课件14张PPT。第二十二章二次函数 22.1
二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数及 y＝ax2 的图象和性质1．二次函数的概念
(1)形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是______，a____)的函数，叫做二次函数．常数≠0xabc (2)______是自变量，______，______，______分别是函数
表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．
2．描点法作图的三个步骤
(1)________；(2)________；(3)________．列表描点连线3．顶点对称轴低高(1)定义：抛物线与________的交点．
(2)性质：抛物线的最______点或最______点．
4．二次函数 y＝ax2 的图象和性质
探究：y＝ax2，
(1)当 a>0 时，无论 x 取何值，总有 y____0，除点(0,0)外，抛物线在 x 轴____方．≥上≤下 (2)当 a<0 时，无论 x 取何值，总有 y____0，除点(0,0)外，
抛物线在 x 轴____方．归纳：(3)当 a>0 时，a 越大，抛物线的开口越______；
当 a<0 时，a 越大，抛物线的开口越______．小大知识点 1二次函数的概念(重点) 解：根据题意，得
m2－m－4＝2，m2－4≠0.
解得 m＝3.
∴当 m＝3 时，y＝(m2－4) ＋2x－1 是二次函数． x 的二次函数？+2x－1 是二次函数， m 必须满足两个条件：①m2－m－4＝2；②m2－4≠0.两者缺一不可. 【跟踪训练】1．下列函数中是二次函数的是()A知识点 2二次函数 y＝ax2 的图象的画法
的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
轴上方；当 x>0 时，曲线自左向右逐渐________；它的顶点是
图象的最________点；
(3)函数 y＝－2x2，对于一切 x 的值，总有函数值 y_____0；
当 x<0 时，y 随 x 的增大而________；当 x________时，y 有最
________值为________．解：列表：D1 所示．然后描点、画图，得函数y＝ x2和y＝－2x2的图象，如图
y 轴，顶点坐标是(0,0)；抛物线 y＝－2x2 的
开口向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0,0)．(2)≠0上升低(3)≤增大＝0大0图 D1(1)抛物线y＝ x2的开口向上，对称轴是【跟踪训练】3．在同一坐标系内用描点法画出 y＝－4x2，y＝－x2，y＝答案：图略知识点 3二次函数 y＝ax2 的图象及性质(重点)
(1)求函数满足条件的 n 的值；
(2)当 n 为何值时，抛物线有最高点；
(3)当 n 为何值时，抛物线开口向上．
思路点拨：(1)n 需满足两个条件：①n2＋n－4＝2；②n＋
2≠0.(2)(3)中 n 值的确定都与二次项系数的正负有关．解得 n1＝2，n2＝－3.
即当 n＝2 或 n＝－3 时，原函数为二次函数．
(2)当 n＝－3 时，n＋2<0，
∴当 n＝－3 时，抛物线有最高点．
(3)当 n＝2 时，n＋2>0，
∴n＝2 时，抛物线开口向上．【跟踪训练】
4．已知 a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函)数 y＝x2 的图象上，则(
A．y1 C．y3 B．y1D．y2 图 22-1-1
①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.
比较 a，b，c，d 的大小，用“＞”连接．__________________________a>b>d>c课件18张PPT。第2课时二次函数 y＝a(x－h)2＋k，y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质1．二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象(1)探究：二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， ①若 h＝0，k＝0，则 y＝a(x－h)2＋k 变形为________，其
图象为________，对称轴为______，顶点坐标为_________．
②若 h＝0，k≠0，则 y＝a(x－h)2＋k 变形为_________，其
图象为________，对称轴为______，顶点坐标为_________．
③若 h≠0，k＝0, 则 y＝a(x－h)2＋k 变形为____________，
其图象为________，对称轴为_________，顶点坐标为_______．
归纳：(1)抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 形状______，位置______．y＝ax2(0,0)y＝ax2＋k抛物线(0，k)直线 x＝h(h,0)
相同不同抛物线y 轴y 轴y＝a(x－h)2抛物线(2)把抛物线 y＝ax2 向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位，即可以得到抛物线 y＝a(x－h)2＋k.(3)抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的特点：向上 向下 x＝h (h，k) 有最低点 有最高点 2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
(1)求其顶点与对称轴的常用方法：__________.
