓯海区模拟）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　）
A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜1＜n，则a1＜a2
C．若m＜n＜1，则a1＜a2 D．着m＜n＜1，则a2＜a1
【点拨】根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解．
【解析】解：如图所示，若1＜m＜n，则a1＞a2，
故A选项错误；
如图所示，若m＜1＜n，则a1＞a2或a1＜a2，
故B选项错误；
如图所示，若m＜n＜1，则a1＜a2，
故C选项正确，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
8．（2023 上城区一模）二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误（其中a，b，c，m均为常数）．
x … ﹣2 0 2 3 …
y … ﹣m2 2 ﹣m2 ﹣m2 …
甲同学发现当a＞0时，x＝5是方程ax2+bx+c＝2的一个根；乙同学发现当a＜0时，则a+b＝0．下列说法正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
【点拨】由已知二次函数y＝ax +bx+c与自变量x的部分对应值表和抛物线的对称性可得：
m≠0、函数图象的对称轴是直线x＝即有﹣，
又因为﹣m ＜0＜2，可知自变量x，y随x的增大而减小，
由函数图象对称性可知x＞时，y随x的增大而增大，故函数图象开口向上，进而得到a＞0，a+b≠0，
由抛物线的对称性可知x＝5是方程 ax2+bx+c＝2的一个根，从而得出结论．
【解析】解：由二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值表可知：
当x＝2与3时，都是y＝﹣m ，
当x＝﹣2时，y＝﹣m，
当x＝0时，y＝2，
∴m≠0，由抛物线的对称性可知：函数图象的对称轴是直线x＝，
即﹣．
由于﹣m2＜0＜2，故自变量x＜时，y随x的增大而减小，
由抛物线的对称性可知x＞时，y随x的增大而增大，
故函数图象开口向上．
∴a＞0，a＝﹣b，a+b＝b≠0；
由抛物线的对称性可知：当x＝5时，y＝2，
即方程ax +bx+c＝2的一个根是x＝5．
∴甲对乙错．
故选A．
【点睛】本题重点考查二次函数的图象和性质，能数形结合从而推出结论是解决此类题型的关键．
9．（2023 温州二模）已知函数y＝﹣x2+mx+n（﹣1≤x≤1），且x＝﹣1时，y取到最大值1，则m的值可能为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【点拨】根据二次函的性质分析求解即可．
【解析】解：因二次函数y＝﹣x2+mx+n中a＝﹣1，所以开口向下．
由二次函数的性质得当a＜0时，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小；
若当x＝﹣1时，y取到最大值1，
必有．
即m≤﹣2．
故答案为：D．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质．
10．（2023 萧山区模拟）已知抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）﹣4（a≠0）与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，点（x0，y0）是抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞0，则﹣1＜m＜n＜3
B．当x＝m+n 时，y＝﹣4
C．方程a（x﹣m）（x﹣n）﹣4＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3
D．若a＞0，当﹣1＜x0＜3时，则y0＜﹣4
【点拨】由抛物线解析式可得抛物线经过（﹣1，﹣4），（3，﹣4），由抛物线与x轴的交点横坐标为m＜n可得抛物线经过（m，0），（n，0），根据抛物线的开口方向及对称性可判断选项A，B，由二次函数与方程的关系可判断C，D．
【解析】解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）﹣4，
∴抛物线经过（﹣1，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当a＞0时，抛物线开口向上，则m＜﹣1＜3＜n，选项A错误．
∵抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴m+n＝2，
∵抛物线经过（﹣1，﹣4），（3，﹣4），选项B错误．
∵抛物线x轴交点的横坐标为m，n，
∴y＝a（x﹣m）（x﹣n），
∵抛物线经过（﹣1，﹣4），（3，﹣4），
∴x＝﹣1或3时，a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣4，
∴a（x﹣m）（x﹣n）+4＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，选项C错误
a＞0时，抛物线开口向上，
由抛物线经过（﹣1，﹣4），（3，﹣4）可得﹣1＜x0＜3时，y＜﹣4，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11．（2023 萧山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③的最小值为．
其中，正确结论为（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【点拨】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解析】解：①∵b＞a＞0，即a、b同号，
∴该抛物线的对称轴在y轴左侧；
故①正确；
②∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）开口向上，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，
∴抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上面，
∴抛物线与直线y＝﹣2无交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
故②正确；
③当x＝时，y＝a+b+c＞0，
∴a+b+c＞a+b，
即a+b+c＞（3a+2b），
而b＞a＞0，
∴＞，
