课件18张PPT。第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.1 根式与分数指数幂【学习目标】1.理解 n 次方根及根式的概念.
2.理解根式的运算性质.
3.理解分数指数幂的意义.4.掌握根式与分数指数幂的互化.1.根式的概念xn＝a (1)a 的 n 次方根：如果________，那么 x 叫做 a 的 n 次方
根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为
________，a∈________；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为________，a∈___________.R(0，＋∞)做____________.根式被开方数2±2练习 1：8 的 3 次方根是______，16 的 4 次方根是______.根指数0aa|a|a－a2.根式的性质－723.分数指数幂的意义0没有意义270【问题探究】1.(±2)2＝4，那么±2 就叫做 4 的____________；
33＝27，那么 3 就叫做 27 的____________；
(±3)4＝81，那么±3 就叫做 81 的____________.依此类推，若 xn＝a，那么 x 叫做 a 的______________.
答案：二次方根 立方根 四次方根 n 次方根题型 1 根式的求值、化简
【例 1】 求下列各式的值：思维突破：运用根式的性质及运算公式计算.【变式与拓展】1.求下列各式的值：2.化简：题型 2 根式的比较大小思维突破：先化为统一的根指数，再进行比较.当根指数相同时，不论根指数是奇数还是偶数，根式的大小取决于被开方数的大小.【变式与拓展】题型 3 分数指数幂与根式的互化
【例 3】 将下列分数指数幂化为根式(其中 a>0)：思维突破：根据分数指数幂的意义计算.【变式与拓展】
4.将下列分数指数幂化为根式： [方法·规律·小结]2.分数指数幂.(2)根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式不同.(3)有理数包括整数和分数，由整数指数幂扩充到分数指数幂后，指数概念就扩充到了有理数指数幂.课件21张PPT。.2.1.2 指数幂的运算【学习目标】1.掌握分数指数幂的运算.3.掌握有理数指数幂的运算性质.1.有理数指数幂的运算性质12(1)aras＝________(a＞0，r，s∈Q).
(2)(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q).
(3)(ab)r＝________(a＞0，b＞0，r∈Q).
练习1：22·2－3＝________；
(32)3＝________；ar＋sarsarbr36 2.无理数指数幂
无理数指数幂 aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.
有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用.
127【问题探究】1.0 的正分数指数幂为______，0 的负分数指数幂______.
答案：0 无意义2.分数指数幂有什么运算性质？答案：分数指数幂的运算性质有：
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q).
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q).
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).题型 1 分数指数幂的运算
【例 1】 求下列各式的值：思维突破：利用分数指数幂的运算性质求值.【变式与拓展】
1.计算下列各式：题型 2 分数指数幂与根式的混合运算
【例 2】 求下列各式的值： 式子中既含有分数指数幂，又含有根式，应该
把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.【变式与拓展】题型 3 带有附加条件的求值问题
【例 3】 求值：
(1)已知2x＋2－x＝a(a为常数)，求8x＋8－x的值；注：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)思维突破：从整体中寻求结果与条件的联系，整体代入求值.解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1.
∴t＋t－1＝a. ①
方法一：由①两边平方，得t2＋t－2＝a2－2.
∴8x＋8－x＝t3＋t－3
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a(a2－2－1)
＝a3－3a.方法二：8x＋8－x＝t3＋t－3
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a[(t＋t－1)2－3t·t－1]
＝a(a2－3)
＝a3－3a. 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未
知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法
求值.【变式与拓展】 3.已知x＋x－1＝5，求代数式x2＋x－2的值.
解：由x＋x－1＝5两边平方，得x2＋2＋x－2＝25，则x2＋
x－2＝23.【例4】 已知x＋x－1＝3，求x2－x－2的值.[方法·规律·小结]
1.有理数指数幂的运算性质.
(1)在有理数指数幂的运算性质中，等式均在有意义的条件
(2)在(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)中，r，s还可以进一步推广
到无理数、实数.2.无理数指数幂的意义.有理数指数幂可以扩展到无理数指数幂，我们采用“有理数逼近无理数”的思想认识无理数指数幂的大小.对于任意的0,0 的负无理数次幂没有意义. 3.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因
此，根式的运算可以先转化成分数指数幂的形式，再进行运算，则，并且要注意运算的顺序.课件20张PPT。2.1.3 指数函数及其图象【学习目标】1.了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义.3.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质(单调性及特殊点).1.指数函数的概念y＝ax(a＞0，且 a≠1)R函数____________________叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是________.(2)(5)2.指数函数的图象a＞10＜a＜1 在图2-1-1(1)中，a的取值范围是 ____________ ； 在 图
2-1-1(2)中，a 的取值范围是____________.
图 2-1-1(0,1)递增递减3.函数 y＝ax 过定点________.
练习 2：函数 f(x)＝2x 在 R 上单调____________；函数 f(x)【问题探究】答案：关于 y 轴对称．题型 1 指数函数的概念【例 1】 下列函数一定是指数函数的是()A.y＝x4 B.y＝3－x C.y＝3·2x D.y＝(－2)x答案：B 判断一个函数是否为指数函数，要注意三点：
①底数是否为大于0，且不等于1的常数；②指数是自变量x，且x∈R；③系数为1，且没有其他余项，形式为y＝ax(a>0，且a≠1，x∈R).【变式与拓展】B1.函数y＝ax＋a2－3a＋2是指数函数，则a的值为( )A.1B.2C.3D.4题型 2 过定点问题【例2】 函数y＝a2x＋b＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，则 b＝________.思维突破：把点(1,2)代入，得2＝a2＋b＋1，∴a2＋b＝1恒成立.∴2＋b＝0.∴b＝－2.答案：－2【变式与拓展】)D2.函数 y＝ax＋1(a>0，且 a≠1)的图象必经过点(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(2,1)
D.(0,2)题型 3 指数函数图象的理解及应用(1)作出函数的图象，并由其图象指出函数的单调区间；
(2)根据函数的图象，指出当 x 取何值时，函数有最值.如图 D22，由图象可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2]，单调递减区间为(－2，＋∞)．图 D22【变式与拓展】
3.方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则实数 a 的取值范围是________________.a≥1 或 a＝0 解析：作出 y＝|2x－1|的图象，如图D23，要使直线y＝a
与图象的交点只有一个，∴a≥1 或 a＝0.
图 D23【例4】 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )A.a＝2
C.a＝1 或 a＝2B.a＝1
D.a>0，且 a≠1易错分析：易忽略 a≠1 这个条件.答案：A[方法·规律·小结]1.对指数函数概念的理解.
指数函数的解析式：y＝ax.(1)底数是大于 0，且不等于 1 的常数.(2)指数函数的自变量 x 位于指数 ax 的位置上.
(3)ax 的系数必须为 1.2.规定指数函数 y＝ax 中的 a 大于零，且不等于 1 的理由.
(1)如果 a＝0，当 x>0 时，ax 恒等于 0.