(2)通过变形可将其转化为_______________的形式．
(3)对称轴是____________，顶点坐标是______________．
y＝a(x－h)2＋k配方 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的增减性
探究：二次函数 y＝a(x－h)2＋k，
(1)当 a>0 时，图象开口向____，当 x而______；当 x>h 时，y 随 x 的增大而_______．
(2)当 a<0 时，图象开口向____，当 x而______；当 x>h 时，y 随 x 的增大而_______．上减小增大增大减小下 归纳：二次函数 y＝ax2＋bx＋c，
(1)a>0, 当 x<______时，y 随 x 的增大而______；当 x>______
时，y 随 x 的增大而________．
(2)a<0, 当 x<______时，y 随 x 的增大而______；当 x>______
时，y 随 x 的增大而________．－ b
2a减小－ b
2a－ b
2a增大－ b
2a减小增大知识点 1二次函数图象的平移(重难点) 【例 1】 (1)抛物线 y＝2x2 通过怎样的平移可以得到抛物线
y＝2x2＋1，又通过怎样的平移可以得到抛物线 y＝2(x－1)2＋1；
(2) 抛物线 y ＝－x2 通过怎样的平移可以得到抛物线 y ＝
－x2－2，又通过怎样的平移可以得到抛物线 y＝－(x＋2)2－2.
思路点拨：通过画函数草图判断平移的方向及距离．
解：(1)抛物线 y＝2x2 通过向上平移 1 个单位得到抛物线 y＝
2x2＋1，又通过向右平移 1 个单位得到抛物线 y＝2(x－1)2＋1.
(2)抛物线 y＝－x2 通过向下平移 2 个单位得到抛物线 y＝
－x2－2，又通过向左平移2 个单位得到抛物线 y＝－(x＋2)2－2.由抛物线 y＝ax2 得到抛物线 y＝a(x－h)2 ＋k的平移方法如下：当 h>0 时，向右平移|h|个单位；当 h<0 时，向左平移|h|个单位．当 k>0 时，向上平移|k|个单位；当 k<0 时，向下平移|k|个单位． 【跟踪训练】
________，当 x＝________时，y 最小值＝_______.(－5,0)02．(2012 年广东广州)将二次函数 y＝x2 的图象向下平移一)A个单位，则平移以后的二次函数的解析式为(
x＝－5－5A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2知识点 2配方法在二次函数中的应用(重点) 【例 2】 将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出
其对称轴与顶点坐标：
(1)y＝x2＋2x＋2；
(2)y＝－2x2－8x；
解：(1)y＝x2＋2x＋2＝(x2＋2x＋1)＋1＝(x＋1)2＋1.
∴对称轴为直线 x＝－1，顶点坐标为(－1,1)．(2)y＝－2x2－8x＝－2(x2＋4x)
＝－2(x2＋4x＋4－4)＝－2(x＋2)2＋8.
∴对称轴为直线 x＝－2，顶点坐标为(－2,8)．
∴对称轴为直线 x＝3，顶点坐标为(3，－1)．
本题也可直接套用公式，即二次函数 y＝ax2＋【跟踪训练】的形式为________________；它的开口_________；对称轴是直
线________；顶点坐标是________．x＝－1(－1,2)向下知识点 3二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质(重难点)
(1)写出抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴，最值；
(2)求抛物线与 y 轴、x 轴的交点坐标；
(3)作出函数的草图；
(4)观察图象，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小；当 x
为何值时，y 随 x 的增大而增大；
(5)观察图象，当 x 为何值时，y>0；当 x 何值时，y＝0；当
x 为何值时，y<0.∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(－2，－1)，
对称轴是 x＝－2.∴当 x＝－2 时，y最小值＝－1.(2)令 x＝0，则 y＝1.∴抛物线与 y 轴交于点(0,1)．
(3)草图如图 D3.图 D3(4)由图象可知：当 x≤－2 时，y 随 x 增大而减小；
当 x≥－2 时，y 随 x 增大而增大．| (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可以看作
是由抛物线 y＝ax2 向左或向右平移 个单位，再向上或向下平移|4ac－b2
4a个单位得到的．(2)当 a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
当 a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点．【跟踪训练】4．通过配方确定 y＝－2x2＋4x＋6 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出其增减性．解：y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8. ∴抛物线开口向下，对称轴是直线 x＝1，顶点坐标为(1,8)．
当x<1 时，y 随 x 的增大而增大；当x>1 时，y 随 x 的增大而减小．课件8张PPT。*第3课时用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式(1)关键是求出待定系数____________的值．a，b，c (2)设解析式的三种形式：
①一般式：________________________________，当已知
抛物线上三个点时，用一般式比较简便；
②顶点式：________________________________，当已知
抛物线的顶点时，用顶点式较方便；
③交点式(两根式)：________________________，当已知
抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h)2＋ky＝a(x－x1)(x－x2)知识点 1确定二次函数关系式 【例题】 求满足下列条件的二次函数的关系式：
(1)图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)；
(2)图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，函数有最小值为－8；
(3)图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点(2，－8)．
思路点拨：(1)已知三点，选用一般式．(2)可用顶点式，也
可用交点式．(3)选用顶点式．解：(1)设所求函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)，∴函数关系式为 y＝－x2＋x＋3.
