第一章 §1.2　集合间的基本关系-高中数学人教A版必修一 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
§1.2　集合间的基本关系
第一章　集合与常用逻辑用语
学习目标
1.理解两个集合间的包含关系.(重点)
2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.(难点)
3.理解空集与子集、真子集之间的关系.(重点)
导语
上节课我们学习了集合的相关概念，那么大家能否判断：1和2是否属于集合A＝{x|x2－2x＝0}呢？我们用列举法知道：该集合可以表示为{0，2}，从而可以判断2∈A，1 A.那么集合{2}与集合A又有什么关系呢？
子集
一
问题1　观察下面的几个例子，类比实数之间的大小关系，同学们能分析出它们之间的关系吗？请用集合的语言概括它们的共同特点.
(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(3)E＝{x|x＝2k，k∈Z}，F＝{偶数}.
提示　集合A中的任何一个元素都属于集合B，我们可以说集合A包含于集合B，集合B包含集合A.同样集合C和集合D，集合E和集合F也有这种关系.
知识梳理
1.
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的_____
记法与读法 记作_____(B A)，读作“_________”(或“B包含A”)
图示
子集
A B
A包含于B
2.Venn图：在数学中，我们经常用平面上的__________的内部表示集合，这种图叫做Venn图.
封闭曲线
注意点：
“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.
问题2　观察(3)中的两个集合：E＝{x|x＝2k，k∈Z}，F＝{偶数}.类比实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”，你有什么体会？
提示　若E F，且F E，则E＝F.
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作______.
也就是说，若A B，且B A，则______.
知识梳理
A＝B
A＝B
注意点：
集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致.
真子集
二
问题3　我们再来看前面的例子.
(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
集合A与B，集合C与D为什么不相等？
提示　集合B中有元素4，5不在集合A中，集合D中全体男生不在集合C中.
知识梳理
1.
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集
记法与读法 记作A___B(或B____A)，读作“___________”(或“B真包含A”)
图示
?
?
A真包含于B
注意点：
子集、真子集的区别与联系：
(1)“A B”等价于“A?B”或“A＝B”；
(2)若“A?B”则“A B”一定成立；
(3)若“A B”，则“A?B”，不一定成立.
2.
定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做_____
记法 ____
规定 空集是任何集合的子集，即 A
空集

问题4　包含关系{a} A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例作出解释.
提示　{a} A是集合与集合之间的关系，a∈A是元素与集合之间的关系.如{1} {1，2，3}，1∈{1，2，3}.
知识梳理
根据上述集合之间的基本关系，结合Venn图，可以得到下列结论：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A；
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么______；如果A?B，且B?C，那么_______.
(3)空集只有一个子集，即它的本身， ；
(4)空集是任何非空集合的真子集，即若A≠ ，则 ____A.
A C
?
A?C
注意点：
与{0}的区别：
(1) 是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合， ?{0}.
例1
指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，
故A与B之间无包含关系.
(2)A＝{x|－1集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
正方形是特殊的矩形，故A?B.
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，
因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
(5)A＝{x∈N＋|x是4与10的公倍数}，B＝{x|x＝20m，m∈N＋}．
因为4与10的最小公倍数为2×2×5＝20.所以4与10的公倍数是20的倍数，所以集合A表示由20的正整数倍的数组成的集合，而集合B也是表示由20的正整数倍的数组成的集合，所以集合A与集合B是两个相等的集合，即A＝B.
反思感悟
判断集合间关系的常用方法
跟踪训练1
用适当的数学符号填空.
(1)a_____{a，b，c}；
(2)0_____{x|x2＝0}；
(3) _____{x∈R|x2＋1＝0}；
(4){0，1}_____N；
(5){0}_____{x|x2＝x}；
(6){2，1}_____{x|x2－3x＋2＝0}.
∈
∈
＝
?
?
＝
例2
写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
子集有 ，{a}，{b}，{a，b}，
其中真子集有 ，{a}，{b}.
延伸探究　写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
子集有 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，
其中真子集有 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.
反思感悟
求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
(3)含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.
跟踪训练2
满足{1，2}?M {1，2，3，4，5}的集合M有____个.
7
由题意可得{1，2}?M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，
因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足题意的集合M共有7个.
由集合间的关系求参数
三
例3
已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围.
(1)当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠ 时，如图所示．
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
延伸探究　若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2(1)当B＝ 时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠ 时，如图所示.
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}.
反思感悟
利用集合间的关系求参数的关注点
(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.
(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心圈表示.
(3)要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.
跟踪训练3
已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围.
(1)当B＝ 时，2a>a＋3，即a>3.显然满足题意.
(2)当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)子集、真子集的概念与性质.
(2)子集的个数.
(3)由集合间的关系求参数.
2.方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论.
3.常见误区：
(1)在解决问题时，容易遗忘空集，它在集合中有至高的地位；
(2)求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意分类讨论.