当 x≤0 时，ax 无意义.数范围内函数值不存在.(3)如果 a＝1，y＝1x 是一个常量，对它无研究价值.为了避免上述各种情况，所以规定 a>0，且 a≠1. 3.在指数函数解析式中，必须时刻注意底数 a>0，且 a≠1.
对于指数函数的底数 a，在不清楚其取值范围时，应树立分类
讨论的数学思想，分 a>1 和 0
定其性质.课件25张PPT。2.1.4 指数函数的性质及其应用【学习目标】
1.熟练掌握指数函数图象和性质.
2.掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性.
3.培养数学应用意识.1.指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1增减 2.(1)若 a＞b＞1，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在函数 y＝bx
图象的________方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在函数 y＝bx图象的________方.上下上下 (2)若 1＞a＞b＞0，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在函数 y＝
bx 图象的________方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在函数 y＝
bx 图象的________方.练习1：不等式2x>21－x的解集为_______________.
A.{－1,1}
C.{0}
B.{－1}
D.{－1,0}练习 3：函数 y＝7－x 与函数____________的图象关于 y 轴对称.y＝7xB则M∩N＝( ) 【问题探究】答案：图略，关于y轴对称．题型 1 利用指数函数的单调性比较大小
【例 1】 比较下列各组数的大小： 在进行数的大小比较时，①若底数相同，则可
根据指数函数的增减性得出结果；②若底数不相同，则首先考
虑把它们化成同底数；不能化成同底数时，就考虑引进第三个
数(0,1 等)分别与之比较，从而得出结果.【变式与拓展】f(n)，则 m，n 的大小关系为________.m＜n＞f(n)，得 m＜n.题型 2 指数函数的最值问题思维突破：结合函数的单调性，对 a 进行分类讨论. (1)指数函数y＝ax(a＞1)为增函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值.当x＝s时，函数有最小值as；当x＝t时，函数有最大值at.
(2)指数函数y＝ax(0＜a＜1)为减函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值.当x＝s时，函数有最大值as；当x＝t时，函数有最小值at. 【变式与拓展】a＝________.题型 3 指数函数性质的综合应用(1)求 f(x)的定义域；
(2)求 f(x)的值域；
(3)判断函数 f(x)的奇偶性；
(4)证明 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数. 对函数奇偶性与单调性的判别，都是直接利用
它们的定义来解决.需要我们理解这两个定义，掌握其运用的基
本模式，并能熟练的进行代数变形.【变式与拓展】CA.(0，＋∞)
C.(0,1) B.(－∞，1)
D.(1，＋∞)＝()A.{y|y＞1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0} 易错分析：对于集合问题，要首先确定集合的元素是什么
(数集、点集或某类图形)，然后确定处理此类问题的方法.本题
集，错选 A 或 B.实际上，两集合的元素是 y，是求两函数的值
域的交集.答案：C[方法·规律·小结]指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的性质.(1)当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两种情况讨论.(2)当 0＜a＜1 时，x→＋∞，y→0；
当 a＞1 时，x→－∞，y→0.当 a＞1 时，a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增的速度越快； 当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速
度越快(其中“x→＋∞”的意义是“x 接近于正无穷大”). (3)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底
数大小的关系的判断方法：作直线 x＝1，与图象的交点的纵坐
标，即为指数函数的底数值(如图 2-1-2).图 2-1-2课件19张PPT。2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算【学习目标】1.理解对数的概念.2.能够说明对数与指数的关系.3.掌握对数式与指数式的相互转化. 1.对数的概念
(1)定义：如果 ax＝N(a＞0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a
为底 N 的对数，记作__________，其中 a 叫做对数的______，N 叫做________.x＝logaN底数真数 (2)常用对数：通常以 10 为底的对数叫做常用对数，记作
________；将以 e 为底的对数称为自然对数，记作________，
其中 e 为无理数，且 e＝2.718 28….(3)对数与指数的关系：lgNlnNlogaN当 a＞0，a≠1 时，ax＝N?x＝________.练习 1：23＝8 转化为对数式为____________；102＝100lg100＝2 转化指数式为____________.
2.对数 logaN(a＞0，且 a≠1)具有的简单性质(1)________没有对数.负数01N(2)loga1＝________(a＞0，且 a≠1).
(3)logaa＝________(a＞0，且 a≠1).
3.对数恒等式53log28＝3【问题探究】 截止 1999 年底，我国人口约 13 亿.如果今后能将人口年平
均增长率控制在 1%，那么多少年后，人口数可达到 18 亿，20
亿，30 亿？(1)问题具有怎样的共性？(2)已知底数和幂的值，怎样求指数？例如：由 1.01x＝m，求 x 的值.答案：(1)已知底数和幂的值，求指数．
(2)x＝log1.01m.题型 1 指数式与对数式互化
【例 1】 (1)根据对数定义，把下列指数式写成对数式：(2)根据对数定义，把下列对数式写成指数式：指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a＞0，a≠1)可以相互转化，但要注意在两种表示形式中 a，b，N 的相应位
置.【变式与拓展】C)1.下列指数式与对数式的互化，不正确的一组是(题型 2 对数基本性质的应用【例 2】 求下列各式中 x 的值：在对数、对数的底数与真数三者中，已知其中两个就可利用对数式和指数式的互化，求出另外一个.【变式与拓展】2.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________. 12 解析：∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.∴a2m＋n＝(am)2·an＝12.
3.若log4[log3(log3x)]＝0，求x的值.
解：∵log4[log3(log3x)]＝0，
∴log3(log3x)＝40＝1.∴log3x＝31＝3.
∴x＝33＝27.题型 3 对数恒等式
【例 3】 计算：
思维突破：解答本题可使用对数恒等式 alogaN＝N 来化简
求值.
要牢记对数恒等式.对于对数恒等式
要注意：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为
对数的真数.【变式与拓展】20B)【例 4】 对于 a>0，a≠1，下列说法中，正确的是(
A.①③
C.②B.②④
D.①②③④①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.易错分析：对对数存在的条件及运算法则理解有误，导致出错.答案：C 解析：①错误，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立；②正确，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立；③错误，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如当M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N；④错误，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．所以只有②正确．故选C.[方法·规律·小结]准确认识指数式与对数式的关系. (1)在关系式 ax＝N 中，已知 a 和 x，求 N 的运算称为求幂
运算；而如果已知 a 和 N，求 x 的运算就是对数运算.两个式子
实质相同而形式不同，互为逆运算.(2)指数式和对数式的关系及相应各部分的名称如下表： (3)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log－39.只有符合a＞0，且a≠1，N＞0时，才有ax＝N?x＝logaN.课件24张PPT。2.2.2 对数的性质及其应用【学习目标】1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程.2.能较熟练地运用对数运算法则解决问题.1.对数的运算性质logaM＋logaNlogaM－logaN如果 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，那么：nlogaM(1)loga(M·N)＝________________.log525＝________. 122.对数换底公式logab115(
) A.－2
C.0 B.2
D.－1A【问题探究】)对于等式 lg(m＋n)＝lgm＋lgn，下面说法正确的是(
A.对任意正数 m，n，等式都成立
B.对任意正数 m，n，等式都不成立
C.只存在有限个正数 m，n，使等式成立
D.存在无数个 m，n，使等式成立
答案：D题型 1 对数的运算性质
【例 1】 (1)用 lg2 和 lg3 表示 lg75； 用已知对数表示未知对数，就是把要表示的对
数的真数分解成已知对数的真数的积、商和幂的形式，然后再
用对数的运算性质进行求解.注意运算性质只有在同底的情况
下才能运用.第(2)题中，没有指明 a，x，y，z 的范围，这时我
们就认为是使每个对数符号都有意义的a，x，y，z 的最大范围，
即 a＞0，且 a≠1，x＞0，y＞0，z＞0.【变式与拓展】)D1.下列各等式中，正确运用对数运算性质的是(题型 2 对数运算性质的应用
【例 2】 求下列各式的值：思维突破：逆用对数运算性质可求值.