(2)方法一：∵图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，
则对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
∴可设关系式为 y＝a(x－1)2－8.4a·(－3a)－(－2a)2将点 A(－1,0)代入，得 a＝2.
∴函数关系式为 y＝2(x－1)2－8＝2x2－4x－6.
方法二：由点 A(－1,0)，B(3,0)，
可设函数关系式为 y＝a(x－3)(x＋1)．
整理函数，得 y＝ax2－2ax－3a.
∴此函数图象的最小值为－8.∴4a＝－8.∴a＝2.∴函数关系式为 y＝2(x－3)(x＋1)．
即 y＝2x2－4x－6.(3)∵图象顶点为(1，－6)，
∴设其关系式为 y＝a(x－1)2－6.
∵图象经过点(2，－8)，
∴－8＝a(2－1)2－6.∴a＝－2.
∴函数关系式为 y＝－2(x－1)2－6.
即 y＝－2x2＋4x－8.
若 x1，x2 分别是抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，则直线 x＝x1＋x2
2就是对称轴．【跟踪训练】A1．过(－1,0)，(3,0)，(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()2．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 22-1-7 所示，则此y＝－x2＋2x＋3抛物线的解析式为______________．
图 22-1-7求这个二次函数关系式．
解：把点(0，－2)代入 y＝ax2＋bx＋c，得 c＝－2.
再把点(－1,0)，(2,0)分别代入 y＝ax2＋bx－2，∴这个二次函数的关系式为 y＝x2－x－2.3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：课件17张PPT。22．2 二次函数与一元二次方程1．二次函数与一元二次方程的关系
(1)探究：观察图 22-2-1：图 22-2-1①二次函数 y＝x2＋x－1 的图象与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2＋x－1＝0 的根的判别式Δ______0.2>②二次函数 y＝x2－4x＋4 的图像与 x 轴有______个交点，则一元二次方程 x2－4x＋4＝0 的根的判别式Δ______0.1＝③二次函数 y＝x2－x＋2 的图象与 x 轴________公共点，则一元二次方程 x2－x＋2＝0 的根的判别式Δ______0.无< 归纳：(1)如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公
共点的横坐标是 x0，那么当 x＝x0 时，函数的值是____，因此
x＝x0 就是方程______________的一个根．0ax2＋bx＋c＝0(2)如下表：
两两一一00 2.利用函数图象求一元二次方程的根
步骤：
(1)作函数图象；
(2)确定根所在的________；
(3)通过取________的方法不断缩小根所在的范围，直至符
合题目要求．范围平均数知识点 1二次函数与一元二次方程的关系 【例 1】 已知二次函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)的图象与
x 轴只有一个交点，求 m 的值．
思路点拨：“只有一个交点”等价于“方程只有一个根”．
解：当 m＝0 时，函数 y＝－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个
交点，当m≠0 时，∵函数 y＝mx2－6x＋1的图象与 x 轴只有一
个交点，
∴方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根．
∴(－6)2－4m＝0，解得 m＝9.
故 m 的值为 0 或 9.【跟踪训练】C1．函数 y＝x2－2x－1 的图象，与 x 轴的交点个数有()A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2．若抛线 y＝(a－1)x2＋2x＋1 与 x 轴只有一个交点，则 a的值为________．2知识点 2利用函数图象求一元二次方程的近似解 【例 2】 利用二次函数的图象，求方程 x2＋2x－10＝0 的
近似根(精确到 0.1)．
思路点拨：先借助二次函数图象确定方程的解的大致范围，
再通过计算进一步精确．
解：作二次函数 y＝x2＋2x－10 的图象如图 D4，由图象可
知方程 x2＋2x－10＝0 有两个根，一个在－5 和－4 之间，一个
在 2 和 3 之间．因此两个根分别为－4 点几和 2 点几，下面用
计算器进行探索.因此 x＝－4.3 是方程的一个近似根．
另一个根也可以类似地求出：因此 x＝2.3 是方程的另一个近似根．图D43．已知 y＝x2＋2x－10，小明计算器列出了下表：那么 x2＋2x－10＝0 一个根是()CA．－4.1B．－4.2C．－4.3D．－4.44．如图 22-2-2，(1)请在坐标系中画出二次函数 y＝x2－2x的大致图象；(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程 x2－2x＝1 的根在图上近似的表示出来(描点)；(3)观察图象，直接写出方程 x2－2x＝1 的根(精确到 0.1)．图 22-2-2解：(1)如图 D5，y＝x2－2x＝(x－1)2－1，作出顶点，作出与 x 轴的交点，图象光滑．
(2)正确作出点 M，N.
