课件26张PPT。第一章 集合与函数概念
1.1.1集合的含义与表示1.1 集合【学习目标】 1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述
法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3．掌握集合的表示方法、常用数集及其记法和集合元素的三个特征．1．集合的三要素
(1)含义：一般地，我们把研究对象统称为______，把一些元素组成的________叫做集合．元素总体(2)集合中元素的特征：_________、_________和________．确定性无序性互异性练习 1：已知集合 A＝{1,3,5,7,9}，则 3____A，6____A.∈?a 是集合 A2．元素与集合的关系a 不是集合 A3．集合的表示方法一一列举共同特征)A练习 2：集合{x∈N|x＜5}的另一种表示方法是(
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}4．常用数集及其表示符号N*或 N+ZRNQ【问题探究】1．“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？答案：“好心的人”不能构成集合； “1,2,1”不能构成集合．
2．集合{1,2}，{(1,2)}，{(2,1)}，{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？答案：集合{1,2}，{2,1}的元素是数字 1 和 2；
集合{(1,2)} 的元素是点(1,2)；
集合{(2,1)} 的元素是点(2,1)．集合{1,2}和集合{2,1}相同．集合{(1,2)}和集合{(2,1)}不一样．3．以下三个集合有什么区别？
(1){(x，y)|y＝x2－1}；
(2){y|y＝x2－1}；
(3){x|y＝x2－1}．答案：集合{(x，y)|y＝x2－1}的元素是点(x，y)；
集合{y|y＝x2－1}的元素是实数 y 的取值范围；
集合{x|y＝x2－1}的元素是实数 x 的取值范围．题型 1集合的概念和有关特征【例 1】 判断以下对象的全体能否组成集合：
(1)申办 2014 年亚运会的所有城市；
(2)举办 2014 年亚运会的城市；
(3)某校高一(1)班的高个子学生；
(4)方程 x2－4＝0 在实数范围内的解；
(5)1,2,3,1. 解：因为“高个子”中关于高的标准不明确，故(3)不能构成
集合；(5)中的对象虽然具备确定性，但是有两个元素 1 相同，
不符合元素的互异性，所以(5)不能构成集合．(1)(2)(4)中的对
象符合集合中元素的特征，能构成集合． 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能
否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不
是给定集合的元素，同时还要注意集合中的元素要满足互异性、
无序性和确定性．【变式与拓展】
1．给出以下对象：
①高一数学课本中的难题；
②所有三角形；
③中国古代四大发明；
④函数 y＝x 图象上的一些点；
⑤－1，a2，a2＋1(a∈R)三个实数．能构成集合的是________．②③⑤解析：①④中的对象不满足集合中的元素的确定性．2．下列说法正确的是()C A．确定对象的全体能构成集合
B．集合中元素的个数是有限的
C．集合中的元素是不相同的
D．{1,0，－1}与{－1,0,1}是两个不相同的集合
解析：1,2,3,1 这 4 个数据的全体不能构成集合，虽然它们
是确定的对象，但不满足集合元素的互异性，故 A 不正确；集
合中元素的个数可以是有限的，也可以是无限的，且满足无序
性，故 B，D 不正确．题型 2元素与集合的关系【例 2】 下列关系正确的个数是()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 思维突破：解答本题先要弄清符号“∈”与“?”的区别，再根
据符号的意义进行判断．
答案：B(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．(2)常用数集及其关系(如图 1-1-1)：图 1-1-1【变式与拓展】3．用符号“∈”或“?”填空：(2)11____{y|y＝x2＋x－1，x∈N}；
(3)(－2,1)____{y|y＝－x，x∈R}；(4)(－1,1)____{(x，y)|y＝－x，x∈R}． 解析：(1)2∈Q，但 2> ，故填“?”．
(2)集合的代表元素是 y，所以假设y＝11，则x2＋x－1＝11，
解得x＝3 或 x＝－4.又因为 x∈N，所以 x＝3.即当 x＝3 时，y
＝11，所以填“∈”．
(3)集合中的代表元素为 y，而(－2,1)是一个点，故填“?”．
(4)当 x＝－1 时，y＝－x＝1，故填“∈”．答案：(1)?(2)∈(3)?(4)∈4．已知 x2∈{1,0，x}，求实数 x 的值的集合．
解：若 x2＝0，则 x＝0，又∵x≠0，∴x＝0 舍去．
若 x2＝1，则 x＝±1，又∵x≠1，∴x＝－1.
若 x2＝x，则 x＝0(舍去)或 x＝1(舍去)．
综上所述，实数 x 的值的集合为{－1}．题型 3集合的表示方法【例 3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)不大于 10 的非负偶数组成的集合；
(2)方程(x－1)2(x－2)＝0 的解集；(4)坐标平面内第一象限的点组成的集合；
(5)所有奇数组成的集合． 思维突破：根据列举法和描述法的特点将自然语言转化为
集合语言．
解： (1)不大于10 的非负偶数是0,2,4,6,8,10，
所以用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}．
(2)(x－1)2(x－2)＝0 有两个实数根 1,2，
所以用列举法表示解集，即{1,2}．(3)方程组y＝－x，
y＝x＋2的解为x＝－1，
y＝1.所以用列举法表示方程组的解集，即{(－1,1)}． (4)设坐标平面内第一象限的点为(x，y)，它满足条件 x＞0，
y＞0，所以用描述法表示集合，即{(x，y)|x＞0，y＞0}．
(5)2n＋1(n∈Z)或 2n－1(n∈Z)都可以表示“所有的奇数”，
设代表元素为 x，则“所有奇数组成的集合”可以表示为{x|x＝
2n＋1，n∈Z}或{x|x＝2n－1，n∈Z}．若集合中的元素是有限的且是可以一一列举的，一般选用列举法，否则选用描述法．另外，书写集合时要
注意点集和数集的不同，如，列举法时“{(x，y)}表示点集，{x，
y}表示数集”；描述法时“代表元素(x，y)表示点集，代表元素
x，y 表示数集”．【变式与拓展】
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程 x(x＋1)2＝0 的所有实数根；(4)所有实数组成的集合．解：(1)x(x＋1)2＝0 有两个实数根 0，－1，
所以用列举法表示方程的所有实数根为{0，－1}．所以用列举法表示方程组的解集，即{(2,0)}．所以用描述法表示不等式组的解集，即{x|－3＜x＜4}．
(4){x|x∈R}．【例 4】 已知集合 A＝{x|x2＋(m＋2)x＋m＋1＝0，m∈R}，求集合 A 的所有元素． 易错分析：一元二次方程有根时包含两种情况：有两个相
等的实数根和两个不相等的实数根．解题时只考虑了 x1≠x2 的
情况，未考虑 x1＝x2 的情况．
解：∵x2＋(m＋2)x＋m＋1＝0，
∴x1＝－1，x2＝－1－m.当 m＝0 时，x1＝x2＝－1，∴A＝{－1}．∴A 中的元素为－1.
当 m≠0 时，x1≠x2，∴A＝{－1，－1－m}．∴A 中的元素为－1，－1－m.[方法·规律·小结]1．理解集合的概念．(1)集合是一组对象的“整体”．(2)构成集合的对象必须具有“确定性”和“互异性”这两个特征．2．对集合中元素三个特征的认识． (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照
明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不
在这个集合里，二者必居其一．(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不相同的．(3)无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合内元素的位置，集合不变． 3．用列举法表示集合时应注意：①元素之间用分隔号“，”；
②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可
以表示无限集．若集合中的元素个数比较少用列举法比较简单；
若集合中的元素较多或无限，但出现一定规律，在不发生误解
的情况下，也可以用列举法表示． 4．用描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如
{x|y＝x2－1}，{y|y＝x2－1}与{(x，y)|y＝x2－1}是不相同的集合．课件20张PPT。1.1.2集合间的基本关系【学习目标】1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．理解子集、真子集的概念．3．能利用 Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4．了解空集的含义． 1．子集
(1)概念：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中___________
都是集合 B 中的元素，称集合 A 为集合 B 的________ ，记作________或________．任意一个元素子集B?A (2)性质：①任何一个集合是它本身的______，即_______；
②对于集合 A，B，C，如果 A?B，B?C，那么________．子集A?CA?BA?A2．集合相等与真子集一样(1)集合相等：只要构成两个集合的元素是________的，我们就称这两个集合是相等的．B A (2)真子集：若集合 A?B，但是存在元素 x∈B，且______，
称集合 A 是集合 B 的________，记作________或________．
练习 1：已知集合 A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|1＜x＜2}，则
A____B.c＝______.－110x?A真子集A B3．空集
(1) 定义：我们把______________ 的集合叫做空集，记作________．不含任何元素?(2)规定：空集是任何集合的________．子集【问题探究】1．符号“a∈A”与“{a}?A”有什么区别？答案：“a∈A”是指元素与集合的关系，而“{a}?A”是指集合与集合的关系．2．任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？答案：任何一个集合是它本身的子集；任何一个集合都不是它本身的真子集．3．集合{?}是空集吗？它与集合{0}有区别吗？答案：有区别．集合{?}不是空集，其元素为?；集合{0}元素为 0.题型 1集合间的关系，，＝)：【例 1】 用适当的符号填空(∈，?，
(1)0____N；
(2)0____{0}；(3)0____{1,2,3}; (4){1}____{1,2,3};
(5)1____{1,2,3}; (6){1,2,3}____{3,2,1}；(7)?____{a};(8)?____{0}；(9){a，b}____{a，b，c}；
(10){a，b，c，d}____{c，d，b，a}；
(11){菱形}____{平行四边形}；
(12){等腰三角形}____{等边三角形}；
(13)?____{x∈R|x2＋2＝0}．答案： (1) ∈(2) ∈(3) ?(4)(5) ∈(6) ＝ (7)(8)(9)(10)＝(11)(12)(13)＝ 属于符号“∈”与不属于符号“?”，它们只
能用在元素与集合之间；包含符号“ ”或“?”、包含于(被
包含)符号“ ”或“?”，它们只能用在两个集合之间．对此，
必须引起充分注意，不能用错，不要出现把a∈{a}表示成a?{a}
或a {a}之类的错误；又如{0}是含有一个元素的集合，?是不
含任何元素的集合．因此，有??{0}，不能写成?＝0，?∈0. 【变式与拓展】
1．设集合 A＝{x|x 是等腰三角形}，B＝{x|x 是三角形}，C
＝ {x|x 是等边三角形}，则 集 合 A ， B ， C 之 间 的 关 系 是____________． 2．已知集合 A＝{1,1＋d,1＋2d}，集合 B＝{1，q，q2}，若
A＝B，求实数 d 与 q 的值．题型 2子集的综合运用 【例 2】 若集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，
且 B A，求 m 的值．
思维突破：可求得 A＝{－3,2}，使得 B A 的集合 B 有?，
{－3}，{2}三种情况，故需分情况讨论．
解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B A，∴B＝?，或 B＝{－3}，或 B＝{2}．
即 mx＋1＝0 无解，或解为－3 或 2.当 mx＋1＝0 无解时，m＝0；
(1) 当 BA 时，要特别注意 B ＝? 的情况； (2)分类讨论时，要结合实际，且做到不重不漏．【变式与拓展】3．写出下列集合的所有子集，并总结得出什么结论．
(1)A＝{0}；(2)B＝{0,1}；(3)C＝{0,1,2}．解：(1)集合 A 的所有子集为?，{0}，共2 个．(2)集合 B 的所有子集为?，{0}，{1}，{0,1}，共4 个．
(3)集合 C 的所有子集为?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，共8 个．结论：一般地，若集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n.题型 3数形结合在集合关系中的应用 【例 3】 已知集合 A＝{x|x<－1 或 x≥5}，B＝{x|a≤x≤
a＋4}，若 B?A，求实数 a 的取值范围．
解：∵a＋4>a，∴B≠?.
∵B?A，∴有 a≥5 或 a＋4<－1，
∴a≥5 或 a<－5.
深刻理解子集的概念，把形如 A?B 的问题通
过数轴转化为不等式组问题，通过解不等式组使问题得以解决．
使用数轴可以使抽象问题直观化，但是要注意端点值的取舍，
即求出参数值后要验证端点值是否能取到．【变式与拓展】4．若{x|2x－a＝0}{x| － 1
m＋1}，且 B?A.求实数 m 的取值范围．
易错分析：本题易漏掉对 B＝?的讨论而漏解．
解：∵B?A，
①当 B＝?时，m＋1≤2m－1，解得 m≥2；
综上所述，实数 m 的取值范围为{m|m≥－1}．[方法·规律·小结]1．子集、真子集的几个性质．(1)性质 1：任何一个集合都是它本身的子集，即 A?A，特别地，???.(2)性质 2：子集有传递性，A?B，B?C?A?C；A B，B C?A C.(3)性质 3：空集是任何一个非空集合的真子集．
(4)性质 4：A＝B?A?B 且 B?A. 注意：子集包括集合的相等和真子集两种情况，理解真子
集时要注意不但要求A?B，同时在B 中至少要有一个元素不属
于 A.2．区分?，{?},0，{0}．
(1)?∈{?}，此时?作为元素，而{?}则为元素是?的集合．(2)在?{?}中，?和{?}均作为集合来理解． 这样就符合空集是任何非空集合的真子集这一事实，同时
不要把数 0 或集合{0}与空集?混淆，数 0 不是集合，{0}是含有
一个元素 0 的集合，而?是不含任何元素的集合，更不要把空集
错误地写成{空集}或{?}． 3．注意利用分类讨论的思想解决集合之间的关系和含有参
数的问题，如在 A?B 的条件下，须考虑 A＝?和 A≠?两种情况，
要时刻注意对空集的讨论；在集合的运算过程中，还要注意集
合的元素具有互异性．
4．集合子集的个数． 集合的子集、真子集个数的规律为：含 n 个元素的集合有
2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．注意：写集合的子集时，空集及集合本身易漏掉．课件23张PPT。1.1.3集合的基本运算(1)【学习目标】1．理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系．
2．会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题．3．能使用 Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 1．并集
(1)一般地，由所有属于集合 A_____属于集合 B 的元素组
成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，也就是由集合 A 与 B 的________元素组成的集合．或所有{x|x∈A 或 x∈B}(2)集合 A 与 B 的并集记作 A∪B，A∪B＝______________.
