人教版数学八年级下册 第十六章 二次根式 整章教案
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| 名称 | 人教版数学八年级下册 第十六章 二次根式 整章教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 971.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-27 19:00:15 | ||
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文档简介
第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
本节课是在七年级学习平方根的基础上，继续学习二次根式的概念，是初中阶段对“数与式”的进一步拓展，为后面勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础．本课时主要对二次根式的概念以及二次根式有意义的条件进行研究，教学时要注意强调二次根式被开方数大于等于零，教学过程中应注重培养学生的归纳概括能力．
【情景导入】
如果已知学校正方形花坛的面积为20 m2，那么你知道正方形花坛的边长是多少吗？
如果已知学校圆形花坛的面积为S m2，那么你知道圆形花坛的半径是多少吗？
【说明与建议】 说明：从学生熟悉的情境入手， 感受二次根式与实际生活的紧密联系，体会学习二次根式的必要性．建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的问题，使学生充分理解二次根式的概念．
【置疑导入】
1．4的平方根是________，0的平方根是________，－16________平方根．
2．5的平方根是________，5的算术平方根是________．
3．若正方形的面积为S，则它的边长为________．
【说明与建议】 说明：让学生在填空过程中得到一些需要开平方的式子，结合平方根的概念，引导学生理解所给的式子的实际意义，从而自然地给出二次根式的概念．建议：让学生独立完成上述问题，教师进行适当引导和评价．注意让学生体会由特殊到一般的思维过程，培养学生的概括能力．
命题角度1 用定义判断一个式子是不是二次根式
1．下列式子中，不是二次根式的是(C)
A． B． C．x2－1 D．
2．下列各式：，，，，(x≥1)，中，一定是二次根式的有(B)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
命题角度2 二次根式有意义的条件
3．二次根式中字母x的取值可以是(D)
A．－1 B．－ C．0 D．3
4．要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足x≥－3．
命题角度3 二次根式非负性的应用
5．已知实数m，n满足|m＋3|＋＝0，则m＝－3，n＝1．
课题 16.1 第1课时 二次根式的概念 授课人
素养目标 1.理解二次根式的概念．2．理解并掌握二次根式有意义的条件．3．通过对二次根式的概念的探究，提高数学探究和归纳能力．4．经历观察、归纳、总结等数学活动，感受数学的严谨性和趣味性．
教学重点 二次根式的概念以及被开方数的取值范围．
教学难点 二次根式双重非负性的应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 还记得“”表示什么吗？又读作什么呢？你知道平方根与算术平方根之间有什么区别吗？ 学生回忆平方根和算术平方根的内容，为突破本节难点做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】请同学们回答下列问题：(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________；(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m; (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系式h＝5t2.若用含有h的式子表示t，则t＝________． 从学生已有的知识出发，由平方根过渡到二次根式的学习．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．二次根式的概念(1)观察上面得到的式子，，，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？(2)你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？归纳：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．二次根式有意义的条件问题1 被开方数需要满足什么样的条件？问题2 为什么要满足这样的条件？问题3 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动：学生独立思考，教师引导学生回顾在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．x为任意实数时，x2都为非负数，都有意义．x≥0时，x3为非负数，有意义．总结：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．3.的双重非负性请同学们想一想，有没有可能小于零？为什么？由平方根的意义可得(a≥0)表示非负数a的算术平方根，一定也是非负的．由此可得的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平方根≥0. 通过观察、归纳、总结等过程，让学生发现二次根式的概念及有意义的条件，教师提问进一步发现二次根式的双重非负性，从而培养学生的抽象逻辑思维．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第2页例1)当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：由x－2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义．例2 若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C)A.x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式被开方数大于等于零再次进行强调．【变式训练】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2)； (3)； (4).解：(1)x≤1.(2)x≥.(3)x为任意实数．(4)－1≤x≤1.师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时对回答正确的同学给予肯定． 1.典型例题进一步巩固新知，培养学生的思维习惯，加强学生对二次根式相关概念的理解．2．变式训练使学生进一步体会二次根式被开方数为非负数的条件．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列式子中，不属于二次根式的是(C)A. B． C． D．2．已知是二次根式，则a的值可以是(C)A.－2 B．－1 C．2 D．－73．已知一个正方形的面积是6，那么它的边长为．4．使式子有意义的x的取值范围是x＞2．5．已知x，y都是实数，且y＝＋＋3，求xy的值．解：根据二次根式的定义，得x－2≥0，2－x≥0，所以x＝2，y＝3.则xy＝23＝8.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，从多个角度，分层检测，达到了解课堂学习效果的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)二次根式的概念．(2)怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围？2．布置作业：教材第3页练习第1，2题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第2课时 二次根式的性质
本节课是在学习二次根式的概念之后，继续深入探索二次根式的性质，利用性质来对二次根式进行化简，为后面学习二次根式的运算奠定基础．本课时从算术平方根的意义出发，探究二次根式的两条基本性质，引出代数式的概念，使学生原有的知识结构得到扩充与发展．教学过程中，教师要注意强调对两条性质进行区分，培养学生的抽象逻辑思维．
【置疑导入】
你能指出下列运算过程中的错误吗？
()2＝(－)2，可以写为(－2)2＝(2－)2.
两边开平方，得＝.
所以－2＝2－，即＝－.
学了今天的内容我们就彻底明白以上运算为什么错误了，让我们进入今天的探索吧！
【说明与建议】 说明：设计纠错问题激发学生学习的主动性与积极性．建议：教学中教师要鼓励学生积极地投入到观察、分析、计算、讨论中，让学生独立应用相关性质解决对应的问题，教师最后作适当点评．
命题角度1 利用二次根式的性质()2＝a(a≥0)解题
1．计算：
(1)()2；(2)(3)2；(3)()2；(4)()2.
解：(1)原式＝.(2)原式＝45.(3)原式＝.(4)原式＝.
命题角度2 逆用二次根式的性质()2＝a(a≥0)解题
2．在实数范围内分解因式：x2－3＝(x－)(x＋)．
命题角度3 利用二次根式的性质＝a(a≥0)解题
3．化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)原式＝3.(2)原式＝4.(3)原式＝5.(4)原式＝3.
4．若＝3－x成立，则x满足的条件为(B)
A．x≥3 B．x≤3 C．x>3 D．x<3
根号的由来
现在，我们都认识了根号，并感受到它使用起来既简洁又方便．那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？古时候，埃及人用记号“”表示平方根．印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka.1480年前后，德国人用标注在数字前的一个点表示平方根，两个点表示四次方根，三个点表示立方根．到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴.1525 年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，但是他的写法未得到普遍认可与采纳．与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一词的第一个字母q或“立方”一词中的第一个字母c来表示开的是多少次方．直到十七世纪，法国数学家笛卡尔(1596－1650)第一个使用了现在通用的根号．在一本书中，笛卡尔直接展示了现在所用的根号的写法．这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号，不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩，这就是现在的根号形式．现在所用的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一些书中看到立方根的符号．之后，现在所用的根号渐渐使用开来．
课题 16.1 第2课时 二次根式的性质 授课人
素养目标 1.理解二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0).2．会运用二次根式的性质进行有关计算和化简．3．通过对的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论()2＝a(a≥0)，感受数学知识的内在联系．4．经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐．
教学重点 二次根式的两个性质：()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0).
