人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 整章教案
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 整章教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-27 19:02:49 | ||
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文档简介
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
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本节课是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础，在实际生活中用途很大．
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【情景导入】
国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，如图所示就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？
这个图案是我国汉代数学家赵爽创造的，被称为“赵爽弦图”．今天我们就用这个图形来验证几何学上的瑰宝——勾股定理．
【说明与建议】 说明：以赵爽弦图为背景，展现民族历史上的辉煌成就，激起学生对勾股定理的探索兴趣，点燃学生的求知欲，引领学生进入情境(集中注意力).建议：在教学中要通过拼图活动剪拼赵爽弦图证明勾股定理，使学生体会数形结合思想，激发探索精神．
【置疑导入】
相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的地砖发呆．原来，朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的地砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．原来，他发现了地砖上的直角三角形三边的某种数学关系．那么他发现了什么？今天我们就来研究这个问题．
【说明与建议】 说明：从毕达哥拉斯在朋友家做客的偶然发现这一故事入手，引入本节课的课题——勾股定理，使学生接受起来更自然、贴切，并且激发了学生的学习兴趣．建议：教师给出历史小故事，设置悬念，引发学生思考．学生对故事中的问题会很感兴趣，教学中要充分利用此例激发学生探究问题的欲望．
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命题角度1 勾股定理的认识
1．如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为84．
2．将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，使点A，E，D在同一条直线上．利用用字母表示此图的面积证明勾股定理．
证明：由题意，得Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC.
∵∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DEC＋∠AEB＝90°.
∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．
∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BEC＋S△DEC，
∴＝＋＋.
∴＝.
∴a2＋b2＝c2.
命题角度2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC中，∠B＝90°.
(1)若AB＝3，BC＝4，则AC＝5；
(2)若AC＝13，AB＝5，则BC＝12．
4．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2，则AF的长为，BC的长为．
第4题图 第5题图
5．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD.若AD＝5，CD＝7，则BC＝2．
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课题 17.1 第1课时 勾股定理 授课人
素养目标 1.会用拼图的方法验证勾股定理，并会用这个定理进行简单的计算．2．会用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
教学重点 探索和验证勾股定理．
教学难点 用拼图的方法验证勾股定理．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边．问题：三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？师生活动：教师引导，学生回答．我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊三角形，它有许多特殊的性质．研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，我国古代人把直角三角形中较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫做“弦”(在我国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”).直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？这就是我们要研究的问题． 1.学生回忆并回答，为突破本节难点做准备．2．回顾三角形的内角和是180°以及三角形任意两边的和大于第三边，由三角形三边的不等关系引导学生思考三角形三边之间是否存在等量关系．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】1．请你算出下面各图中三个正方形的面积．你有什么发现？ 2．你得到的猜想是两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积．师生活动：在学生计算面积时可以引导学生利用正方形的面积等于边长的平方来计算，也可以利用“割补法”进行计算． 问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】观察特例→发现新知(1)你能找出图中正方形A，B，C的面积之间的关系吗？(2)正方形A，B，C所围等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？师生活动：教师展示图片并提出问题．学生观察图片，分组交流讨论．学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A，B中的小等腰直角三角形补成一个大正方形得到正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．深入探究→交流归纳等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？ 1.渗透从特殊到一般的数学思想．为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．
