9.3一元一次不等式组应用题（一）（含解析）

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9.3一元一次不等式组应用题（一）
一、方案设计类
例1、.湖滨中学举办一年一度的商贸街活动，卓越同学准备用不超过1054元购进40套考试专用的A，B两种套装，其中A种套装每套进价25元，B种套装每套进价28元，A种每套售价30元，B种每套售价32元，预计销售额不低于1232元，设A种套装购进x套，请你设计出所有的进货方案．
针对训练1
1．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
2．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：
大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个）
A 1 5 4 10
B 2 3 3 8
C 3 1 4 8
D 4 2 5 11
E 5 1 3 9
F 3 4 5 12
该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 　 　．（写出要购买的大礼包编号）
3．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第28个世界读书日，我市图书馆决定购买甲、乙两种品牌的平板电脑若干组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别2400元和3600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，恰好支出144000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过124000元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．
4．为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；
（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用．
5．某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
6．用二元一次方程（组）解决实际问题．
北京某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威，可租用的汽车有两种，一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载．
①请你写出三种不同的租车方案；
②若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由．
7．为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购买8件进A种纪念品，购买3件B种纪念品，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店购买A种纪念品的数量比B种纪念品的2倍少10件，且购买B种纪念品不少于34件，考虑市场需求和资金周转，用于购买纪念品的资金不超过8000元，那么该商店有多少种进货方案？
二、最值类问题
例2. 某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105400元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
（1）请你设计出所有的进货方案；
（2）在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
针对训练2
1．某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为 　 　；
（2）该小组人数的最小值为 　 　．
2．日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？
3．合肥市某生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
4．为了切实保护自然生态环境，某地政府实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
进价（元） 售价（元/斤）
鲢鱼 a 5
草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分
8 7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
老李打算让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）的最小值不少于320元，求m的最大值．
5．某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．
（1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
6．某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．
（1）求A、B两种笔记本的进价；
（2）文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出m的最小值．
7．为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．
（1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
（2）现计划用19320元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
9.3一元一次不等式组应用题（一）（解析版）
一、方案设计类
例1、湖滨中学举办一年一度的商贸街活动，卓越同学准备用不超过1054元购进40套考试专用的A，B两种套装，其中A种套装每套进价25元，B种套装每套进价28元，A种每套售价30元，B种每套售价32元，预计销售额不低于1232元，设A种套装购进x套，请你设计出所有的进货方案．
【分析】由购进两种套装的数量及购进A种套装的数量，可得出B种套装购进（40﹣x）套，利用总价＝单价×数量，结合进货总价不超过1054元且销售总额不低于1232元，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：∵卓越同学共购进40套考试专用的A，B两种套装，且A种套装购进x套，
∴B种套装购进（40﹣x）套．
根据题意得：，
解得：22≤x≤24，
又∵x为正整数，
∴x可以为22，23，24，
∴卓越同学共有3种进货方案，
方案1：购进A种套装22套，B种套装18套；
方案2：购进A种套装23套，B种套装17套；
方案3：购进A种套装24套，B种套装16套．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
针对训练1
1．某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
【分析】当购买6本B种笔记本时，分购买4本B种笔记本、购买5本B种笔记本及购买6本B种笔记本及购买7本B种笔记本四种情况考虑，根据“A种笔记本至少购买4本，且总价不超过100元”，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x为正整数，即可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买x本A种笔记本．
当购买4本B种笔记本时，，
解得：4≤x≤，
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，7，
∴当购买4本B种笔记本时，有4种购买方案；
当购买5本B种笔记本时，，
解得：4≤x≤，
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，
∴购买5本B种笔记本时，有3种购买方案；
当购买6本B种笔记本时，，
解得：4≤x≤5，
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，
∴当购买6本B种笔记本时，有2种购买方案；
当购买7本B种笔记本时，，
不等式组无解，即不存在该种情况．
上所述，购买方案共有4+3+2＝9（种）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
2．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：
大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个）
A 1 5 4 10
B 2 3 3 8
C 3 1 4 8
D 4 2 5 11
E 5 1 3 9
F 3 4 5 12
该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 　A，B，C，D各买一个（答案不唯一）　．（写出要购买的大礼包编号）
【分析】根据“该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多”进行判断即可．
【解答】解：当购买A，B，C，D各一个时，
一等奖的个数为1+2+3+4＝10，8＜10＜14，
二等奖的个数为5+3+1+2＝11，7＜11＜13，
三等奖的个数为4+3+4+5＝16，16＞11＞10，满足题意，
奖品总个数为10+11+16＝37，37＜41，满足题意．
故答案为：A，B，C，D各买一个（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查方案选择问题、有理数加法的实际应用，解题关键是理解题意，列出算式，进行求解．
