热点06 三角形与全等三角形 （浙江专版） 中考三轮热点问题专题（含解析）

浙江专版 中考三轮热点问题专题
热点06三角形与全等三角形
一．选择题
1．（2023 萧山区模拟）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且PO⊥l，其中PA＝3.5，则点P到直线l的距离可能是（　　）
A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
2．（2023 金华模拟）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上．当∠1＝15°时，∠2的度数是（　　）
A．15° B．75° C．25° D．45°
3．（2023 婺城区模拟）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（　　）
A．15° B．25° C．35° D．40°
4．（2023 桐乡市一模）若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于（　　）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
5．（2023 仙居县一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
6．（2023 西湖区一模）如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN与边AB，AC分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，记∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，则α，β满足的关系式为（　　）
A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C． D．
7．（2023 北仑区二模）如图，点D、E是△ABC边BC上的三等分点，且AD⊥BC，F为AD的中点，连接BF、EF，若BF＝3，则AC的长为（　　）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
8．（2023 镇海区一模）如图，以直角三角形的各边为边向外作正方形，再把较小的两个正方形放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出哪个图形的面积（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
9．（2023 慈溪市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点E在线段AD上，CE＝CD，EF⊥AC于点F，若∠A＝50°，AB＝12，则线段CF的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
10．（2023 柯桥区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心、AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E．若AC＝6，AB＝8，连接AD，则△ABD的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023 瑞安市模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
12．（2023 淳安县一模）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有8cm，7cm，13cm和15cm四种规格，小朦同学已经取了8cm和7cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）
A．15cm B．13cm C．8cm D．7cm
13．（2023 慈溪市模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，AE的延长线交BC于点F，若AB＝AC＝5，BC＝6，则△BEF与△ABE的面积比为（　　）
A． B． C． D．
14．（2023 海曙区校级一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（　　）
A．3 B． C．5 D．
二．填空题
15．（2023 龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D是线段AC上任意一点，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，AE＝m，CF＝n，则n+m的最大值是 　 　，最小值是 　 　．
16．（2023 鄞州区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是　 　．
17．（2023 慈溪市模拟）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么S△DMN：S四边形ANME＝　 　．
18．（2023 仙居县一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE的长为 　 　．
三．解答题
19．（2023 鹿城区校级二模）如图，在△ABD中，∠DAB＝∠DBA，AC⊥BD交BD的延长线于点C，BE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：△BDE≌△ADC．
（2）若AD＝3，DE＝2，求AB的长．
20．（2023 温州二模）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数．

21．（2023 萧山区模拟）如图，在△ABC中，AC＞AB，在AC上取点D使得AD＝AB，连结BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，延长AE交BC于点F，连结DF．
（1）求证：△BDF为等腰三角形；
（2）若∠C＝30°，∠CAF＝45°，DF＝2，求AB的长．
22．（2023 杭州模拟）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
23．（2023 新昌县模拟）在△ABC中，BA＝BC，在射线BC上取点D，E，且BD＜BE，作△ADE，使DA＝DE．
（1）如图，当点D在线段BC上时，且∠BAD＝30°．
①若∠B＝40°，求∠EAC的度数；
②若∠B≠40°，求∠EAC的度数；
（2）当点D在BC延长线上时，猜想∠BAD与∠EAC的数量关系并说明理由．
24．（2023 海曙区一模）已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC．
（1）求证：AE＝DC；
（2）当AE⊥BD时，求CD的长；
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF的取值范围．
答案与解析
一．选择题
1．（2023 萧山区模拟）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且PO⊥l，其中PA＝3.5，则点P到直线l的距离可能是（　　）
A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【点拨】根据垂线段最短解决此题．
【解析】解：根据垂线段最短，PO＜PA＝3.5．
∵3.2＜3.5＜4＜4.5，
∴A符合要求．
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．
2．（2023 金华模拟）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上．当∠1＝15°时，∠2的度数是（　　）
A．15° B．75° C．25° D．45°