教学难点 二次根式性质的运用与化简．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题：1.，有意义吗？为什么？2.表示的意义是什么？表示的意义是什么？ 利用这两个式子复习算术平方根的基本形式和二次根式被开方数的取值范围，为学习二次根式的性质打下基础．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】根据算术平方根的意义填空：()2＝________；()2＝________；()2＝________；()2＝________． 为突破本节难点做准备．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．()2＝a(a≥0)是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()2＝4.(1)请同学们按照这种方法说出其他几道题的做法．(2)观察上面几个式子有什么共同点？能够用含字母的式子归纳出来吗？师生活动：组织学生小组讨论思考作答，教师再予以评价与补充，最后一起归纳出二次根式的性质1.归纳：一般地，
活动二：实践探究、交流新知 2.＝a(a≥0)问题1 ＝________；＝________；＝________；＝________．问题2 请学生计算出上面各式的答案，类比性质1的探究过程，尝试用字母a写出你的猜想．问题3 ＝________；＝________．问题4 a的取值范围有什么要求？师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比思考，得出二次根式的性质2.总结： 当a≥0时，＝a；当a<0时，＝－a.根据绝对值的意义可知：当a≥0时，|a|＝a；当a<0时，|a|＝－a.由此可知：＝|a|.由于(a≥0)表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意义，的平方等于a，因此我们就得到一个结论：3．代数式代数式的定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式． 通过问题串带领学生进入数学的思考中，引导学生自主探究，小组合作，类比归纳，发现二次根式的性质，锻炼学生自主学习的能力，培养其数学思维的严谨性．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第3页例2)计算：(1)()2；(2)(2)2.解：(1)原式＝1.5.(2)原式＝20.例2 (教材第4页例3)化简：(1)；(2).解：(1)原式＝4.(2)原式＝5.师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式的两条性质之间的区别作出强调．【变式训练】说出下列各式的值：(1) (－)2; (2)－；(3)；(4).解：(1) 0.2.(2)－π.(3).(4)|m－1|.师生活动：学生独立思考并作答，并说出运用的是哪一条性质，教师及时对回答正确的同学给予肯定． 1.典型例题是对新知的运用，提高学生对性质的运用能力，强化对两条性质的理解与区分．2．变式训练提高难度，拓展思维，进一步加深学生对二次根式两条性质的理解与运用．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列式子中，计算正确的是(C)A.＝－ B．－＝－0.6C.＝13 D．(－)2＝362．已知是整数，则正整数n的最小值是(B)A.4 B．2 C．3 D．03．若实数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简：－|b－c|＝－a＋b－c．4．若＝3－x，则x的取值范围是x≤3．5．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半径r(用含有V和h的代数式表示)；当V＝80π，h＝5时，求底面半径r的值．解：圆柱体的体积V＝πr2h，所以r＝.把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 当堂检测，巩固新知，灵活运用所学知识解决问题，及时反馈学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课有哪些收获？(2)学习本节课后，还有哪些困惑？2．布置作业：教材第4页练习第1，2题；第5页习题16.1第2，4题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
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16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
本节课是在学生已经学习了二次根式的概念、性质的基础上进一步学习二次根式的乘法，同时也为后面学习二次根式的除法、加减法等运算做准备，具有承上启下的作用，在教材中处于重要的地位．对于学生，之前学习了二次根式的性质、化简，现在所学的乘法是对性质的应用和实践．学生在观察讨论交流的过程中，能主动探索，勇于发现，培养学生知识的迁移和联系能力以及转化的数学思想．
【情景导入】
张大爷有一块长方形菜地，长为 m，宽为 m，你能求出菜地的面积吗？
【说明与建议】 说明：利用实际问题引入新课，感受二次根式与实际生活的紧密联系，激发学生学习的积极性．建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的问题，使学生充分理解二次根式乘法法则学习的必要性．
【置疑导入】
1．填空：
(1)×＝6，＝6;
(2)×＝20，＝20;__
(3)×＝60，＝60．
2．提出问题：你能用字母表示你发现的规律吗？
【说明与建议】 说明：引导学生在计算、观察的基础上，让学生自主发现问题、探索问题、解决问题．建议：教师要使学生主动地去发现问题，并积极发言，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，通过教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知．
命题角度1 二次根式的乘法
1．下列各等式成立的是(D)
A．4×2＝8 B．5×4＝20
C．4×3＝7 D．5×4＝20
2．计算：(1)×；(2)×；(3)·；(4)－5×6.
解：(1)原式＝8.(2)原式＝2.(3)原式＝.(4)原式＝－10.
命题角度2 逆用二次根式乘法法则进行二次根式的化简
3．化简：(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)原式＝12.(2)原式＝3.(3)原式＝3|xy|.(4)原式＝3.
命题角度3 二次根式的大小比较
4．比较大小：3>4.
课题 16.2 第1课时 二次根式的乘法 授课人
素养目标 1.理解·＝(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．2．利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．3．经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程．4．通过合作探究，激发学生积极参与数学学习的兴趣，培养合作交流能力．
教学重点 二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
教学难点 能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 二次根式有哪些性质？二次根式的性质有哪些用法？ 回顾旧知，为学习新知做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)×＝________，＝________．(2)×＝________，＝________．(3)×＝________，＝________．利用多媒体出示问题，请学生观察运算结果，并分小组讨论，共同发现并总结式子有什么规律． 培养学生的观察能力以及合作解决问题的好习惯．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．二次根式的乘法法则(1)参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空，并通过计算加以验证．×________.×________.(2)你找出二次根式乘法运算的规律了吗？尝试写出含字母的二次根式等式？师生活动：学生独立思考后再小组内交流想法，最后全班分享，教师帮助完善和补充，得出法则．结论：一般地，二次根式的乘法法则是·＝(a≥0，b≥0)2．积的算术平方根的性质把·＝反过来，可以得到积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0).问题1 a，b的取值有什么特点？问题2 为什么要满足这样的关系？问题3 积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？总结：积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．注意：(1)公式中的非负数的条件；(2)在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解(或因数分解)；(3)·＝可推广为：··＝(a≥0，b≥0，c≥0). 通过观察、归纳、总结等过程，让学生发现二次根式的乘法法则．探究法则的正用、逆用，可以培养学生灵活运用代数法则解决问题，对于提高运算能力有帮助．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (1)(教材第6页例1)计算：①×；②×.解：①原式＝.②原式＝3.(2)(教材第7页例2)化简：①；②.解：①原式＝36.②原式＝2|ab|.例2 (教材第7页例3)计算：(1)×；(2)3×2；(3)·.解：(1)原式＝7.(2)原式＝30.(3)原式＝x.师生活动：教师引导、点拨，指定不同学生到黑板做题，完成后师生共同评价．【变式训练】1．化简的结果是(D)A.2 B．－2 C．－4 D．42．填空：(1)＝；(2)·＝4xy．师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时对回答正确的同学给予肯定． 1.通过典型例题和变式训练帮助学生掌握解题过程及书写格式，同时培养学生良好的学习习惯．2．学生到黑板演练，可促进学生之间取长补短，相互借鉴，共同进步．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列各等式成立的是(D)A.4×2＝8 B．5×4＝20C.4×3＝7 D．5×4＝202．计算：(1)×；(2)×；(3)2·.解：(1)原式＝.(2)原式＝6.(3)原式＝2.3．化简：(1)×；(2)；(3)；(4).解：(1)原式＝77.(2)原式＝15.(3)原式＝2.(4)原式＝4|bc|.4．一个长方形的长和宽分别是 cm和2 cm，则这个长方形的面积为4cm2.师生活动：学生完成当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 当堂检测，及时获知学生所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课你学到了什么？有哪些收获？(2)在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？2．布置作业：教材第7页练习第1，2题，教材第10页习题16.2第1题． 通过课堂小结的形式，引导学生对本节课所学知识进行整理，同时明确学习重点．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第2课时 二次根式的除法
本节内容是在二次根式的乘法性质的基础上学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生结合具体实例，类比二次根式乘法的性质，归纳得到二次根式的除法性质．结合二次根式的除法性质的正用和逆用进行二次根式的化简与运算，是本节的主线．从化简与运算引出分母有理化，这是将二次根式化为最简二次根式的必要方法．
【情景导入】
小明家里有一块长方形地毯，已知面积为 m2，长为 m，宽为多少呢？
【说明与建议】 说明：利用实际问题引入新课，感受二次根式与实际生活的紧密联系，激发学生学习的积极性．建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的问题，使学生充分理解二次根式除法法则学习的必要性．
【置疑导入】
1．填空：
(1)＝________，＝________； (2)＝________，＝________；
(3)＝________，＝________； (4)＝________，＝________．
2．提出问题：你能用字母表示你发现的规律吗？
【说明与建议】 说明：引导学生在计算、观察的基础上，让学生自主发现问题、探索问题、解决问题．建议：教师要使学生主动地去发现问题，并积极发言，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，通过教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知．
命题角度1 二次根式的除法
1．计算：(1)；(2)÷.