故③错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
12．（2023 杭州一模）设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数的图象经过点（﹣2，p），，（4，q），设方程ax2+c+2＝0的正实数根为m，（　　）
A．若p＞1，q＜﹣1，则 B．若p＞1，q＜﹣1，则
C．若p＞3，q＜﹣3，则 D．若p＞3，q＜﹣3，则
【点拨】根据二次函数的性质可得点关于对称轴的对称点为，点（﹣2，p）关于对称轴的对称点为（2，p），再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝﹣2的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+c关于y轴对称，
∴点关于对称轴的对称点为，点（﹣2，p）关于对称轴的对称点为（2，p），
∵方程ax2+c+2＝0的正实数根为m，
∴二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝﹣2的右侧的交点的横坐标为m，
如图，
当﹣2＜q＜﹣1时，m＞4，故A、B选项错误，不符合题意；
当p＞3，q＜﹣3时，，故C选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二．填空题
13．（2023 鄞州区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，则9a+3b+c的值是 　﹣2　．
【点拨】根据抛物线的轴对称性质得到：当x＝3与当x＝﹣1时，所对应的y值相等，据此解答．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣1，﹣2），对称轴为直线x＝1，
∴点A（﹣1，﹣2）关于直线x＝1对称的点的坐标为（3，﹣2）．
∴当x＝3时，y＝﹣2，
即9a+3b+c＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．
14．（2023 瓯海区一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y＝1360﹣80x．当销售价格定为每瓶 　13　元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）．
【点拨】设日均毛利润为w元，根据每日的毛利润＝每瓶的毛利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解析】解：设日均毛利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣9）y＝（x﹣9）（1360﹣80x）＝﹣80x2+2080x﹣12240＝﹣80（x﹣13）2+1280，
∵﹣80＜0，10≤x≤14，
∴当x＝13时，w有最大值，最大值为1280，
∴当销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
15．（2023 宁波模拟）教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是 　9　m．
【点拨】当y＝0时代入解析式y＝﹣（x﹣4）2+2，求出x的值就可以求出结论．
【解析】解：由题意得，
当y＝0时，﹣（x﹣4）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
16．（2023 柯桥区一模）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“平衡点”，例如：直线y＝﹣2x+3，上存在“平衡点”P（1，1）．若函数y＝（m﹣1）x2﹣3x+2m的图象上存在唯一“平衡点”，则m＝　2或﹣1或1　．
【点拨】根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于m的一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】解：由题意可知，方程t＝（m﹣1）t2﹣3t+2m有唯一解，
整理得：（m﹣1）t2﹣4t+2m＝0，且Δ＝0．
即42﹣4×（m﹣1） 2m＝0，
解得m＝2或﹣1．
当m＝1时，它是一次函数，存在唯一“不动点”，
故答案为：2或﹣1或1．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等，对“平衡点”的理解是解决本题的关键．
17．（2023 义乌市校级模拟）下面是三个同学对问题“已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），你是否也知道二次函数y＝4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标？”的讨论；甲说：“这个题目就是求方程4ax2+2bx+c＝0的一个解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为二次函数y＝4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是　（，0）　．
【点拨】先把（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c可得，9a+3b+c＝0，即c＝﹣9a﹣3b，把c的值代入4ax2+2bx+c＝0即可得出x的一个值，故可得出结论．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（3，0），
∴9a+3b+c＝0，即c＝﹣9a﹣3b①，
∵把①代入一元二次方程4ax2+2bx+c＝0得，4ax2+2bx﹣9a﹣3b＝0，即a（4x2﹣9）+b（2x﹣3）＝0，（2x﹣3）[（a（2x+3）+b）]＝0，
∴2x﹣3＝0，解得x＝，
∴二次函数y＝4ax2+2bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（，0）．
故答案为：（，0）．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
三．解答题
18．（2023 北仑区二模）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式；
（2）x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？
【点拨】（1）根据“每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲“即可得：y＝50﹣x；