在应用对数运算性质时，要注意公式的逆用，
譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2 的运用.解：(1)原式＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＋(2)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)×lg2
＝(lg5)2＋(1＋lg5)×lg2
＝(lg5)2＋1g2×lg5＋lg2
＝(lg5＋1g2)×lg5＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.【变式与拓展】2.2log510＋log50.25＝( ) CA.0B.1C.2D.4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.3.计算：(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝__________.2 解析：原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.题型 3 换底公式的应用【例3】 (1)已知log1227＝a，试用a表示log616；
(2)已知log23＝a,3b＝7，试用a，b表示log1256. 对不同底数的对数不能运用运算性质，可先统
一化成同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简和求
值.【变式与拓展】易错分析：容易忽略等式成立的前提条件，求出增根.
解：由已知等式，得lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，
∴(x－y)(x＋2y)＝2xy.
即x2－xy－2y2＝0.[方法·规律·小结]
1.对数的运算性质.
(1)在运算过程中，避免出现以下错误：
①loga(M·N)＝logaM·logaN；③logaNn＝(logaN)n；
④logaM±logaN＝loga(M±N). (2)要特别注意它的前提条件：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，
尤其是 M，N 都是正数这一条件.若 M，N 中有一个小于或等于
0，就导致 logaM 或 logaN 无意义.另外还要注意，M＞0，N＞0
与 M·N＞0 并不等价.
(3)在应用对数运算性质时，要注意公式的逆用，例如 log23 2.换底公式.
(1)对数换底公式的证明：
设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，
得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.(2)对数换底公式的选用：①在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化为以 10 为底的常用对数进行运算； ②在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算
法则时，可先统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算
法则进行化简与求值.并且这个底数不是唯一的，可由题目的实
际情况选择恰当的底数.课件29张PPT。2.2.3对数函数及其性质(1)【学习目标】 1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关
系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函
数模型.2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 1.对数函数
一般地，我们把函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，
其中________是自变量，函数的定义域是___________，值域是实数集 R.x(0，＋∞)2.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象特征和性质(1,0)y＞0y＜0y＜0y＞0增减（续表）y1＜y2y1＞y2练习2：函数f(x)＝log(a－1)x在(0，＋∞)上单调递减，则实数 a 的取值范围为__________.11.比较下列两组数的大小：
(1)log108与log1015； (2)log0.50.9与log0.50.6.
答案：(1)log1015>log108；(2)log0.50.6>log0.50.9. 2.求下列函数的定义域：题型 1 求对数函数的定义域
答案：AA.(－1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞)B.[－1，＋∞)
D.[－1,1)∪(1，＋∞)答案：C 求一些具体函数的定义域，有分母的要保证分
母不为零；开偶次方根的要保证被开方数为非负数；对数函数
的要保证真数大于零，底数大于零，且不等于 1.在求定义域的
过程中，往往需要解不等式(组)，或利用函数的单调性.【变式与拓展】
1.(2014年江苏宿迁一模)函数f(x)＝lg(2x－3x)的定义域为____________.(－∞，0)解析：要使函数有意义，则2x－3x>0，即2x>3x>0，题型 2 求对数函数的值域【例2】 已知y＝log4(2x＋3－x2).
(1)求 y 的定义域；(2)求 y 的单调区间；(3)求 y 的最大值，并求出对应的 x 值.解：(1)由2x＋3－x2>0，解得－1∴f(x)的定义域为{x|－1(2)令u＝2x＋3－x2，则u>0，y＝log4u.
由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4.
再考虑定义域可知，其增区间是(－1,1)，减区间是[1,3)．
又y＝log4u在(0，＋∞)上为增函数，
故该函数单调递增区间为(－1,1)，单调递减区间为[1,3)．
(3)∵u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，
∴y＝log4u≤log44＝1.
故当x＝1，u取最大值4时，y取最大值1.【变式与拓展】A2.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
C.(1，＋∞)
D.[1，＋∞)解析：∵3x>0,3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.3.求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．题型 3 利用函数性质比较大小
【例 3】 比较下列三组数的大小：作y＝log7x与y＝log6x图象，如图2-2-1.图 2-2-1 利用对数函数的单调性比较两个对数的大
小，常用的方法有：①若底数为同一常数，则可由对数函数的
单调性直接判断；②若底数为同一字母，则按对数函数的单调
性对底数进行分类讨论；③若底数不同，真数相同，则可用换
底公式化为同底，再进行比较；④若底数、真数都不相同，则
常借助 1,0 等中间量进行比较，或利用对数函数图象的性质进
行判断.【变式与拓展】DA.yC.1B.0.32＜20.3＜log20.3
C.log20.3＜0.32＜20.3
D.log20.3＜20.3＜0.32【例 4】 设函数 y＝f(x)，且 lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)，求：
(1)f(x)的表达式及定义域；
(2)f(x)的值域.
易错分析：求(2)时没有考虑所给式子的定义域的限制.
[方法·规律·小结]1.对数函数的概念. (1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，只有形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数.
(2)由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，所以对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数.2.比较两个对数的大小的基本方法.(1)若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用其单调性比较大小.(2)若真数相同，底数不同，则可借助函数图象，利用图象在直线 x＝1 右侧“底大图低”的特点比较大小.(3)若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“0”或“1”比较大小. 3.对数运算的实质是把积、商和幂的对数转化为对数的和、
差和积，要注意公式应用的条件为 M>0，N>0.在讨论对数函数
的性质时，应注意定义域及底数的取值范围，必须时刻注意底
数 a>0，且 a≠1，若不清楚其取值范围，则应树立分类讨论的
数学思想，分 a>1 和 0探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研
究函数性质的方法.1.对数函数的单调性增函数减函数 当 a＞1 时，y＝logax 为____________；
当 0＜a＜1 时，y＝logax 为____________.
