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初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系
一、单选题
1．（2019·玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后将代数式去括号后再整体代入按有理数的加减法法则即可算出答案。
2．（2019·贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 ＝﹣ ，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵ ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴m＝﹣3。
故答案为：B。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β＝2，αβ＝m，然后根据异分母分式的加法法则将等式的左边变形为 ＝ ，从而整体代入列出方程组，求解即可。
3．（2019·淄博模拟）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴以 ， 为根的一元二次方程为 ．
故答案为：A．
【分析】由x12+x22=5，利用完全平方式将其变形，利用整体代入求出x1·x2的值，然后根据根与系数的关系判断即可.
4．（2019·威海）已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ， ，
∴ ；
故答案为：A．
【分析】根据题意即可通过解方程得到a和b的值，将a和b的值代入式子中进行求解即可得到答案。
5．（2019·广西模拟）已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别是（ ）
A．b=-1，C=2 B．b=1，C=-2 C．b=1，c=2 D．b=-1，c=-2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ x1+x2=，x1·x2=， x1=1，x2=-2，
∴1+(-2)=b，1×(-2)=c，
∴ b=-1，c=-2 ，
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由 x1+x2=，x1·x2=，即可直接得出答案。
6．（2019九上·未央期末）兰兰和笑笑分别解一道关于X的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（ ）
A．x2+7x-12=0 B．x2-7x-12=0 C．x2+7x+12=0 D．x2-7x+12=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设这个一元二次方程的两根分别为x1、x2
∵ 兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，
∴x1·x2=-2×6=-12
∴c=-12
∵ 笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4
∴x1+x2=3+4=7，
∴b=-7
∴原方程为：x2-7x-12=0
故答案为：B
【分析】抓住关键的已知条件：兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，就可求出此方程的常数项，再由笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，就可求出一次项系数，然后就可得出答案。
二、填空题
7．（2019·泰安）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可得要使 有两个不相等的实数根，则 .
故答案为 .
【分析】根据根与系数的关系可得，列不等式求解即可。
8．（2019九下·柳州模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:设方程的另一个根为x2,
,解得:x2=3.
【分析】设方程的另一个根是x1，然后由一元二次方程的根与系数的关系可得1+x1=4，解方程即可求解。
9．（2019·广西模拟）若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根为：α，β，则α＋β=8，
∵ 矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0∴ 矩形的周长为2(α＋β)=2×8=16.
故答案为 ：16.
【分析】设方程的两根为：α，β，根据一元二次方程根与系数的关系得出α＋β=8，然后根据矩形的长和宽就是该方程的两根，从而根据矩形的周长等于两根和的2倍即可算出答案。
三、计算题
10．（2019九上·临沧期末）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，
（1）求x1+x2；x1x2的值；
（2）求x12+x22的值．
【答案】（1）x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3；
（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10．
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，由 x1+x2=；x1x2=即可直接得出答案；
（2）根据完全平方公式的恒等变形得出 x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ，再整体代入按有理数的混合运算顺序即可算出答案。
四、解答题
11．（2019八下·杭州期中）阅读材料：已知方程a2 2a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求 的值.
解：由a2 2a 1=0及1 2b b2=0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1， .
1 2b b2=0可变形为
，
根据a2 2a 1=0和 的特征.
、 是方程x2 2x 1=0的两个不相等的实数根，
则 ，即 .
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.
已知：3m2 7m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求 的值.
【答案】解：由3m2 7m 2=0及2n2+7n 3=0可知m≠0，m≠0，又∵mn≠1， .2n2+7n 3=0可变形为 ，根据3m2 7m 2=0和 的特征.∴m、 是方程3x2 7x 2=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得 ， ，∴ .∴ ， ∴ .
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】阅读理解题，根据题目提供的方法判断出 m、 是方程3x2 7x 2=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得出 根据根与系数的关系可得 ， ， 整体代入求出 求 的倒数的值，从而即可得出答案。
五、综合题
12．（2019九上·黑龙江期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2
（1）求B点的坐标.
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．
（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2 ，x1x2=2
∵OC= x1+x2，OA= x1x2
∴OC=2 ，OA=2
∴B(2 ，2)
（2）解：在矩形OABC中，BC=2，AB=2
∴∠BAC=30°=∠AOB
∴△ABC≌△AB’C
∴∠B’AC=30°
∴∠B’AO=30°
∴AD=DC
∴AD=2 -DO
∵AD2=OD2+OA2
∴OD=
∴D( ，0)
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）
代入B(2 ，2)，D( ，0)
得 ，解得
∴直线BD的解析式为y=
（3）解：存在。理由如下：
由（2）可知DC=OC-OD=，
∴当BC或BD 是平行四边形的对角线时，则BP∥DC，BP=DC，
∴P点坐标为()，即P()，或()，
当DC是平行四边形的对角线时，则PD∥BC，PD=BC，
∴P点坐标为()，
即P()，
∴ P1( ，2)，P2( ，2) ，P3( ，-2)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据韦达定理结合题意可知矩形边长OC、OA，利用矩形对边相等即可得B点坐标；
（2）根据折叠的性质利用勾股定理可得D点坐标，结合（1）的结果运用待定系数法即可确定直线BD的解析式；
（3）分BC、DC、BD是平行四边形的对角线三种情况，根据点B、D坐标利用平移的性质，逐个解答即可。
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初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系
一、单选题
1．（2019·玉林）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
2．（2019·贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且 ＝﹣ ，则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
3．（2019·淄博模拟）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·威海）已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
5．（2019·广西模拟）已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c的值分别是（ ）
A．b=-1，C=2 B．b=1，C=-2 C．b=1，c=2 D．b=-1，c=-2
6．（2019九上·未央期末）兰兰和笑笑分别解一道关于X的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程是（ ）
A．x2+7x-12=0 B．x2-7x-12=0 C．x2+7x+12=0 D．x2-7x+12=0
二、填空题
7．（2019·泰安）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 .