【点拨】根据BE∥CD得到∠EBC＝15°，依据∠ABC＝60°，∠EBC＝15°，由角的和差关系可求∠2＝45°．
【解析】解：如图，
∵BE∥CD，
∴∠EBC＝∠1＝15°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠2＝45°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．（2023 婺城区模拟）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝45°，要使木条a与b平行，木条a按箭头方向旋转的度数至少是（　　）
A．15° B．25° C．35° D．40°
【点拨】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解析】解：如图：
∵∠AOC＝∠2＝45°时，OA∥b，即a∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣45°＝40°．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
4．（2023 桐乡市一模）若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于（　　）
A．50° B．80° C．65°或80° D．50°或80°
【点拨】根据等腰三角形的一个外角等于130°，进行讨论可能是底角的外角是130°，也有可能顶角的外角是130°，从而求出答案．
【解析】解：①当130°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角度数是180°﹣50°﹣50°＝80°；
②当130°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角为50°或80°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，能根据题意进行分类讨论求解是解题的关键．
5．（2023 仙居县一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【点拨】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解析】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝50°，
∴∠5＝50°﹣∠4＝20°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝160°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
6．（2023 西湖区一模）如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN与边AB，AC分别交于点M，N，若点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，记∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，则α，β满足的关系式为（　　）
A．β﹣α＝90° B．β﹣2α＝90° C． D．
【点拨】根据三角形内角和定理可得∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，∠AMP+∠ANP＝180°﹣∠A，根据平角定义可得∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC，结合点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上可得∠PBM＝∠MPB，∠NPC＝∠NCP，结合三角形内外角关系可得∠AMP＝2∠MPB，∠ANP＝2∠NPC，即可得到答案．
【解析】解：∵点M，点N恰好分别在BP，CP的垂直平分线上，
∴PM＝BM，PN＝CN，
∴∠PBM＝∠MPB，∠NPC＝∠NCP，
∵∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC，∠AMP+∠ANP＝180°﹣∠A，∠AMP＝2∠MPB，∠ANP＝2∠NPC，∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC，∠PBC＝α，∠A+2∠PCB＝β，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023 北仑区二模）如图，点D、E是△ABC边BC上的三等分点，且AD⊥BC，F为AD的中点，连接BF、EF，若BF＝3，则AC的长为（　　）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
【点拨】先证明△BDF≌△EDF（SAS），根据全等三角形的性质可得BF＝EF，再证明EF为△ACD的中位线，根据三角形中位线定理可得EF＝AC，即可求出AC的长．
【解析】解：∵点D、E是△ABC边BC上的三等分点，
∴BD＝DE＝EC，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF＝∠EDF＝90°，
在△BDF和△EDF中，
，
∴△BDF≌△EDF（SAS），
∴BF＝EF，
∵BF＝3，
∴EF＝3，
∵F为AD的中点，E为CD的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴EF＝AC，
∴AC＝2EF＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
8．（2023 镇海区一模）如图，以直角三角形的各边为边向外作正方形，再把较小的两个正方形放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出哪个图形的面积（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
【点拨】设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，S1+S阴影＝（c﹣a），S1+S2＝b，把b＝c﹣a代入即可得到结论．
【解析】解：设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，
∵S1+S阴影＝（c﹣a），S1+S2＝b，
∵c＝a+b，
∴b＝c﹣a，
∴S1+S阴影＝S1+S2，
∴S2＝S阴影，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S2，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2023 慈溪市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点E在线段AD上，CE＝CD，EF⊥AC于点F，若∠A＝50°，AB＝12，则线段CF的长为（　　）
A．3 B． C． D．4
【点拨】先利用直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝40°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD＝AB＝6，从而可得∠B＝∠BCD＝40°，进而可得三角形的外角性质可得∠CDE＝80°，然后利用等腰三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝80°，从而可得∠DCE＝20°，进而利用角的和差关系可得∠ECA＝30°，再根据垂直定义可得∠EFC＝90°，最后在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝40°，
∵点D为边AB的中点，AB＝12，
∴CD＝BD＝AB＝6，
∴∠B＝∠BCD＝40°，
∴∠CDE＝∠B+∠BCD＝80°，
∵CD＝CE＝6，
∴∠CDE＝∠CED＝80°，
