江西省赣州市六校联盟2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题（含解析）

赣州市六校联盟2022-2023学年高一下学期5月联考
数学
考试时间：120分钟；满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在签题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
2．向量，若，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
3．在中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与以10为半径的圆交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别是．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，点是函数与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，内角所对的边分别为，下列根据条件判断三角形解的情况正确的是（ ）
A．，无解 B．，有两解
C．，只有一解 D．，只有一解
10．已知复数，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若，则 D．若，则
11．已知某曲线部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．一条对称轴方程为
C．在上单调递增
D．图象可以由图象向左平移个单位长度得到
12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则点为的中点
C．向量在上的投影向量为
D．若点在线段上，且，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算:________．
14．已知平面直角坐标系中向量的旋转和复数有关，对于任意向量，对应复数，向量逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量．这就是向量的旋转公式．已知正三角形的两个顶点坐标是，根据此公式，求得点的坐标是_______．（任写一个即可）
15．用表示不超过实数的最大整数，譬如：则方程的解为_______．
16．在中，角的对边分别为，且，则的最小值为____．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
17．（10分）已知是虚数单位，复数．
（1）若复数满足，求；
（2）若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值．
18．（12分）已知向量满足，且．
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值．
19．（12分）已知．
（1）求；
（2）若，求．
20．（12分）设函数．
（1）当时，求函数的值域；
（2）的内角所对的边分别为的面积是且．，求的面积．
21．（12分）为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评．如图，送餐人员小明从处出发，前往三个地点送餐．已知，且．
（1）求的长度；
（2）假设均为平坦的直线型马路，小明骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小明完成送餐任务．若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小明完成送餐任务的最短时间．
22．（12分）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点个数．
赣州市六校联盟2022-2023学年高一下学期5月联考
数学
参考答案
1．C【解析】，故的虚部为．故选：C．
2．B【解析】由，又，所以且，故得故选：.
3．C【解析】由条件知点为的中点，故．故选：C．
4．D【解析】，且，则，又可得，故，所以函数是周期的周期函数，．故选：D．
5．A【解析】
所以，
所以．故选：A．
6．C【解析】在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与半径为10的圆交于点．
故选：C．
7．D【解析】由，得，故，
故，所以．
又，
设，则，解得或（舍去）．故选：D．
8．B【解析】由条件可得，，作出两个函数和的图象，如图所示：
因为点为连续相邻三交点，（不妨设点在轴下方）点为的中点．
由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，得，
则，所以，
要使为钝角三角形，只需即可，
由，所以．故选：．
9．CD【解析】对于，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；对于B，，由正弦定理得，无解，B错误；对于C，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确；
对于，有，则，此时，有唯一解，D正确．故选：CD．
10．【解析】对于，虚数不能比较大小，故不正确．对于，设，
若，则，
所以即所以，
若，则成立，此时；
若，由得，由得，此时；
若，由得，所以，此时，
所以，若，则或，故正确；
对于，设，则，但，故不正确；
对于，设，所以，故D正确；故选：BD．
11．ABD【解析】对于：因为，所以由图象知，
，所以，
又因为，且在的单调递减区间上，所以
因为，所以，
又因为，所以，所以，故A正确；
对于B：，故对称轴方程为，当时，，故B正确；
对于C：由知，
由，解得，
所以的单调递增区间为，故C错误；
对于D：图象向左平移个单位长度得到，
，故D正确．故选：ABD．
12．CD【解析】如图所示：以为轴，为轴建立平面直角坐标系，
设，则，整理得到，
且点，，设点，
对于选项，显然，故A错误；
对于选项B：，，
，整理得到，即，与正八边形有两个交点，故B错误；
对于选项C：，
，即投影向量为，故正确；
对于选项D：，
因为，所以，
整理得到，故，故D正确．故选：CD．
13．【解析】
．故答案为：．
14．或【解析】不妨设点的坐标为，若由逆时针旋转得到，
因为点，所以，
从而对应的复数为，
对应的复数为，
所以，解得，
故的坐标是．
若由逆时针旋转得到，则点的坐标是．
故答案为：或．
15．【解析】，
当时，，可得，符合题意；
当时，，
（i）若，即或．，符合题意，，不符合题意，舍去；
（ii）若，即或，符合题意，，不符合题意，舍去；
当时，即，故或，此时无意义，舍去．
综上所述，方程的解为或．
故答案为：．
16．【解析】在中，角的对边分别为，
，当且仅当时取等号，，故，
由余弦定理可知，，
由正弦定理得，即，
，
，故．
所以的最小值为．
故答案为：．
17．解:（1），
所以．
（2）因为为实系数方程的一根，
所以，即，
所以且，故．
所以．
18．解：（1）因为，所以，
即，解得，
若，则，即，
即，解得．
（2）因为，
又，
所以，
即与的夹角的余弦值为．
19．解:（1）因为，
（2）由，得，
由，得，又，故，
又，得，故．
所以，
又因为，所以．
20．解：（1）
，则，
所以函数的值域为．
（2）由（1）知，，即，
，故，即，
由，得，
所以，即，又因为，所以，
，
又，故．
21．解：（1）因为，所以，
在中，由余弦定理，得
（2）在中，，由余弦定理，得
，
所以，
所以．
在中，由余弦定理，得
解得．
假设小明先去地，走路线，路长，
假设小明先去地，因为，所以走路线，路长，
假设小明先去地，走路线，路长，
由于，
所以小明走路线，且完成送餐任务的最短时间为，即小明完成送餐任务的最短时间为8分钟．
22．解：（1）由三角函数的周期公式可得，所以，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，有，得，
由于，所以，则，
因此．
（2）将函数图象向右平移个单位长度，
所得图象解析式为，
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
故．
的周期为，
当时，令，考虑方程的根的情况，
因为，故在上必有两个不同的实数根不妨设，
因为在上有奇数个零点，则或．
（i）当时，在上有个零点，不符合题意；
（ii）当时，在上有个零点，符合题意，此时；
（iii）当时，
（1）由（i）知，当时，在上有个零点，不符合题意；
（2）当时，在上有个零点，不符合题意；
（3）当时，在上有个零点，不符合题意；综上，在共有3035个不同的零点．