2.对于 y＝logax，若 a＞1，当 x＞1 时，y_______0，当 0＜
x＜1 时，y______0；若 0＜a＜1，当 0＜x＜1 时，y_______0，当 x＞1 时，y______0.>＜＞＜函数(填“增”或“减”).减3.反函数y＝axy＝x 函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)与________(a＞0，且 a≠1)
互为反函数，其图象关于直线________对称.
练习2：函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝3x 的图象关于直线 y
＝x 对称，则 f(x)＝__________.
练习3：若函数 f(x)的反函数为 y＝log2x，则 f(x)＝
_________________.f(x)＝2x(x∈R)log3x【问题探究】 若函数 y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域是 R，求实数 a 的取值
范围；若函数 y＝lg(ax2＋ax＋1)的值域为 R，求实数 a 的取值
范围.题型 1 反函数问题
【例 1】 写出下列函数的反函数： 思维突破：根据指数函数与对数函数互为反函数且底数相
同求解.
解：(1)y＝lgx 的底数为 10，
它的反函数为指数函数 y＝10x.
【变式与拓展】B题型 2 对数函数的基本性质
(1)求 f(x)的定义域；
(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；
(3)判断 f(x)的单调性(不证明)；
(4)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.∴f(x)是奇函数．而从(1)知1＋x>0，故可等价于1－x>1＋x，又等价于x<0.
故对当x∈(－1,0)时，有f(x)>0.【变式与拓展】②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)；
③y＝lg[(x＋2)(x－2)]；
④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2).
其中奇函数是________，偶函数是________ .解析：①②的定义域相同，均为(－2,2)，且均有 f(－x)＝－ f(x)，所以都是奇函数；③的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，且有 f(－x)＝f(x)，所以为偶函数；而④的定义域为(2，＋∞)不对称，因此是非奇非偶函数．
答案：①② ③题型 3 综合问题原点对称，且定义域不是单元素集.
(1)求 m 的值；
(2)判断 g(x)在(0,2)上的单调性，并证明.
思维突破：根据奇函数及单调性定义，以及对数运算解决
问题.解：(1)由题意，设 x，－x 是定义域内的任意值，则又 g(x)＋g(－x)＝0，
即4－m2x2＝4－x2.
∴(m2－1)x2＝0.由题意知：x可取到非零值，
∴m2－1＝0.∴m＝±1.由①②知：m＝－1. 在 a 与 1 的大小不明确时，要对a 与1 的大小
进行讨论，从而利用对数函数的单调性求解.【变式与拓展】3.已知函数 f(x)＝loga(3－ax). (1)当 x∈[0,2]时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减
函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值，如果不存
在，请说明理由.解：(1)由题意，得 3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立．
∵a>0，且 a≠1，
∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数．(2)假设存在这样的实数 a，
由题意知：f(1)＝1，即loga(3－a)＝1.当 x＝2 时，f(x)无意义．
故这样的函数不存在．【例 4】 已知 y＝loga(2－ax)在[0,1]上是 x 的减函数，求实数 a 的取值范围. 易错分析：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数的复合
关系，却忽视了对数函数定义域的限制，单调区间应是定义域
的某个子区间，即函数应在[0,1]上有意义. 解：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，
∴u＝2－ax在[0,1]上是x的减函数，由复合函数关系知
y＝logau应为增函数，∴a＞1.
又由于x在[0,1]上时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数，
∴当x＝1时，u＝2－ax取最小值为umin＝2－a＞0即可．
∴a＜2.
综上所述，所求的取值范围是1＜a＜2.[方法·规律·小结] 1.指数函数与对数函数的关系.
对数函数y＝logax与指数函数y＝ax的图象关于直线y＝x对称，它们互为反函数.
2.y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型的函数.
(1)要注意变量的取值范围，例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f[g(x)]＝log2(x2＋x)中需有g(x)＞0；g[f(x)]＝(log2x)2＋log2x中需有x＞0.
(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性时，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断.课件22张PPT。2.2.5 对数函数及其性质(3)【学习目标】1.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
2.进一步理解对数函数的图象和性质. 3.学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函
数，能够在同一坐标系上看出互为反函数的两个函数的图象性
质.)C练习 1：函数 y＝1＋log2x(x≥4)的值域是(
A.[2，＋∞)
B.(3，＋∞)
C.[3，＋∞)
D.(－∞，＋∞) 解析：∵x≥4，∴log2x≥2，即y≥3.∴函数y＝1＋log2x(x≥4)的值域为[3，＋∞)．)D练习 2：下列各函数中在(0,2)上为增函数的是(A(－∞，－3]练习5：函数 y＝logax，x∈[2,4]，a＞0，且 a≠1，若此函数的最大值比最小值大 1，则 a＝__________. 【问题探究】答案：y＝log2(x－1)＋1 x轴 log2(－x)题型 1 对数函数的图象
【例1】 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的)图象如图 2-2-2 所示，则 a，b，c，d 的大小顺序是(
A.1＜d＜c＜a＜b
B.c＜d＜1＜a＜b
C.c＜d＜1＜b＜aD.d＜c＜1＜a＜b图 2-2-2解析：由图象可知：当x＝2时，loga2＞logb2＞0＞logc2＞∴lgb＞lga＞0＞lgd＞lgc，解得 b＞a＞1＞d＞c.答案：B【变式与拓展】
1.(2013 年四川资阳一模)已知 a＞0，b＞0，且 ab＝1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )BABCD解析：依题意，得 f(x)＝log2x(x>0)因函数的图象关于 y 轴对称，可得 g(x)＝log2(－x)(x<0)．故选 B.答案：B 题型 2 对数函数中的参数问题
【例2】 已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1).
(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的范围；
(2)若 f(x)的值域为 R，求实数 a 的范围.【变式与拓展】3.(1)若函数 y＝lg(x2＋ax＋1)的定义域是实数集 R，求实数a 的取值范围；(2)若函数 y＝lg(x2＋ax＋1)的值域是实数集 R，求实数 a 的取值范围.答案：(1)(－2,2) (2)(－∞，－2]∪[2，＋∞)题型 3 对数函数的综合应用【例3】 已知 y＝f(x)是二次函数，且 f(0)＝8 及 f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1.(1)求 f(x)的解析式；(2)求函数 y＝log3f(x)的单调递减区间及值域.
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，
由f(0)＝8，得c＝8.
由f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1，得a＝－1，b＝2.
∴f(x)＝－x2＋2x＋8.(2)y＝log3f(x)＝log3(－x2＋2x＋8)
＝log3[－(x－1)2＋9]，
当－x2＋2x＋8>0时，－2单调递减区间为[1 ,4)，值域(－∞，2].【变式与拓展】a 的取值范围.
∴所求实数 a 的范围是－1≤a≤9. 易错分析：对对数运算公式不熟悉，或者对奇偶性的判别
方法不理解.定义中 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，也可改为研究
f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0 是否成立.[方法·规律·小结]1.解决对数函数的相关问题时，一定要重视图象的应用.