∴∠DCE＝180°﹣∠CDE﹣∠CED＝20°，
∴∠ECA＝∠BCA﹣∠BCD﹣∠DCE＝30°，
∵EF⊥CA，
∴∠EFC＝90°，
∴EF＝EC＝3，CF＝EF＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，含30角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2023 柯桥区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心、AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E．若AC＝6，AB＝8，连接AD，则△ABD的面积为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意可知AF垂直平分CD，然后根据勾股定理可以得到BC的长，再根据等面积法可以求得AE的长，再根据勾股定理即可得到CE的长，从而可以得到CD的长，进而得到BD的长，然后即可求得△ABD的面积．
【解析】解：由题意可得，
AF垂直平分CD交CD于点E，
∴AD＝AC，
∵∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵，
∴，
解得AE＝，
∵∠AEC＝90°，AC＝6，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣＝，
∴△ABD的面积为＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、等面积法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2023 瑞安市模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【点拨】由三角形中位线定理知：AB＝2DE＝10．结合已知条件可以推知AF＝AD＝7，所以由图形得到BF＝AB﹣AD．
【解析】解：∵以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，AD＝7，
∴AF＝AD＝7．
在△ABC中，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝10．
∴BF＝AB﹣AF，即BF＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，根据已知条件“以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F”得到AF＝AD＝7是解题的突破口．
12．（2023 淳安县一模）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有8cm，7cm，13cm和15cm四种规格，小朦同学已经取了8cm和7cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　）
A．15cm B．13cm C．8cm D．7cm
【点拨】根据三角形的三边关系求出第三根木棍的长的范围，判断即可．
【解析】解：设第三根木棍的长为xcm，
则8﹣7＜x＜8+7，即1＜x＜15，
∴第三根木棍不可能取15cm，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
13．（2023 慈溪市模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，AE的延长线交BC于点F，若AB＝AC＝5，BC＝6，则△BEF与△ABE的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先根据题意得出点E是△ABC角平分线的交点，再由等腰三角形的性质可知AF⊥BC，故可得出BF的长，进而可得出结论．
【解析】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴点E是△ABC角平分线的交点，
∴△BEF与△ABE的高相等．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴AF⊥BC，
∴BF＝BC＝3．
∴BF：AB＝3：5，
∴△BEF与△ABE的面积比为：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
14．（2023 海曙区校级一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（　　）
A．3 B． C．5 D．
【点拨】由直角三角形斜边上的中线可求AB＝8，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解AC的长．
【解析】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，
∴AB＝2CD＝8，
∵ED⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴BE＝AE＝5，
∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，
∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，
解得CE＝1.4，
∴AC＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题
15．（2023 龙湾区二模）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D是线段AC上任意一点，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，AE＝m，CF＝n，则n+m的最大值是 　15　，最小值是 　12　．
【点拨】根据S△ABC＝S△ABD+S△CBD即可得到m+n关于x的反比例函数关系式．根据垂直线段最短的性质，当BD⊥AC时，x最小，由面积公式可求得；因为AB＝13，BC＝14，所以当BD＝BC＝14时，x最大．从而根据反比例函数的性质求出y的最大值和最小值．
【解析】解：在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，AH⊥BC于点H，
∴设BH＝x，
则CH＝14﹣x，
∴AB2﹣AH2＝AC2﹣CH2，
即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
即AH＝5，
∴BH＝＝＝12，
∴S△ABC＝BC AH＝×14×12＝84，
由三角形面积公式，得S△ABD＝BD AE＝xm，S△CBD＝BD CF＝xn，
∴m＝，n＝，
∴y＝m+n＝+＝＝，
即y＝．
∵△ABC中AC边上的高为＝＝，
∴x的取值范围为≤x≤14．
∵m+n随x的增大而减小，
∴当x＝时，y的最大值为15，当x＝14时，y的最小值为12．
故答案为：15，12．
【点睛】本题考查三角形的面积，掌握三角形的面积公式，反比例函数的应用是解题的关键．
16．（2023 鄞州区模拟）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是　16　．
【点拨】根据勾股定理求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（2023 慈溪市模拟）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么S△DMN：S四边形ANME＝　1：5　．
【点拨】根据三角形的中位线定理，把各边的关系转化为面积的关系来解答．
【解析】解：DE是中位线，M是DE中点，
∴DM：BC＝1：4，
∴DN：DB＝1：3，AN：DN＝1：2，
∴S△NDM：S△ANM＝1：2．
∴S△ADM＝S△AME，
∴S△NDM：S四边形ANME＝1：5．
【点睛】解答此题，首先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S△ADE＝S△ABC，便可找到突破口解答．
