第一章 §1.4 1.4.2 充要条件-高中数学人教A版必修一 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.4.2　充要条件
第一章　§1.4　充分条件与必要条件
学习目标
1.理解充要条件的意义.
2.会判断一些简单的充要条件问题(重点).
3.能对充要条件进行证明(难点).
导语
同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
一、充要条件
二、充要条件的证明
三、充分条件、必要条件、充要条件的应用
随堂演练
内容索引
充要条件
一
问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.
提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.
问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？
提示　首先，原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题.判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题的真假性，原命题为真，逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.
知识梳理
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有____，又有_____，就记作_____.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为_____条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即p与q互为充要条件.
p q
q p
p q
充要
注意点：
充要条件的判断方法：第一步：确定哪个是条件，哪个是结论；第二步：尝试用条件推结论；第三步：尝试用结论推条件；第四步：判断条件是结论的什么条件.
例1
指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，
∴p是q的充分不必要条件.
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要条件.
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y，且x＋2≠－y，
又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件.
(4)p：a是自然数，q：a是正数.
0是自然数，但0不是正数，故p q；
故p是q的既不充分也不必要条件.
反思感悟
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法：即利用p q与q p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.
(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 …
pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
跟踪训练1
指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”
“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
∴p是q的充分不必要条件.
(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或者互补，
所以p是q的必要不充分条件.
(3)p：A∩B＝ ，q：A与B之一为空集；
A∩B＝ ，集合A，B不一定是空集，
所以p是q的必要不充分条件.
(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除.
p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明
二
例2
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
设p：ac<0，q：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根.
必要性(q p)：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根.
反思感悟
充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确谁是条件p，谁是结论q；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
跟踪训练2
求证：b＝0是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件.
①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，即0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
充分条件、必要条件、充要条件的应用
三
例3
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0延伸探究
1.(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|－2≤x≤10}?{x|1－m≤x≤1＋m}.
解得m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2.(变结论)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
反思感悟
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练3
在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0，且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0，且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以存在a，a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0，且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)充要条件概念的理解.
(2)充要条件的证明.
(3)充分条件、必要条件、充要条件的应用.
2.方法归纳：等价转化.
3.常见误区：条件和结论辨别不清.