2.对数函数的图象与底数的大小关系. 直线 y＝1 与图象交点的横坐标就是该对数函数底数的值.
在第一象限，底数越大越近 x 轴.如图 2-2-3，0自变量，______为常数.①⑥练习 1：下列函数中是幂函数的是__________.
y＝xα(α∈R)2.幂函数的图象(0,0)，(1,1)图 2-3-1练习2：当α>0时，幂函数y＝xα的图象都过定点__________. 3.幂函数的性减小无限接近 练习3：当α<0时，当x∈(0，＋∞)时，y＝xa的函数值随x的增大而______，向右图象与x轴____________.【问题探究】函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)是指数函数，函数 y＝xα是幂函数，两种函数最大的区别是什么？答案：指数函数的指数是变量，而幂函数是底数为变量．题型 1 幂函数的定义及应用(0， ＋∞)上是增函数，判断函数 f(x)的奇偶性.
思维突破：根据幂函数的特点、函数奇偶性的定义进行解
题.(1)幂函数 y＝xα的特点：①系数必须为 1；②指数必须为常数.(2)幂函数的单调性：①α>0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；②α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.【变式与拓展】(1)幂函数？
(2)正比例函数？
(3)反比例函数？
(4)二次函数？题型 2 幂函数的图象答案：B【变式与拓展】
2.(2013 年四川乐山一模)下面给出 4 个幂函数的图象，则)B图象与函数的大致对应是(
题型 3 函数值的大小比较A.aa＜ab＜ba
B.aa＜ba＜ab
C.ab＜aa＜ba
D.ab＜ba＜aa答案：C 比较两个幂的大小，如果指数相同而底数不同
(即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；如果
底数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单
调性来比较大小；如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引
入中间变量，常用的中间变量有 0,1 或由一个幂的底数和另一
个幂的指数组成的幂.注意：指数函数当 a>1 时单调递增，当
00 时在第一象限单调递增，
当α<0 时在第一象限单调递减.【变式与拓展】3.下列各不等式中正确的是()D轴都无交点，且关于 y 轴对称，试确定 f(x)的解析式.
易错分析：对幂函数 y＝xα的理解不透彻.[方法·规律·小结]
1.幂函数的概念.2.幂函数y＝xα的性质是分α>0和α<0两种情况来讨论的. 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：①系数为1，②指数为常数，③后面不加任何项.例如：y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，如y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数. 3.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在
第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性，
作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性
等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性
就可作出幂函数在定义域内完整的图象.第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2．1 指数函数
2．1.1 根式与分数指数幂
1．27的平方根与立方根分别是( )
A．3 ，3 B．±3 ，3
C．3 ，±3 D．±3 ，±3
2.的运算结果是( )
A．2 B．－2
C．±2 D．不确定
3．若＝a－1，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1]
4．下列式子中，正确的是( )
A.＝±2
B.＝－4
C.＝－3
D．＝2
5．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( )
A．－＝(x>0)
B.＝(y<0)
C．＝(x>0)
D．＝－(x≠0)
6．设a，b∈R，下列各式总能成立的是( )
A．(－)3＝a－b
B.＝a2＋b2
C.－＝a－b
D.＝a＋b
7．计算：＋(a1，n∈N*)．
8．化简：＋＝__________.
9．化简：＋＋＝( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
10．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值．
2.1.2 指数幂的运算
1．化简的结果是( )
A. B.
C．3 D．5
2．计算[(－)2]的值为( )
A. B．－
C. D．－
3．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R B．x∈R，且x≠
C．x> D．x<
4．设a≥0，计算()2·()2的结果是( )
A．a8 B．a4
C．a2 D．a
5．的值为( )
A. B．3
C．－ D．6
6．计算：(－1.8)0＋(1.5)－2×＋＝________.
7．化简：.
8．化简：＝__________.
9．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x(x－x)＝__________.
10．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718…)．
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
2.1.3 指数函数及其图象
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，且a≠1)
2．y＝2x＋2－x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是偶函数又是奇函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
3．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
4．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．如图K2-1-1所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x(x>0)}，则A#B为( )
图K2-1-1
A．{x|0B．{x|1C．{x|0≤x≤1或x≥2}
D．{x|0≤x≤1或x>2}
6．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
A B C D
7．求函数y＝的值域．
8．已知f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝10x，则当x<0时，f(x)＝( )
A．10x B．10－x
C．－10x D．－10－x
9．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③<0；
④<0(x1≠0)；
⑤f(－x1)＝.
当f(x)＝x时，上述结论中，正确结论的序号是____________．
10．(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，求实数a的取值范围；
(2)对于任意实数a，函数y＝ax－3＋3的图象恒过哪一点？
2.1.4 指数函数的性质及其应用
1.，34，－2的大小关系是( )
A.<－2<34
B.<34<2
C.－2<<34
D.－2<34<
2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
3．下列选项中，函数y＝|2x－2|的图象是( )
4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y＝3ax－1在[0,1]上的最大值为( )
A．6 B．1 C．3 D.
5．(2014年四川泸州二模)已知在同一直角坐标系中，指数函数y＝ax和y＝bx的图象如图K2-1-2，则下列关系中正确的是( )
图K2-1-2
A．a＜b＜1 B．b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
6．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
7．已知函数f(x)＝求f(3)的值．
8．设函数f(x)＝若f(x)>4，则x的取值范围是________________．
9．函数f(x)＝的值域为__________．
10．已知f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)是定义域内的增函数；
(3)求f(x)的值域．
2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
1．下列各组指数式与对数式互化，不正确的是( )
A．23＝8与log28＝3
B．＝与log27＝－
C．(－2)5＝－32与log－2(－32)＝5
D．100＝1与lg1＝0
2．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3．以下四个命题：①若logx3＝3，则x＝9；②若log4x＝，则x＝2；③若＝0，则x＝；④若＝－3，则x＝125.其中是真命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．方程＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
5．若f(ex)＝x，则f(e)＝( )
A．1 B．ee
C．2e D．0
6．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( )
A．{3,0} B．{3,0,1}
C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}
7．求下列各式中x的取值范围：
(1)log(x－1)(x＋2)；
(2)log(x＋3)(x＋3)．
8．设f(x)＝则f[f(－2)]＝__________.
9．已知＝(a>0) ，则＝__________.
10．(1)若f(log2x)＝x，求f的值；
(2)若log2[log3(log4x)]＝0，log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．
2.2.2 对数的性质及其应用
1．计算log23·log32的结果为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2.(2013年陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．logabc＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
3．(2014年四川泸州一模)2lg2－lg的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．lg12.5－lg＋lg0.5＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
5．若log5·log36·log6x＝2，则x＝( )
A．9 B.
C．25 D.
6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
7．计算：lg2·lg＋lg0.2·lg40.