活动二：实践探究、交流新知 观察下图：思考：上图中，每个小方格的面积均为1，请你分别计算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积，看看能得出什么结论．A的面积B的面积C的面积4913A′的面积B′的面积C′的面积92534 正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？A的面积＋B的面积＝C的面积，A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形A，B，C的面积并完成填表．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积．学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积．或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积．学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积．在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方．师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.拼图验证→加深理解利用拼图游戏验证勾股定理，并思考：能用下图证明这个结论吗？已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c.求证：a2＋b2＝c2.解：整个图形可以看作是边长为c的正方形，它的面积为c2．也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b－a的正方形组成，其面积为4×ab＋(b－a)2．所以可以得到等式：4×ab＋(b－a)2＝c2．化简，得a2＋b2＝c2．师生活动：教师指导学生阅读教材第23～24页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明命题1的．学生在弦图验证的基础上，参照教材开展拼图活动，以小组为单位，合作探究．总结定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 2.鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验．3.通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生探求新知的欲望．给学生充分的时间与空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，则c＝5；(2)已知c＝25，b＝15，则a＝20；(3)已知c＝19，a＝13，则b＝8；(结果保留根号)(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝12．例2 4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为c2＋2×ab＝c2＋ab，也可以表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab.∴a2＋b2＝c2.【变式训练】1．如图，根据图中所给的数据，可求出直角三角形中未知边的长度a＝6，b＝24． 第1题图 第2题图2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝4，∠B＝45°，DC＝1，则AC＝3．3．如图，对任意符合条件的Rt△BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．解：由旋转，得△ABC≌△AED，∴S△ABC＝S△AED.∴S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝SRt△BAE＋SRt△BFE.∴b2＝＋.整理，得a2＋b2＝c2.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫．2．培养学生规范解题的能力．3．与前面的弦图验证相呼应，让学生体会数形结合的思想，了解勾股定理证法的多样性．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A.12 B．13 C．144 D．194 第1题图 第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，AD为BC边上的中线，则AD＝12．3．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD的长．解：∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.∵∠DBC＝90°，BC＝12，∴根据勾股定理，得CD＝13.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)什么是勾股定理？如何表示？(2)勾股定理只适用于什么三角形？2．布置作业：教材第24页练习第1，2题，教材第28页习题17.1第1，2，7题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第2课时 勾股定理的应用
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在第1课时中，学生已经了解了勾股定理的历史和证明，并能熟练掌握勾股定理解决直角三角形已知两边求第三边的内容，本节课在此基础上学习运用勾股定理解决实际问题，将实际问题抽象成直角三角形这一模型，培养学生的转化思想和空间想象能力．
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【情景导入】
伦敦克里斯蒂拍卖行曾贴出过如下的一个土地拍卖广告：
如上图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分为三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？
【说明与建议】 说明：利用有趣的情景导入新课，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生强烈的好奇心和求知欲．建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为新课的讲解做好铺垫．
【置疑导入】
如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B，而是沿岸边自A处跑到离B最近的点C，然后从点C游向B.若救生员在岸边行进的速度是5 m/s，在海中行进的速度是2 m/s，请分析救生员的选择是否合理．
【说明与建议】 说明：设计实际问题情境，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力，培养学生“用数据说话”的科学态度．建议：引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中，找出要求什么才能说明道理，然后分别求得两种不同情况下的数据，进行比较．允许学生通过小组合作的方式进行互助交流，教师及时进行鼓励，并择优展示．
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命题角度 勾股定理的应用
1．如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC(∠ABC＝90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝30米，BC＝40米，他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
第1题图 第2题图
2．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5 m处，发现此时绳子末端距离地面1 m，则旗杆的高度为13m.(滑轮上方的部分忽略不计)
3．如图，一只小鸟旋停在空中的点A处，点A到地面的高度AB＝20米，点A到地面点C(B，C两点处于同一水平面)的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达点D(点D在线段AB上)，求此时小鸟到地面点C的距离．
解：由题意，得∠B＝90°，
∵AB＝20米，AC＝25米，
∴BC＝＝＝15(米).
∵AD＝12米，
∴DB＝AB－AD＝20－12＝8(米).
∴DC＝＝＝17(米).