解：(1)原式＝2.(2)原式＝2.
命题角度2 最简二次根式
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是(B)
A． B． C． D．
3．把下列二次根式化简为最简二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)＝.(2)＝＝4.(3)＝＝.(4)＝＝2.
命题角度3 二次根式的乘除混合运算
4．计算：
(1)÷×；(2)÷×；(3)×4÷.
解：(1)原式＝2÷3×3＝2××3＝2.
(2)原式＝÷×＝＝＝1.
(3)原式＝×4××＝3＝3×6＝18.
课题 16.2 第2课时 二次根式的除法 授课人
素养目标 1.理解＝(a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简． 2.利用逆向思维，得出＝(a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．3．掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题．4．通过合作探究，激发求知欲，了解类比思想．
教学重点 二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
教学难点 能利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 计算：(1)×；(2)3×；(3)·. 复习二次根式的乘法法则，为本节课做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)＝________，＝________； (2)＝________，＝________； (3)＝________，＝________． 培养学生的观察能力以及合作解决问题的好习惯．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．二次根式的除法法则根据以上运算结果，可发现如下规律：＝；＝；＝.两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数．师生活动：请学生总结上述规律，类比二次根式的乘法法则，尝试写出二次根式除法法则的表达式．结论：一般地，二次根式的除法法则是＝(a≥0，b>0)2．商的算术平方根的性质把＝反过来，可以得到积的算术平方根的性质：＝(a≥0，b>0).问题1 你能理解这个二次根式除法的逆运算吗？问题2 类比积的算术平方根的性质，你能说说商的算术平方根的性质有什么作用吗？师生活动：教师组织学生独立思考后，再请同学分享想法，全班共同点评．总结：商的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．注意：(1)当a＜0，b＜0时，虽然有意义，但是＝，而不等于.(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，再做计算．3．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
通过问题串，引导学生积极参与到课堂中来，类比上一节二次根式的乘法一节，引导学生自主探索，把课堂交给学生，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，培养学生的类比思想，掌握二次根式的除法运算法则．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第8页例4)计算：(1)；(2)÷.解：(1)原式＝＝＝2.(2)原式＝＝＝3.例2 (教材第8页例5)化简：(1)；(2).解：(1)原式＝＝.(2)原式＝＝＝.例3 (教材第9页例6)计算：(1)；(2)；(3).解：(1)原式＝＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝.(3)原式＝＝＝.师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，提醒学生注意对化简结果的要求．【变式训练】1. 计算：(1)；(2)(b>0).解：(1)原式＝＝.(2)原式＝＝.2．(教材第9页例7)设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S＝2，b＝，求a.解：因为S＝ab，所以a＝＝＝＝.师生活动：学生独立完成为主，有困难的可以小组讨论，同学互助完成，教师再检查点评． 1.通过典型例题的讲解，帮助学生掌握本课时的主要内容，理解二次根式的化简过程．2.变式训练进一步巩固所学知识，培养学生的应用意识和能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列根式中，不是最简二次根式的是(B)A. B． C． D．2．若a＝，b＝，则(D)A.a，b互为相反数 B．a，b互为倒数 C.ab＝5 D．a＝b3．把化简后得2．4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值为2．5．计算：(1)÷×；(2)÷(－)×3.解：(1)原式＝.(2)原式＝－3.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 设计不同形式的习题，为学生提供演练机会，从多个角度检测学生对二次根式除法的掌握情况，强化学生对二次根式乘除法的运算．
课堂小结 1.课堂小结：(1)二次根式的除法法则是什么？什么是最简二次根式？(2)在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？2．布置作业：教材第10页练习第1，2题，教材第10页习题16.2第2题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
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16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
本节内容是在学习二次根式的性质以及乘除法法则的基础上学习的，是二次根式运算的进一步深入．二次根式的加减是把二次根式化为最简二次根式之后，把同类二次根式进行合并，可以类比整式的加减来学习．所以本节课内容是对前两节二次根式的乘除以及化简的综合运用，进一步发展学生的运算能力，加强数感，体会类比思想．
【类比导入】
1．复习回顾，感悟知识：
(1)2x和5x________(填“是”或“不是”)同类项，所以2x＋5x＝________；
(2)3a2和－a3________(填“是”或“不是”)同类项，所以3a2＋2a2－a3＝________．
2．类比探索：
猜一猜：被开方数相同的二次根式应该如何加减？
被开方数不同的二次根式又该如何加减？
【说明与建议】 说明： 类比整式的加减，让学生归纳出被开方数相同的二次根式相加减的方法，并进行简单计算．建议： 在教学过程中，教师应注重问题的提出过程，知识的形成过程，能力的发展过程以及解决问题的方法．
命题角度1 利用二次根式合并的条件解题
1．若和最简二次根式3是同类二次根式，则m＝3．
2．若最简二次根式与可以合并，则m－n＝0．
命题角度2 二次根式的加减运算
3．计算－3的结果是．
4．计算：(1)10＋7－5； (2)＋(－).
解：（1）原式＝10＋14－20＝4.
（2）原式＝3＋7－3＝10－3.
命题角度3 二次根式的化简求值
5．先化简，再求值：＋－2，其中a＝.
解：原式＝3a＋4－5＝(3a－1).
当a＝时，原式＝(3×－1)×＝×＝.