练习1 ：已知集合 A ＝{1,2,4} ，B ＝{2,3,5} ，则 A ∪B ＝__________.{1,2,3,4,5} 2．交集
(1)一般地，由属于集合 A____属于集合 B 的所有元素组成
的集合，称为集合 A 与 B 的交集，也就是由集合 A 与集合 B 的______元素组成的集合．且公共{x|x∈A且x∈B}(2)集合A与集合B的交集记作A∩B，即A∩B＝____________.
练习 2：已知集合 A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞－2}，则 A∩B＝____________.{x|－2＜x＜1}【问题探究】
1．设集合 M＝{直线}，P＝{圆}，则集合 M∩P 中的元素的个数为()AA．0B．1C．2D．0 或 1 或 2 解析：直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为 0 或
1 或2 个，所以 M∩P 中的元素的个数为 0 或1 或2.所以错选D.
本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合 M，P 就是直
线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题．实际上，M，P
表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素．故
选 A. 2．设集合 A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}．试用 Venn 图表示
集合 A，B 后，指出它们的公共部分(交)、合并部分(并)；讨论
如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？
答案：如图 D2.
A∩B＝{5,8}，
A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
A 与 B 的交集：由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合
A∩B；A 与 B 的并集：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 A∪B.图D2题型 1交集、并集的简单运用 【例 1】 已知 A＝{x|x≤－2 或 x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，
求 A∪B.解：将 x≤－2 或 x＞5 及 1＜x≤7 在数轴上表示出来，如图 D3.根据并集的定义，图中阴影部分即为所求．
∴A∪B＝{x|x≤－2 或 x＞1}．图 D3借助数轴解决问题，最易出错的地方是各段的端点，因此端点能否取到，在数轴上一定要标注清楚．【变式与拓展】
1．(2013 年广东)设集合 M＝{x|x2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则 M∪N＝()DA．{0}
C．{－2,0}B．{0,2}
D．{－2,0,2}解析：M＝{0，－2}，N＝{0,2}，M∪N＝{－2,0,2}．故选D.2．已知集合 A＝{x2，x,0}，B＝{1,2}，且 A∩B＝{1}，则A∪B＝__________.{－1,0,1,2} 解析：若 x＝1，则 x2＝1，与元素互异性矛盾；若 x2＝1，
则 x＝1(舍)或 x＝－1，A∪B＝{－1,0,1,2}．题型 2已知集合的交集、并集求参数 【例 2】已知 A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1 或 x＞5}，
若 A∩B＝?，求 a 的取值范围．
思维突破：由题目可获取以下主要信息：①集合 B 非空．
②集合A 不确定，且A∩B＝?.本题要分A＝?和A≠?两种情况，
并结合数轴求解．解：若 A＝?，由 A∩B＝?，得 2a＞a＋3，
∴a＞3；
若 A≠?，由 A∩B＝?，得图 D4.
图 D4【变式与拓展】3．设集合 A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，且 A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求 a 的取值范围．解：如图 D5，由 A∪B＝{x|－1＜x＜3}知：1＜a≤3.图 D5题型 3集合运算性质的应用 【例 3】集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若 B?A，求实数 m 的取值范围；
(2)当 x∈R 时，没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立，求
实数 m 的取值范围．解：(1)当 m＋1＞2m－1，即 m＜2 时，B＝?.
满足 B?A.
当 m＋1≤2m－1，即 m≥2 时，要使 B?A 成立，需m＋1≥－2，
2m－1≤5，解得 2≤m≤3.综上所述，当 m≤3 时，有 B?A.(2)∵x∈R，且 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立．即 A∩B＝?.
①若 B＝?，则 m＋1＞2m－1，解得 m＜2，满足条件；②若 B≠?，则需满足的条件有：m＋1≤2m－1，
m＋1>5，或m＋1≤2m－1，
2m－1<－2，解得 m＞4.综上所述，有 m＜2 或 m＞4. (1)空集是任何集合的子集，因此，当 B?A 时，
需考虑 B＝?的情形．(2)当 A∩B＝?时，也需考虑 B＝?的
情形，如果集合 B 不是空集，可以利用数轴保证 B?A，这样
既直观又简洁．(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况
讨论，在(1)中解不等式组时，需求交集，而最终又都需求两种
讨论结果的并集，因此本题综合性很强．【变式与拓展】
4．已知集合 A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|x>2 或 x≤－5}．
(1)若 A∩B≠?，求 a 的取值范围；
(2)若 A∪B＝B，求 a 的取值范围．当 A∩B≠?时，a 的取值范围为 a≤－5 或 a>0.
(2)若A∪B＝B，则A?B，有a>2 或 a＋2≤－5，即a 的取
值范围为a>2 或a≤－7.【例 4】 已知集合 M＝{y|y＝x2 ＋1，x∈R} ，N＝{y|y＝)x＋1，x∈R}，则 M∩N＝(
A．(0,1)，(1,2)
C．{y|y＝1，或 y＝2} B．{(0,1)，(1,2)}
D．{y|y≥1} 易错分析：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素
的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上，M，N 的
元素是数而不是实数对(x，y)，因此，M，N 是数集而不是点集．
M，N 分别表示函数 y＝x2＋1(x∈R)，y＝x＋1(x∈R)的值域，
求 M∩N 即求两函数值域的交集．解析：M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}．∴M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}．
∴应选 D.
答案：D集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y＝x2＋1}、{y|y＝x2＋1，x∈R}和{(x，
y)|y ＝x2＋1，x∈R}，这三个集合是不相同的．[方法·规律·小结]1．并集运算的五条性质．(1)交换律，符号语言表达式为：A∪B＝B∪A.(2)任何集合与它本身的并集等于集合本身，符号语言表达式为：A∪A＝A.(3)任何集合与空集的并集等于集合本身，符号语言表达式为：A∪?＝?∪A＝A.(4)任何集合与它的子集的并集等于集合的本身，符号语言表达式为：若 A?B，则 A∪B＝B.(5)任何集合都是该集合与另一集合并集的子集，符号语言表达式为：A?(A∪B)，B?(A∪B)．2．交集运算的五条性质．(1)交换律，符号语言表达式为：A∩B＝B∩A.(2)任何集合与它本身的交集等于集合本身，符号语言表达式为：A∩A＝A.(3)任何集合与空集的交集都是空集，符号语言表达式为：A∩?＝?∩A＝?.(4)集合与它的子集的交集等于其子集，符号语言表达式为：若 A?B，则 A∩B＝A.(5)两个集合的交集是其中任一集合的子集，符号语言表达式为：A∩B?A，A∩B?B. 3．对连续数集间的运算，要借助数轴的直观性，进行合理
转化；对离散数集间的运算，要借助 Venn 图，这是数形结合思
想的具体体现．
4．本节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住
概念中的关键词“且”“或”，理解它们并不困难．可以借助
代数运算帮助理解“且”“或”的含义：求方程组的解集是求
各个方程的解集的交集；求方程(x＋2)(x＋1)＝0 的解集，则是
求方程 x＋2＝0 和 x＋1＝0 的解的并集；求不等式组的解集是
求各个不等式的解集的交集；求不等式(x＋2)(x＋1)>0 的解集，则是求x＋2<0，
x＋1<0和x＋2>0，
x＋1>0的解集的并集．课件19张PPT。1.1.4 集合的基本运算(2)【学习目标】1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．2．能使用 Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．补集全集U?U A (1)一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所
有元素，那么就称这个集合为________，通常记作______．
(2)对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合____的所有元
素组成的集合称为集合 A 相对于________的补集，简称为集合
A 的补集，记作_________，即?UA＝{x|x∈U，且 x____A}．
练习 1：已知全集 U＝R，集合 A＝{x|1≤2x＋9＜5}，则?U A＝___________________.{x|x＜－4 或 x≥－2} 解析：∵A＝{x|1≤2x＋9＜5}＝{x|－4≤x＜－2}，∴?UA＝
{x|x＜－4 或 x≥－2}．A全集 U?2．补集与全集的性质(1)?UU＝______；(2)?U ?＝______； (3)?U (?U A)＝______；(4)A∪?U A＝______；
(5)A∩?U A＝______.
练习 2 ：已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6,7} ，A ＝{2,4,5} ，B ＝
{1,3,6,7}，则 A∩?U B＝________，(?U A)∩(?U B)＝________.?U?{2,4,5}?UA【问题探究】 设 U＝{全班同学}，A＝{全班参加足球队的同学}，B＝{全
班没有参加足球队的同学}，则集合 U，A，B 有何关系？
答案：U 是全集，A 是 B 的补集，B 是 A 的补集，U＝A∪B.题型 1理解集合的补集定义 【例 1】设 U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，b}，?U A＝{5}，
求实数 a 和 b 的值．
思维突破：由题中?U A＝{5}?5∈U，且5? A,3∈U，但3?
?U A?3∈A.【变式与拓展】
1．设全集 U＝{1,3,5,7,9}，集合 A＝{1,|a－5|,9}，?U A＝){5,7}，则实数 a 的值是(
A．2
C．－2 或 8
B．8
D．2 或 8D题型 2集合的混合运算【例 2】设全集 U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．
(1)求 A∪B，A∩B，?U (A∪B)，?U (A∩B)；
(2)求?U A, ?U B, (?U A)∪(?U B)，(?U A)∩(?U B)；
(3)由(1)，(2)，你能得出什么结论？
解：(1)A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，A∩B＝{5}，?U(A∪B)＝ {6} ，?U(A∩B)＝{1，2，3，4，6，7 }. (2)?UA＝{2，4，6}，?UB ＝{1，3，6，7}，( ?UA)∪( ?UB)
＝{1，2，3，4，6，7}，(?UA)∩(?UB)＝{6}.
(3)由(1)，(2)，可以得到?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)
＝(?UA)∪(?UB)．【变式与拓展】
2．(2013 年安徽)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B＝()AA．{－2，－1}
C．{－2,0,1}B．{－2}
D．{0,1} 解析：∵A＝{x|x＋1＞0}＝{x|x＞－1}，∴?RA＝{x|x≤－1}．
∴(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．3．(2013 年重庆)已知集合 U＝{1,2,3,4}，集合 A＝{1,2}，)B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝(
A．{1,3,4}
C．{3}
B．{3,4}
D．{4} 解析：方法一：因为U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，
A∪B＝{1,2,3}，则?U(A∪B)＝{4}．故选 D.
方法二：?UA＝{3,4}，?UB＝{1,4}，?U(A∪B)＝(?UA) ∩
(?UB)＝{4}．故选 D.D题型 3数形结合法求集合的运算 【例 3】 已知全集 U＝{不大于 20 的质数}，如果 M，P
是 U 的两个子集，且满足 M∩(?UP)＝{3,5}，(?UM)∩P＝{7,19}，
(?UM)∩(?UP)＝{2,17}，求集合 M 和 P.
思维突破：用 Venn 图处理此类问题．
解：U＝{不大于 20 的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如图
1-1-2.
图 1-1-2 由(?UM)∩(?UP)＝{2,17}，可知：M，P 中都没有元素2,17，
由(?UM)∩P＝{7,19}，可知：P 中有元素 7,19，M 中没有元素
7,19，由 M∩(?UP)＝{3,5}，可知：M 中有元素 3,5，
而 P 中没有元素 3,5，U 中剩下的元素 11,13 不在以上三部分中，
故只能在 M∩P 中．所以 M＝{3,5,11,13}，P＝{7,11,13,19}． 采用数形结合的方法，往往可将复杂的集合关
系直观化、形象化，使问题快速获解．此题中的 Venn 图将 U
分成了四部分，根据题中已知条件逐步给四个部分填入元素，
即可求出集合 M 和 P.【变式与拓展】 4 ．已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．A ?U ，B?U，且
(?UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,8}，求
集合A 和 B.解：根据题意，得 Venn 图，如图 D6.图 D6则 A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,9}． 【例 4】 已知集合 A＝{1,3，－x3}，B＝{1，x＋2}，是否
存在实数 x，使得 B∪(?AB)＝A？若存在，求出集合 A，B；若
不存在，说明理由．易错分析：求集合中的参数时，要满足集合中元素的性质，特别是互异性，故应注意检验．解：假设存在 x，使得 B∪(?AB)＝A，即 B?A. 若 x＋2＝3，则 x＝1.此时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}；
若 x＋2＝－x3，则 x＝－1.此时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，
不满足集合中元素的互异性，所以 x＝－1 不合题意．
综上所述，存在 x＝1 使得 B∪(?AB)＝A，此时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．[方法·规律·小结]1．求子集 A 在全集 U 中的补集． 从全集 U 中去掉所有属于 A 的元素，剩下的元素组成的集
合即为 A 在 U 中的补集．另外，原题若是无限集，在实数范围
内求补集，我们可以充分利用数轴的直观性进行求解．2．对全集和补集的理解．(1)全集是一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此全集因研究问题而异． (2)补集必须要有全集的限制，补集是一个相对概念．如果
题目中未指出全集，那么不能求其补集，并且同一个集合相对
于不同全集的补集也是不同的． (3)?UA 表示 U 为全集时 A 的补集，如果全集换成其他集合
(如 R)时，那么记号中“U”也必须换成相应的集合(即?RA)．补集符号?UA 有三层含义： ①A 是 U 的一个子集，即 A?U；
②?UA 表示一个集合，且?UA?U；③?UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合．3．补集的性质． A∪?UA＝U，A∩?UA＝?，?U(?UA)＝A，?U(A∪B)＝
(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．课件24张PPT。1.2 函数及其表示1.2.1函数的概念(1)【学习目标】 1．通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依
赖关系的重要数学模型．在此基础上，学习用集合与对应的语
言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2．了解构成函数的要素．3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．1．函数的概念 (1)函数的定义：设 A，B 是______________，如果按照某
种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的__________数 x，在集
合 B 中都有__________的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B
为从集合 A 到集合 B 的一个______，记作____________．
(2)函数的定义域与值域：函数 y＝f(x)中的 x 叫做_______，
x 的取值范围 A 叫做函数的________，与 x 相对应的 y 值叫做
________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_______．非空的数集 任意一个 唯一确定 函数 y＝f(x)，x∈A自变量 定义域 函数值 值域 (3)函数的三要素：________、________和__________．
注意：由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所
以若两个函数的________和__________完全一致，则称这两个
函数相同．练习 1：判断以下对应关系(图 1-2-1)是否是函数关系．图 1-2-1答案：是定义域 值域对应关系定义域对应关系2．区间
(1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做__________，表示为__________．闭区间[a，b](2)满足不等式 a＜x＜b 的实数 x 的集合叫做__________，表示为__________．开区间(a，b) (3) 满足不等式 a≤x ＜b 或 a ＜x≤b 的实数 x 的集合叫做
_______________，分别表示为_______________．半开半闭区间[a，b)，(a，b](4)实数集 R 用区间表示为______________．(－∞，＋∞) (5)把满足 x≥a，x＞a，x≤b，x＜b 的实数 x 的集合分别表
示为________________________________________．
练习 2：满足 x≠2 的实数的集合用区间表示为___________
__________．
[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)(－∞，2)∪(2，＋∞)【问题探究】2．判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数，并说明理由． 答案：(1)f(x)＝(x－1)0＝1，这个函数与函数 g(x)＝1 的对应
关系相同，定义域不相同，所以它们不能表示同一个函数．＝－x 的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不能表示同
一个函数．
(3)函数 f(x)＝x2 与函数 g(x)＝(x＋1)2 定义域相同，对应关
系不同，所以它们不能表示同一个函数．
(4)函数 g(x)＝ ＝|x|与函数 f(x)＝|x|定义域相同，对应关
系相同，所以它们表示同一个函数．题型 1对函数概念的理解【例 1】 设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，如图 1-2-2)的四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有(
图 1-2-2A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个思维突破：根据函数定义去判断． 由函数的定义，可知：M 中任一元素在 N 中都有唯一的元
素与之对应，即在 x 轴上的[0,2]内任取一点，作 y 轴的平行线
与图象只有一个交点． 解析：由函数定义，可知：(1)不是，因为当 1在 N 中无元素与之对应；(3)中的 x＝2 对应元素 y＝3?N，所以
(3)不是；(4)中当 x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，所以
(4)不是．只有(2)符合函数的定义，所以(2)正确．答案：B 根据函数定义，可知：函数的图象与垂直于 x
轴的直线至多有一个交点，如果有两个或两个以上的交点，那
么就不是函数图象．
【变式与拓展】1．已知函数 f(x)＝x2＋|x－2|，则 f(1)＝________.2题型 2函数相等的判断【例 2】 下列各组中的两个函数是否表示同一个函数？
(4)f(x)＝x2－4
x－2，g(x)＝x＋2；(5)f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈Z)；
(6)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 思维突破：判断两个函数是否相等，关键在于看这两个函
数的定义域和对应关系(有时需要化简)是否相同，两者中只要
有一个不相同，两个函数就不是同一个函数．解：(1)f(x)＝x 的定义域为 R，
因为两函数的定义域不同，所以不是同一个函数．
它与 f(x)＝x 的对应关系不一样，所以不是同一个函数．(3)g(x)＝ ＝x，
它与 f(x)＝x 的对应关系和定义域相同，
所以是同一个函数．(4)f(x)＝x2－4
x－2＝x＋2(x≠2)， 它与 g(x)＝x＋2 的定义域不同，所以不是同一个函数．
(5)中两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数．
(6)中，虽然自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域
和对应关系都相同，所以表示同一个函数． 讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．
判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不
相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，
则相等，否则不相等．【变式与拓展】)2．下列四组函数中，表示同一个函数的是(
答案：D题型 3求函数的定义域【例 3】 求下列函数的定义域： 思维突破：求函数的定义域，就是求解析式中使各部分都
有意义的自变量的取值范围的公共部分的集合．解：(1)由 4－x≥0，得 x≤4.