8．（2019九下·柳州模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 .
9．（2019·广西模拟）若矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0三、计算题
10．（2019九上·临沧期末）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，
（1）求x1+x2；x1x2的值；
（2）求x12+x22的值．
四、解答题
11．（2019八下·杭州期中）阅读材料：已知方程a2 2a 1=0，1 2b b2=0且ab≠1，求 的值.
解：由a2 2a 1=0及1 2b b2=0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1， .
1 2b b2=0可变形为
，
根据a2 2a 1=0和 的特征.
、 是方程x2 2x 1=0的两个不相等的实数根，
则 ，即 .
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.
已知：3m2 7m 2=0，2n2+7n 3=0且mn≠1，求 的值.
五、综合题
12．（2019九上·黑龙江期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，且OC=x1+x2，OA=x1x2
（1）求B点的坐标.
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，求直线BD的解析式．
（3）在平面上是否存在点P，使D、C、B、P四点形成的四边形为平形四边形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4。
故答案为：A。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后将代数式去括号后再整体代入按有理数的加减法法则即可算出答案。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵ ＝ ＝ ＝﹣ ，
∴m＝﹣3。
故答案为：B。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β＝2，αβ＝m，然后根据异分母分式的加法法则将等式的左边变形为 ＝ ，从而整体代入列出方程组，求解即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴以 ， 为根的一元二次方程为 ．
故答案为：A．
【分析】由x12+x22=5，利用完全平方式将其变形，利用整体代入求出x1·x2的值，然后根据根与系数的关系判断即可.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ， ，
∴ ；
故答案为：A．
【分析】根据题意即可通过解方程得到a和b的值，将a和b的值代入式子中进行求解即可得到答案。
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ x1+x2=，x1·x2=， x1=1，x2=-2，
∴1+(-2)=b，1×(-2)=c，
∴ b=-1，c=-2 ，
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由 x1+x2=，x1·x2=，即可直接得出答案。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设这个一元二次方程的两根分别为x1、x2
∵ 兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，
∴x1·x2=-2×6=-12
∴c=-12
∵ 笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4
∴x1+x2=3+4=7，
∴b=-7
∴原方程为：x2-7x-12=0
故答案为：B
【分析】抓住关键的已知条件：兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为-2和6，就可求出此方程的常数项，再由笑笑因把常数项看错，解得方程两根为3和4，就可求出一次项系数，然后就可得出答案。
7．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可得要使 有两个不相等的实数根，则 .
故答案为 .
【分析】根据根与系数的关系可得，列不等式求解即可。
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解:设方程的另一个根为x2,
,解得:x2=3.
【分析】设方程的另一个根是x1，然后由一元二次方程的根与系数的关系可得1+x1=4，解方程即可求解。
9．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根为：α，β，则α＋β=8，
∵ 矩形的长和宽是方程2x2-16x+m=0(0∴ 矩形的周长为2(α＋β)=2×8=16.
故答案为 ：16.
【分析】设方程的两根为：α，β，根据一元二次方程根与系数的关系得出α＋β=8，然后根据矩形的长和宽就是该方程的两根，从而根据矩形的周长等于两根和的2倍即可算出答案。
10．【答案】（1）x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3；
（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10．
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，由 x1+x2=；x1x2=即可直接得出答案；
（2）根据完全平方公式的恒等变形得出 x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ，再整体代入按有理数的混合运算顺序即可算出答案。
11．【答案】解：由3m2 7m 2=0及2n2+7n 3=0可知m≠0，m≠0，又∵mn≠1， .2n2+7n 3=0可变形为 ，根据3m2 7m 2=0和 的特征.∴m、 是方程3x2 7x 2=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得 ， ，∴ .∴ ， ∴ .
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】阅读理解题，根据题目提供的方法判断出 m、 是方程3x2 7x 2=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得出 根据根与系数的关系可得 ， ， 整体代入求出 求 的倒数的值，从而即可得出答案。
12．【答案】（1）解：x2-2 x+2=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2 ，x1x2=2
∵OC= x1+x2，OA= x1x2
∴OC=2 ，OA=2
∴B(2 ，2)
（2）解：在矩形OABC中，BC=2，AB=2
∴∠BAC=30°=∠AOB
∴△ABC≌△AB’C
∴∠B’AC=30°
∴∠B’AO=30°
∴AD=DC
∴AD=2 -DO
∵AD2=OD2+OA2
∴OD=
∴D( ，0)
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）
代入B(2 ，2)，D( ，0)
得 ，解得
∴直线BD的解析式为y=
（3）解：存在。理由如下：
由（2）可知DC=OC-OD=，
∴当BC或BD 是平行四边形的对角线时，则BP∥DC，BP=DC，
∴P点坐标为()，即P()，或()，
当DC是平行四边形的对角线时，则PD∥BC，PD=BC，
∴P点坐标为()，
即P()，
∴ P1( ，2)，P2( ，2) ，P3( ，-2)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据韦达定理结合题意可知矩形边长OC、OA，利用矩形对边相等即可得B点坐标；
（2）根据折叠的性质利用勾股定理可得D点坐标，结合（1）的结果运用待定系数法即可确定直线BD的解析式；
（3）分BC、DC、BD是平行四边形的对角线三种情况，根据点B、D坐标利用平移的性质，逐个解答即可。
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