8．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1245＝______________.
9．已知log83＝p，log35＝q，以含p，q的式子表示lg2.
10．已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根．求实数a，b和m的值．
2.2.3 对数函数及其性质(1)
1．若log2a＜0，b＞1，则( )
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0
C．0＜a＜1, b＞0 D．0＜a＜1, b＜0
2．(2014年广东揭阳一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B．3?B
C．A∪B＝B D．A∩B＝B
3．函数y＝log2x与y＝logx的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
B．原点对称 D．直线y＝x对称
4．函数y＝的定义域为( )
A.
B.
C．(1，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
5．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝( )
A. B.
C. D．2
6．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的( )
7．若函数y＝loga(x＋b)(a>0，a≠1)的图象过点(－1,0)和(0,1)，求a，b的值．
8．已知A＝{x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为( )
A. B.
C．π－2 D.或
9．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．aC．a10．已知函数f(x)＝ln(k>0)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．
2.2.4 对数函数及其性质(2)
1．已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)，下列说法不正确的是( )
A．两者的图象都关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内的增减性相同
D．y＝ax的图象经过平移可得到y＝logax的图象
2．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点( )
A．(1,1) B．(1,5)
C．(5,1) D．(5,5)
3．点(4,16)在函数y＝logax的反函数的图象上，则a＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
4．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
5．若0A．3y<3x B．logx3C．log4x6．设loga＜1，则实数a的取值范围是( )
A．0＜a＜ B.＜a＜1
C．0＜a＜或a＞1 D．a＞
7．在下面函数中，与函数f(x)＝lg有相同奇偶性的是( )
A．y＝x3＋1
B．y＝
C．y＝|2x＋1|＋|2x－1|
D．y＝x＋
8．函数y＝ln(4＋3x－x2)的单调递增区间是___________．
9．对于函数f(x)定义域中的任意x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2);
② f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0；
④f<.
当f(x)＝lgx时，上述结论中，正确结论的序号是____________．
10．设f(x)＝log为奇函数，a为常数，
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
(3)若对于[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)＞x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
2.2.5 对数函数及其性质(3)
1．设a＝log2，b＝log3，c＝0.3，则( )
A．aC．b2．将函数y＝3x－2的图象向左平移2个单位，再将所得图象关于直线y＝x对称后，所得图象的函数解析式为( )
A．y＝4＋log3x B．y＝log3(x－4)
C．y＝log3x D．y＝2＋log3x
3．方程log2x＝x2－2的实根有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
5．如图K2-2-1，给出函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2的图象，则与函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2依次对应的图象是( )
图K2-2-1
A．①②③④ B．①③②④
C．②③①④ D．①④③②
6．函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是( )
7．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图K2-2-2，则a，b满足的关系是( )
图K2-2-2
A．0B．0C．0D．08．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是( )
A．y＝2x B．y＝logx
C．y＝ D．y＝log2＋1
9．若函数f(x)＝loga(x＋)是奇函数，求a的值．
10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求方程f(x)＝0的解；
(3)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
2.3 幂函数
1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,1) D．(－1，－1)
2．下列说法正确的是( )
A．y＝x4是幂函数，也是偶函数
B．y＝－x3是幂函数，也是减函数
C．y＝是增函数，也是偶函数
D．y＝x0不是偶函数
3．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值为( )
A．16 B.
C. D．2
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
5．当x∈(1，＋∞)时，下列函数的图象全在直线y＝x下方的偶函数是( )
A．y＝x B．y＝x－2
C．y＝x2 D．y＝x－1
6．设a＝0.7，b＝0.8，c＝log30.7，则( )
A．cC．a7．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x的图象不经过坐标原点，求实数m的取值范围．
8．给出函数的一组解析式如下：
①y＝；②y＝；③y＝；④y＝；
⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝x3；⑨y＝x－3；⑩y＝.回答下列问题：
(1)图象关于y轴对称的函数有__________；
(2)图象关于原点对称的函数有__________．
9．请把相应的幂函数图象代号填入表格．
①y＝；②y＝x－2；③y＝；④y＝x－1；
⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝.
函数代号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
图象代号
10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，当m为何值时，f(x)是：
(1)幂函数；
(2)幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数；
(3)正比例函数；
(4)反比例函数；
(5)二次函数．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2．1 指数函数
2．1.1 根式与分数指数幂
1．B 2.A 3.A
4．B 解析：A错，＝2；C错，＝|－3|＝3；D错，()5＝－2.
5．C 解析：A错，－＝－x(x>0)；B错，＝(－y)(y<0)；D错，x＝(x≠0)．
6．B
7．解：当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a；
当n为偶数时，原式＝b－a－a－b＝－2a.
8．4 解析：原式＝＋
＝＋
＝2＋＋2－＝4.
9．B 解析：∵3.14<π<，∴＝＝－1，＝＝－1，而＝1.故原式＝－1＋1－1＝－1.
10．解：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴
∵a＞b＞0，
∴2＝＝＝2.
∴＝.
2．1.2 指数幂的运算
1．B
2．C 解析：[(－)2]＝()＝()－1＝.
3．D
4．C 解析：原式＝·＝a2.
5．A 解析：原式＝＝.
6．29 解析：原式＝1＋2×＋ ＝1＋1＋27＝29.
7．解：原式＝＝·＝.
8. 解析：原式＝
＝a·b·＝a·b·b·a
＝a·b·ab＝a·b
＝a0b＝.
9．－23 解析：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－x)
＝4x－33－4x＋4＝－23.
10．解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2
＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]
＝2·ex·(－2e－x)
＝－4e0＝－4.
(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)
＝g(x＋y)－g(x－y)＝4， ①
同法可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8. ②
由①②解方程组
解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，
∴＝＝3.
2．1.3 指数函数及其图象
1．B 2.B 3.A
4．A 解析：g(x)＝ax的图象经过一、二象限，f(x)＝ax＋b是将g(x)＝ax的图象向下平移|b|(b＜－1)个单位而得，因而图象不经过第一象限．
5．D 解析：A＝{x|y＝}＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x(x>0)}＝{y|y>1}，则A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}．故选D.
6．B 解析：函数关于y轴对称．
7．解：∵4x>0，∴0≤16－4x<16，∴0≤<4.
8．B 解析：设x<0，则－x>0，f(－x)＝10－x，∵f(x)为偶函数．∴f(x)＝f(－x)＝10－x.
9．①③④⑤ 解析：因为f(x)＝x，f(x1＋x2)＝＝·＝f(x1)·f(x2)，所以①成立，②不成立；
显然函数f(x)＝x单调递减，即<0，故③成立；当x1<0时，f(x1)>1，<0，
当x1>0时，0f(－x1)＝＝＝，故⑤成立．
10．解：(1)∵当x＞0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，
∴a2－1＞1.∴a2＞2.∴a＞或a＜－.