∴函数的定义域是{x|x≤4}．∴函数的定义域是{x|x≥－4，且 x≠±3}．
(3)由分式的分母不为零，得 (1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f(x)是指
数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若 f(x)
是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交
集．(5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实
际问题有意义．【变式与拓展】
即 x≠－1，且 x≠－2.
故函数的定义域是{x|x≠－1，且 x≠－2}． 易错分析：函数的定义域和值域必须写成集合(或区间)的
形式．求函数的定义域要注意：分式的分母不能为 0；偶次方
根的被开方数为非负数．[方法·规律·小结]1．判断一个对应关系是否为函数需把握三个要点．
(1)两集合是否为非空数集．(2)对集合 A 中的每一个元素，在 B 中是否都有元素与之对应．
(3)A 中任一元素在 B 中的对应元素是否唯一．
简单地说，函数是两非空数集上的单值对应．
2．f(x)与 f(a)，a∈A 的关系． f(a)表示当 x＝a 时的函数值，是一个值域内的值，是常数；
f(x) 表示自变量为 x 的函数，表示的是变量，如 f(x) ＝2x ，当
x＝3 时，f(3)＝2×3＝6.课件22张PPT。1.2.2函数的概念(2)【学习目标】1．会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示．2．会求抽象函数的定义域．练习 1：将{x|x＜－1 或 1≤x＜2}用区间表示为___________ _____．(－∞，－1)∪(用区间表示)．[1,2) 练习 3：一次函数 y＝ax＋b(a≠0)的定义域为______，值
域为________．二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的定义域为
________．当 a＞0 时，值域为_______________；当 a＜0 时，值域为________________．R练习 4：若函数 f(x)＝2x＋1，x∈{0,1,2,3}，则 f(x)的值域为__________．{1,3,5,7}R练习 5: 若函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)，则 f(x)的值域为_____．RR练习 6 ：若函数 f(x) ＝ x2 ＋ 1(x ∈ R) ， 则 f(x) 的值域为__________．[1，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞) 【问题探究】
若 y＝f(x)的定义域为[－2,4]，则函数 f(x－1)的定义域为
__________；若 y＝f(x)的值域为[－2,4]，则函数 f(x－1)的值域为_________．[－2,4][－1,5]题型 1求抽象函数的定义域 【例 1】 (1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]，则 f(x－1)的定义
域为__________；
(2)若函数 f(x － 1) 的定义域为 [2,3] ， 则 f(x) 的定义域为
__________；
(3)若函数 f(x－1)的定义域为[2,3]，则 f(2x＋1)的定义域为
__________． 解析：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]，则 f(x－1)有 2≤x－
1≤3，解得 3≤x≤4，即 f(x－1)的定义域为[3,4]．
(2)若函数 f(x－1)的定义域为[2,3]，即 2≤x≤3，有 1≤x－
1≤2，则 f(x)的定义域为[1,2]．
(3)若函数 f(x－1)的定义域为[2,3]，则 f(x)的定义域为[1,2]，
对于求抽象的复合函数的定义域，主要有三种
情形：①已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需
求不等式 a≤u(x)≤b 的解集；②已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]，
求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知 f[u(x)]的定义域为
[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，必须先利用②的方法求 f(x)的定义
域，然后利用①的方法求解．【变式与拓展】
1．已知函数 f(x)的定义域为[－1,2)，则 f(x－1)的定义域为(C )
A．[－1,2)
C．[0,3)B．[0，－2)
D．[－2,1)2．已知函数 y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则 y＝f(2x－1)的定义域为________．0，5
2解析：∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－2≤x≤3.
∴－1≤x＋1≤4.∴f(x)的定义域为[－1,4]．
题型 2求函数的值域【例 2】 求下列函数的值域：(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4，
∴y＝－x2－2x＋3 的值域为(－∞，4]．(3)方法一：∵y＝ x
x＋1＝1－ 1
x＋1，且 1
x＋1≠0，∴y＝ x
x＋1的值域为{y|y≠1}．方法二：∵y＝ x
1＋x，∴x＝ y
1－y.∴y≠1.∴y＝ x
x＋1的值域为{y|y≠1}．(4)由题意知，函数 y 的定义域为{x|x≥1}．
(1)将已知函数转化为我们熟悉的函数，然后通
过观察或数形结合来求值域．(2)在利用换元法求函数值域时，
一定要注意确定辅助元的取值范围，如在(4)中，要确定 t 的取
值范围．若忽视了这一点，就会造成错误．∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2.【变式与拓展】 解：把函数看成是x 的方程，变形，得(x－3)y＝2x＋1(x≠3)，
进一步整理，得(y－2)x＝3y＋1，方程在定义域{x|x≠3}内有解
∴所求的值域为{y|y≠2}． 题型 3 实际问题中的定义域及值域问题
【例 3】 等腰三角形的周长为 20 cm，写出底边长随腰长
变化的函数关系式，并求出这个函数的定义域和值域．
解：设等腰三角形的腰长为 x cm，底边长为 y cm，则有 y
＝2(10－x)．
注意到底边 y>0，∴10－x>0?x<10.
又三角形两边之和大于第三边，∴2(10－x)<2x.∴10－x>0，
10－x∵5∴0<2(10－x)<10，即所求值域为(0,10)．【变式与拓展】 4．甲以 6 km/h 的速度用 2 h 由 A 城到达 B 城，在 B 城休
息 1 h 后，再以 4 km/h 的速度返回到 A 城．试写出甲到 A 城的
距离 s(单位：km)与运动时间 t(单位：h)之间的函数关系式，并
画出示意图．图象如图 D7.图 D7 【例 4】 求函数 y＝f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域．
易错分析：对在函数定义域中，输入定义域内的每一个 x
值，都有唯一的 y 值与之对应，错误地理解为函数在区间的两
个端点上分别取得最大值和最小值．解：配方，得 y＝f(x)＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，对称轴是 x＝2，∴当 x＝2 时，函数取最小值为 f(2)＝2.
又∵f(5)＝11，f(1)＝3，∴f(1)∴f(x)的值域是[2,11)．[方法·规律·小结]1．求函数值域的方法． (1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基
本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，
观察求得函数的值域． (2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分
注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数值域的方法
求函数的值域． (3)判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判
别式求函数值的取值范围，常用于求一些“分式”函数、无理
函数等的值域，使用此法要特别注意自变量的取值范围．
(4)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的
函数化归为熟悉的函数，从而利用熟知的函数求函数的值域．
要注意新的元的取值范围．2．抽象函数的定义域． (1)f[g(x)]的定义域为[a，b]，是指 x 的取值范围为[a，b]．
(2)在同一对应关系 f 下，f(x)中的 x 与 f[g(x)]中的 g(x)范围
一致，即若 f(x)的定义域为[a，b]，则 f[g(x)]的定义域是指满足
不等式 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围的集合．课件20张PPT。1.2.3函数的表示法【学习目标】 明确函数的三种表示方法(解析法、列表法和图象法)，了
解三种表示方法各自的优点．在实际情境中，能根据不同的需
要来选择恰当的方法表示函数．1．解析法数学表达式y＝10x，x∈{1,2,3,4} 用____________表示两个变量之间的对应关系，这种表示
方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．
练习 1：某种钢笔的单价是 10 元，买 x(x∈{1,2,3,4})支钢
笔需要 y 元，则 y 关于 x 的函数表达式为___________________．＝________.57 2．图象法
横坐标纵坐标图象 以自变量x的取值为_______，对应的函数值y为_______，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．【问题探究】
1．已知 f(x)＝x2－x＋1，则 f(x＋1)＝____________.
2．已知 f(x＋1)＝x2－x＋1，则 f(x)＝____________.x2＋x＋1x2－3x＋3x－1题型 1作函数的图象【例 1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x－2(0≤x≤3)；
(3)y＝|x－1|；(4)y＝x. 思维突破：作函数的图象，首先应分析函数定义域，在定
义域内对解析式进行化简．作函数的图象一般有两种思路：一
是利用描点法；二是转化为基本函数，利用基本函数图象作复
杂函数的图象．解：(1)∵函数定义域为 x∈Z，∴这个函数的图象是直线y＝2x＋1 上的所有整点[如图 D8(1)]．(2)∵0≤x≤3，∴这个函数的图象是抛物线 y＝x2－2x－2在 0≤x≤3 之间的一段曲线[如图 D8(2)]．图 D8 先观察函数的定义域，在定义域内化简函数式，
转化为熟悉的函数，然后利用列表描点法或利用基本函数图象
去作复杂函数的图象． 【变式与拓展】
1．(2013 年湖北)小明骑自行车上学，开始时匀速行驶，途
中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.)与以上事件吻合得最好的图象是(
ABCD 解析：时间越长，离学校越远，A 显然错误； 途中因交通
堵塞停留了一段时间，距离不变，D 错误； 开始时匀速行驶，
后为了赶时间加快速度行驶，后面的直线应该陡一些．故选 C.
答案：C题型 2待定系数法求函数的解析式 【例 2】 已知二次函数 y＝f(x)的最大值为 13，且 f(3)＝
f(－1)＝5，求 f(x)的解析式．
解：方法一：利用二次函数的一般式求解．
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由条件知，点(3,5)，(－1,5)，(1,13)在 f(x)的图象上，∴f(x)＝－2x2＋4x＋11.方法二：利用二次函数的顶点式求解．
由 f(3)＝f(－1)，可知：对称轴为 x＝1，
又最大值为 13，故可设 f(x)＝a(x－1)2＋13.
将 x＝3，f(x)＝5 代入，得 a＝－2.
∴f(x)＝－2(x－1)2＋13，
即 f(x)＝－2x2＋4x＋11.对于求二次函数解析式的问题，应注意已知条件，选择恰当的待定形式．【变式与拓展】
2．已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax＋b，则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
∴a2x＋ab＋b＝4x＋3.故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.题型 3换元法求函数的解析式【例 3】 已知 f(x＋1)＝x2－1，求 f(x)的解析式．
解：方法一：f(x＋1)＝x2－1
＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)，
令 t＝x＋1，则有 f(t)＝t2－2t，
故 f(x)＝x2－2x.
方法二：令 x＋1＝t，则 x＝t－1.