3．每年的4月23日为“世界读书日”．为了迎接第28个世界读书日，我市图书馆决定购买甲、乙两种品牌的平板电脑若干组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别2400元和3600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，恰好支出144000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的平板电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过124000元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．
【分析】（1）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台，由题意得出，解方程组可得出答案；
（2）设甲种品牌的电脑购买了m台，乙种品牌的电脑购买了（50﹣m）台，根据题意建立不等式组求出其解即可．
【解答】解：（1）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台，则，
解得，
答：甲种品牌的电脑购买了30台，乙种品牌的电脑购买了20台．
（2）设甲种品牌的电脑购买了m台，乙种品牌的电脑购买了（50﹣m）台，则
，
解得49，
∴x的整数值为47，48、49，
当x＝47时，50﹣m＝3；当x＝48时，50﹣m＝2；当x＝49时，50﹣m＝1．
∴一共有三种购买方案：甲种品牌的电脑购买47台，乙种品牌的电脑购买3台；甲种品牌的电脑购买48台，乙种品牌的电脑购买2台；甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台．
∵甲、乙两种品牌的电脑单价分别2400元和3600元．
∴甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台比较省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，方案设计题型的运用，解答时找到等量关系建立方程或者方程组和建立不等式是关键．
4．为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；
（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用．
【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元：若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进（100﹣m）件B种奖品，根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出购买方案的个数；由A，B两种奖品单价间的关系，可找出购买奖品总费用最少的方案，再利用总价＝单价×数量可求出最小总费用．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元．
（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进（100﹣m）件B种奖品，
依题意，得：，
解得：68≤m≤75，
75﹣68+1＝8（种）．
答：运动会组委会共有8种购买方案．
∵10＜15，
∴A种奖品的单价较低，
∴当m＝75时，购买奖品总费用最少，最少费用为10×75+15×（100﹣75）＝1125（元）．
答：购买75件A种奖品，25件B种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据两种奖品单价间的关系，找出购买奖品总费用最少的方案．
5．某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
【分析】（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解；
（2）设购买气排球n个，则购买篮球（50﹣n）个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．
根据题意得：，
解得：，
所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．
（2）设购买气排球n个，则购买篮球（50﹣n）个．
根据题意得：，
解得，
又∵n为正整数，
∴排球的个数可以为27，28，29，
∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，
②购买排球28个，篮球22个，
③购买排球27个，篮球23个．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
6．用二元一次方程（组）解决实际问题．
北京某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威，可租用的汽车有两种，一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载．
①请你写出三种不同的租车方案；
②若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由．
【分析】（1）设8座车x辆，4座车y辆，可得8x+4y＝36，结合x，y是正整数进行分析．
（2）根据租金结合（1）中的方程得到一次函数，根据自变量的取值范围分析其最小值．
【解答】解：（1）设8座车x辆，4座车y辆，可得8x+4y＝36，
∴方案1：四辆8人车，一辆4人车4×8+1×4＝36．
方案2：三辆8人车，三辆4人车3×8+3×4＝36．
方案3：二辆8人车，五辆4人车2×8+5×4＝36．
方案4：一辆8人车，七辆4人车1×8+7×4＝36．
方案5：九辆4人车9×4＝36．
（2）设8座车x辆，4座车y辆，则费用w＝300x+200y．
∵8x+4y＝36，且0≤8x≤36，0≤x≤，
∴w＝1800﹣100x．
∴当x取最大整数值，即x＝4时，w的值最小．
答：最佳方案为四辆8人车，一辆4人车．
【点评】能够正确讨论二元一次方程的正整数解，能够根据函数分析其最值．
7．为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购买8件进A种纪念品，购买3件B种纪念品，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店购买A种纪念品的数量比B种纪念品的2倍少10件，且购买B种纪念品不少于34件，考虑市场需求和资金周转，用于购买纪念品的资金不超过8000元，那么该商店有多少种进货方案？
【分析】（1）设A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）设商店可购进A纪念品a件，则购进B纪念品（100﹣a）件，根据购买这100件纪念品的资金不超过8000元为不相等关系建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，由题意得：
，
解得：．
答：A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元；
（2）设商店可购进B纪念品a件，则购进A纪念品（2a﹣10）件，
由题意得100（2a﹣10）+50a≤8000，
解得：a≤36．
∵购买B种纪念品不少于34件，
∴34≤a≤36．
有三种方案：可购进A种纪念品58件，B种纪念品34件；
可购进A种纪念品60件，B种纪念品35件；
可购进A种纪念品62件，B种纪念品36件．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题运用及列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时找到反应全体题意的等量关系及不相等关系建立方程及不等式是关键．
最值类问题
例2. 某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105400元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
（1）请你设计出所有的进货方案；
（2）在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，根据总进价不超过105400元和销售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可；
（2）根据利润等于售价﹣进价的数量关系分别表示出购买A型电脑的利润和B型电脑的利润就求其和就可以得出结论．
【解答】解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，由题意，得
，
解得：22≤x≤24，
∵x为整数，
∴x＝22，23，24，
∴有3种购买方案：
方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案2：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台；
（2）由题意，得
y＝（3000﹣2500）x+（3200﹣2800）（40﹣x），
＝500x+16000﹣400x，
＝100x+16000．
∵k＝100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝24时，y最大＝18400元．
答：采用方案3，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
【点评】此题考查一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答
针对训练2
1．某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；
②初三学生人数多于教师人数；
③教师人数的四倍多于初一学生人数．
（1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为 　5　；
（2）该小组人数的最小值为 　7　．
