广西三新联盟2022-2023学年高二下学期5月期中联考数学试题（含解析）

广西三新联盟2022-2023学年高二下学期5月期中联考
数学
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为 B．
C． D．
3．已知平面向量，满足，，，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．某校摄影社团有5名男性志愿者，7名女性志愿者；天文社团有4名男性志愿者，2名女性志愿者，从两个社团中任抽一个社团，然后从所抽到的社团中任取1名志愿者，则取到男性志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
7．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．体育课上，学生将篮球堆成如图的形状，此类图曾出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层每边减少1个，顶层是1个，也称为正四面体形球垛．若篮球的半径约为12厘米，若将此三层三角垛装入一个正四面体容器内，此正四面体棱长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（ ）
A．面 B．A到面的距离为
C．异面直线BD与的距离为 D．异面直线BD与的夹角为
10．已知函数，则（ ）
A．在是增函数 B．有极大值点，且
C．的极小值点，且 D．没有零点
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的周长为16
C．的面积为 D．
12．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，在处作图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作，称是r的一次近似值，然后用替代重复上面的过程可得，称是r的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r，若使用牛顿法求方程的近似解，可构造函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若初始近似值为1，则一次近似值为3
B．
C．对任意，
D．任意，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的二项展开式中项的系数为________．
14．已知圆心在原点的单位圆和圆外切，________．
15．若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为________．
16．已知椭圆C:，过右焦点的直线交椭圆于A，B，若原点O在以AB为直径的圆上，则a的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知数列的前n项和为，，给出以下三个条件：
①；②是等差数列；③．
（1）从三个条件中选取两个，证明另外一个成立；
（2）利（1）中的条件，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D是边AC上的一点，且，求线段BD的最大值．
19．（本小题满分12分）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）当时，直线BP与平面所成角的正切值的取值范围；
（3）当时，是否存在唯一个点P，使得平面ADP，若存在，求出P点的位置；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）某中学羽毛球社团为了了解本校学生对羽毛球运动是否有兴趣，从该校学生中随机抽取了300人进行调查，男女人数之比是2:1，其中女生对羽毛球运动有兴趣的占80%，而男生有30人表示对羽毛球运动没有兴趣．
（1）完成2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“对羽毛球运动是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计
男
女
合计
（2）为了提高同学们对羽毛球运动的参与度，该校举行一次羽毛球比赛．比赛分两个阶段进行，第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分排名选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以2:0取胜的同学积3分，负的同学积0分；以2:1取胜的同学积2分，负的同学积1分．已知甲同学每局取胜的概率为，记甲同学所得积分为X，求X的分布列和期望．
附表：，其中．
a 0.50 0.40 0.25 0.150 0.100 0.050
0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841
21．（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．
22．（本小题满分12分）已知（e为自然对数的底数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同零点，求证：．
广西三新联盟2022-2023学年高二下学期5月期中联考
数学试题参考答案
1．B【解析】：由题设，所以，故其中元素共有4个．故选：B
2．D【解析】：z的虚部为，A错误；，则，B错误；，C错误；，D正确．
3．C【解析】：∵，∴，∴，
∴．故选：C．