代入原式，有 f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，
所以 f(x)＝x2－2x.【变式与拓展】3．设 f(x＋2)＝2x＋3，则 f(x)＝()BA．2x＋1
C．2x－3 B．2x－1
D．2x＋7题型 4赋值法求函数的解析式 本题是通过赋值法构造方程组，通过变量替换【变式与拓展】
的值．
易错分析：没有理解分段函数的意义，f(3)的自变量是 3，
应代入 f(x＋2)中去，而不是代入 x－5 中．解：∵f(x)＝x－5 (x≥6)，
f(x＋2) (x<6)，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.[方法·规律·小结]
1．函数图象． (1)在直角坐标系下，判断一个曲线是不是某函数的图象，
只需验证过曲线上任一点作垂直于 x 轴的直线，若此直线与图
象有唯一的交点，则曲线是函数的图象．(2)作函数图象的方法：①描点作图法：其步骤是列表、描点和连线三大步，作图时要考虑定义域，必须在定义域内作图； ②图象变换法：利用基本初等函数的图象，通过平移、旋
转等变换作出所求图象，这是在画草图时常用到的重要方法．
2．在函数 f(x)中，符号 f 表示一种对应关系，可以是解析式，可以是图象，也可以是图表．课件28张PPT。1.2.4分段函数及映射【学习目标】1．了解映射的概念及其表示方法．2．结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
4．能解决简单函数的应用问题．1．分段函数
所谓“分段函数”，习惯上是指在定义域的不同部分，有不同的________的函数．解析式值域是___________________．－3(－∞，1)∪[3，＋∞) 2．映射
(1)设 A，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对
应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x ，在集合 B 中
__________确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的__________．都有唯一一个映射 (2)由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函
数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A，B 必须是__________．函数非空数集 练习 2：在映射 f：A→B 中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且
f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与 A 中的元素(－4,3)对应的 B 中的元素为__________．(－7，－1) 【问题探究】
1．用图表示下列两个集合 A，B 的元素之间的一些对应关系．
(1)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，对应法则：开
平方；
(2)A＝{－3，－2，－1,1,2,3}，B＝{1,4,9}，对应法则：平方；求正弦．(2)答案：1．(1)(3)2．分段函数是一个函数还是几个函数？
答案：一个题型 1分段函数若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为______．答案：－3
4 分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式
来处理相关问题．首先要确定自变量的值属于哪一个区间，从
而选定相应表达式代入计算．特别地，要注意分段区间端点的
取舍．【变式与拓展】
1．(2011 年北京)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16故选 D.
答案：D题型 2分段函数的应用 【例2】 如图 1-2-3，一动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD
的顶点 A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点 A.
若点 P 运动的路程为 x，点 P 到顶点 A 的距离为 y，求 A，P 两
点间的距离 y 与点 P 运动的路程 x 之间的函数关系式．
图 1-2-3 思维突破：利用数学知识建立相应的数学模型，求目标函
数解析式．本题需要对点 P 的位置进行分类讨论，确定 y 与 x
之间的函数关系．解：(1)当点 P 在 AB 上，即 0≤x≤1 时，
AP＝x，也就是 y＝x.(2)当点 P 在 BC 上，即 1AB＝1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，
根据勾股定理，得 AP2＝AB2＋BP2，
(3)当点 P 在 DC 上，即 2根据勾股定理，得 AP2＝AD2＋DP2，
(4)当点 P 在 AD 上，即 3∴所求的函数关系式为 解数学应用题的一般程序：首先要在阅读材
料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立相
应的数学模型，对其进行分析、研究，得出数学结论，最后把
数学结论(结果)返回到实际问题中．【变式与拓展】 2．如图 1-2-4，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点
P，沿着折线 BCDA 由点 B(起点)向点 A(终点)移动，设点 P 移
动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，求△ABP 的面积 y 与点 P
移动的路程 x 的函数关系式．图 1-2-4 解：当点 P 由点 B 向点 C 移动时，△ABP 为直角三角形，
AB＝4，BP＝x，y＝2x，x∈[0,4]；
当点 P 由点 C 向点 D 移动时，△ABP 是以 AB＝4 为底、
高为 4 的三角形，所以 y＝8，x∈(4,8]；
当点 P 由点 D 向点 A 移动时，△ABP 为直角三角形，
其中 AB＝4，另一直角边为 12－x，
所以 y＝2(12－x)，x∈(8,12]．
综上所述，所求函数关系式是题型 3映射的概念 【例 3】 图 1-2-5 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的
对应关系 f，其中为映射的是哪几个？为什么？
图 1-2-5思维突破：根据映射的定义进行判断．
(1)集合 P 中的元素－3 在集合 M 中没有元素与之对应；
(3)集合 P 中的元素2 对应集合 M 中的元素3 和4，不唯一，因此它也不是映射；(4)集合 P 中的元素1 对应集合 M 中的元素0.5 和 8，一对多，也不是映射；(2)(5)是映射，符合映射的定义要求．解：(1)(3)(4)都不是映射，因为 (1)判断一个对应关系 A→B 是否为映射，主要
的依据是：①集合 A 中的元素是否在集合 B 中都有元素与之对
应；②集合 A 中任一个元素在集合 B 中有唯一的元素与之对应． (2)本题利用数图构建的对应关系直观地给出了集合间的
对应关系．利用映射的概念判断以上数图是否为映射，只需看
一看是否满足“一对一”或“多对一”的关系，且 P 中元素是
否有剩余．【变式与拓展】
3．已知 A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，映射 f：A→B(其)中 x∈A，y∈B)的对应法则可以是(
①f：x→y＝x－2；
④f：x→y＝|x－2|.A．①②B．①③C．①②③④D．②③④ 解析：按照①给出的对应法则，A 中元素 0 在 B 中没有象，
按照②、③、④给出的对应法则，A 中任何一个元素在 B 中都
有象且唯一．
答案：D 4．若 f：y＝3x＋1 是从集合 A＝{1,2,3，k}到集合 B＝{4,7，
a4，a2＋3a}的一个映射，则自然数 a＝________，自然数 k＝
________；集合 A＝_____________，B＝____________.
解析：∵f(1)＝3×1＋1＝4，f(2)＝3×2＋1＝7，
f(3)＝3×3＋1＝10，∴f(k)＝3k＋1.
∴由映射的定义，知：∵a∈N，∴方程组①无解．
解方程组②，得 a＝2 或 a＝－5(舍)．
则 3k＋1＝16,3k＝15，k＝5.
∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．25{4,7,10,16}{1,2,3,5} 【例 4】 已知 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，又 A＝
B＝R，对应法则 f：x→y＝x2＋2x－3，k∈B 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范围为(
A．k<－4
C．k≥－4 )
B．－1D．k<－1 或 k>3 易错分析：正确理解在集合 A 到 B 的映射中，若存在实数
k∈B，在集合 A 中没有元素与之对应，表示 k 应该在 A 中所有
元素在 B 中对应的象组成的集合的补集中． 解析：本题的关键在于读懂题意，y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2 －
4≥－4，k∈B 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范
围为 k<－4.故选 A.答案：A[方法·规律·小结]
1．分段函数． (1)分段函数的表达式因其定义域不同可以分成两个或两
个以上的不同表达式，所以它的图象是由几个部分组成的总体
(有的可以是一些孤立的点)．(2)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一个区间，就用哪一个区间的解析式． (3)分段函数是一个函数，而不是几个，各个定义域的并集
即为分段函数的定义域，各个值域的并集，即为分段函数的值
域．2．理解映射概念时要注意的几点． (1)映射是函数的一种推广，两个集合 A，B，它们可以是数集，也可以是点集或其他集合．(2)集合 A，B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统．
(3)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应． (4)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素可以是同
一个，即可以多个元素对应一个元素，但不能一个元素对应多
个元素．(5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以没有与之对应的，即集合 B 中可以有“剩余”的元素．课件26张PPT。1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性【学习目标】1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．2．能够熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性．
3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 1．增函数与递增区间
设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D
上的_____两个自变量的值 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有__________，
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数，区间 D 称为函数 f(x)的单调递增区间．任意f(x1)＜f(x2) 2．减函数与递减区间
设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D
上的_____两个自变量的值 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有_________，
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数，区间 D 称为函数 f(x)的单调递减区间．任意f(x1)＞f(x2) 3．单调性与单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是_________________，那么
就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做y＝f(x)的____________．增函数或减函数单调区间练习 1：函数 y＝x2 在区间[－8，－2]上是______函数，在区间[2,3]上是______函数．减增)C练习 2：下列函数在区间(0,2)上是增函数的是(【问题探究】 根据 f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：随着 x 的增大，函数值
怎样变化？当 x1>x2 时，f(x1)与 f(x2)有怎样的大小关系？
答案：随着 x(x>0)的增大，f(x)的函数值增大，当 x1>x2 时，f(x1)>f(x2)．题型 1用定义证明函数的单调性
[1，＋∞)上是增函数．
思维突破：证明的关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变
形成几个最简单的因式的乘积形式．证明：设任意的 x1，x2∈(0,1]，且x10.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．同理可证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数． (1)利用增函数、减函数的定义证明或判断函
数的单调性的步骤是：设出指定区间上的任意两个值→作差→
变形→判断符号→下结论．数，在(－1,0)上为减函数；在(－∞，－1]上为增函数．
(3)解答本题易出现以下的错误结论：f(x)在(－1,0)∪(0,1]
上是减函数，在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上是增函数，或说 f(x)
在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是单调函数．排除障碍的关键是正确
理解函数单调性的概念．注意：函数的单调性是对某个区间而
言的，而不是两个或两个以上不相交的区间的并集．【变式与拓展】
1．用函数单调性的定义证明：f(x)＝－2x2＋3x＋c(c 为常数)由 x10，题型 2利用函数的图象求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，并指出函数
的单调区间．
思维突破：准确画出函数的图象，根据函数图象写出其单
调区间．
函数的图象如图 D9.图 D9∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0,1]，单调递减区间是(－1，0]，(1，＋∞)．研究函数单调区间的一般方法有：图象法、定义法及利用已知函数的单调性．数形结合始终是研究函数性质
及其应用的重要思想．【变式与拓展】 2．如图 1-3-1，已知函数 y＝f(x)的图象，根据图象说出函
数的单调区间，以及在每一个区间上，它是增函数还是减函数．图 1-3-1解：函数 y＝f(x)的单调递减区间有[－3，－2)，[0,2)，
∴y＝f(x)在区间[－3，－2)，[0,2)上是减函数．
单调递增区间有[－2,0)，[2，＋∞)，∴y＝f(x)在区间[－2,0)，[2，＋∞)上是增函数．3．求函数 f(x)＝|x2－x－12|的单调区间．作出函数的简图，如图 D10.观察其图象，知函数 f(x)的单调递增区间为
和[4，＋∞)；
单调递减区间为(－∞，－3)和 .图D10题型 3函数单调性的应用 【例 3】(1)若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x－1 在区间(－∞，4]
上是减函数，求实数 a 的取值范围；的取值范围．
思维突破：(1)处理二次函数的单调性问题需要对对称轴进
行讨论．(2)处理含参数的二次函数需要对参数进行讨论．解：(1)f(x)＝x2＋2(a－1)x－1，其对称轴为 x＝－2(a－1)
2×1＝1－a， 若二次函数在(－∞，4]上是减函数，
必须满足 1－a≥4，解得 a≤－3.
当 k>0 时，抛物线开口向上，在[0，＋∞)上不可能单调递减；
综上所述，k≤0. 对已知函数在某区间 D 上的单调性，求参数
取值范围的问题，可先由函数本身求得的单调区间视为 I(函数
在 D 和 I 上单调性相同)，进而利用 D?I 求得参数．【变式与拓展】数，则实数 b 的取值范围为() 解析：令 f1(x)＝(2b－1)x＋b－1(x＞0)，f2(x)＝－x2＋(2－
b)x(x≤0)，要使 f(x)在R 上为增函数，须有f1(x)单调递增，f2(x)
单调递增，且 f2(0)≤f1(0)，
答案：A过坐标原点，对称轴是x＝ .∴区间[2,4]应在直线x＝ 的左侧或右侧，【例 4】 已知函数 f(x)＝－x2＋kx 在[2,4]上是单调函数，则实数 k 的取值范围为__________．易错分析：应将区间在对称轴左侧和右侧分别进行讨论．
解析：函数 f(x)＝－x2＋kx 的图象是开口向下的抛物线，经∵已知函数在[2,4]上是单调函数，答案： k≤4 或 k≥8[方法·规律·小结]1．函数单调性的判定方法．(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值→作差变形→判断符号→下结论”的步骤，进行判断．(2)图象法：画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势判断函数的单调性．(3)直接法：对于熟悉的函数，如一次函数、二次函数和反比例函数等，直接写出它们的单调区间．2．区间 D 上的单调函数 f(x)具有的结论．
(1)函数 y＝f(x)与函数 y＝－f(x)在区间 D 上的单调性相反．(2)当函数 f(x)在区间 D 上恒为正或负时，函数 y＝ 1
f(x)与函数 y＝f(x)在区间 D 上的单调性相反．
(k＞0)，[f(x)]n(n∈N，n＞1)都是增函数．3．求函数 y＝f[g(x)]的单调区间的步骤．
(1)确定定义域；(2)将函数分解成函数 y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增同减，则 y＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则 y＝f[g(x)]为减函数(同“增”异“减”)． 4．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如
述为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，课件24张PPT。1.3.2函数的最值【学习目标】1．理解函数的最大(小)值及其几何意义．2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的最大值f(x0)＝M 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满
足：①对于任意的 x∈I，都有________；②存在 x0 ∈I，使得
__________．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值．练习 1：函数 f(x)＝3x 在[0,3]上的最大值是________．9f(x)≤M2．函数的最小值f(x0)＝M 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满
足：①对于任意的 x∈I，都有________；②存在 x0 ∈I，使得
__________．那么称 M 是函数 y＝f(x)的最小值．3f(x)≥M【问题探究】
完成下表：无无5－1 无090 对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一
定是值域中的一个元素．上表体现了函数值的什么特征？答案：表格从上到下，从左到右依次填：题型 1利用图象求最值【例 1】 求下列函数的最大值和最小值： (2)y＝|x＋1|－|x－2|.
图 D11
解：(1)二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为 x＝－1.画出函
数的图象，由图 D11，可知：作出函数的图象，由图 D12，可知：y∈[－3,3]．
所以函数的最大值为 3, 最小值为－3.
图 D12 当函数中含有绝对值时，可以采用分类讨论的
方法去绝对值，将函数化为分段函数．利用图象研究其单调性
及最值，关键要正确作出函数的图象．【变式与拓展】1．图 1-3-2为函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．图 1-3-2解：当x＝3 时，函数y＝f(x)取最大值为3；当 x＝－1.5 时，函数 y＝f(x)取最小值为－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)；
单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．题型 2利用单调性求函数的最值问题
思维突破：先判断函数的单调性，再求其最值．
∴f(x1)－f(x2)>0.∴f(x)在[1,2]上是减函数．
运用函数的单调性求最值是求函数最值的重
要方法，特别是当函数的图象不易作出时，用函数的单调性求
最值几乎成为首选方法．【变式与拓展】2．函数 y＝ 4
x－2在区间 [3,6]上是单调递________函数，最小值是________．减13．求函数 f(x)＝ x
x－1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解：任取 2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.∴f(x2)－f(x1)<0，即 f(x2)x－1在区间[2,5]上是单调减函数．∴f(x)max＝f(2)＝ 2
2－1＝2，题型 3函数最值的应用
(2)若对任意的 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a
的取值范围．(2)方法一：f(x)＞0 对 x∈[1，＋∞)恒成立?x2＋2x＋a＞0对 x∈[1，＋∞)恒成立．设 y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则 y＝(x＋1)2＋a－1 在[1，＋∞)上是增函数，从而 ymin＝3＋a. 于是当且仅当 ymin＝3＋a＞0，即 a>－3 时，f(x)>0 对 x∈
[1，＋∞)恒成立，故实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)．
方法二：f(x)>0 对x∈[1，＋∞)恒成立?x2＋2x＋a>0 对x≥1恒成立?a>－x2－2x 对 x≥1 恒成立．令μ＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，其在[1，＋∞)上是减函数，
∴当 x＝1 时，μmax＝－3.因此 a>－3.