答：小鸟到地面点C的距离为17米．
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课题 17.1 第2课时 勾股定理的应用 授课人
素养目标 1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想．2．会从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去．
教学重点 运用勾股定理解决实际问题．
教学难点 勾股定理的灵活运用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则(1)c＝；(2)a＝；(3)b＝．师生活动：教师提出问题，学生抢答． 通过简单的提问，帮助学生回顾勾股定理，为学习新课做好准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】《九章算术》是我国古代的一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧的结晶．在此书第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何(葭即芦苇，一丈等于十尺).这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？解：设芦苇的长度为x尺，则水深为(x－1)尺，由勾股定理，得52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13.∴x－1＝13－1＝12.答：水深是12尺，芦苇的长度是13尺．这个问题是勾股定理的一个简单应用，那么它还有哪些应用呢？今天我们就来探索一下吧！ 利用古代数学问题引出本节课要研究的内容，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求知欲．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】(教材第25页例1)一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？思考：(1)木板横着能否通过？(2)木板竖着能否通过？(3)在长方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一条线段最长？师生活动：教师就此问题可引导学生从实际的角度去考虑，引导学生试试斜着通过门框．学习小组互相讨论、交流、补充、展示，注意过程要书写规范．(1)木板的宽是2.2 m，大于1 m，所以横着不能通过；(2)木板的宽是2.2 m，大于2 m，所以竖着不能通过；(3)AC＞BC＞AB.解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.AC＝≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过． 让学生能从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验和学过的知识去解答，从而想到斜着通过门框，也就是把实际问题转化为数学问题．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第25页例2)如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？解：可以看出，BD＝OD—OB，在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2＝AB2－OA2＝2.62－2.42＝1.OB＝1 m．在Rt△COD中，根据勾股定理，得OD2＝CD2－OC2＝2.62－(2.4－0.5)2＝3.15.OD＝≈1.77(m).BD＝OD—OB≈1.77－1＝0.77(m).所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m．【变式训练】如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2米，OB为1.5米．(1)求梯子的长；(2)若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长．解：(1)在Rt△AOB中，AB2＝AO2＋OB2，∴AB2＝22＋1.52＝6.25.∴AB＝2.5米．答：梯子的长为2.5米．(2)由题意，得CD＝AO＋0.4＝2.4米，BC＝AB＝2.5米，∴BD2＝2.52－2.42＝0.49.∴BD＝0.7米．∴OD＝OB＋BD＝1.5＋0.7＝2.2(米).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2．通过运用勾股定理对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，感应门自动打开，则AD＝1.5米． eq o(sup7(),sdo5(第1题图)) eq o(sup7(),sdo5(第2题图)) 2．一个有盖的盒子，长、宽、高如图中标注．若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是17．3．如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26 m，长方形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1 m，AD＝15 m，求出AB段的长度．解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米．设BG＝x米，则BC＝(26－1－x)米．在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝CB2，∴x2＋152＝(26－1－x)2，解得x＝8.∴BA＝BG＋GA＝8＋1＝9(米).答：AB的长度为9米．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识？(2)还存在什么困惑？2．布置作业：教材第26页练习第1，2题，教材第28～29页习题17.1第4，5，10题． 通过课堂小结，调动学生的学习积极性，使学生概括问题的能力、语言表达的能力进一步得到提高，完善学生对知识的梳理．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第3课时 利用勾股定理作图
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本节课是在学生体验了勾股定理的探索过程，从中发现在直角三角形中，已知两边的长，就可以求出第三边的长后，相应安排探究3“在数轴上画出表示的点”，目的是让学生掌握并熟练运用勾股定理解决简单的问题．
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【置疑导入】
操作与探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？为了研究这个问题，请完成如下探究：
1．根据下图填空：
x＝，y＝，z＝2，w＝．
2．按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？
3．利用勾股定理，是否可以在数轴上画出表示，，，，…的点？试一试．
4．13可以写成哪两个整数平方和的形式？现在你能在数轴上画出表示的点吗？动手画一画吧！
【说明与建议】 说明：利用一个目的明确的操作探究问题引入新课，培养学生的动手操作能力和抽象概括能力，激发学生的学习兴趣．建议：教师设计的问题串能很好地帮助学生突破难点，所以教学中要充分调动学生的学习主动性，要让学生自己动手去画图操作．
【情景导入】
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(1)尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【说明与建议】 说明：将曲面最短路程问题转化为平面最短距离问题，并利用勾股定理求解实际问题引入新课．使学生在活动中体验数学建模思想，增强学生的探究能力、操作能力、分析能力，发展空间观念．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案路线长度的计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．要让学生通过探究发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到长方形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学知识解决实际问题的方法．
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命题角度1 利用勾股定理在数轴上表示数
1．(1)用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A.(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是2－．
解：如图，点A即为所求．
命题角度2 勾股定理与网格
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)在图1中，以格点为端点，画线段MN＝；
(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.
eq o(sup7(),sdo5(图1)) eq o(sup7(),sdo5(图2))
解：如图所示．
命题角度3 勾股定理与图形计算
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，已知CD＝6，AD＝10.