测量大师——海伦
海伦(Heron of Alexandria，约1世纪)生于埃及，是古希腊数学家、力学家、机械学家和测量家，曾在罗马帝国的著名学术研究城市亚历山大教授数学、物理学等．海伦着重于研究数学的实际应用，这可以从他的著作《测地术》《几何》《体积求法》中略知一二．《测地术》 更被古代的人们采用了数百年之久．除此之外，他曾替欧几里得 (Euclid，约公元前330－公元前 275)的《几何原本》作注释及补充．
海伦以解决几何测量问题而闻名，他给出了很多平面图形的面积公式和立体的体积计算公式．例如正三边形至正十二边形的面积计算方法．在《测地术》中，他更给出了著名的三角形的面积公式——海伦公式．
此外，海伦还把他的理论应用于机械设计，并有《机械学》《投石炮》《炮枪设计》等著作．同时他亦是水钟、测量仪、起重机等的设计者．可见他是一位把数学应用于生活的天才．
已知三角形的三条边长分别是a，b，c，则三角形的面积为S＝，其中p＝，这个公式叫海伦公式．
海伦公式出现在《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式实际上是阿基米德发现的，但是这个名称已成为习惯用法，我们仍称这个公式为海伦 秦九韶公式．
课题 16.3 第1课时 二次根式的加减 授课人
素养目标 1.通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加减法运算．2．会二次根式的加减，能通过加减法运算解决实际问题．3．通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想．4．经历探究二次根式加减法法则的过程，激发学习热情，体验成功的快乐．
教学重点 二次根式的加减运算．
教学难点 正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 化简：(1)；(2)；(3). 复习二次根式的化简，为本节课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方法，帮助分析． 以实际问题引入新课，激发学生的学习兴趣，感受本节课学习的必要性，加强新旧知识的联系．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．针对【课堂引入】的问题，教师继续提出如下问题问题1 怎样设计出解决问题的正确方案？问题2 如何计算＋？问题3 如何比较＋与7.5的大小？师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生类比整式的加减，先将和化成最简二次根式，再利用分配律进行计算．2．下列计算是否正确？为什么？(1)－＝；(2)＋＝；(3)×＝；(4)3－＝2.教师活动：教师点拨，化简后出现的可看成x，被开方数相同的二次根式加减法可看作合并同类项．学生活动：学生小组讨论，总结二次根式的加减法步骤：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来，包含前面的符号，被开方数和根指数不变；(2)当二次根式的系数是带分数时，必须将其化成假分数；(3)化简后，被开方数不相同的根式不能合并． 通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，类比整式的加减，将被开方数相同的二次根式合并．其中，要注意强调二次根式加减运算与乘除运算的联系和区别，避免一些常见的错误，提高解题的准确度．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第13页例1) 计算：(1)－；(2)＋.解：(1)原式＝4－3＝.(2)原式＝3＋5＝8.例2 (教材第13页例2)计算：(1)2－6＋3；(2)(＋)＋(－).解：(1)原式＝4－2＋12＝14.(2)原式＝2＋2＋－＝3＋．师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．【变式训练】计算：(1)＋；解：原式＝4＋8＝12.(2)－2＋.解：原式＝5－2＋3＝6.师生活动：学生独立完成，然后互相展示，交流答案，教师关注学生对运算法则的运用是否正确． 1.通过典型例题的讲解，帮助学生掌握本课时的主要内容，理解二次根式的化简过程．2．变式训练进一步巩固所学知识，培养学生的应用意识和能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．计算3＋的值是(C)A.5 B．6 C．4 D．22．下列根式中可以与合并的是(B)A. B． C． D．3．下列计算正确的是(C)A.5－4＝1 B．＋＝ C.－＝ D．3＋2＝54．三角形的三边长分别为 cm， cm， cm，则这个三角形的周长为(5＋2)cm.5．计算：(1)5－2＋；(2)2－＋.解：(1)原式＝13－6.(2)原式＝＋.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 当堂检测，巩固新知，灵活运用所学知识解决问题，及时反馈学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)怎样进行二次根式的加减计算？(2)在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？2．布置作业：教材第13页练习第1，2，3题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第2课时 二次根式的混合运算
学生已经学习了二次根式的加减、乘除运算，了解了二次根式的三个重要概念(最简二次根式、同类二次根式、分母有理化)，在此基础上，本节课学习将加、减、乘、除、平方、开方综合在一起的混合运算．在有理数的混合运算以及整式的混合运算的基础上，了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，熟练掌握二次根式的混合运算．
【类比导入】
1．复习回顾，感悟知识：
计算：＋(－)－1－×.
2．问题导入：以上题目分别涉及了哪些运算？运算法则是什么？
3．你还能说出有理数以及整式混合运算的顺序吗？
(类比得出二次根式混合运算的顺序与整式的混合运算顺序相同)
4．猜一猜：被开方数相同的二次根式应该如何加减？被开方数不同的二次根式又该如何加减？
【说明与建议】 说明：通过题目唤起旧知，让学生在具体的题目中加深对二次根式运算法则的回忆．建议：在教学过程中，请学生类比有理数的混合运算顺序，尝试推出二次根式混合运算的顺序．
【情景导入】
已知长方形的长是5＋2，宽是，你能求出它的面积吗？
【说明与建议】 说明：创设问题情境，激发学生的探索兴趣和求知欲望．建议：教师出示问题，引导学生列出算式，学生观察、分析、列式，注意培养学生独立思考的学习习惯．
命题角度1 二次根式的混合运算
1．计算：
(1)－3；
解：原式＝－3＝－3＝3－3＝0.
(2)÷×；
解：原式＝××＝3.
(3)(－2)×－6.
解：原式＝×－2×－6×＝3－6－3＝－6.
命题角度2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
2．计算：(1)(3＋1)(3－1)＝17；
(2)(＋1)2－.
解：原式＝2＋2＋1－2＝3.
命题角度3 与二次根式有关的化简求值
3．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值．
(1)x2＋2xy＋y2；
(2)x2＋y2.
解：∵x＝＋1，y＝－1，
∴x＋y＝2，xy＝2－1＝1.
(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2)2＝8.
(2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝8－2×1＝6.
课题 16.3 第2课时 二次根式的混合运算 授课人
素养目标 1.掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算．2．熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用．3．通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，体会类比思想．
教学重点 二次根式的混合运算．
教学难点 灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 你还记得有理数混合运算的顺序吗？二次根式的乘除法和加减法的运算法则是什么？ 回顾旧知，更好地融入新知，为新课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】教师节快要到了，为了表达对老师的敬意，小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为4 500 cm2，他准备再用金彩带镶边．他现在有一条1.2 m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方法，列出正确的式子． 创设情境，激发学生的学习兴趣，感受本节课学习的必要性，顺利引入新课．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．初步感知针对【课堂引入】的问题，在教师的引导下，学生列出算式：4×(＋).继续提出如下问题：问题1 怎样计算4×(＋) 问题2 你能联想到我们以前学过的整式运算中的哪一种运算？师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生回忆学习过的整式乘法中的分配律，类比单项式乘多项式尝试计算，并全班交流．2．深入探究(1)你能根据多项式乘多项式的方法计算下面的式子吗？(－2)(2－).(2)你能说出整式的乘法公式吗？你能根据公式计算下列式子吗？①(－2)(＋2)；②(－2)2.师生活动：学生分小组进行交流讨论，教师巡视指导，注意提醒学生2平方时，要把外面的2和都平方．最后请学生类比有理数混合运算的顺序，说出二次根式混合运算的顺序．归纳：(1)先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的；(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，类比整式的混合运算以及乘法公式，学生能很容易得到二次根式混合运算的顺序．通过小组合作，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究，合作交流，归纳总结，体会数学的学习乐趣．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第14页例3)计算：(1)(＋)×；(2)(4－3)÷2.解：(1)原式＝4＋3.(2)原式＝2－.例2 (教材第14页例4)计算：(1)(＋3)(－5)；(2)(＋)(－).解：(1)原式＝－13－2.(2)原式＝2.师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．【变式训练】1．已知a＝＋2，b＝2－，则a2 024b2 023的值为(B)A.＋2 B．－－2 C．1 D．－12．计算：(3－)(3＋)＋(2－).解：原式＝9－7＋2－2＝2.师生活动：学生独立完成，然后互相展示，交流答案，教师关注学生对运算法则的运用是否正确． 通过例题教学，使学生对本节课的重点能够理解得更到位．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．计算(－)的结果为(B)A. B．－ C．－6 D．6－2．计算(＋)(－)的值等于(B)A.2 B．－2 C． D．3．计算：(＋)2－＝5．4．计算：(1)÷－×2；(2)÷(－)－×＋.解：(1)原式＝2－6.(2)原式＝－4.5．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋y(x＋2y)－(x－y)2，其中x＝2＋，y＝2－.解：原式＝x2－y2＋xy＋2y2－(x2－2xy＋y2)＝x2－y2＋xy＋2y2－x2＋2xy－y2＝3xy.当x＝2＋，y＝2－时，原式＝3×(2＋)(2－)＝3×(4－3)＝3.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 进一步巩固新知，查漏补缺，熟练掌握二次根式的混合运算．