18．（2023 仙居县一模）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE的长为 　2　．
【点拨】根据等腰三角形三线合一的性质可知点D是BC的中点，DE是△ABC的中位线，根据中位线性质即可求出DE的长．
【解析】解：∵AB＝AC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴点D是BC的中点，
∵点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形中位线的性质，正确应用这些性质是解题的关键．
三．解答题
19．（2023 鹿城区校级二模）如图，在△ABD中，∠DAB＝∠DBA，AC⊥BD交BD的延长线于点C，BE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：△BDE≌△ADC．
（2）若AD＝3，DE＝2，求AB的长．
【点拨】（1）由“AAS”可证△BDE≌△ADC；
（2）由勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解析】（1）证明：∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
又∵AC⊥BD，BE⊥AD，
∴∠C＝∠E＝90o，
在△BDE和△ADC，
，
∴△BDE≌△ADC（AAS）；
（2）∵DE＝2，BD＝AD＝3，
∴BE＝＝＝，
∴AB＝＝＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2023 温州二模）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数．

【点拨】（1）由已知条件可求得∠BAD＝∠CAE，利用SAS即可判定△ABD≌△ACE；
（2）由题意可得∠ABC＝∠ACB，从而可求得∠ACE＝15°，结合（1）即可求得∠ABD的度数．
【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BCE﹣∠ABC＝15°，
∴∠BCE﹣∠ACB＝15°，
即∠ACE＝15°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝15°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形求得∠BAD＝∠CAE．
21．（2023 萧山区模拟）如图，在△ABC中，AC＞AB，在AC上取点D使得AD＝AB，连结BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，延长AE交BC于点F，连结DF．
（1）求证：△BDF为等腰三角形；
（2）若∠C＝30°，∠CAF＝45°，DF＝2，求AB的长．
【点拨】（1）根据等腰三角形性质得到 BE＝DE，根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAF＝∠CAF＝45°，求得∠BAC＝90°，根据三角形 的那句话定理得到∠ABC＝60°，根据全等三角形的性质得到∠ADF＝∠ABF＝60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴AF垂直平分BD，
∴BF＝DF；
（2）解：∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴∠BAF＝∠CAF＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝AD，BF＝DF，AF＝AF，
∴△ABF≌△ADF（SSS），
∴∠ADF＝∠ABF＝60°，
∵∠ADF＝∠DFC+∠C＝60°，
∴∠DFC＝30°，
∴DF＝CD＝2，
过D作DH⊥CF于H，
∴CF＝2CH＝2×CD＝2，
∴BC＝2+2，
∴AB＝BC＝1+．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22．（2023 杭州模拟）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解析】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
23．（2023 新昌县模拟）在△ABC中，BA＝BC，在射线BC上取点D，E，且BD＜BE，作△ADE，使DA＝DE．
（1）如图，当点D在线段BC上时，且∠BAD＝30°．
①若∠B＝40°，求∠EAC的度数；
②若∠B≠40°，求∠EAC的度数；
（2）当点D在BC延长线上时，猜想∠BAD与∠EAC的数量关系并说明理由．
【点拨】（1）利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求解；
（2）设∠B＝a，∠BAD＝β，则∠ADE＝α+β，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可证得∠BAD＝2∠EAC．
【解析】解：（1）①∵∠BAD＝30°，∠B＝40°，
∴∠ADE＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝55°，
∵∠B＝40°，BA＝BC，
∴∠BCA＝70°，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝15°，
②∠B≠40°时，设∠B＝a，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝30°+α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝＝，
∵∠B＝a，BA＝BC，
∴∠BCA＝，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝15°；
（2）∠BAD＝2∠EAC，
理由如下：作图如图2，设∠B＝a，∠BAD＝β，
∴∠ADE＝α+β，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝，
∵∠B＝a，BA＝BC，
∴∠BCA＝，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝，
∴∠BAD＝2∠EAC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．（2023 海曙区一模）已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC．
（1）求证：AE＝DC；
（2）当AE⊥BD时，求CD的长；
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF的取值范围．
【点拨】（1）证明△ABE≌△CBD（SAS），可得AE＝CD；
（2）延长AE交BD于点J．解直角三角形求出AJ，EJ，可得AE的长，即可解决问题；
（3）延长DE到P，使得EP＝DE＝4，连接BP，CP．求出PC的取值范围吗，再利用三角形中位线定理，可得结论．
【解析】（1）证明：如图1中，∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：延长AE交BD于点J．
∵EJ⊥BD，EB＝ED，
∴BJ＝JD＝2，
∴EJ＝＝＝2，AJ＝＝＝4，
∴AE＝AJ﹣EJ＝4﹣2，
由（1）可知CD＝AE，
∴CD＝4﹣2；
（3）解：延长DE到P，使得EP＝DE＝4，连接BP，CP．
∵PE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝PC，
∵BE＝DE＝PE，
∴∠DBP＝90°，
∴BP＝＝＝4，
∵BC＝6，
∴4﹣6≤PC≤4+6，
∴2﹣3≤EF≤2+3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．