(1)求线段AE的长；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝6.
∴AE＝＝＝8.
(2)易得BE＝BC.设BC＝x，则BE＝x，AB＝8＋x.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即162＋x2＝(8＋x)2，解得x＝12.
∴BC＝12.
∴S△ABC＝AC·BC＝×16×12＝96.
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课题 17.1 第3课时 利用勾股定理作图 授课人
素养目标 1.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步理解、感受数轴上的点与实数的一一对应关系．了解利用勾股定理证明HL定理．2．会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，并从中进一步体会数形结合思想与转化思想．
教学重点 运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算．
教学难点 理解实数与数轴的一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.如图，一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆总长为24 m，则旗杆顶部落在离旗杆底部12m处．2．如图所示，校园内有两棵树相距8 m，一棵树高13 m，另一棵树高7 m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞10m.师生活动：教师组织学生分析，然后给学生留充分的时间去完成，完成之前可先复习一下勾股定理的内容． 回顾旧知，为新课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】投影出图片：思考：这个美丽的图案是怎么画出来的？它依据的是什么数学知识？观察发现：图形由若干个直角三角形构成，是根据我们所学的勾股定理来完成的．我们知道是边长为1的等腰直角三角形的斜边的长，可是在数轴上如何表示出呢？如何表示呢？师生活动：教师投影出图片，学生观察，联想到美丽的海螺的图案．学生讨论出思考题的结果，教师做点评． 利用目的明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】探究一：利用勾股定理证明HL定理在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证，学生加以证明．已知：如图所示，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，难以找到锐角对应相等，只有找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC＝，B′C′＝，容易得到BC＝B′C′.证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝，又∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).探究二：怎样在数轴上画出表示的点？分析引导：教师可帮助学生进行如下分析：(1)你能画出长为的线段吗？怎么画？说说你的画法．(2)设斜边c＝，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有a2＋b2＝13，若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长．(3)在数轴上怎样作出这个三角形呢？师生活动：学生根据教师的提示思考讨论如何画出长为的线段，教师根据学生的叙述，写出画法，适当点评． 通过证明HL定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力．利用勾股定理和数轴上的点表示实数，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解．规范学生的作图语言和作图．
活动三：开放训练、体现应用活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 在数轴上画出表示的点(不写作法，但要保留画图痕迹).解：如图所示，点A即为所求．例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，BD＝＝6.设AC＝AB＝x，则AD＝x－6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝.∴AC＝.例3 如图，有一个长方体盒子，它的长是12 dm，宽是4 dm，高是3 dm.(1)请问：长为12.5 dm的铁棒能放进去吗？(1)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 解：(1)连接BD，∵AD＝12 dm，AB＝4 dm，∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160.∴CD＝＝＝13(dm).∵13 dm>12.5 dm，∴长为12.5 dm的铁棒能放进去．(2)如图1所示，CD＝＝(dm).如图2所示，CD＝＝(dm).如图3所示，CD＝＝(dm).∵>>，∴爬行的最短路程是dm. eq o(sup7(),sdo5(图1)) eq o(sup7(),sdo5(图2)) eq o(sup7(),sdo5(图3)) 【变式训练】1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(B)A.＋1 B．－1 C．－＋1 D．－－12．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为4．3．如图，在Rt△OA1A2中，过点A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：①()2＋1＝2，S1＝；②()2＋1＝3，S2＝；③()2＋1＝4，S3＝；……(1)请写出第n个等式：()2＋1＝n＋1，Sn＝；(2)根据式子的规律，线段OA10＝；(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．解：S＋S＋S＋…＋S＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＝＝.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 掌握勾股定理在几何计算中的应用，提高学生应用勾股定理解决问题的能力．