课堂小结 1.课堂小结：(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？(2)学习本节课后，你还有哪些困惑？2．布置作业：教材第14页练习第1，2题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一位学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
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16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
本节课是在七年级学习平方根的基础上，继续学习二次根式的概念，是初中阶段对“数与式”的进一步拓展，为后面勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础．本课时主要对二次根式的概念以及二次根式有意义的条件进行研究，教学时要注意强调二次根式被开方数大于等于零，教学过程中应注重培养学生的归纳概括能力．
【情景导入】
如果已知学校正方形花坛的面积为20 m2，那么你知道正方形花坛的边长是多少吗？
如果已知学校圆形花坛的面积为S m2，那么你知道圆形花坛的半径是多少吗？
【说明与建议】 说明：从学生熟悉的情境入手， 感受二次根式与实际生活的紧密联系，体会学习二次根式的必要性．建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的问题，使学生充分理解二次根式的概念．
【置疑导入】
1．4的平方根是________，0的平方根是________，－16________平方根．
2．5的平方根是________，5的算术平方根是________．
3．若正方形的面积为S，则它的边长为________．
【说明与建议】 说明：让学生在填空过程中得到一些需要开平方的式子，结合平方根的概念，引导学生理解所给的式子的实际意义，从而自然地给出二次根式的概念．建议：让学生独立完成上述问题，教师进行适当引导和评价．注意让学生体会由特殊到一般的思维过程，培养学生的概括能力．
命题角度1 用定义判断一个式子是不是二次根式
1．下列式子中，不是二次根式的是(C)
A． B． C．x2－1 D．
2．下列各式：，，，，(x≥1)，中，一定是二次根式的有(B)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
命题角度2 二次根式有意义的条件
3．二次根式中字母x的取值可以是(D)
A．－1 B．－ C．0 D．3
4．要使式子有意义，字母x的取值范围必须满足x≥－3．
命题角度3 二次根式非负性的应用
5．已知实数m，n满足|m＋3|＋＝0，则m＝－3，n＝1．
课题 16.1 第1课时 二次根式的概念 授课人
素养目标 1.理解二次根式的概念．2．理解并掌握二次根式有意义的条件．3．通过对二次根式的概念的探究，提高数学探究和归纳能力．4．经历观察、归纳、总结等数学活动，感受数学的严谨性和趣味性．
教学重点 二次根式的概念以及被开方数的取值范围．
教学难点 二次根式双重非负性的应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 还记得“”表示什么吗？又读作什么呢？你知道平方根与算术平方根之间有什么区别吗？ 学生回忆平方根和算术平方根的内容，为突破本节难点做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】请同学们回答下列问题：(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________；(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m; (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系式h＝5t2.若用含有h的式子表示t，则t＝________． 从学生已有的知识出发，由平方根过渡到二次根式的学习．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．二次根式的概念(1)观察上面得到的式子，，，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？(2)你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？归纳：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．二次根式有意义的条件问题1 被开方数需要满足什么样的条件？问题2 为什么要满足这样的条件？问题3 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动：学生独立思考，教师引导学生回顾在实数范围内，负数无平方根，所以被开方数只能是非负数．x为任意实数时，x2都为非负数，都有意义．x≥0时，x3为非负数，有意义．总结：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．3.的双重非负性请同学们想一想，有没有可能小于零？为什么？由平方根的意义可得(a≥0)表示非负数a的算术平方根，一定也是非负的．由此可得的双重非负性：被开方数a≥0，a的算术平方根≥0. 通过观察、归纳、总结等过程，让学生发现二次根式的概念及有意义的条件，教师提问进一步发现二次根式的双重非负性，从而培养学生的抽象逻辑思维．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第2页例1)当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：由x－2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义．例2 若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是(C)A.x≥ B．x≤ C．x＝ D．x≠师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式被开方数大于等于零再次进行强调．【变式训练】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2)； (3)； (4).解：(1)x≤1.(2)x≥.(3)x为任意实数．(4)－1≤x≤1.师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时对回答正确的同学给予肯定． 1.典型例题进一步巩固新知，培养学生的思维习惯，加强学生对二次根式相关概念的理解．2．变式训练使学生进一步体会二次根式被开方数为非负数的条件．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列式子中，不属于二次根式的是(C)A. B． C． D．2．已知是二次根式，则a的值可以是(C)A.－2 B．－1 C．2 D．－73．已知一个正方形的面积是6，那么它的边长为．4．使式子有意义的x的取值范围是x＞2．5．已知x，y都是实数，且y＝＋＋3，求xy的值．解：根据二次根式的定义，得x－2≥0，2－x≥0，所以x＝2，y＝3.则xy＝23＝8.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，从多个角度，分层检测，达到了解课堂学习效果的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)二次根式的概念．(2)怎样求二次根式的被开方数中字母的取值范围？2．布置作业：教材第3页练习第1，2题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
详见电子资源
第2课时 二次根式的性质
本节课是在学习二次根式的概念之后，继续深入探索二次根式的性质，利用性质来对二次根式进行化简，为后面学习二次根式的运算奠定基础．本课时从算术平方根的意义出发，探究二次根式的两条基本性质，引出代数式的概念，使学生原有的知识结构得到扩充与发展．教学过程中，教师要注意强调对两条性质进行区分，培养学生的抽象逻辑思维．
【置疑导入】
你能指出下列运算过程中的错误吗？
()2＝(－)2，可以写为(－2)2＝(2－)2.
两边开平方，得＝.
所以－2＝2－，即＝－.
学了今天的内容我们就彻底明白以上运算为什么错误了，让我们进入今天的探索吧！
【说明与建议】 说明：设计纠错问题激发学生学习的主动性与积极性．建议：教学中教师要鼓励学生积极地投入到观察、分析、计算、讨论中，让学生独立应用相关性质解决对应的问题，教师最后作适当点评．
命题角度1 利用二次根式的性质()2＝a(a≥0)解题
1．计算：
(1)()2；(2)(3)2；(3)()2；(4)()2.
解：(1)原式＝.(2)原式＝45.(3)原式＝.(4)原式＝.
命题角度2 逆用二次根式的性质()2＝a(a≥0)解题
2．在实数范围内分解因式：x2－3＝(x－)(x＋)．
命题角度3 利用二次根式的性质＝a(a≥0)解题
3．化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)原式＝3.(2)原式＝4.(3)原式＝5.(4)原式＝3.
4．若＝3－x成立，则x满足的条件为(B)
A．x≥3 B．x≤3 C．x>3 D．x<3
根号的由来
现在，我们都认识了根号，并感受到它使用起来既简洁又方便．那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？古时候，埃及人用记号“”表示平方根．印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka.1480年前后，德国人用标注在数字前的一个点表示平方根，两个点表示四次方根，三个点表示立方根．到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴.1525 年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，但是他的写法未得到普遍认可与采纳．与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一词的第一个字母q或“立方”一词中的第一个字母c来表示开的是多少次方．直到十七世纪，法国数学家笛卡尔(1596－1650)第一个使用了现在通用的根号．在一本书中，笛卡尔直接展示了现在所用的根号的写法．这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号，不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩，这就是现在的根号形式．现在所用的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一些书中看到立方根的符号．之后，现在所用的根号渐渐使用开来．
课题 16.1 第2课时 二次根式的性质 授课人
素养目标 1.理解二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0).2．会运用二次根式的性质进行有关计算和化简．3．通过对的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论()2＝a(a≥0)，感受数学知识的内在联系．4．经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐．
教学重点 二次根式的两个性质：()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0).