故实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)．【变式与拓展】 4．A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处的
D 地建一核电站给 A，B 两城供电．为保证城市安全，核电站
距城市距离不得少于 10 km.已知每个城市的供电费用和供电距
离的平方与供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25，若 A 城供电
量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月．(1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；
(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电费用最小．解：(1)由题意知，核电站距离 B 城的距离为(100－x) km，则
又 x≥10，且 100－x≥10，则有 10≤x≤90.
故 y 与 x 的函数关系式为
【例 4】 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值和最小值；(2)求使函数 y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数的 a 的取值范围．解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2 －2x＋2＝(x－1)2 ＋1，x∈－5，5 ，所以 f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.(2)函数 y＝f(x)的对称轴为 x＝－a，函数在区间[－5，5]上是单调函数，即－a≤－5 或－a≥5，解得 a≤－5 或 a≥5.[方法·规律·小结]1．函数的最值与其值域、单调性之间的关系．
(1)函数的最值与其值域的关系． 对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，
有的函数只有最大值而无最小值，如 y＝－x2；有的函数只有最
小值而无最大值，如 y＝x2；有的函数既无最大值也无最小值，(2)函数的最值与其单调性的关系．若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．2．二次函数在闭区间上的最值． 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 y
＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二
次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在
已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶
点处取得．3．分段函数的最大值与最小值． 函数的最大值与最小值是函数“整体”的性质．而对于分
段函数的最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大
者，其最小值是各段上最小值中的最小者．课件21张PPT。1.3.3函数的奇偶性(1)【学习目标】1．理解函数的奇偶性及其几何意义．
2．学会判断函数的奇偶性．3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．偶函数任意f(－x)＝f(x) 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内的______一个 x，都
有____________，那么函数 f(x)就叫做偶函数．0练习 1：若函数 f(x)＝ax2＋bx 是偶函数，则 b＝______.
解析：∵函数 f(x)＝ax2＋bx 是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．∴b＝0.2．奇函数任意f(－x)＝－f(x) 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内的________一个 x，
都有____________，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
练习 2：若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)＝2，则 f(－3)＝________，f(0)＝________.－20解析：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝－2，f(0)＝0.3．奇(偶)函数的基本性质
(1)对称性：奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于________对称．原点y 轴(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性______，偶函数在其对称区间上的单调性________．相同相反【问题探究】边的图象．图 1-3-3答案：图略．提示：该函数是偶函数，函数图象关于 y 轴对称．题型 1判断函数的奇偶性【例 1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；
解：(1)此函数的定义域为 R，∵f(－x)＝|－x|·[(－x)2＋1]＝
|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即 f(x)是偶函数．
(2)此函数的定义域为{x|x>0}，由于定义域关于原点不对
称，故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数的定义域为 R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(4)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (5)此函数的定义域为{1，－1}，且由 f(x)＝0，可知：其图
象既关于原点对称，又关于 y 轴对称，故此函数既是奇函数又
是偶函数．(6)显然定义域关于原点对称．
当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；
当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．∴此函数为奇函数．
(7)去掉绝对值符号，根据定义判断， 用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关
于原点对称)→验证 f(－x)＝±f(x)→下结论，还可以利用图象法【变式与拓展】D
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数题型 2利用函数的奇偶性求函数值【例 2】 (2013 年湖南)已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则 g(1)＝()A．4B．3C．2D．1 解析：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得－f(1)＋g(1)＝
2①，f(1)＋g(1)＝4②，由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.故选 B.
答案：B【变式与拓展】
2．(2013 年山东)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x＞0 时，DA．2B．1C．0D．－2解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.题型 3利用函数的奇偶性求函数解析式【例 3】 f(x)为偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0时，有()A．f(x)≤2
C．f(x)≤－2B．f(x)≥2
D．f(x)∈R思维突破：利用偶函数图象的对称性分析．f(x)的大致图象如图 1-3-4，易知当 x≤0 时，有 f(x)≥2. 图 1-3-4
答案：B利用偶函数的对称性，可根据函数图象在 y 轴一侧的情况得到 y 轴另一侧的情况． 【变式与拓展】
3．(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上
的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2，则当 x>0 时，f(x)的解析式为______________．f(x)＝－x3－x24．若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝ex，则 g(x)＝()D 易错分析：对定义域内任意的 x，都有 f(－x)＝f(x)，f(－x)
＝－f(x)，其成立的前提条件是：函数的定义域关于原点对称，
这是函数具备奇偶性的必要条件．－1 即函数的定义域是{x|－1称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．[方法·规律·小结]1．利用定义判断函数奇偶性的步骤．
(1)求函数 f(x)的定义域； (2)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原
点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点
对称，则进行下一步；(3)结合函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式；
(4)求 f(－x)的表达式；(5)根据 f(－x)与 f(x)之间的关系，判断函数 f(x)的奇偶性：
①若 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)是奇函数；
②若 f(－x)＝f(x)，则 f(x)是偶函数；③若 f(－x)≠±f(x)，则 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；
④若 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数．2．具备奇偶性的函数图象的性质． (1)奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于 y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．(3)如果奇函数的图象与 y 轴有交点，那么交点一定是原点．课件20张PPT。1.3.4函数的奇偶性(2)【学习目标】1．掌握函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性)．
2．能应用函数的基本性质解决一些问题．
3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．练习 1：下列结论正确的是()BA．偶函数的图象一定与 y 轴相交
B．若奇函数 y＝f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0
C．定义域为 R 的增函数一定是奇函数
D．图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数
练习 2：如果定义在区间[3－a,5]上的函数 f(x)为奇函数，那么 a＝__________.8练习 3：设 f(x) 是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当x＞0 时，f(x)＝x2＋1，则 f(－2)＝__________.－5 练习 4：已知当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1－x)．若 f(x)为
奇函数，则当 x∈(－∞， 0)时，f(x)＝__________；若 f(x)为偶
函数，则当 x∈(－∞， 0)时，f(x)＝__________.
x(1＋x)－x(1＋x)【问题探究】已知 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，判断 f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．
答案：f(x)在(－∞，0)上单调递增．
证明：设任意的 x1，x2，且0－f(x2) ＋f(x1) ＝f(x1) －f(x2)<0，即f( －x2)(－∞，0)上是单调递增．题型 1函数奇偶性与单调性的关系 【例 1】 已知 f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，
判断 f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并加以证明．
解：由偶函数的图象特征，可知：f(x)在(－∞，0)上是增函
数．用单调性定义证明如下：
设任意的 x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1)∴f(x1)(－∞，0)上是增函数，试讨论函数 f(x)在(0，＋∞)上的增减性，
并证明你的结论．解：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
证明：任取 x1，x2 使 x2>x1>0，则－x2<－x1<0.由于 f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴f(－x2)∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，
∴－f(x2)<－f(x1)，∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上也是增函数．题型 2函数奇偶性与单调性的应用 【例 2 】 (2014 年广东二模) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在
(0，＋∞)上是增函数，且 f ＝0，则不等式 xf(x)>0 的解集是() 思维突破：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等
式进行转化，即可得到不等式的解集．
∴函数f(x)的草图如图D13. 图 D13
答案：C【变式与拓展】
2．若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(－∞，0)上是减)函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)＜0 的 x 的取值范围是(
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)D题型 3抽象函数的奇偶性与单调性 【例 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(－∞，
0)上是增函数．
(1)判断函数 f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)若 f(2a2＋a＋1) 思维突破：这是抽象函数问题．欲要脱掉函数符号“f ”，必
须应用函数的单调性．解：(1)函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
证明如下：
设任意 0∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴f(－x2)又∵f(x)为偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，
∴f(x2)且 f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋1，
解得 3a>0，即 a>0.故实数 a 的取值范围是(0，＋∞)． 本题以抽象函数为载体，综合考查函数的奇偶性
与单调性的关系，以及利用函数的单调性解不等式的能力．判断
出 2a2＋a＋1>0,2a2－2a＋1>0，对本题的解答起到关键作用． 【变式与拓展】
3．已知函数 f(x)为奇函数，且在(－2,2)上单调递增，且有
f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，求 a 的取值范围．
解：因为函数 f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)．
由 f(2＋a)＋f(1－2a)＞0，得 f(2＋a)＞－f(1－2a)．
即 f(2＋a)＞f(2a－1)．
又因为 f(x)在(－2,2)上单调递增，【例 4】 已知当 x>0 时，函数 f(x)＝x2－2x－1.
(1)若 f(x)为 R 上的奇函数，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)为 R 上的偶函数，能确定 f(x)的解析式吗？请说明理由．解：(1)当 x>0 时，f(x)＝x2－2x－1.
设 x<0，则－x>0，有 f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，即当 x<0 时，f(x)＝－x2－2x＋1；
当 x＝0 时，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，
即 2f(0)＝0，f(0)＝0.
(2)若 f(x)为 R 上的偶函数，不能确定 f(x)的解析式，因为
不知 f(0)的表达式．[方法·规律·小结]
1．把函数 f(x)(x∈R)写成一个偶函数与一个奇函数之和的形式 f(x)＝f(x)＋f(－x)
2＋f(x)－f(－x)
2，其中，f(x)＋f(－x)
2是偶函数，f(x)－f(－x)
2是奇函数．以上代数式说明：任意的函数都可写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式． 2．函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考
的内容，而且函数的单调性仍将是高考考查的重点，在题型所
占比例上有上升趋势．若函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇
函数，则 f(x)在(－∞，0)与 f(x)在(0，＋∞)上的单调性相同；若
函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，则 f(x)在(－∞，0)
与 f(x)在(0，＋∞)上的单调性相反．课件27张PPT。1.3.5二次函数性质的再研究 【学习目标】1．理解二次函数的图象特征及其解析式．
2．探讨二次函数的性质．二次函数的系数
已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 1-3-5 所示．
图 1-3-5
确定符号：a______，b______，c______，b2－4ac______.<0>0>0>0练习 1：若 y＝x2＋ax＋b 在[0,1]上的最大值为 1，最小值为0，且 a≤－2，则 a＝________，b＝________.－21最小值为________．－8x＝－2练习 3：二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象如图 1-3-6，那么|OA|·|OB|＝()
图 1-3-6B练习 4：二次函数 y＝(k＋1)x2－2(k－1)x＋3(k－1)的图象的)顶点在 x 轴上，则 k＝(
A．1
C．1 或－1
B．－2
D．1 或－2D【问题探究】1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 在什么情况下是偶函数？可以是奇函数吗？答案：当 b＝0 时为偶函数；不可能是奇函数． 2．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的单调性是由哪些要素来确
定的？试写出其单调区间．
答案：二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的单调性由开口方向和对
称轴确定的．题型 1求二次函数的值域【例 1】 根据函数单调性求出下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋4x－1，x∈[－4，－3]；
(2)f(x)＝－2x2－x＋4，x∈[－3，－1]；
(3)f(x)＝2x2－4x－1，x∈(－1,3)；
解：(1)f(x)＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，
在[－4，－3]上单调递减，y∈[－4，－1]．在 x∈[－3，－1]上单调递增，y∈[－11,3]．
(3)f(x)＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3，
x∈(－1,3)，当 x＝1 时，取得最小值为－3，
又∵f(－1)＝5，f(3)＝5，∴y∈[－3,5)． 求二次函数在某个区间的最值，最容易出现的
错误是直接代两头(将两端点代入)，当然这样做，有时答案也
对，那是因为在该区间函数刚好单调，这纯属巧合．求二次函
数在某个区间的最值时，应先配方，找到对称轴和顶点，再结
合图形进行求解．【变式与拓展】解：二次函数 y＝3－2x－x2 的对称轴为
画出函数的图象，由图 D21，可知：当 x＝－1 时，ymax＝4.图D21题型 2轴定区间动问题的分类讨论 【例 2】 设函数 f(x)＝x2－2x－2(其中 x∈[t，t＋1]，t∈R)
的最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式．
解：f(x)＝x2－2x－2＝(x－1)2－3，
当 t＋1≤1，即 t≤0 时，由图 D14 可知：截取减区间上的
一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2－3.
图 D14 当 1D15，g(t)＝f(1)＝－3.
当 t＋1>2，即 t>1 时，截取增区间上的一段，如图 D16，
g(t)＝f(t)＝t2－2t－2.图 D15图 D16 这是一道与二次函数有关的含参数的问题，本
例的二次函数的对称轴固定，而区间不固定，因此需要讨论该
区间相对于对称轴的位置关系．【变式与拓展】
2．二次函数 y＝－2x2＋x＋1，定义域为[t，t＋1](t 为可变常数)，下列命题中错误的是()A题型 3 区间定轴动问题的分类讨论【例 3】 求函数 f(x)＝x2－2ax－1 在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1.∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为 x＝a 的抛物线．
当 a<0 时(如图 D17)，f(x)的最大值为 f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为 f(0)＝－1.图 D17 当 0≤a≤1 时(如图D18)，f(x)的最大值为 f(2)＝3－4a，f(x)
的最小值为 f(a)＝－a2－1.图 D18图 D19 当 1最小值为 f(a)＝－a2－1.当 a≥2 时(如图 D20)，f(x)的最大值为 f(0)＝－1，f(x)的最小值为 f(2)＝3－4a.图 D20 本例是与二次函数有关的含参数的问题，本例
的二次函数是区间固定，对称轴变化，因此要讨论对称轴相对
于该区间的位置关系，例 2 和例 3 是二次函数中分类讨论中的
最基本的两种题型，应引起足够的重视．【变式与拓展】
3．已知函数 f(x)＝－x2＋kx 在[1,3]上是单调函数，则实数k 的取值范围为____________．k≤2 或 k≥6 【例 4】 已知函数 f(x)＝x2＋ax＋3－a，若当 x∈[－2,2]时，
f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
易错分析：对二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，当 x∈R，
f(x)≥0 恒成立时，有Δ≤0.