引导学生积极发表自己的看法，梳理所学到的知识，加深对知识的理解和巩固．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．在长方形纸片ABCD中，AD＝10 cm，AB＝4 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__cm． 第1题图 第2题图2．如图，有一个圆柱，它的高为15 cm，底面半径为cm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，爬行的最短路程为17__cm．3．在数的发展中，我们发现，有理数已经不能满足人们的需要，比如正方形ABCD的面积为2，则它的边长就不是一个有理数，所以就产生了像这样的无理数．后来我们学习了勾股定理，很多的无理数都可以用线段来表示，也都可以在数轴上表示．问题：(1)在数轴上作出表示－的点(保留作图痕迹).(2)在6×8的网格图中(每个小正方形边长均为1)，画出两条线段AB和CD，使得AB的长为，CD的长为.解：(1)如图所示，点E即为所求．(2)如图所示．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)通过本节课的探究学习，你有什么新的收获和体验？(2)你还有什么困惑？2．布置作业：教材第27页练习第1，2题，教材第28～29页习题17.1第6，9，11，12题． 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
教学反思
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详见电子资源
17.2 勾股定理的逆定理
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本节内容是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判定定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法来证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔．
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【情景导入】
播放相声《反正话》
表演者：马季、于世猷
马：你别吹，今天当着各位老师和同学的面我来考考你，咱们来一段反正话．
于：什么叫做反正话呢？
马：就是我说一句话，你把这句话反过来再说一遍，能说上来就算你聪明！
于：咱们可以试试．
……
马：我脑门子．
于：我门(没)脑子！
马：我眼珠．
于：我猪眼，不像话啊！……
听了上面这段相声大家都非常开心，其实在我们数学上也有很多命题可以反过来说，这在数学上称为逆命题，比如我们刚刚学过的勾股定理，如果把勾股定理反过来说，大家说它的逆命题还成立吗？
【说明与建议】 说明：通过一篇引人发笑的经典相声引入新课，活跃课堂气氛，引导学生描述勾股定理的逆命题，激发学生探究勾股定理的逆定理的热情．建议：让同学们借鉴反正话的方式来描述勾股定理的逆命题，从而引出本节课所要讨论的课题．
【置疑导入】
在美国哥伦比亚大学图书馆里收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些数组揭示了一个什么奥秘呢？
经过专家潜心研究，发现其中两列数竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列数(如下表所示左边的一列)，那么每行的3个数就是一个直角三角形的三边的长．你知道这三个数都满足什么关系吗？这三个数之间存在着怎样的奥秘呢？学完这节课，同学们一定会有所收获．
120 119 169
3 456 3 367 4 825
4 800 4 601 6 649
13 500 12 709 18 541
72 65 97
360 319 481
2 700 2 291 3 541
960 799 1 249
600 481 769
6 480 4 961 8 161
60 45 75
2 400 1 679 2 929
240 161 289
2 700 1 771 3 229
90 56 106
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命题角度1 勾股定理的逆定理
1．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是(C)
A．9，12，15 B．7，24，25 C．，2， D．1，，
2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，则AB＝10，∠C＝90°．
3．如图，在△ABC中，D是边BC上一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.
(1)求∠ADB的度数；
(2)求CD的长．
解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.
(2)在Rt△ACD中，CD＝＝＝15.
命题角度2 逆命题、逆定理
4．“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，这个定理的逆定理是到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
5．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是等边三角形的三个角都相等，该逆命题是真命题(填“真”或“假”).