教学难点 二次根式性质的运用与化简．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题：1.，有意义吗？为什么？2.表示的意义是什么？表示的意义是什么？ 利用这两个式子复习算术平方根的基本形式和二次根式被开方数的取值范围，为学习二次根式的性质打下基础．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】根据算术平方根的意义填空：()2＝________；()2＝________；()2＝________；()2＝________． 为突破本节难点做准备．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．()2＝a(a≥0)是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()2＝4.(1)请同学们按照这种方法说出其他几道题的做法．(2)观察上面几个式子有什么共同点？能够用含字母的式子归纳出来吗？师生活动：组织学生小组讨论思考作答，教师再予以评价与补充，最后一起归纳出二次根式的性质1.归纳：一般地，
活动二：实践探究、交流新知 2.＝a(a≥0)问题1 ＝________；＝________；＝________；＝________．问题2 请学生计算出上面各式的答案，类比性质1的探究过程，尝试用字母a写出你的猜想．问题3 ＝________；＝________．问题4 a的取值范围有什么要求？师生活动：学生独立思考，教师引导学生类比思考，得出二次根式的性质2.总结： 当a≥0时，＝a；当a<0时，＝－a.根据绝对值的意义可知：当a≥0时，|a|＝a；当a<0时，|a|＝－a.由此可知：＝|a|.由于(a≥0)表示非负数a的算术平方根，根据平方根的意义，的平方等于a，因此我们就得到一个结论：3．代数式代数式的定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式． 通过问题串带领学生进入数学的思考中，引导学生自主探究，小组合作，类比归纳，发现二次根式的性质，锻炼学生自主学习的能力，培养其数学思维的严谨性．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第3页例2)计算：(1)()2；(2)(2)2.解：(1)原式＝1.5.(2)原式＝20.例2 (教材第4页例3)化简：(1)；(2).解：(1)原式＝4.(2)原式＝5.师生活动：学生先独立完成作答，教师对二次根式的两条性质之间的区别作出强调．【变式训练】说出下列各式的值：(1) (－)2; (2)－；(3)；(4).解：(1) 0.2.(2)－π.(3).(4)|m－1|.师生活动：学生独立思考并作答，并说出运用的是哪一条性质，教师及时对回答正确的同学给予肯定． 1.典型例题是对新知的运用，提高学生对性质的运用能力，强化对两条性质的理解与区分．2．变式训练提高难度，拓展思维，进一步加深学生对二次根式两条性质的理解与运用．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列式子中，计算正确的是(C)A.＝－ B．－＝－0.6C.＝13 D．(－)2＝362．已知是整数，则正整数n的最小值是(B)A.4 B．2 C．3 D．03．若实数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简：－|b－c|＝－a＋b－c．4．若＝3－x，则x的取值范围是x≤3．5．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半径r(用含有V和h的代数式表示)；当V＝80π，h＝5时，求底面半径r的值．解：圆柱体的体积V＝πr2h，所以r＝.把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 当堂检测，巩固新知，灵活运用所学知识解决问题，及时反馈学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课有哪些收获？(2)学习本节课后，还有哪些困惑？2．布置作业：教材第4页练习第1，2题；第5页习题16.1第2，4题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
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16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
本节课是在学生已经学习了二次根式的概念、性质的基础上进一步学习二次根式的乘法，同时也为后面学习二次根式的除法、加减法等运算做准备，具有承上启下的作用，在教材中处于重要的地位．对于学生，之前学习了二次根式的性质、化简，现在所学的乘法是对性质的应用和实践．学生在观察讨论交流的过程中，能主动探索，勇于发现，培养学生知识的迁移和联系能力以及转化的数学思想．
【情景导入】
张大爷有一块长方形菜地，长为 m，宽为 m，你能求出菜地的面积吗？
【说明与建议】 说明：利用实际问题引入新课，感受二次根式与实际生活的紧密联系，激发学生学习的积极性．建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的问题，使学生充分理解二次根式乘法法则学习的必要性．
【置疑导入】
1．填空：
(1)×＝6，＝6;
(2)×＝20，＝20;__
(3)×＝60，＝60．
2．提出问题：你能用字母表示你发现的规律吗？
【说明与建议】 说明：引导学生在计算、观察的基础上，让学生自主发现问题、探索问题、解决问题．建议：教师要使学生主动地去发现问题，并积极发言，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，通过教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知．
命题角度1 二次根式的乘法
1．下列各等式成立的是(D)
A．4×2＝8 B．5×4＝20
C．4×3＝7 D．5×4＝20
2．计算：(1)×；(2)×；(3)·；(4)－5×6.
解：(1)原式＝8.(2)原式＝2.(3)原式＝.(4)原式＝－10.
命题角度2 逆用二次根式乘法法则进行二次根式的化简
3．化简：(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)原式＝12.(2)原式＝3.(3)原式＝3|xy|.(4)原式＝3.
命题角度3 二次根式的大小比较
4．比较大小：3>4.
课题 16.2 第1课时 二次根式的乘法 授课人
素养目标 1.理解·＝(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．2．利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)，并运用它进行解题和化简．3．经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程．4．通过合作探究，激发学生积极参与数学学习的兴趣，培养合作交流能力．
教学重点 二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．
教学难点 能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 二次根式有哪些性质？二次根式的性质有哪些用法？ 回顾旧知，为学习新知做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)×＝________，＝________．(2)×＝________，＝________．(3)×＝________，＝________．利用多媒体出示问题，请学生观察运算结果，并分小组讨论，共同发现并总结式子有什么规律． 培养学生的观察能力以及合作解决问题的好习惯．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．二次根式的乘法法则(1)参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空，并通过计算加以验证．×________.×________.(2)你找出二次根式乘法运算的规律了吗？尝试写出含字母的二次根式等式？师生活动：学生独立思考后再小组内交流想法，最后全班分享，教师帮助完善和补充，得出法则．结论：一般地，二次根式的乘法法则是·＝(a≥0，b≥0)2．积的算术平方根的性质把·＝反过来，可以得到积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0).问题1 a，b的取值有什么特点？问题2 为什么要满足这样的关系？问题3 积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系？总结：积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．注意：(1)公式中的非负数的条件；(2)在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解(或因数分解)；(3)·＝可推广为：··＝(a≥0，b≥0，c≥0). 通过观察、归纳、总结等过程，让学生发现二次根式的乘法法则．探究法则的正用、逆用，可以培养学生灵活运用代数法则解决问题，对于提高运算能力有帮助．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (1)(教材第6页例1)计算：①×；②×.解：①原式＝.②原式＝3.(2)(教材第7页例2)化简：①；②.解：①原式＝36.②原式＝2|ab|.例2 (教材第7页例3)计算：(1)×；(2)3×2；(3)·.解：(1)原式＝7.(2)原式＝30.(3)原式＝x.师生活动：教师引导、点拨，指定不同学生到黑板做题，完成后师生共同评价．【变式训练】1．化简的结果是(D)A.2 B．－2 C．－4 D．42．填空：(1)＝；(2)·＝4xy．师生活动：学生独立思考并作答，教师进行提问并及时对回答正确的同学给予肯定． 1.通过典型例题和变式训练帮助学生掌握解题过程及书写格式，同时培养学生良好的学习习惯．2．学生到黑板演练，可促进学生之间取长补短，相互借鉴，共同进步．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列各等式成立的是(D)A.4×2＝8 B．5×4＝20C.4×3＝7 D．5×4＝202．计算：(1)×；(2)×；(3)2·.解：(1)原式＝.(2)原式＝6.(3)原式＝2.3．化简：(1)×；(2)；(3)；(4).解：(1)原式＝77.(2)原式＝15.(3)原式＝2.(4)原式＝4|bc|.4．一个长方形的长和宽分别是 cm和2 cm，则这个长方形的面积为4cm2.师生活动：学生完成当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 当堂检测，及时获知学生所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课你学到了什么？有哪些收获？(2)在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？2．布置作业：教材第7页练习第1，2题，教材第10页习题16.2第1题． 通过课堂小结的形式，引导学生对本节课所学知识进行整理，同时明确学习重点．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第2课时 二次根式的除法
本节内容是在二次根式的乘法性质的基础上学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生结合具体实例，类比二次根式乘法的性质，归纳得到二次根式的除法性质．结合二次根式的除法性质的正用和逆用进行二次根式的化简与运算，是本节的主线．从化简与运算引出分母有理化，这是将二次根式化为最简二次根式的必要方法．
【情景导入】
小明家里有一块长方形地毯，已知面积为 m2，长为 m，宽为多少呢？
【说明与建议】 说明：利用实际问题引入新课，感受二次根式与实际生活的紧密联系，激发学生学习的积极性．建议：让学生相互讨论，使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流的学习习惯，通过解决所设置的问题，使学生充分理解二次根式除法法则学习的必要性．
【置疑导入】
1．填空：
(1)＝________，＝________； (2)＝________，＝________；
(3)＝________，＝________； (4)＝________，＝________．
2．提出问题：你能用字母表示你发现的规律吗？
【说明与建议】 说明：引导学生在计算、观察的基础上，让学生自主发现问题、探索问题、解决问题．建议：教师要使学生主动地去发现问题，并积极发言，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，通过教师的点拨引导，学生积极开展小组合作学习，交流探索新知．
命题角度1 二次根式的除法
1．计算：(1)；(2)÷.