片面理解为当 ax2＋bx＋c≥0(a>0)，x∈[－2,2]恒成立时， 这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误．在二次
函数最值问题中，“轴变区间定问题”要对对称轴进行分类讨
论，“轴定区间变问题”要对区间进行分类讨论． 解：设 f(x)的最小值为 g(a)．
又 a＜－4，故－7≤a＜－4.
综上所述，实数 a 的取值范围为－7≤a≤2.[方法·规律·小结]1．二次函数的解析式有三种形式．
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n (a≠0)，其中，顶点为(m，n)．
(3)两根式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标．3．二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关，因此，其单调性的判断通常用数形结合法．4．与二次函数有关的不等式恒成立问题要注意二次项系数为零的特殊情形．课件19张PPT。1.3.6一元二次不等式【学习目标】1．通过二次函数的图象理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系．2．能解一元二次不等式．练习1：不等式2x2－3x－2＞0的解集是_________________．
练习2：不等式4x2－4x＋1＞0的解集是_________________．
练习3：不等式4x2＋4x＋1＜0的解集是_________________．
练习4：不等式x2－3x＋5＞0的解集是__________________．
练习5：不等式－3x2＋6x＞2的解集是__________________．
练习6：不等式－x2＋2x－3＞0的解集是________________．?R?【问题探究】 已知二次函数 y＝x2－2x－3，当自变量 x 为何值时，函数
值 y＝0？当自变量 x 在什么范围时，函数值 y>0？当自变量 x
在什么范围时，函数值 y<0？进一步思考二次函数 y＝x2－2x－
3 、一元二次方程 x2 －2x －3 ＝0 及一元二次不等式 x2 －2x －
3>0(<0)的内在联系． 答案：当 x＝－1 或 x＝3 时，y＝0；当 x>3 或 x<－1 时，
y>0；当－1于二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与 x 轴交点的横坐标的集合．
一元二次不等式 x2－2x－3>0 的解相当于二次函数 y＝x2－2x－
3 的图象在 x 轴上方的横坐标的集合．题型 1一元二次不等式的解法 【例 1 】 (1)(2013 年广东) 不等式 x2 ＋x －2<0 的解集为
__________．
解析：x2＋x－2<0?(x＋2)(x－1)<0?－2解集为{x|－2 答案：{x|－21 或 x<0}
解一元二次不等式的步骤：①先对不等式变
形，使不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②计算相
应的判别式；③求出相应方程的根，或者判定相应的方程无根；
④结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．【变式与拓展】(－3,2) 解析：由函数解析式，可知：6－x－x2>0，即 x2＋x－6<0，
故－30.
思维突破：比较根的大小确定解集．
解：∵x2－(3＋a)x＋3a>0，∴(x－3)(x－a)>0.
①当 a<3 时，x3，不等式的解集为{x|x3};
②当 a＝3 时，不等式为(x－3)2>0，解集为{x|x∈R，且 x≠3}；
③当 a>3 时，x<3 或 x>a，不等式的解集为{x|x<3 或 x>a}．解含参数的有理不等式时，一般分以下几种情况进行讨论：①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；
②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；
③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x12．解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：原不等式可以化为(ax－1)(x－1)<0.
①当 a＝0 时，x>1；
题型 3一元二次不等式的应用 (1)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，求实数 a 的取
值范围；
(2)若对任意 a∈[－1,1]，f(x)>4 恒成立，求实数 x 的取值范围．解：(1)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，即x2＋2x＋a
x>0，x∈[1，＋∞)恒成立， 亦即 x2＋2x＋a>0，x∈[1，＋∞)恒成立，
即 a>－x2－2x，x∈[1，＋∞)恒成立，
即 a>(－x2－2x)max，x∈[1，＋∞)．
而(－x2－2x)max＝－3，x∈[1，＋∞)，∴a>－3.
∴对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，实数 a 的取值范围
为{a|a>－3}．(2)∵当 a∈[－1,1]时，f(x)>4 恒成立，∴x2－2x＋a>0 对 a∈[－1,1]恒成立．
把 g(a)＝a＋(x2－2x)看成 a 的一次函数，
则使 g(a)>0 对 a∈[－1,1]恒成立的条件是 在含有多个变量的数学问题中，选准“主元”
往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，使函数关
系更加清晰明确．一般地，以已知存在范围的量为变量，而待
求范围的量为参数．如在(1)中，x 为变量(关于 x 的二次函数)，
a 为参数；在(2)中，a 为变量(关于 a 的一次函数)，x 为参数．【变式与拓展】a＋b 的值是()DA．10B．－10C．14D．－14
易错分析：在求函数单调性的过程中，虽然注意到复合函
数单调性的研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数
的定义域内进行讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题
的错误．答案：[－5，－2][方法·规律·小结]1．当 a＞0 时，一元二次不等式 ax2 ＋bx＋c＞0 与 ax2 ＋bx＋c＜0 的解集，可归纳为以下几种情况： ①若Δ＞0，此时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点，
即方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1＜x2)，那
么不等式 ax2 ＋bx＋c＞0 的解集是{x|x＜x1 或 x＞x2}，不等式
ax2＋bx＋c＜0 的解集是{x|x1＜x＜x2}．
③若Δ＜0，此时抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点，即方
程 ax2＋bx＋c＝0 无实数根．那么不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集
是 R，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是?.
2．若 a＜0，可以先将二次项系数化成正数，对照上述①
②③情况求解即可．课件25张PPT。章末整合提升专题一数形结合思想在函数中的应用 数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，具有直观性、
灵活性和深刻性的特点，并跨越各学科界限，有较强的综合性，
加强这方面的学习和训练，对巩固数学知识、打好基础、提高
能力有重要作用．【例 1】 用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小值，若函数t 的值为()图 1-1A．－2B．2C．－1D．1思维突破：由图形可以看出，要使图象关于x＝－ 对称，则 t＝1.答案：D 数形结合的实质是“以形助数”或“以数解
形”，运用数形结合思想解题，不仅直观且易于寻找解题途径，
更可以避免繁杂的计算和推理． 【互动与探究】
1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价
格曲线 y＝f(x)，一种是平均价格曲线 y＝g(x)，如 f(2)＝3 表示
开始交易后 2 小时的即时价格为 3 元，g(2)＝4 表示开始交易后
2 小时内所有成交股票的平均价格为 4 元，下面所给出的四个
图象中，实线表示 y＝f(x)，虚线表示 y＝g(x)，其中可能正确的是()ABCD解析：f(0)与 g(0)应该相等，故排除 A，B 中开始交易的平均价格高于即时价格，D 中恰好相反．故选 C.答案：C 2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假
定为直线)行驶．甲车和乙车的速度曲线分别为 v 甲和 v 乙(如图
1-2)．那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在 t1 时刻，甲车在乙车的前面
B．t1 时刻后，甲车在乙车的后面
C．在 t0 时刻，两车的位置相同D．t0 时刻后，乙车在甲车的前面图 1-2 解析：由图象可知：曲线 v甲比 v乙在 0～t0，0～t1 与x 轴所
围成图形面积大，则在t0 和t1 时刻，甲车均在乙车前面．故选A.
答案：A专题二分类讨论思想在函数中的应用 解分类讨论问题时，以下几点要予以足够重视：
(1)做到分类讨论不重复、不遗漏．
(2)克服分类讨论中的主观性和盲目性．
(3)注意掌握好基础知识、基本方法，这是解分类讨论问题
的前提条件． 【例 2】 已知二次函数 f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数 q 的取值范围；
(2)是否存在常数 t(t≥0)，当 x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间
D，且区间 D 的长度为 12－t(视区间[a，b]的长度为 b－a)．
解：(1)∵f(x)＝x2－16x＋q＋3 的对称轴是 x＝8，
∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有：f(1)≤0，
f(－1)≥0，即1－16＋q＋3≤0，
1＋16＋q＋3≥0，∴－20≤q≤12. (2)当 0≤t<10 时，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间(8,10]
上是增函数，且对称轴是 x＝8.
①当 0≤t≤6 时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)－f(8)＝12－t，即 t2－15t＋52＝0.②当 6∴f(10)－f(8)＝12－t，解得 t＝8.
∴f(10)－f(t)＝12－t，即 t2－17t＋72＝0.
解得 t＝8 或 t＝9，∴t＝9. “区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区
间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型．本例中的
二次函数是对称轴固定，而区间不固定，因此需要讨论该区间
相对于对称轴的位置关系，即分情况讨论．③当 8∵对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．取 x＝±1，得 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设 2≤x1＜x2， 要使函数 f(x) 在 x ∈[2 ，＋∞) 上为增函数，必须 f(x1) －
f(x2)＜0 恒成立．
∵x1－x2＜0，∴a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．
又∵x1＋x2＞4，x1x2＞4，
∴x1x2(x1＋x2)＞16.
∴a 的取值范围是(－∞，16]．专题三函数的实际应用 【例 3】 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价
格调控等手段以达到节约用水的目的，某市用水收费标准是：
水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费
9 元和每户每月定额损耗费 a 元；
②若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损
耗费外，超过部分每立方米付 n 元的超额费；
③每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元．(1)求每户每月水费 y(单位：元)与用水量 x(单位：立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量 ，并求 m，n，a 的值．解：(1)依题意，得 (2)∵0≤a≤5，∴9<9＋a≤14.
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元，故用水量
4 立方米，5 立方米都大于最低限量 m 立方米．两式相减，得 n＝6.
代入 17＝9＋n(4－m)＋a，得 a＝6m－16.
又三月份用水量为 2.5 立方米，得 a＝6m－13，
这与 a＝6m－16 矛盾． ∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量 2.5 平方米没有超最低
限量．【互动与探究】 4．某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场．如
图 1-3，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD，BC 为直径
的两个半圆组成．跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑
道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为 150
元，草皮每平方米造价为 30 元．(1)设半圆的半径 OA＝r(单位：米)，试建立塑胶跑道面积 S与 r 的函数关系 S(r)； (2)由于条件限制 r∈[30,40]，问当 r 取何值时，运动场的造
价最低(精确到整数)?
图 1-3
解：(1)塑胶跑道面积为(2)设运动场的造价为 y 元，∴当 r∈[30,40]时，函数 y 单调递减．
上为减函数．
∴当 r＝40 时，ymin≈636 461.
即运动场的造价最低为636 461元．第一章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．设全集U＝R，下列集合运算结果为R的是( )
A．Z∪?UN B．N∩?UN
C．?U(?U?) D．?U{0}
2．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[3,7]
B．(－∞，3]∪[7，＋∞)
C．[7，＋∞)
D．(－∞，3]
3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则图1-1中的阴影部分所表示的集合是( )
图1-1
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|14．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
A B
C D
5．函数f(x)＝则f(2)＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－4x＋1
7．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋，则f(－1)＝( )
A．2 B．1 C．0 D．－2
8．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式xf(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－∞，－4)∪(－1,0)
D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)
9．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝( )
A．－1 B．1 C．－0.5 D．0.5
10．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图1-2，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y＝f(x)的图象是( )
图1-2
A B
C D
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝__________.
12．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x2－x，则当x≥0时，f(x)的解析式为____________．
13．已知集合A＝{x|x2＋5x＋6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则实数m的值组成的集合为____________．
14．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，对于系数a，b，c，则有如下结论：
①a<0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0.其中正确的结论的序号是____________．
三、解答题(共80分)
15．(12分)已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2分别求?R(A∩B)，(?RB)∪A.
16．(12分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a17．(14分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的解析式．
18．(14分)设f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b的图象关于y轴对称，定义域为[a－1,2a]，求f(x)的值域．
19．(14分)对于定义域为R的函数f(x)＝(a为常数)，回答下列问题：
(1)若f(1)＝，求a的值；
(2)当a取由(1)所确定的值时，求y＝f(x)的值域．
20．(14分)已知函数f(x)＝xm－，且f(4)＝.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
检测部分
第一章自主检测
1．A 解析：∵全集U＝R，∴Z∪?UN＝R，N∩?UN＝?，?U(?U?)＝?，?U{0}＝{x∈R|x≠0}．
2．A 解析：由解得3≤x≤7.故选A.
3．C
4．B 解析：依定义知，C中图象不是函数图象，A中定义域不是M＝{x|－2≤x≤2}，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．故选B.
5．A 解析：f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝－1.故选A.
6．B
7．D 解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
8．D 解析：由已知条件通过f(x)(x∈R)的草图得知：函数f(x)(x∈R)的值在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．
9．C 解析：方法一：f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
方法二：f(7.5)＝－f(－7.5)＝f(－5.5)＝－f(－3.5)＝f(－1.5)＝－f(0.5)＝－0.5.故选C.
10．A 解析：∵2xy＝20，∴y＝，x∈[2,10]．故选A.
11．10
12．f(x)＝－x2－x 解析：令x≥0， 则－x≤0, f(－x)＝x2＋x.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－ f(－x)＝－x2－x.
13. 解析：根据题意，可知：A＝{－2，－3}．由A∪B＝A，得B?A，故分B＝{－2}或{－3}或?三种情况讨论，解得m＝.
14．①②③④ 解析：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，a<0；
∵－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴－＋2＝－>0，∴b>0.f(0)＝c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，f(1)＝a＋b＋c>0.
故正确答案为 ①②③④.
15．解：∵A∩B＝{x|3≤x<6}，
∴?R(A∩B)＝{x|x<3或x≥6}．
∵?RB＝{x|x≤2或x≥9}，
∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
16．证明：设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f[g(x1)]∴f[g(x)]在(a，b)上也是增函数．
17．解：(1)如图D34.
图D34
(2)当x<0时，f(x)＝－f(－x)
＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
∴f(x)＝
18．解：f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b的图象关于y轴对称，
则f(x)是偶函数，即b＝0.
又因为定义域关于原点对称，则a－1＝－2a，解得a＝.
所以f(x)＝x2＋1.
当x∈时，f(x)∈.
所以函数y＝f(x)的值域是.
19．解：(1)由f(1)＝，得＝，∴a＝3.
(2)当a＝3时，所给函数变为y＝，定义域为R.
由解析式，得yx2－4x＋(y＋3)＝0.
当y＝0时，x＝∈R，∴y＝0属于函数的值域．
当y≠0时，若方程有实数解，则Δ＝16－4y2－12y≥0，
解得－4≤y≤1(y≠0)．
故函数y＝的值域为{y|－4≤y≤1}．
20．解：(1)因为f(4)＝，所以4m－＝，解得m＝1.