命题角度3 勾股数
6．下列各数组中，是勾股数的是(A)
A．6，8，10 B．2，2，2 C．1，1，D．0.4，0.3，0.5
7．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为16，63，65．
命题角度4 勾股定理的逆定理的应用
8．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100 cm，宽为80 cm，对角线为130 cm，则做出的这个桌面不合格．(填“合格”或“不合格” )
9．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm.若∠ABC＝90°，则∠ACD＝90°．
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课题 17.2 勾股定理的逆定理 授课人
素养目标 1.了解互逆命题和互逆定理的概念．2．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程．3．会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用．4．会认识并判别勾股数．
教学重点 勾股定理的逆定理及其应用．
教学难点 勾股定理的逆定理的证明．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知a＝2.5，b＝6，求c；(3)已知a＝4，b＝7.5，求c.3．思考：分别以上述a，b，c为边的三角形的形状是什么样的？ 回顾旧知，为新课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，你认为这个三角形是直角三角形吗？师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论． 利用古埃及人画直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题．既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】思考：(1)如果改变三条边的结数，是否还能摆放出同样形状的三角形？(2)画画看，三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，观察三角形的形状，再换成4 cm，7.5 cm，8.5 cm试试看．(3)三角形的三边长具有怎样的关系，才能得到上面同样的结论？师生活动：学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，做出实践性预测．教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题．命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．问题：(1)命题1和命题2有怎样的联系？(2)你能举出一些类似的例子吗？提示：命题1和命题2的题设、结论分别是什么？如何证明命题2 如图，若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，试证明△ABC是直角三角形．分析：如图，在△A′B′C′中，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，这个定理称为勾股定理的逆定理．问题：(1)如果原命题成立，那么逆命题也一定成立吗？(2)你能举出互为逆定理的例子吗？师生活动：教师出示问题，学会分组探究，讨论如何证明．教师深入各小组进行帮助和指导．教师汇总学生的讨论结果，然后详细讲解分析此命题的证明过程．学生独立完成证明过程，积极发言，教师细心地听取学生的发言并鼓励学生，最后点评．教师引导学生注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理．为了分清勾股定理和勾股定理的逆定理，我们列表如下： 定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．题设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.结论a2＋b2＝c2这个三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法 由此我们可以知道，勾股定理的使用条件必须是直角三角形，并且要分清斜边和直角边，避免盲目代入等式而出现错误；勾股定理的逆定理中的条件中不能出现直角或斜边的字眼．另外勾股定理的字母表达式可以变形运用． 1.“命题＋证明＝定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断地尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破本节的难点．2．通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，引出互逆命题(定理)的概念，理解互逆命题(定理)的概念及互逆命题之间的关系．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第32页例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．例2 (教材第33页例2)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 nmile，“海天”号每小时航行12 nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°，则∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2.进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，突出本节的教学重点．
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示． eq o(sup7(),sdo5(图1)) eq o(sup7(),sdo5(图2)) (1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？(2)求这个零件的面积．解：(1)∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2.∴△ABD和△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故这个零件符合要求．(2)S零件＝S△ABD＋S△BDC＝×3×4＋×5×12＝36.答：这个零件的面积是36.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 3.从实际生活中所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，利用数学模型(勾股定理的逆定理)去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，有效地培养了学生的应用意识．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A.5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，152．下列各命题的逆命题成立的是(B)A.对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等C.若a＝b，则|a|＝|b| D．全等三角形的对应角相等3.如图，正方形网格中有△ABC，若小正方形的面积为1，则△ABC的形状为(A)A.直角三角形 B．锐角三角形C.钝角三角形 D．无法判断4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝2，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：(1)什么是勾股定理的逆定理？如何表述？(2)什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？2．布置作业：教材第33页练习第1，2，3题，教材第34页习题17.2第1，2，3，4，5题． 及时反馈教与学双边活动的结果，查缺补漏，培养学生养成系统整理知识的好习惯．
教学反思 回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力．
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第1课时 勾股定理
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本节课是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础，在实际生活中用途很大．
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【情景导入】
国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，如图所示就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？
这个图案是我国汉代数学家赵爽创造的，被称为“赵爽弦图”．今天我们就用这个图形来验证几何学上的瑰宝——勾股定理．
【说明与建议】 说明：以赵爽弦图为背景，展现民族历史上的辉煌成就，激起学生对勾股定理的探索兴趣，点燃学生的求知欲，引领学生进入情境(集中注意力).建议：在教学中要通过拼图活动剪拼赵爽弦图证明勾股定理，使学生体会数形结合思想，激发探索精神．
【置疑导入】
相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的地砖发呆．原来，朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的地砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．原来，他发现了地砖上的直角三角形三边的某种数学关系．那么他发现了什么？今天我们就来研究这个问题．
【说明与建议】 说明：从毕达哥拉斯在朋友家做客的偶然发现这一故事入手，引入本节课的课题——勾股定理，使学生接受起来更自然、贴切，并且激发了学生的学习兴趣．建议：教师给出历史小故事，设置悬念，引发学生思考．学生对故事中的问题会很感兴趣，教学中要充分利用此例激发学生探究问题的欲望．
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命题角度1 勾股定理的认识
1．如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为84．
2．将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，使点A，E，D在同一条直线上．利用用字母表示此图的面积证明勾股定理．
证明：由题意，得Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC.