解：(1)原式＝2.(2)原式＝2.
命题角度2 最简二次根式
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是(B)
A． B． C． D．
3．把下列二次根式化简为最简二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)＝.(2)＝＝4.(3)＝＝.(4)＝＝2.
命题角度3 二次根式的乘除混合运算
4．计算：
(1)÷×；(2)÷×；(3)×4÷.
解：(1)原式＝2÷3×3＝2××3＝2.
(2)原式＝÷×＝＝＝1.
(3)原式＝×4××＝3＝3×6＝18.
课题 16.2 第2课时 二次根式的除法 授课人
素养目标 1.理解＝(a≥0，b>0)，并能利用它进行计算和化简． 2.利用逆向思维，得出＝(a≥0，b>0)，并运用它进行解题和化简．3．掌握用从特殊到一般的方法，解决数学问题．4．通过合作探究，激发求知欲，了解类比思想．
教学重点 二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．
教学难点 能利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 计算：(1)×；(2)3×；(3)·. 复习二次根式的乘法法则，为本节课做准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)＝________，＝________； (2)＝________，＝________； (3)＝________，＝________． 培养学生的观察能力以及合作解决问题的好习惯．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．二次根式的除法法则根据以上运算结果，可发现如下规律：＝；＝；＝.两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数．师生活动：请学生总结上述规律，类比二次根式的乘法法则，尝试写出二次根式除法法则的表达式．结论：一般地，二次根式的除法法则是＝(a≥0，b>0)2．商的算术平方根的性质把＝反过来，可以得到积的算术平方根的性质：＝(a≥0，b>0).问题1 你能理解这个二次根式除法的逆运算吗？问题2 类比积的算术平方根的性质，你能说说商的算术平方根的性质有什么作用吗？师生活动：教师组织学生独立思考后，再请同学分享想法，全班共同点评．总结：商的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．注意：(1)当a＜0，b＜0时，虽然有意义，但是＝，而不等于.(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，再做计算．3．最简二次根式(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式，并且分母中不含二次根式．
通过问题串，引导学生积极参与到课堂中来，类比上一节二次根式的乘法一节，引导学生自主探索，把课堂交给学生，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，培养学生的类比思想，掌握二次根式的除法运算法则．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第8页例4)计算：(1)；(2)÷.解：(1)原式＝＝＝2.(2)原式＝＝＝3.例2 (教材第8页例5)化简：(1)；(2).解：(1)原式＝＝.(2)原式＝＝＝.例3 (教材第9页例6)计算：(1)；(2)；(3).解：(1)原式＝＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝.(3)原式＝＝＝.师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，提醒学生注意对化简结果的要求．【变式训练】1. 计算：(1)；(2)(b>0).解：(1)原式＝＝.(2)原式＝＝.2．(教材第9页例7)设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S＝2，b＝，求a.解：因为S＝ab，所以a＝＝＝＝.师生活动：学生独立完成为主，有困难的可以小组讨论，同学互助完成，教师再检查点评． 1.通过典型例题的讲解，帮助学生掌握本课时的主要内容，理解二次根式的化简过程．2.变式训练进一步巩固所学知识，培养学生的应用意识和能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．下列根式中，不是最简二次根式的是(B)A. B． C． D．2．若a＝，b＝，则(D)A.a，b互为相反数 B．a，b互为倒数 C.ab＝5 D．a＝b3．把化简后得2．4．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值为2．5．计算：(1)÷×；(2)÷(－)×3.解：(1)原式＝.(2)原式＝－3.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 设计不同形式的习题，为学生提供演练机会，从多个角度检测学生对二次根式除法的掌握情况，强化学生对二次根式乘除法的运算．
课堂小结 1.课堂小结：(1)二次根式的除法法则是什么？什么是最简二次根式？(2)在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？2．布置作业：教材第10页练习第1，2题，教材第10页习题16.2第2题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
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16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
本节内容是在学习二次根式的性质以及乘除法法则的基础上学习的，是二次根式运算的进一步深入．二次根式的加减是把二次根式化为最简二次根式之后，把同类二次根式进行合并，可以类比整式的加减来学习．所以本节课内容是对前两节二次根式的乘除以及化简的综合运用，进一步发展学生的运算能力，加强数感，体会类比思想．
【类比导入】
1．复习回顾，感悟知识：
(1)2x和5x________(填“是”或“不是”)同类项，所以2x＋5x＝________；
(2)3a2和－a3________(填“是”或“不是”)同类项，所以3a2＋2a2－a3＝________．
2．类比探索：
猜一猜：被开方数相同的二次根式应该如何加减？
被开方数不同的二次根式又该如何加减？
【说明与建议】 说明： 类比整式的加减，让学生归纳出被开方数相同的二次根式相加减的方法，并进行简单计算．建议： 在教学过程中，教师应注重问题的提出过程，知识的形成过程，能力的发展过程以及解决问题的方法．
命题角度1 利用二次根式合并的条件解题
1．若和最简二次根式3是同类二次根式，则m＝3．
2．若最简二次根式与可以合并，则m－n＝0．
命题角度2 二次根式的加减运算
3．计算－3的结果是．
4．计算：(1)10＋7－5； (2)＋(－).
解：（1）原式＝10＋14－20＝4.
（2）原式＝3＋7－3＝10－3.
命题角度3 二次根式的化简求值
5．先化简，再求值：＋－2，其中a＝.
解：原式＝3a＋4－5＝(3a－1).
当a＝时，原式＝(3×－1)×＝×＝.