(2)因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝(－x)－＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．证明如下：
设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2).
因为x1>x2>0，所以x1－x2>0,1＋>0.
所以f(x1)>f(x2)．
因此，f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．
第一章 集合与函数概念
1．1 集合
1．1.1 集合的含义与表示
1．下列集合的表示方法正确的是( )
A．{1,2,3,3，}
B．{全体有理数}
C．0＝{0}
D．不等式x－3>2的解集是{x|x>5}
2．下列元素与集合的关系中，表示正确的有( )
①2∈R； ②?Q； ③|－5|?N*；
④|－|∈Q； ⑤0∈{0}．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2014年广东广州一模改编)已知集合A＝，用列举法表示集合A中的元素( )
A. B.
C. D.
4．已知集合M＝{1,2，x2}，则x满足( )
A．x≠1且x≠
B．x≠±1
C．x≠±
D．x≠±1且x≠±
5．下列说法正确的是( )
A．若a∈N，b∈N，则a－b∈N
B．若x∈N*，则x∈R
C．若x∈R，则x∈N*
D．若x≤0，则x?N
6．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．已知集合A＝{1,3，a2}，若3a－2∈A，求实数a的取值集合．
8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( )
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
9．已知集合M＝与集合N＝{0，x2，x＋y}表示同一个集合，则实数x2015＋y2014＝________.
10．用列举法表示下列集合：
(1)C＝{x∈N|y＝－x2＋6，y∈N}；
(2)D＝{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}；
(3)E＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋6}．
1.1.2 集合间的基本关系
1．用适当的符号填空：
(1)a________{a，b}；
(2){－0.1,0.1}________{x|x2＝0.01}；
(3){围棋，武术}________{2010年广州亚运会新增设中国传统项目}；
(4)?________{?}．
2．(2014年福建漳州二模)下面四个集合中，表示空集的是( )
A．{0}
B．{x|x2＋1＝0，x∈R}
C．{x|x2－1＞0，x∈R}
D．{(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R}
3．已知集合A，B之间的关系用Venn图可以表示为图K1-1-1，则下列说法正确的是( )
图K1-1-1
A．A＝{2} B．B＝{－1,2}
C．A?B D．B＝A
4．以下五个式子中，
①{1}∈{0,1,2}；
②{1，－3}＝{－3,1}；
③{0,1,2}?{1,0,2}；
④?∈{0,1,2}；
⑤?∈{0}．
错误的个数为( )
A．5个 B．2个
C．3个 D．4个
5．(2012年广东广州二模)已知集合A满足A?{1,2}，则集合A的个数为( )
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
6．设A＝{x|－1a}，若AB，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}
C．{a|a>3} D．{a|a<－1}
7．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝________.
8．判断下列各组中集合A与B的关系：
(1)A＝{x|0(2)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0}．
9．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N?M，求实数a的值．
10．已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，B?A，求实数a的取值范围．
1.1.3 集合的基本运算(1)
1．(2013年福建)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．16个
2．设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)} D．(2,1)
4．若集合A＝{x|－2A．{x|－1C．{x|－25．(2012年福建)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N?M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}
6．设A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤6，x∈Q}，则A∩B＝( )
A．{1,4} B．{1,6}
C．{4,6} D．{1,4,6}
7．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}．若A∩B＝{3}，求实数a的值．
8．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数为( )
A．57个 B．56个
C．49个 D．8个
9．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈A∩B； (2){9}＝A∩B.
10．已知A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|x＞a}．
(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B≠?，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
1.1.4 集合的基本运算(2)
1．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则M∩(?UN)＝( )
A．{5} B．{0,3}
C．{0,2,5} D．{0,1,3,4,5}
2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，?UB∩A＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
3．已知全集U＝R，则能正确表示集合M＝{－1,0,1}和集合N＝{x|x2＋x＝0}间的关系的韦恩(Venn)图是( )
4．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则( )
A．M∪N＝U B．M∩N＝{4,6}
C．(?UN)∪M＝U D．(?UM)∩N＝N
5．(2011年全国)设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则?U(M∩N)＝( )
A．{1,2} B．{2,3} C．{2,4} D．{1,4}
6．设集合U＝{x∈N|0A．{1,2,4} B．{1,2,3,4,5,7}
C．{1,2} D．{1,2,4,5,6,8}
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}．求实数m的值．
8．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}．则?U(A∪B)＝________.
9．已知集合M＝{x|y＝}，N＝{x||x＋1|≤2}，且M，N都是全集I的子集，则图1-1-2的韦恩图中阴影部分表示的集合为( )
图1-1-2
A．{x|－≤x≤1} B．{x|－3≤x≤1}
C．{x|－3≤x<－} D．{x|110．向50名学生调查对事件A，B的态度，有如下结果：赞成事件A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成事件B的比赞成事件A的多3人，其余的不赞成；另外，对事件A，B都不赞成的学生人数比对事件A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人．问对事件A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念(1)
1．下列选项中，可作为函数y＝f(x)的图象的是( )
2．下列两个函数完全相同的是( )
A．y＝x0与y＝1 B．y＝()2与y＝x
C．y＝|x|与y＝x D．y＝与y＝x
3．下列式子中：
①y＝x，x∈{1,2,3}；②y＝±；③f(x)＝1；④y＝2±x2；⑤y＝.
其中表示y是x的函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设f(x)＝，则f(2)＝( )
A．1 B．－1 C. D．－
5．已知f(x)＝x2＋1，则f[f(－2)]＝( )
A．2 B．5
C．10 D．26
6．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )
A．y＝|x| B．y＝
C．y＝x0 D．y＝
7．下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)f(x)＝|x|，φ(b)＝；
(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝.
8．如果f(x)＝ax2－，a>0，且f[f()]＝－，那么a的值为________．
9．建造一个容积为8000立方米，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y(单位：元)表示为池底的一边长x(单位：米)的函数，则函数表达式为____________________．
10．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就减少5件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？最大利润是多少？
1.2.2 函数的概念(2)
1．函数y＝＋的值域是( )
A．{y|y≥0} B．{y|y>0}
C．{0} D．R
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}, 则其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
3．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
4．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]
C．[a，b] D．[－a，a＋b]
5．函数y＝2－的值域是( )
A．[－2,2] B．[1,2]
C．[0,2] D．[－，]
6．设f(x)＝的定义域为T，全集U＝R，则?UT＝( )
A．{x|x≤1或x≥2}
B．{1,2}
C．{－1,1,2}
D．{x|x<1或12}
7．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，求函数g(x)＝的定义域．
8．函数f(x)＝－的定义域是________．
9．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是____________．
10．求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝.
1.2.3 函数的表示法
1．函数y＝1－的图象是( )
2．某学生从家里到学校，因为怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，以纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则图中符合此学生走法的是( )
3．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
4．设f(x＋2)＝2x＋3，则f(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
5．已知f(x)＝(x≠±1)，则f(x)·f(－x)＝______.
6．已知f(x)与g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
4
f(x)
4
3
2
1
x
1
2
3
4
g(x)
3
1
4
2
那么f[g(3)]＝________.
7．已知f(x＋1)＝x2－1，求f(x)的表达式．
8．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f的值为________；满足f>g的x的值为________．
10．(1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的解析式；
(2)定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．
1.2.4 分段函数及映射
1．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，下列对应关系不能构成从集合A到集合B的映射的是( )
A．y＝2x B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝2x－1
2．设函数f(x)＝则f(2)的值为( )
A．4 B．－3 C. D．0
3．下列各个对应中，构成映射的是( )
A B
C D
4．设f(x)＝则f＝( )
A. B. C．－ D.
5．在函数f(x)＝中，若f(x)＝3，则x的值为( )
A. B．±
C．3 D．3－
6．设集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋y，xy)，则：
(1)(－2,3)在f作用下的象是__________；
(2)(2，－3)的原象是__________．
7．如图K1-2-1，根据函数f(x)的图象写出它的解析式．
图K1-2-1
8．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是__________．
9．某商场饮料促销，规定：一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只能整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x与所支付的费用y之间的函数关系式．
10．如图K1-2-2，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，作直线MN⊥AD交AD于点M，交折线ABCD于点N，设AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域．
图K1-2-2
1.3 函数的基本性质
1．3.1 函数的单调性
1．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)在(1，＋∞)上是增函数，则点(k，b)在直角坐标平面的( )
A．上半平面 B．下半平面
C．左半平面 D．右半平面
2．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，下列表述正确的是( )
A．f(x)在(－∞，1]上是减函数
B．f(x)在(－∞，1]上是增函数
C．f(x)在[－1，＋∞)上是减函数
D．f(x)在[－1，＋∞)上是增函数
3．下列函数在(0,2)上是增函数的是( )
A．y＝ B．y＝x2－2x＋1
C．y＝－x D．y＝2x
4．下列说法正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≥5 B．a≥3
C．a≤3 D．a≤－5
6．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图K1-3-1，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是( )
图K1-3-1
A．在[－1,1]上单调递减
B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增
C．在[5,7]上单调递减
D．在[3,5]上单调递增
7．用定义证明：函数f(x)＝ax＋b(a<0，a，b为常数)在R上是减函数．
8．函数y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx＋c在(－∞，0)上的单调性为__________．
9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＞f[8(x－2)]的解集是__________．
10．若函数f(x)＝，且f(1)＝3，f(2)＝.
(1)求a，b的值，并写出f(x)的表达式；
(2)求证：f(x)在上是增函数．
1.3.2 函数的最值
1．y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )
A．1， B.，1
C.， D.，
2．函数f(x)的图象如图K1-3-2，则其最大值、最小值分别为( )
图K1-3-2
A．f，f B．f(0)，f
C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
4．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则a的取值范围是( )
A．a<1 B．a≤1
C．a>1 D．a≥1
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
6．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
7．函数y＝|x2－2x－3|的增区间为_________________________．
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__________．
9．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a＞0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a，b的值．
10．求函数y＝在区间[2,4]上的最大值和最小值．
1.3.3 函数的奇偶性(1)
1．下列说法正确的是( )
A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为奇函数
B．如果一个函数为偶函数，那么它的定义域关于坐标原点对称
C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数
D．如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为奇函数
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝－|x| B．y＝x
C．y＝(x－1)2 D．y＝|x－1|
3．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D.＝－1
4．函数f(x)＝－x(x≠0)的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
6．(2011年安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝6，x∈R；
(2)f(x)＝2x2＋7，x∈[－5,4]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|，x∈R；
(4)f(x)＝
8．(2014年浙江模拟)若函数f(x)＝(a∈R)是奇函数，则a的值为( )
A．1 B．0 C．－1 D．±1
9．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，求f(x)的解析式．
10．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(1)＝2.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性．
1.3.4 函数的奇偶性(2)
1．下列函数中是偶函数的是( )
A．f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2)
B．f(x)＝|3x－1|－|3x＋1|
C．f(x)＝－x2＋1，x∈(－2，＋∞)
D．f(x)＝x4
2．已知f(x)在R上是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(－1)＝( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
3．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们有相同的定义域，且f(x)＋g(x)＝，则( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
4．(2011年广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B. C. D．1
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．
7．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(2a2＋a＋1)8．y＝f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(2)＝6，则当x≥0时，f(x)的解析式为________________________________________________________________________．
9．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，求此函数的解析式f(x)．
10．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
1.3.5 二次函数性质的再研究
1．二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是__________，最小值是__________，单调递增区间是______________，单调递减区间是______________．
2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若f(x1)＝f(x2)(其中x1≠x2)，则f＝( )
A．－ B．－ C．c D.
3．二次函数y＝2x2＋4x－1的定义域为[0,2]，最小值记作m，最大值记作M，则有( )
A．m＝－3，M＝15 B．m＝－1，M＝15
C．m＝－3，M不存在 D．m＝－1，M＝17
4．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图象的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．抛物线的顶点为(0，－1)，在x轴上截取的线段长为4，对称轴为y轴，则抛物线的解析式是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16
6．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么( )
A．f(－2)B．f(5)C．f(3)D．f(3)7．已知函数f(x)＝ax2＋2(a＋4)x＋2 (a<0)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．
8．若函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是__________．
9．设函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝__________.
10．已知函数f( x )＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在闭区间[0,2]上的最小值为3，求实数a的取值范围．
1.3.6 一元二次不等式
1．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠?，则m＝( )
A．1 B．2
C．1或 D．1或2
2．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|x＜－2} B．{x|x＞3}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
3．不等式<3的解集为( )
A．(0,2) B．(－4,2)
C．(－4,0) D．(－4，－2)
4．函数y＝的值域是( )
A.∪
B.∪
C.
D.
5．函数y＝的值域是( )
A．y∈R
B．{y|y≠1，y∈R}
C.
D．{y|y≠0，y∈R}
6．如果函数f(x)＝(a－3)x2＋(a－3)x＋1的图象在x轴的上方(不含在x轴上)，那么实数a的取值范围是( )
A．(3,7)
B．[3,7]
C．[3, 7)
D.
7．已知函数f(x)＝求不等式f(x)≥x2的解集．
8．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则实数a的取值范围是__________．
9．不等式≤3的解集为________________________．
10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＝0的两实根一个大于－3，另一个小于－3，求实数a的取值范围；
(2)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求函数f(x)的解析式．
参考答案
课时作业部分
第一章 集合与函数概念
1．1 集合
1．1.1 集合的含义与表示
1．D
2．C 解析：由R，Q，N*的含义，可知：①②正确，③④不正确；又{0}表示元素为0的集合，故⑤正确．故选C.
3．C 解析：要使为整数，故2－x必是3的约数．∴2－x＝－3，－1,1,3，∴x＝5,3,1，－1.故选C.
4．D 5.B
6．D 解析：∵集合中的元素具有互异性，∴a，b，c互不相等．
7．解：由3a－2＝1，解得a＝1，此时a2＝1，集合A中有两个相同的元素，故a≠1；
由3a－2＝3，解得a＝，满足条件；
由3a－2＝a2，解得a＝1(舍去)或a＝2，满足条件．
故所求实数a的取值集合为.
8．B
9．－1 解析：由或解得或
经检验，符合题意，不合题意，舍去．
∴x2015＋y2014＝－1.
10．解：(1)由y＝－x2＋6，x∈N，y∈N知，当x＝0,1,2时，y＝6,5,2符合题意．
∴C＝{0,1,2}．
(2)由y＝－x2＋6，x∈N，y∈N知，y≤6，当x＝0,1,2时，y＝6,5,2符合题意．
∴D＝{2,5,6}．
(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则有
∴E＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
1．1.2 集合间的基本关系
1．(1)∈ (2)＝ (3) (4)∈或
2．B
3．B 解析：由Venn图，可知：B?A，A＝{－1,2，}，B＝{－1,2}．故选B.