∵∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠DEC＋∠AEB＝90°.
∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．
∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BEC＋S△DEC，
∴＝＋＋.
∴＝.
∴a2＋b2＝c2.
命题角度2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC中，∠B＝90°.
(1)若AB＝3，BC＝4，则AC＝5；
(2)若AC＝13，AB＝5，则BC＝12．
4．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2，则AF的长为，BC的长为．
第4题图 第5题图
5．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD.若AD＝5，CD＝7，则BC＝2．
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课题 17.1 第1课时 勾股定理 授课人
素养目标 1.会用拼图的方法验证勾股定理，并会用这个定理进行简单的计算．2．会用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
教学重点 探索和验证勾股定理．
教学难点 用拼图的方法验证勾股定理．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边．问题：三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？师生活动：教师引导，学生回答．我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊三角形，它有许多特殊的性质．研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，我国古代人把直角三角形中较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫做“弦”(在我国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”).直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？这就是我们要研究的问题． 1.学生回忆并回答，为突破本节难点做准备．2．回顾三角形的内角和是180°以及三角形任意两边的和大于第三边，由三角形三边的不等关系引导学生思考三角形三边之间是否存在等量关系．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】1．请你算出下面各图中三个正方形的面积．你有什么发现？ 2．你得到的猜想是两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积．师生活动：在学生计算面积时可以引导学生利用正方形的面积等于边长的平方来计算，也可以利用“割补法”进行计算． 问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】观察特例→发现新知(1)你能找出图中正方形A，B，C的面积之间的关系吗？(2)正方形A，B，C所围等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？师生活动：教师展示图片并提出问题．学生观察图片，分组交流讨论．学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A，B中的小等腰直角三角形补成一个大正方形得到正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．教师引导学生由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．深入探究→交流归纳等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？ 1.渗透从特殊到一般的数学思想．为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高．
活动二：实践探究、交流新知 观察下图：思考：上图中，每个小方格的面积均为1，请你分别计算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面积，看看能得出什么结论．A的面积B的面积C的面积4913A′的面积B′的面积C′的面积92534 正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？A的面积＋B的面积＝C的面积，A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．师生活动：学生独立观察并计算各图中正方形A，B，C的面积并完成填表．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流．针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积．学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积．或者将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C的面积．学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形A，B的面积之和等于正方形C的面积．在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方．师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.拼图验证→加深理解利用拼图游戏验证勾股定理，并思考：能用下图证明这个结论吗？已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c.求证：a2＋b2＝c2.解：整个图形可以看作是边长为c的正方形，它的面积为c2．也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b－a的正方形组成，其面积为4×ab＋(b－a)2．所以可以得到等式：4×ab＋(b－a)2＝c2．化简，得a2＋b2＝c2．师生活动：教师指导学生阅读教材第23～24页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明命题1的．学生在弦图验证的基础上，参照教材开展拼图活动，以小组为单位，合作探究．总结定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 2.鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验．3.通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生探求新知的欲望．给学生充分的时间与空间讨论、交流，鼓励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，则c＝5；(2)已知c＝25，b＝15，则a＝20；(3)已知c＝19，a＝13，则b＝8；(结果保留根号)(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝12．