（2）设宾馆的利润为w元，根据总利润＝每个房间利润乘以订住的房间数得：w＝（180+x）（50﹣x）＝﹣（x﹣160）2+11560，由二次函数的性质可得答案．
【解析】解：（1）根据题意得：y＝50﹣x；
∴y关于x的函数表达式为y＝50﹣x；
（2）设宾馆的利润为w元，
根据题意得：w＝（180+x）（50﹣x）＝﹣（x﹣160）2+11560，
∵﹣＜0，
∴当x＝160时，w取最大值，最大值为11560，
∴x定为160元时，宾馆可获得最大利润，最大利润是11560元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
19．（2023 武义县一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为（0，t）（t≥0）．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a．
（1）当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．
①若t＝1时，求第一象限内水柱的函数表达式．
②用含t的代数式表示a．
（2）为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．
①求改造后水柱达到的最大高度．
②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围．
【点拨】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+6，当t＝1时，把（0，1）代入函数表达式即可得解，②把（0，t）代入y＝a（x﹣4）2+6即可得解；
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+h，利用得出a与t的关系，将（0，t）代入y＝a（x﹣6）2+h，即可得解②把（12.5，0）代入y＝a（x﹣6）2+8，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．y＝a（x﹣6）2+h．
【解析】解：（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+6．
当t＝1时，把（0，1）代入函数表达式，得．
∴第一象限内水柱的函数表达式为．
②把（0，t）代入y＝a（x﹣4）2+6，
得t＝a（0﹣4）2+6，
得，
（2）①设第一象限内水柱的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+h．
∵4a﹣t+，
∴．
把（0，t）代入y＝a（x﹣6）2+h，得，
∴h＝8．
∴水柱达到的最大高度8米．
②把（12.5，0）代入y＝a（x﹣6）2+8，得．
要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为．
∵，
∴，
解得．
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
20．（2023 宁波模拟）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
【点拨】（1）根据待定系数法求解；
（2）先求交点坐标，再根据图象求解；
（3）根据平移的规律求解．
【解析】解：（1）由题意得：，
解得：，
所以：p＝3，b＝﹣2；
（2）一次函数y1＝x的图象与抛物线y2＝x2﹣2x的图象在同一坐标系中，如图所示：
解得：或，
∴A（3，3），
由图象得；当y1＞y2时，x＜0或x＞3；
（3）∵y2＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴y2＝x2﹣2x的顶点为（1，﹣1），
由题意得：1+m＝﹣1+n，
∴m﹣n＝﹣2．
【点睛】本题考查了函数与不等式的关系，数形结合思想是解题的关键．
21．（2023 萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+2x+1（a≠0）．
（1）若，试求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
（2）若该二次函数图象的顶点坐标为（s，t），求证：t＝s+1．
（3）若a＜0，且当自变量x满足0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，求m的值．
【点拨】（1）解一元二次方程0＝x2+2x+1，求出x的值，即可得该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）由顶点坐标公式可得s＝﹣＝﹣，t＝＝1﹣，即可证t＝1+s；
（3）由x＝0得y＝1，抛物线y＝ax2+2x+1顶点坐标为（﹣，1﹣），及a＜0，当0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，可知当x＝m时函数值最小为﹣2，当x＝﹣时，函数值（1﹣）最大为2，列出方程组可解得答案．
【解析】（1）解：当a＝时，y＝x2+2x+1，
令y＝0得0＝x2+2x+1，
解得x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2+，0），（﹣2﹣，0）；
（2）证明：∵二次函数y＝ax2+2x+1图象的顶点坐标为（s，t），
∴s＝﹣＝﹣，t＝＝1﹣，
∴t＝1+s；
（3）解：在y＝ax2+2x+1中，令x＝0得y＝1，
由（2）知抛物线y＝ax2+2x+1顶点坐标为（﹣，1﹣），
∵a＜0，当0≤x≤m时，﹣2≤y≤2，
∴当x＝m时函数值最小为﹣2，当x＝﹣时，函数值（1﹣）最大为2，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴m的值为3．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．
22．（2023 桐乡市一模）已知二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点A（1，3）．
（1）求该函数解析式．
（2）将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，经过点B（﹣2，2），求n的值．
（3）若点在该函数图象上，当x≤a时，函数的最小值大于4﹣m，请求出m的取值范围．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用平移的性质得到平移后的函数解析式为，再代入B（﹣2，2），解方程即可求解；