4．C 解析：①④⑤是集合与集合之间的关系，而使用了元素与集合间的关系符号，故错误；②符合集合相等的定义，故正确；③任何集合是自身的子集，故正确．故选C.
5．A
6．B 解析：在数轴上表示出集合A，则根据题意易知，B正确.
7．1
8．解：(1)将集合A，B在数轴上表示出来，如图D28.∴AB.
图D28
(2)A＝{(x，y)|xy>0}＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}，即集合A表示直角坐标系第一象限和第三象限的点，集合B表示直角坐标系第一象限的点，所以BA.
9．解：由x2＋x－6＝0?x＝2或x＝－3，
因此，M＝{2，－3}．
①当a＝2时，得N＝{2}，此时，NM；
②当a＝－3时，得N＝{2，－3}，此时，N＝M；
③当a≠2且a≠－3时，得N＝{2，a}，
此时，N不是M的子集．
故所求实数a的值为2或－3.
10．解：若B＝?，有a＋1>2a－1，即a<2；
若B≠?，有解得2≤a≤3.
综上所述，实数a的取值范围是a≤3.
1．1.3 集合的基本运算(1)
1．C 2.B
3．C 解析：解方程组得因为集合为点集，所以选C.
4．C 解析：∵A＝{x|－25．D 6.D
7．解：∵A∩B＝{3}，∴3∈B，∴a＋2＝3或a2＋4＝3(舍去)，∴a＝1.
8．B 解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6的子集有23＝8个，所以集合S共有56个．故选B.
9．解：(1)∵9∈A∩B，∴9∈B且9∈A.
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意；
当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不合题意；
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，符合题意．
综上所述，a＝－3或a＝5.
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B.
由(1)，得a＝－3或a＝5.但当a＝5时，A∩B＝{－4,9}≠{9}，故a＝5舍去，∴a＝－3.
10．解：(1)如图D29，在数轴上，实数a在－3的右边，可得a≥－3.
图D29
(2)由于A∩B≠?，且A∩B≠A，
所以在数轴上，实数a在－3的右边且在5的左边，
所以－3≤a＜5.
1．1.4 集合的基本运算(2)
1．B 解析：∵U＝{0,1,2,3,4,5}，∴?UN＝{0,2,3}．∴M∩(?UN)＝{0,3}．
2．D 解析：∵A∩B＝{3}，∴3∈A.∵?UB∩A＝{9}，∴9∈A.故选D.
3．B 解析：由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，得NM.故选B.
4．A 解析：∵M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U，M∩N＝{4,5}，(?UN)∪M＝{3,4,5,7}，(?UM)∩N＝{2,6}．故选A.
5．D 解析：∵M∩N＝{2,3}，∴?U(M∩N)＝{1,4}．
6．A
7．解：∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
代入方程x2＋mx＝0.∴m＝－3.
8．{2,4,8} 解析：U＝{n|n是小于9的正整数}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，
∴A∪B＝{1,3,5,6,7}．∴?U(A∪B)＝{2,4,8}．
9．C
10．解：赞成事件A的人数为50×＝30(人)，赞成事件B的人数为30＋3＝33(人)，如图D30.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对事件A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成事件A而不赞成事件B的人数为30－x，赞成事件B而不赞成事件A的人数为33－x.依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋＝50，解得x＝21.
所以对事件A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．
图D30
1．2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念(1)
1．D 解析：对于A，B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x＝0时，有两个y的值相对应；对于D图，每个x都有唯一的y值与之对应．故选D.
2．D 解析：A，B中定义域不同，C中对应关系不同．
3．C 解析：根据函数的定义知①③⑤均表示y是x的函数，②④不表示y是x的函数．故选C.
4．C
5．D 解析：f(－2)＝5, f[f(－2)]＝f(5)＝26.
6．C
7．解：(1)因为φ(b)＝|b|，f(x)＝|x|，虽然自变量用不同的字母表示，但函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一个函数．
(2)y＝的定义域是全体实数，而y＝()2的定义域是非负数，所以它们不表示同一个函数．
(3)因为y＝·＝，所以它们表示同一个函数．
8. 解析：因为f()＝2a－，f[f()]＝a(2a－)2－＝－，所以a＝0或a＝.又因为a>0，所以a＝.
9．y＝12ax＋＋a(x>0) 解析：根据题意，得池底的另一边长为米，则y＝·6·2a＋6x·2a＋·x·2a＝12ax＋＋a(x>0)．
10．解：设每件x元出售，利润是y元．
y＝(x－8)[100－(x－10)×5]＝－5x2＋190x－1200＝－5(x－19)2＋605(x>10)，
故当x＝19，即每件定为19元时，最大利润为605元．
1．2.2 函数的概念(2)
1．C 解析：∵x≥0，－x≥0，∴x＝0，y＝0.
2．A 3.D 4.C 5.C 6.B
7．解：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2，但x≠1，故x∈[0,1)．
8．{－2,2} 解析：由得x2＝4，即x＝±2，∴函数定义域为{－2,2}．
9.≤m≤3 解析：∵y＝2－，
又∵值域为，
∴f＝－，∴∈[0，m]，即m≥.
∴f(x)max＝f(0)或f(x)max＝f(m)，
即解得0≤m≤3，∴≤m≤3.
10．解：(1)方法一：∵y＝＝＝3＋，
由于≠0，∴y≠3.
∴函数y＝的值域是{y|y∈R且y≠3}．
方法二：由y＝，得x＝，∴y≠3.
(2)∵y＝＝， 显然，y＝5＋4x－x2的最大值是9，
故函数y＝的最大值是3，且y≥0，∴函数的值域是[0,3]．
1．2.3 函数的表示法
1．B 2.D
3．B 解析：方法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3，∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
方法二：∵f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三：令x－1＝2，∴x＝3.∴f(2)＝32－3＝6.
4．B 5.1
6．1 解析：由表，可知：g(3)＝4，∴f[g(3)]＝f(4)＝1.
7．解：方法一：f(x＋1)＝x2－1
＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)．
可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t，故f(x)＝x2－2x.
(f对x实施的运算和对t实施的运算是完全一样的)
方法二：令x＋1＝t，则x＝t－1.
代入原式，有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t.
∴f(x)＝x2－2x.
8．－1 解析：∵f(a)＝＝2，∴a＝－1.
9．1 2
10．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(0)＝c＝1，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋(2ax＋a＋b)．
∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x，
∴即∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由
解得f(x)＝x＋1.
1．2.4 分段函数及映射
1．D 2.A 3.B 4.B
5．A 解析：当x≤－1时，x＋2≤1；当－10≤x2<4；当x≥2时，2x≥4.
∴f(x)＝3，即x2＝3，x＝±.
又∵－16．(1，－6) (－1,3)或(3，－1)
解析：(1)由题意，对应法则f应将(－2,3)变为(－2＋3，－2×3)，即(1，－6)．
(2)设(2，－3)的原象为(a，b)，则它在f作用下的象是(a＋b，ab)，故有a＋b＝2，且ab＝－3，解得a＝－1，b＝3或a＝3，b＝－1，故(2，－3)的原象是(－1,3)或(3，－1)．
7．解：当0≤x≤1时，f(x)＝2x.
当1∴f(x)＝
8．(－∞，1] 解析：由题意知，当x≥2－x，即x≥1时，f(x)＝2－x≤1；当x＜2－x，即x＜1时，f(x)＝x＜1.所以f(x)的值域为(－∞，1]．
9．解：由题意，可得y＝
10．解：作BH⊥AD，点H为垂足，CG⊥AD，点G为垂足，依题意，则有AH＝，AG＝，
①如图D31，当点M位于点H的左侧时，N∈AB，由于AM＝x，∠A＝45°，
图D31
∴MN＝x.∴y＝S△AMN＝x2.
②如图D32，当点M位于HG之间时，由于AM＝x，MN＝，BN＝x－.
图D32
∴y＝S直角梯形AMNB＝·＝x－.
③如图D33，当点M位于点G的右侧时，由于AM＝x，MN＝MD＝2a－x，
图D33
∴y＝S梯形ABCD－S△MDN＝·(2a＋a)－(2a－x)2＝－(4a2－4ax＋x2)
＝－x2＋2ax－.
综上所述，y＝
1．3 函数的基本性质
1．3.1 函数的单调性
1．D 2.B 3.D
4．A 解析：①没有体现任意性；②是先减后增；③在整个定义域内并不是增函数；④不能用并集符号，应改为和．
5．A 解析：本题作出函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2的图象，可知：此函数图象的对称轴是x＝a－1，由图象，可知：当a－1≥4，即当a≥5时，函数f(x)＝－x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4)上是增函数．
6．B
7．证明：设任意的x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝(ax1＋b)－(ax2＋b)＝a(x1－x2)．
∵x10，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝ax＋b(a<0)在R上为减函数．
8．单调递增 解析：由函数y＝ax和y＝在(0，＋∞)上都是减函数，得a<0，b>0，故－>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，在(－∞，0)上单调递增．
9.
10．(1)解：∵f(1)＝3，∴＝3. ①
又∵f(2)＝，∴＝. ②
由①，②解得a＝1，b＝1.
∴f(x)＝.
(2)证明：设任意x2>x1≥1，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
∵x1≥1，x2＞1，∴2x1x2－1＞0, x1x2＞0.
又∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
∴f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)>f(x1)．
故函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．
1．3.2 函数的最值
1．A 2.B
3．A 解析：本题为分段函数的最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10；当－1≤x<1时，6≤x＋7<8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
4．A
5．C 解析：设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，则公司获得利润
L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．故选C.
6．B 解析：∵1＋x2≥1，∴0<≤1.故选B.
7．[－1,1]和[3，＋∞)
8．(1,3] 解析：由题意知，f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴19．解：∵f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a＞0)的对称轴为x＝1，[1,3]是f(x)的递增区间，
∴f(x)max＝f(3)＝5，即3a－b＋3＝5.
∴f(x)min＝f(1)＝2，即－a－b＋3＝2.
∴得
故a＝，b＝.
10．解：设任意的x1，x2∈[2,4]，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝＝，
因为x1，x2∈[2,4]，所以(1－x1)·(1－x2)>0.
又因为x1所以f(x1)－f(x2)＝<0，
所以f(x1)所以函数y＝在区间[2,4]上单调递增，
则ymin＝＝－1，ymax＝＝－.
1．3.3 函数的奇偶性(1)
1．B 2.A 3.D
4．C 解析：∵f(－x)＝－＋x＝－f(x)(x≠0)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)关于原点对称．
5．C
6．A 解析：f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.故选A.
7．解：(1)∵f(－x)＝6＝f(x)，x∈R，
∴f(x)是偶函数．
(2)定义域x∈[－5,4]，则定义域不关于原点对称，
则f(x)是非奇非偶函数．
(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|
＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，
此时－x<0，∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，
f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝f(0)＝0.
综上所述，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为R上的奇函数．
8．B 解析：f(0)＝0.
9．－x－x4
10．解：(1)函数f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
即＝－，有－ax＋b＝－ax－b，∴b＝0.
又∵f(1)＝2，∴＝2.∴a＋b＝1.∴a＝1.
(2)f(x)＝＝x＋，
设任意x1＝－＝，
当x11，x1x2－1>0，从而f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数；
同理，当－1f(x2)，
∴函数f(x)在上为减函数．
1．3.4 函数的奇偶性(2)
1．D 2.A
3．B 解析：分别将x，－x代入方程，得到关于f(x)，g(x)的二元方程组?f(x)＝.
4．A 解析：因为g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A.
5．A 解析：方法一：由已知，得f(x)＝的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a＝.故选A.
方法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)＝，
则＝在函数的定义域内恒成立，可得a＝.
6．0 解析：f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.
7．解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
∵2a2＋a＋1＝22＋>0，
2a2－2a＋3＝22＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>.
8．－x2＋5x
9．解：∵f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0明显a≠0?b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，且值域为(－∞，4]，∴2a2＝4.∴f(x)＝－2x2＋4.
10．(1)解：依题意有解得
∴f(x)＝.
(2)证明：设任意－1＝－＝，
∵－10，从而f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)(3)解：f(t－1)＋f(t)<0
?f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，
∵函数f(x)在(－1,1)上为增函数，
∴－11．3.5 二次函数性质的再研究
1．(1,3) 3 [1，＋∞) (－∞，1)
2．D 解析：f＝f＝.
3．B 4.B 5.B
6．D 解析：由已知?f(x)开口向上，对称轴x＝2.画出示意图?f(3)7．解：∵函数f(x)＝ax2＋2(a＋4)x＋2(a<0)在[1，＋∞)上单调递减，
∴其对称轴x＝－＝－≤1.
解得a>0(舍去)，a≤－2，即a≤－2.
8．[1,2] 解析：y＝(x－1)2＋2是以直线x＝1为对称轴，开口向上，其最小值为2的抛物线，又∵f(0)＝3，结合图象，易得2≥m≥1.∴m的取值范围是[1,2]．
9．6 解析：由对称轴－＝1，得a＝－4，又[a，b]关于直线x＝1对称，则b＝6.
10．解：f(x)＝42－2a＋2 (0≤x≤2)．
当<0，即a < 0时，f( x ) 在 [0,2]上为增函数，
此时 f( x )的最小值为 f( 0 )＝a2－2a ＋2.
由解得a＝1－；
当0≤≤2，即0≤a≤4时，f(x)的最小值为f＝－2a＋2.由得无解；
当>2，即a>4时，f(x)在[ 0,2 ]上为减函数，此时f(x)的最小值为f(2)＝a2－10a＋18；
由解得a＝5＋.
综上所述，a的取值集合为{1－，5＋}．
1．3.6 一元二次不等式
1．D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C
7．解：依题意，得或?－1≤x≤0或08．[－1,1] 解析：P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，P∪M＝P?a∈[－1,1]．
9.
10．解：(1)设函数f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
则f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x.
若方程f(x)＝0的两实根一个大于－3，另一个小于－3，
只需f(－3)>0，即－(2)∵f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋3a，
∴f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a＝0.
∵f(x)＋6a＝0有两个相等实根，
∴Δ＝(4a＋2)2－36a2＝0，解得a＝1或a＝－.
又∵a<0，∴a＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.