【分析】①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；②初三学生人数多于教师人数；③教师人数的四倍多于初一学生人数．列出不等式组得：，即可求解；
②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意①初一学生人数多于初二学生人数的2倍；②初三学生人数多于教师人数；③教师人数的四倍多于初一学生人数．列出不等式组得：，即可求解．
【解答】解：（1）设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，
根据题意得：，且a＝3，
解得：y＜6，
∵x、y均为整数，
∴初二学生人数的最大值为5；
故答案为：5；
（2）设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，
根据题意得：，
当a＝1时，
即有：，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：，
此时团队总人数为：x+y+z+a＝3+1+2+1＝7（人）；
当a＝2时，
即有：，
∵x、y、z、a均为正整数，
即解得：，
此时小组总人数最小值为：x+y+z+a＝3+1+3+2＝9（人），
可知随着老师的人数增加，小组总人数也增加，
即该小组人数最小值为7人；
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
2．日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
（1）足球与篮球的单价分别为多少元？
（2）若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？
【分析】（1）设每个足球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，根据“购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个篮球，则购买（50﹣m）个足球，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案．
【解答】解：（1）设每个足球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是70元．
（2）设购买m个篮球，则购买（50﹣m）个足球，
依题意得：，
解得：．
∵m为整数，
∴m的最大值为15，
答：最多能买15个篮球．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
3．合肥市某生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合甲种蔬菜不多于60千克又投入资金不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润＝每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：依题意，得：，
解得：，
答：m的值为10，n的值为14；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400，
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520，
依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，
解得：a≤1.8，
答：a的最大值为1.8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，找出利润最大的购物方案．
4．为了切实保护自然生态环境，某地政府实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
进价（元） 售价（元/斤）
鲢鱼 a 5
草鱼 b 销量不超过200斤的部分 销量超过200斤的部分
8 7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
老李打算让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）的最小值不少于320元，求m的最大值．
【分析】（1）根据“购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元”列方程组解答即可；
（2）由题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得；
（2）由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120，
∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，
∴0.5﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W的值最小，
由题意得，（0.5﹣m）×80+300≥320，
解得m≤0.25，
∴m的最大值为0.25．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式或不等关系是解题关键．
5．某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．
（1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）根据题意，找等量关系式，设未知数，列方程求解即可；
（2）根据题意，列不等式组，根据解集找整数解即可；
（3）根据一次函数的增减性求最值．
【解答】解：（1）设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为（x+20）元，
由题意，得30（x+20）+30x＝2400，
解得x＝30，
∴A商品每件的进价为30+20＝50（元），
答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；
（2）设A种商品的数量a件，B种商品的数量（40﹣a）件，
由题意，得，
解得，
∵a为正整数，
∴a为14，15，16，
∴B种商品的数量为26，25，24，
所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；
第二种：进A商品15件，B商品25件；
第三种：进A商品16件，B商品24件；
（3）令所获利润为W元，则W＝（45﹣30）（40﹣a）+（80﹣50）a，
∴W＝15a+600，
∵k＝15＞0，
W随a的增大而增大，
∴a＝16时，即A购买16件，B购买24件利润最大，
W最大＝840元，
答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
6．某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．
（1）求A、B两种笔记本的进价；
（2）文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出m的最小值．
【分析】（1）设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，由题意：A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元；现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本（100﹣a）本，根据投入的资金不超过1380元可求a的范围；再根据两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，列出不等式可求出m的最小值．
【解答】解：（1）设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，
由题意得：，
解得：．
答：A种笔记本的进价是12元，B种笔记本的进价是15元；
（2）设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本（100﹣a）本，由题意得：
12a+15（100﹣a）≤1380，
解得a≥40，
依题意有：20m+25m+（a﹣m）×20×0.7+（100﹣a﹣m）×25×0.8﹣12a﹣15（100﹣a）≥600，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为20．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
7．为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元．
（1）求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
（2）现计划用19320元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意，列出一元一次不等式组即可求出选购方案，再根据总费用计算方式求出乙种模型数量即可．
【解答】解：（1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价为y元，则由题意可得：
，
解得：．
答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价为30元．
（2）设甲种模型数量为m，则乙种模型数量为（800﹣m），由题意可得：
，
解得：，
∴468≤m≤480，
∵m为整数，
∴一共有13种选购方案，
设总费用为W元，
W＝20m+24000﹣30m＝24000﹣10m，
∴当m越大，总费用越少，
当m＝480套时，
乙种为：800﹣480＝320（套）．
答：乙种模型选购320套时，总费用最少．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是根据题意找到题目中的数量关系．
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