(2)∵函数y＝ax－3的图象恒过定点(3,1)，
∴函数y＝ax－3＋3的图象恒过定点(3,4)．
2．1.4 指数函数的性质及其应用
1．A 2.B
3．B 解析：由y＝|2x－2|＝分两部分：一部分为y1＝2x－2(x≥1)，只须将y＝2x的图象沿y轴的负半轴平移2个单位即可，另一部分为y2＝－2x＋2(x≤1)，只须将y＝2x的图象对称于x轴的图象y＝－2x，然后再沿y轴的正半轴平移2个单位，即可得到y＝－2x＋2的图象．故选B.
4．C 解析：由于函数y＝ax在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝3ax－1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x＝1时取到，即为3.
5．C 解析：很显然a，b均大于1；且y＝bx函数图象比y＝ax变化趋势小，故b＜a，综上所述，a＞b＞1.
6．B
7．解：f(3)＝f(3＋1)＝f(4)＝4＝.
8．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
9．(0,3] 解析：设y＝u，u＝x2－2x，∵函数y＝u是单调减函数，∴函数y＝f(x)与u＝x2－2x增减性相反．∵u有最小值－1，无最大值，∴y有最大值－1＝3，无最小值．又由指数函数值域y>0知所求函数的值域为(0,3]．
10．(1)解：∵f(x)的定义域是R，
且f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)证法一：f(x)＝＝＝1－.
令x2＞x1，则
f(x2)－f(x1)＝－
＝，
∵y＝10x为增函数，∴当x2＞x1时，－＞0.
又∵＋1＞0,＋1＞0，
故当x2＞x1时，f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)．
∴f(x)是增函数．
证法二：考虑复合函数的增减性．
由f(x)＝＝1－.
∵y＝10x为增函数，
∴y＝102x＋1为增函数，y＝为减函数，
y＝－为增函数，y＝1－为增函数．
∴f(x)＝在定义域内是增函数．
(3)解：令y＝f(x)．由y＝，解得102x＝.
∵102x＞0，∴＞0，解得－1＜y＜1.
即f(x)的值域为(－1,1)．
2．2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
1．C 2.B 3.B 4.A
5．A 解析：令ex＝t，则x＝lnt，∴f(t)＝lnt.∴f(e)＝lne＝1.
6．B 解析：log2a＝0，∴a＝1.从而b＝0，P∪Q＝{3,0,1}．
7．解：(1)由题意知解得x>1，且x≠2.
故x的取值范围为(1,2)∪(2，＋∞)．
(2)由题意知解得x>－3，且x≠－2.
故x的取值范围为(－3，－2)∪(－2，＋∞)．
8．－2 解析：∵x＝－2<0，∴f(－2)＝10－2＝>0，
∴f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f[f(－2)]＝－2.
9．3 解析：(a)＝?a＝3?loga＝log3＝3.
10．解：(1)令log2x＝t，则2t＝x.
因为f(log2x)＝x，
所以f(t)＝2t.
所以f＝2＝.
(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，
所以log3(log4x)＝1.
所以log4x＝3，所以x＝43＝64.
又因为log3[log4(log2y)]＝0.
所以log4(log2y)＝1.
所以log2y＝4.所以y＝24＝16.
所以x＋y＝64＋16＝80.
2．2.2 对数的性质及其应用
1．A 2.B 3.B
4．B 解析：方法一：原式＝lg－lg＋lg
＝lg100－lg23－lg10＋lg24＋lg1－lg2
＝lg102－3lg2－1＋4lg2－lg2＝2－1＝1.
方法二：原式＝lg＝lg10＝1.
5．D
6．A 解析：∵＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又∵m>0，∴m＝.
7．解：原式＝lg2·lg＋lg·lg(22×10)
＝lg2(1－2lg2)＋(lg2－1)(2lg2＋1)
＝lg2－2(lg2)2＋2(lg2)2－2lg2＋lg2－1＝－1.
8. 解析：log1245＝＝＝.
9．解：由log83＝p，得
＝p，即lg3＝3lg2·p. ①
由log35＝q，得＝q，即1－lg2＝lg3·q. ②
①代入②中，得1－lg2＝3lg2·pq.
∴(3pq＋1)lg2＝1.
∵3pq＋1≠0，∴lg2＝.
10．解：∵lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，
∴lga＋lgb＝1， ①
lga·lgb＝m. ②
∵关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(lga)2＋4(1＋lga)＝0.∴lga＝－2，即a＝.
将lga＝－2代入①，得lgb＝3.
∴b＝1000.再将lga＝－2，lgb＝3代入②，得m＝－6.
综上所述，a＝，b＝1000，m＝－6.
2．2.3 对数函数及其性质(1)
1．D 解析：由log2a<0，得01，得b<0.故选D.
2．D
3．A 解析：y＝logx＝－log2x.
4．A 解析：由解得5．D
6．B 解析：y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．
7．a＝2，b＝2
8．D
9．D 解析：∵log45>1,0∴(log53)210．解：(1)由>0，得(kx－1)(x－1)>0.
又∵k>0，∴(x－1)>0.
当k＝1时，函数f(x)的定义域为{x|x≠1}；
由0当k>1时，函数f(x)的定义域为.
(2)f(x)＝ln＝ln，
∵函数f(x)在区间[10，＋∞)上是增函数，
∴k－1<0，即k<1.又由>0，得k>.
综上所述，实数k的取值范围为2．2.4 对数函数及其性质(2)
1．D 2.C 3.A
4．B 解析：∵a＝log23.6>log22＝1.又∵y＝log4x，x∈(0，＋∞)为单调递增函数，
∴log43.25．C
6．C 解析：由loga＜1＝logaa，得(1)当0＜a＜1时，
由y＝logax是减函数，得0＜a＜；
(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得a＞，∴a＞1.综合(1)(2)，得0＜a＜或a＞1.
7．D 解析：f(x)的定义域为(－1,1)，且对定义域内任意x，f(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)；
又可以验证f≠f，因此，f(x)是奇函数但不是偶函数．
用同样的方法可有：y＝x3＋1既不是奇函数又不是偶函数；y＝＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数；y＝|2x＋1|＋|2x－1|是偶函数而不是奇函数，只有y＝＋是奇函数但不是偶函数．故选D.
8. 解析：令u(x)＝4＋3x－x2，又∵4＋3x－x2＞0?x2－3x－4＜0，解得－1＜x＜4.又u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋，对称轴为x＝，开口向下的抛物线；u(x)在上是增函数，在上是减函数，又y＝lnu(x)是定义域上的增函数，根据复合函数的单调性，y＝ln(4＋3x－x2)在上是增函数．
9．②③
10．(1)解：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴log＝－log?＝＞0
?1－a2x2＝1－x2?a＝±1.检验a＝1(舍)，
∴a＝－1.
(2)证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.