（3）把点代入，求得a的值，利用二次函数的性质即可求解．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点A（1，3），
∴3＝1+b+3，
解得b＝﹣1，
∴该函数解析式为y＝x2﹣x+3；
（2），
将函数图象向下平移1个单位，再向左平移n个单位后，
函数解析式为，
把点B（﹣2，2）代入得，
整理得，
解得n＝3或n＝2；
（3）对于，对称轴为，当时，函数的最小值为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：或，
当，即时，函数的最小值为，
此时，
解得；
当，即时，函数的最小值为，
此时，解得；
综上，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移变换，待定系数法求函数解析式，能结合题意确定m的取值范围是解题的关键．
23．（2023 杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a．
（1）当a＝1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）抛物线上两点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3时，若存在y1＝y2，直接写出m的取值范围．
【点拨】（1）当a＝1时，求出抛物线解析式并化为顶点式，从而得出抛物线与x轴的交点；
（2）把解析式化为顶点式，从而求出抛物线的对称轴和顶点坐标，并把纵坐标化为顶点式，求出最大值即可；
（3）根据y1＝y2，对称轴为x＝1，得出x1+x2＝2，再根据m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，得出m的取值范围．
【解析】解：（1）当a＝1时，
y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a
＝（x﹣1﹣1）（x+1﹣1）+1
＝x（x﹣2）+1
＝（x﹣1）2，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0）；
（2）∵y＝（x﹣a﹣1）（x+a﹣1）+a＝x2﹣2x﹣a2+a+1＝（x﹣1）2﹣a2+a，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a2+a），
∵﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，﹣a2+a的最大值为，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标最大值为；
（3）∵y1＝y2，
∴＝1，
∴x1+x2＝2，
∵m＜x1＜m+1，m+2＜x2＜m+3，
∴2m+2＜x1+x2＜2m+4，
∴，
解得﹣1＜m＜0．
∴m的取值范围为﹣1＜m＜0．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，关键是求出抛物线对称轴．
24．（2023 定海区模拟）二次函数y＝x2+bx过点（2，8）．
（1）求二次函数y＝x2+bx的解析式；
（2）若点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，求y1+y2最小值；
（3）一次函数y＝x+2和二次函数y＝x2+bx在同一平面直角坐标系中．其中点A（m，y1）是二次函数y＝x2+bx图象上一点，点B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2图象上一点．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范围．
【点拨】（1）把已知点的坐标代入y＝x2+bx中求出b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征得到y1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，则y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，再求出点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），则|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通过解方程m2+3m＝2和二次函数的性质得到m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，通过解方程m2+3m＝﹣2和二次函数的性质得到得m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1．
【解析】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，
解得b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x；
（2）∵点A（m，y1）和点B（3﹣m，y2）都在二次函数图象上，
∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，
∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，
∴当m＝时，y1+y2有最小值，最小值为；
（3）∵抛物线y＝x2+2x的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点A（m，y1）关于对称轴的对称点A′的坐标为（﹣2﹣m，y1），
∵点B的坐标为（﹣2﹣m，y2），
∴|y1﹣y2|表示点A′与点B的距离，
∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，
整理得|m2+3m|＞2，
即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，
解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，
∴m2+3m＞2的解集为m＜或m＞，
解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，
∴m2+3m＜﹣2的解集为﹣2＜m＜﹣1，
综上所述．m的取值范围为m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了一次函数，、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．