测量大师——海伦
海伦(Heron of Alexandria，约1世纪)生于埃及，是古希腊数学家、力学家、机械学家和测量家，曾在罗马帝国的著名学术研究城市亚历山大教授数学、物理学等．海伦着重于研究数学的实际应用，这可以从他的著作《测地术》《几何》《体积求法》中略知一二．《测地术》 更被古代的人们采用了数百年之久．除此之外，他曾替欧几里得 (Euclid，约公元前330－公元前 275)的《几何原本》作注释及补充．
海伦以解决几何测量问题而闻名，他给出了很多平面图形的面积公式和立体的体积计算公式．例如正三边形至正十二边形的面积计算方法．在《测地术》中，他更给出了著名的三角形的面积公式——海伦公式．
此外，海伦还把他的理论应用于机械设计，并有《机械学》《投石炮》《炮枪设计》等著作．同时他亦是水钟、测量仪、起重机等的设计者．可见他是一位把数学应用于生活的天才．
已知三角形的三条边长分别是a，b，c，则三角形的面积为S＝，其中p＝，这个公式叫海伦公式．
海伦公式出现在《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式实际上是阿基米德发现的，但是这个名称已成为习惯用法，我们仍称这个公式为海伦 秦九韶公式．
课题 16.3 第1课时 二次根式的加减 授课人
素养目标 1.通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加减法运算．2．会二次根式的加减，能通过加减法运算解决实际问题．3．通过整式的加减运算与二次根式的加减运算比较，体会类比思想．4．经历探究二次根式加减法法则的过程，激发学习热情，体验成功的快乐．
教学重点 二次根式的加减运算．
教学难点 正确合并被开方数相同的二次根式，二次根式加减法的实际应用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 化简：(1)；(2)；(3). 复习二次根式的化简，为本节课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方法，帮助分析． 以实际问题引入新课，激发学生的学习兴趣，感受本节课学习的必要性，加强新旧知识的联系．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．针对【课堂引入】的问题，教师继续提出如下问题问题1 怎样设计出解决问题的正确方案？问题2 如何计算＋？问题3 如何比较＋与7.5的大小？师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生类比整式的加减，先将和化成最简二次根式，再利用分配律进行计算．2．下列计算是否正确？为什么？(1)－＝；(2)＋＝；(3)×＝；(4)3－＝2.教师活动：教师点拨，化简后出现的可看成x，被开方数相同的二次根式加减法可看作合并同类项．学生活动：学生小组讨论，总结二次根式的加减法步骤：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来，包含前面的符号，被开方数和根指数不变；(2)当二次根式的系数是带分数时，必须将其化成假分数；(3)化简后，被开方数不相同的根式不能合并． 通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，类比整式的加减，将被开方数相同的二次根式合并．其中，要注意强调二次根式加减运算与乘除运算的联系和区别，避免一些常见的错误，提高解题的准确度．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第13页例1) 计算：(1)－；(2)＋.解：(1)原式＝4－3＝.(2)原式＝3＋5＝8.例2 (教材第13页例2)计算：(1)2－6＋3；(2)(＋)＋(－).解：(1)原式＝4－2＋12＝14.(2)原式＝2＋2＋－＝3＋．师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．【变式训练】计算：(1)＋；解：原式＝4＋8＝12.(2)－2＋.解：原式＝5－2＋3＝6.师生活动：学生独立完成，然后互相展示，交流答案，教师关注学生对运算法则的运用是否正确． 1.通过典型例题的讲解，帮助学生掌握本课时的主要内容，理解二次根式的化简过程．2．变式训练进一步巩固所学知识，培养学生的应用意识和能力．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．计算3＋的值是(C)A.5 B．6 C．4 D．22．下列根式中可以与合并的是(B)A. B． C． D．3．下列计算正确的是(C)A.5－4＝1 B．＋＝ C.－＝ D．3＋2＝54．三角形的三边长分别为 cm， cm， cm，则这个三角形的周长为(5＋2)cm.5．计算：(1)5－2＋；(2)2－＋.解：(1)原式＝13－6.(2)原式＝＋.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 当堂检测，巩固新知，灵活运用所学知识解决问题，及时反馈学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)怎样进行二次根式的加减计算？(2)在计算过程中，你认为应该注意哪些问题？2．布置作业：教材第13页练习第1，2，3题． 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第2课时 二次根式的混合运算
学生已经学习了二次根式的加减、乘除运算，了解了二次根式的三个重要概念(最简二次根式、同类二次根式、分母有理化)，在此基础上，本节课学习将加、减、乘、除、平方、开方综合在一起的混合运算．在有理数的混合运算以及整式的混合运算的基础上，了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，熟练掌握二次根式的混合运算．
【类比导入】
1．复习回顾，感悟知识：
计算：＋(－)－1－×.
2．问题导入：以上题目分别涉及了哪些运算？运算法则是什么？
3．你还能说出有理数以及整式混合运算的顺序吗？
(类比得出二次根式混合运算的顺序与整式的混合运算顺序相同)
4．猜一猜：被开方数相同的二次根式应该如何加减？被开方数不同的二次根式又该如何加减？
【说明与建议】 说明：通过题目唤起旧知，让学生在具体的题目中加深对二次根式运算法则的回忆．建议：在教学过程中，请学生类比有理数的混合运算顺序，尝试推出二次根式混合运算的顺序．
【情景导入】
已知长方形的长是5＋2，宽是，你能求出它的面积吗？
【说明与建议】 说明：创设问题情境，激发学生的探索兴趣和求知欲望．建议：教师出示问题，引导学生列出算式，学生观察、分析、列式，注意培养学生独立思考的学习习惯．
命题角度1 二次根式的混合运算
1．计算：
(1)－3；
解：原式＝－3＝－3＝3－3＝0.
(2)÷×；
解：原式＝××＝3.
(3)(－2)×－6.
解：原式＝×－2×－6×＝3－6－3＝－6.
命题角度2 乘法公式在二次根式混合运算中的应用
2．计算：(1)(3＋1)(3－1)＝17；
(2)(＋1)2－.
解：原式＝2＋2＋1－2＝3.
命题角度3 与二次根式有关的化简求值
3．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值．
(1)x2＋2xy＋y2；
(2)x2＋y2.
解：∵x＝＋1，y＝－1，
∴x＋y＝2，xy＝2－1＝1.
(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2)2＝8.
(2)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝8－2×1＝6.
课题 16.3 第2课时 二次根式的混合运算 授课人
素养目标 1.掌握混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律，能熟练地进行二次根式的混合运算．2．熟练掌握含有二次根式的多项式乘法公式的应用．3．通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习习惯，体会类比思想．
教学重点 二次根式的混合运算．
教学难点 灵活运用因式分解、约分等技巧，使计算简便．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 你还记得有理数混合运算的顺序吗？二次根式的乘除法和加减法的运算法则是什么？ 回顾旧知，更好地融入新知，为新课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】教师节快要到了，为了表达对老师的敬意，小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm2，另一张面积为4 500 cm2，他准备再用金彩带镶边．他现在有一条1.2 m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方法，列出正确的式子． 创设情境，激发学生的学习兴趣，感受本节课学习的必要性，顺利引入新课．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．初步感知针对【课堂引入】的问题，在教师的引导下，学生列出算式：4×(＋).继续提出如下问题：问题1 怎样计算4×(＋) 问题2 你能联想到我们以前学过的整式运算中的哪一种运算？师生活动：学生分组讨论，交流合作，探求方法．教师引导学生回忆学习过的整式乘法中的分配律，类比单项式乘多项式尝试计算，并全班交流．2．深入探究(1)你能根据多项式乘多项式的方法计算下面的式子吗？(－2)(2－).(2)你能说出整式的乘法公式吗？你能根据公式计算下列式子吗？①(－2)(＋2)；②(－2)2.师生活动：学生分小组进行交流讨论，教师巡视指导，注意提醒学生2平方时，要把外面的2和都平方．最后请学生类比有理数混合运算的顺序，说出二次根式混合运算的顺序．归纳：(1)先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的；(2)在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 通过提出问题，让学生积极参与到课堂中来，类比整式的混合运算以及乘法公式，学生能很容易得到二次根式混合运算的顺序．通过小组合作，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究，合作交流，归纳总结，体会数学的学习乐趣．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第14页例3)计算：(1)(＋)×；(2)(4－3)÷2.解：(1)原式＝4＋3.(2)原式＝2－.例2 (教材第14页例4)计算：(1)(＋3)(－5)；(2)(＋)(－).解：(1)原式＝－13－2.(2)原式＝2.师生活动：学生板书演示，小组评价，教师巡视提示，关注学生能否正确化简，并再次强调哪些二次根式可以合并，哪些不可以合并．【变式训练】1．已知a＝＋2，b＝2－，则a2 024b2 023的值为(B)A.＋2 B．－－2 C．1 D．－12．计算：(3－)(3＋)＋(2－).解：原式＝9－7＋2－2＝2.师生活动：学生独立完成，然后互相展示，交流答案，教师关注学生对运算法则的运用是否正确． 通过例题教学，使学生对本节课的重点能够理解得更到位．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．计算(－)的结果为(B)A. B．－ C．－6 D．6－2．计算(＋)(－)的值等于(B)A.2 B．－2 C． D．3．计算：(＋)2－＝5．4．计算：(1)÷－×2；(2)÷(－)－×＋.解：(1)原式＝2－6.(2)原式＝－4.5．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋y(x＋2y)－(x－y)2，其中x＝2＋，y＝2－.解：原式＝x2－y2＋xy＋2y2－(x2－2xy＋y2)＝x2－y2＋xy＋2y2－x2＋2xy－y2＝3xy.当x＝2＋，y＝2－时，原式＝3×(2＋)(2－)＝3×(4－3)＝3.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 进一步巩固新知，查漏补缺，熟练掌握二次根式的混合运算．
课堂小结 1.课堂小结：(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？(2)学习本节课后，你还有哪些困惑？2．布置作业：教材第14页练习第1，2题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一位学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
详见电子资源