∴0＜＜
?0＜1＋＜1＋?0＜＜
?log＞log，即f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
(3)解：f(x)－x＞m恒成立．
令g(x)＝f(x)－x.只需g(x)min＞m，用定义可以证g(x)在[3,4]上是增函数，
∴g(x)min＝g(3)＝－.∴当m＜－时原式恒成立．
2．2.5 对数函数及其性质(3)
1．D 解析：c＝0.3>0，a＝log2<0，b＝log3<0，并且log2>log3，所以c>a>b.
2．C 解析：y＝3x－2的图象向左平移2个单位得到y＝3x的图象，其反函数为y＝log3x.
3．B 4.B 5.B 6.D 7.A
8．C 解析：将A项函数沿着直线y＝x对折即可得到函数y＝log2x.将B沿着x轴对折，将D向下平移1个单位再沿x轴对折即可．
9. 提示：利用奇函数的定义或f(0)＝0.
10．解：(1)要使函数有意义，则有
解得－3所以函数f(x)的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，
由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
即x2＋2x－2＝0，x＝－1±.
∵－1±∈(－3,1)，
∴方程f(x)＝0的解为－1±.
(3)函数可化为f(x)＝loga(－x2－2x＋3)
＝loga[－(x＋1)2＋4]，
∵－3∵0即f(x)min＝loga4.
由loga4＝－4，得a－4＝4.∴a＝4－＝.
2．3 幂函数
1．C 2.A
3．C 解析：设f(x)＝xα，则有2α＝，解得α＝－，即f(x)＝x，所以f(4)＝4＝.
4．A 5.B 6.B
7．解：解得m＝1或m＝2.
8．(1)②④ (2)①⑤⑧⑨
9．依次是E，C，A，G，B，D，H，F
10．解：(1)若f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，
即m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数，
则所以m＝－1.
(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－.此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(4)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(5)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
综上所述，当m＝2或m＝－1时，f(x)是幂函数；
当m＝－1时，f(x)既是幂函数，又是(0，＋∞)上的增函数；
当m＝－时，f(x)是正比例函数；
当m＝－时，f(x)是反比例函数；
当m＝－1时，f(x)是二次函数．
第二章自主检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．下列结论中正确的个数有( )
①幂函数的图象一定过原点；
②当α<0时，幂函数是减函数；
③当α>0时，幂函数是增函数；
④函数y＝2x2既是二次函数，又是幂函数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．方程3x－1＝的解为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
3．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
A B C D
4．已知x，y为正实数，则( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
5．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝9－x2
B．y＝x·log0.23＋1
C．y＝x
D．y＝
6．已知三个对数函数：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，它们分别对应如图2-1中标号为①②③三个图象，则a，b，c的大小关系是( )
图2-1
A．aC．c7．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝( )
A．－1 B.
C．－1或 D．1或－
8．记函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x)．如果函数y＝f(x)的图象过点(1,0)，那么函数y＝f－1(x)＋1的图象过点( )
A．(0,0) B．(0,2)
C．(1,1) D．(2,0)
9．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝0，则满足f(log2x)>0的x的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B.
C.∪(2，＋∞)
D.
10．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c.则( )
A．aC．c二、填空题(每小题5分，共20分)
11．若幂函数的图象经过点(9,3)，则f(64)＝________________.
12．lg＋lg的值为____________．
13．已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝____________.
14．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
三、解答题(共80分)
15．(12分)计算：
(1)＋－＋3·e0；
(2).
16．(12分)求函数y＝的定义域．
17．(14分)求函数y＝4x－2x＋1(x∈[－2,3])的值域．
18．(14分)已知函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)计算：[f(1)]2－[g(1)]2；
(2)证明：[f(x)]2－[g(x)]2是定值．
19．(14分)已知函数f(x)＝.
(1)求证：不论a为何实数，f(x)总是为增函数；
(2)确定a的值，使f(x)为奇函数；
(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
20．(14分)已知函数f(x)＝loga是奇函数(a>0，a≠1)．
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，x∈(r，a－2)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a与r的值．
第二章自主检测
1．A 2.D 3.A 4.D 5.C
6．C 解析：作直线y＝1，与图象交点的横坐标为相应解析式的底．
7．C
8．B 解析：∵y＝f(x)的图象过点(1,0)，
∴其反函数y＝f－1(x)必过点(0,1)，即f－1(0)＝1.
∴y＝f－1(x)＋1的图象过点(0,2)．
9．C 10.A
11．8 解析：设幂函数为f(x)＝xα，点(9,3)满足解析式，则3＝9α，即3＝32α，∴α＝，∴f(x)＝x，f(64)＝(64)＝8.
12．1 解析：lg＋lg＝lg＝1.
13．20 解析：32a－b＝(3a)2÷3b＝4÷＝20.
14．6 10 000 解析：由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，故此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.所以＝104＝10 000.故9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
15．解：(1)原式＝＋(10)－＋3×1＝＋10－＋3＝13.
(2)原式＝＝＝3.
16．解：由题意，得log0.3(2x－12)≥0.
因为y＝log0.3u是(0，＋∞)上的减函数，
所以解得6所以所求函数的定义域是.
17．解：令t＝2x，因为x∈[－2,3]，
所以2－2≤2x≤23，即t∈.
又y＝2＋，当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57.
所以原函数的值域是.
18．(1)解：[f(1)]2－[g(1)]2
＝[f(1)＋g(1)]·[f(1)－g(1)]＝2×＝1.
(2)证明：∵[f(x)]2－[g(x)]2
＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]
＝＝2x·2－x＝1，为定值．即本题得证．
19．(1)证明：依题意，f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
原函数即为f(x)＝a－.
设x1＝a－－a＋＝.
∵x10.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴不论a为何实数，f(x)总为增函数．
(2)解：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，
则2a＝＋＝＋＝1.
解得a＝.∴f(x)＝－.
(3)解：由(2)知：f(x)＝－.
∵2x＋1>1,0<<1，
∵－1<－<0，∴－∴函数f(x)的值域为.
20．解：(1)由题意，f(x)＋f(－x)
＝loga＋loga＝loga＝0
?m2x2－1＝x2－1?m＝±1，而m＝1时，函数没意义，
∴m＝－1.
(2)由(1)，得f(x)＝loga(a>0，a≠1)，
任取x1，x2∈(1，＋∞)，设x1则t(x1)＝，t(x2)＝.
t(x1)－t(x2)＝－＝.
∵x1>1，x2>1，x10，x2－1>0，x2－x1>0.
∴t(x1)>t(x2)，即>.
∴当a>1时， loga>loga，f(x)在(1，＋∞)是减函数；
当0(3)当a>1时，要使f(x)值域是(1，＋∞)，则
loga>1，∴>a，即>0.
而a>1，∴上式化为<0. ①
又f(x)＝loga＝loga(1＋)，
∴当x>1时，f(x)>0；当x<1时，f(x)<0，
因而欲使f(x)的值域是(1，＋∞)，必须x>1.
∴不等式①，当且仅当1∴
解得r＝1，a＝2＋.