(3)方程的根为－0.4,2.4.图 D5知识点 3二次函数与一元二次不等式的关系 【例 3】二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 22-2-3，
根据图象回答下列问题：
(1)写出关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集；
(2)写出关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集．
图 22-2-3 思路点拨：ax2 ＋bx ＋c>0 的解集就是二次函数 y ＝ax2 ＋
bx ＋c 的图象在 x 轴上方的部分所对应的 x 的取值；反之，
ax2 ＋bx＋c<0 的解集就是二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c 的图象在 x
轴下方的部分所对应的 x 的取值．解：(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|1(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x<1 或 x>3}．以 a>0 为例列表如下：【跟踪训练】 5．如图 22-2-4，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于
(1,0)，(5,0)两点，那么当 y≥0 时，x 的取值范围_____________．图 22-2-4{x|x<1 或 x>5} 6．如图 22-2-5 是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，
其对称轴为直线 x＝1，若其与 x 轴一交点为 A(3,0)，则由图象
可知，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是__________．图 22-2-5－1＜x＜3 解析：∵二次函数的对称轴为x＝1，与 x 轴的一个交点坐标
为(3,0)，则另一个交点坐标为(－1,0)．∵不等式ax2＋bx＋c＜0 即
为 y＜0 的部分，∴不等式的解集是－1＜x＜3.课件16张PPT。22.3 实际问题与二次函数x＝______时，函数有最____值为_______．1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值低(1)当 a>0 时，二次函数的图象(抛物线)有最______点，当 b
2a小4ac－b2
4a(2)当 a<0 时，二次函数的图象(抛物线)有最______点，当x＝______时，函数有最____值为_______．高－ b
2a大4ac－b2
4a－2．实际问题中的二次函数自变量 (1)先根据题意列函数解析式，再确定______的取值范围，
要使实际问题有意义，最后根据题意求解．
(2)某些问题只有通过建立直角坐标系才能求函数解析式，
因此需先建立直角坐标系，一般是以抛物线顶点为原点，对称
轴为 y 轴作为建立直角坐标系的原则.知识点 1根据实际问题列二次函数 【例 1】 用一定长度的不锈钢材料设计成外观为矩形的框
架[如图 26-3-1 中(1)(2)(3)中的一种]．图22-3-1 设竖档 AB＝x 米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的
不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和
竖档分别与 AD，AB 平行)．(1)在图 22-3-1(1)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 平方米？ (2)在图 22-3-1(2)中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当 x
为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多少？
(3)在图 22-3-1(3)中，如果不锈钢材料总长度为 a 米，共有
n 条竖档，那么当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？
最大面积是多少？【跟踪训练】
1．矩形的一边长为 x，周长为 8，则当矩形面积最大时，x的值为()BA．4B．2C．6D．5 2．某公司生产 A 种产品，它的成本 2 元，售价为 3 元，年
销售量为 100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定
的资金做广告，根据经验，当每年投入的广告费是 x(单位：10
万元)时，产品的年销售量是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次
函数，它们的关系如下表所示.(1)写出 y 与 x 的函数关系式； (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写
出年利润 s(单位：10 万元)与广告费 x(单位：10 万元)的函数关
系式； (3)如果投入的年广告费为 10 万元～30 万元，问广告费在
什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大． 解：(1)设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵当 x＝0 时，y＝1；当 x＝1 时，y＝1.5；当 x＝2 时，y＝1.8.∴所求的二次函数的关系式为 y＝－0.1x2＋0.6x＋1.
(2)由题意，得 s＝10y(3－2)－x
＝10(－0.1x2＋0.6x＋1)－x
＝－x2＋5x＋10. 由于 1≤x≤3，∴当 1≤x≤2.5 时，s 随 x 的增大而增大．
∴广告费在 10 万元～25 万元，公司获得的年利润随广告
费的增大而增大．知识点 2建立恰当的坐标系解实际问题(难点) 【例 2】 如图 22-3-2，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处
在目前的水位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将
达到警戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每
小时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？
图 22-3-2 思路点拨：根据题意，建立合适的平面直角坐标系，根据
已知确定抛物线上有关点的坐标，求解析式，并运用解析式解
答题目的问题． 解：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 中点为原点，建立平面
直角坐标系，则抛物线的顶点 E 在 y 轴上，且 B，D 两点的坐
标分别为(5,0)，(4,2)．
设抛物线为 y＝ax2＋k，【跟踪训练】 3．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如
图 22-3-3 所示，其拱形图形是抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB
间，按相同的间距 0.2 米，用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米．
(1)以 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，请根据以上数据，求出抛物线的函数解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米)．图 22-3-3 解：(1)设抛物线解析式为 y＝ax2，由已知可知：OC＝0.6，
AC＝0.6，则点 A 的坐标为(0.6,0.6)，代入到 y＝ax2 中，所以立柱 C1D1＝0.6－0.07＝0.53，
C2D2＝0.6－0.27＝0.33.
由于抛物线关于 y 轴对称，栅栏所需立柱的总长度为