4．B【解析】：解法1：过P作底面垂线，垂足为H，设内切圆与面PAD的切点为E，，，则，，则，，则上，其内切圆表面积为．
解法2：，则，其内切圆表面积为，故选B．
5．A【解析】：设取到男性为事件B，抽到摄影社团为事件，抽到天文社为事件，则，
所以，故．故选：A．
6．B【解析】：由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于对称，所以，且，所以，所以，，所以．故选：B
7．D【解析】：由，得，即，令，则当时，得，即在上是减函数，∴，，即不等式等价为∴，得，即，又，解得，故．
8．B解答：在正四面体中，若边长为a，O为正四面体外接球球心也是正四面体的中心，则，，．将顶点处的四个球心连线得到边长为48的正四面体，中心O到三球心连线的底面距离为，则中心到外接正四面体的距离为，则外接正四面体容器边长为，故选B．
9．ABC【解析】：易证面面，面，面与面将体对角线三等分，A、B、C选项正确，异面直线BD与的夹角为，D错误．
10．ACD【解析】：，当时，，故A正确；
令，解得，当时，，当时，，故无极大值点，有极小值点，又，所以，故B错误，C正确；当时，单调递减，当时，单调递增，故，D正确．
11．AB【解析】：由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．
且抛物线方程为．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得．，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，．
设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．
12．BD【解析】：设，的零点就是的解．
，当时，，切线为，切线与x轴交点横坐标为，A错误；
在处的切线为，所以切线与x轴交点横坐标为，
所以，，，，
∴，B正确；
若，，由B得，C错误；，D正确．
13．90【解析】：的展开式的通项公式为，令得，故，故的二项展开式中项的系数为90．
14．16【解析】：圆圆心为，半径为1，圆，圆心为，且，半径为，所以圆心距，因为两圆外切，所以，所以．
15．【解析】：，等价于在有解，即在有解，即在有解，所以
16．【解析】：已知椭圆，则其右焦点坐标为，则，且，过右焦点的直线交椭圆于A，B，满足原点O在以AB为直径的圆上，所以，
则设直线AB方程为，
则，所以，
显然恒成立，所以，
则
整理得，所以，
又，所以，解得．
17．【详解】：（1）将①②作为条件，③作为结论；设等差数列的公差为d，则由得，，解得， 2分
因为，所以等差数列的通项公式为． 4分
所以，所以成立； 6分
将①③作为条件，②作为结论；
联立解得， 2分
所以，所以（常数）， 4分
所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列．所以②成立； 6分
将②③作为条件，①作为结论；设等差数列的公差为d，则， 2分
由，得，解得， 4分
所以等差数列的通项公式为，∴所以，即得，所以①成立； 6分
（2）由（1）知，，∴ 7分
所以， 8分
因为数列的前n项和为，
所以 10分
18．【详解】：（1）因为，则， 1分
由正弦定理得， 2分
又，所以，
所以，即，， 3分
又，所以，所以，所以； 4分
（2）在中，由正弦定理得， 5分
所以． 6分
因为，所以，，
在中，由余弦定理得
7分
8分
， 10分
所以，当且仅当，即时，等号成立， 11分
所以，即线段BD的最大值为． 12分
19．【解析】：
（1）当时，，此时线段， 1分
， 2分
∵，∴点P到线段距离为定值2，又因为点B到平面的距离为定值2，所以其体积为定值． 3分
（2）当时，，即点P的轨迹为以A为圆心，2为半径的圆弧上， 4分
因为，，，所以平面，直线BP与平面所成角为， 5分
，，， 6分
． 7分
（3）如图建立空间直角坐标系如图，， 8分
当时，C，，P三点共线，即点线段， 9分
设，由平面ADP得，，， 10分
，
，解得或2． 11分
分别代入检验，无解．故不存在P点满足题意． 12分
20．（1）列联表见解析，不能；（2）分布列见解析，
【详解】（1）
有兴趣 没兴趣 合计
男 170 30 200
女 80 20 100
合计 250 50 300
2分
零假设对羽毛球运动感兴趣与性别无关．
， 4分
故根据小概率值的独立性检验，假设成立，
我们认为“对羽毛球运动是否有兴趣与性别无关”． 5分
（2）由题意可知随机变量X的取值为0，1，2，3， 6分
∴；；
；； 10分
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
11分
． 12分
21．解析：（1）因为长轴长是短轴长的倍，则， 1分
所以椭圆C的方程为， 2分
把点的坐标代入上式，得，可得， 3分
所以，故椭圆C的方程为． 4分
（2）易知右焦点F的坐标为，若直线l的斜率为0，
则O，A，B三点不能构成三角形，
所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为， 5分
联立方程组，消去x，得， 6分
方程的判别式，
设，则，， 7分
8分
． 9分
令，则， 10分
当且仅当时，等号成立，即，解得， 11分
所以此时直线l的方程为或． 12分
22．【解析】（1）， 1分
当时，，在上是减函数； 2分
当时，令，得，在上是减函数，在上是增函数； 4分
综上所述，当时，，在上是减函数；当时，递减区间为，单调递增区间为
（2）有两个不同零点，则，，故，即，5分
要证，只要证明，即证， 6分
不妨设，记，则，，因此只要证明，即， 7分
记，则， 8分
令，则，所以函数在上递增， 9分
则，即，∴在上单调递增， 11分
∴，即成立，∴． 12分