例2 4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为c2＋2×ab＝c2＋ab，也可以表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab.∴a2＋b2＝c2.【变式训练】1．如图，根据图中所给的数据，可求出直角三角形中未知边的长度a＝6，b＝24． 第1题图 第2题图2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝4，∠B＝45°，DC＝1，则AC＝3．3．如图，对任意符合条件的Rt△BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．解：由旋转，得△ABC≌△AED，∴S△ABC＝S△AED.∴S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝SRt△BAE＋SRt△BFE.∴b2＝＋.整理，得a2＋b2＝c2.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫．2．培养学生规范解题的能力．3．与前面的弦图验证相呼应，让学生体会数形结合的思想，了解勾股定理证法的多样性．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图，字母B所代表的正方形的面积是(C)A.12 B．13 C．144 D．194 第1题图 第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，AD为BC边上的中线，则AD＝12．3．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD的长．解：∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝5.∵∠DBC＝90°，BC＝12，∴根据勾股定理，得CD＝13.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的．
课堂小结 1.课堂小结：(1)什么是勾股定理？如何表示？(2)勾股定理只适用于什么三角形？2．布置作业：教材第24页练习第1，2题，教材第28页习题17.1第1，2，7题． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会．
教学反思 反思，更进一步提升．
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详见电子资源
第2课时 勾股定理的应用
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在第1课时中，学生已经了解了勾股定理的历史和证明，并能熟练掌握勾股定理解决直角三角形已知两边求第三边的内容，本节课在此基础上学习运用勾股定理解决实际问题，将实际问题抽象成直角三角形这一模型，培养学生的转化思想和空间想象能力．
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【情景导入】
伦敦克里斯蒂拍卖行曾贴出过如下的一个土地拍卖广告：
如上图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分为三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？
【说明与建议】 说明：利用有趣的情景导入新课，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生强烈的好奇心和求知欲．建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为新课的讲解做好铺垫．
【置疑导入】
如图，某海滨浴场岸边A处救生员发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B，而是沿岸边自A处跑到离B最近的点C，然后从点C游向B.若救生员在岸边行进的速度是5 m/s，在海中行进的速度是2 m/s，请分析救生员的选择是否合理．
【说明与建议】 说明：设计实际问题情境，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力，培养学生“用数据说话”的科学态度．建议：引导学生将题目中的实际问题转化到几何图形中，找出要求什么才能说明道理，然后分别求得两种不同情况下的数据，进行比较．允许学生通过小组合作的方式进行互助交流，教师及时进行鼓励，并择优展示．
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命题角度 勾股定理的应用
1．如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC(∠ABC＝90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝30米，BC＝40米，他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
第1题图 第2题图
2．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5 m处，发现此时绳子末端距离地面1 m，则旗杆的高度为13m.(滑轮上方的部分忽略不计)
3．如图，一只小鸟旋停在空中的点A处，点A到地面的高度AB＝20米，点A到地面点C(B，C两点处于同一水平面)的距离AC＝25米．若小鸟竖直下降12米到达点D(点D在线段AB上)，求此时小鸟到地面点C的距离．
解：由题意，得∠B＝90°，
∵AB＝20米，AC＝25米，
∴BC＝＝＝15(米).
∵AD＝12米，
∴DB＝AB－AD＝20－12＝8(米).
∴DC＝＝＝17(米).
答：小鸟到地面点C的距离为17米．
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课题 17.1 第2课时 勾股定理的应用 授课人
素养目标 1.会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数形结合的思想．2．会从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会数学来源于生活，又应用到生活中去．
教学重点 运用勾股定理解决实际问题．
教学难点 勾股定理的灵活运用．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则(1)c＝；(2)a＝；(3)b＝．师生活动：教师提出问题，学生抢答． 通过简单的提问，帮助学生回顾勾股定理，为学习新课做好准备．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】《九章算术》是我国古代的一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，它收录了246个与生产、生活实践有关的实际问题，是我国古代劳动人民智慧的结晶．在此书第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何(葭即芦苇，一丈等于十尺).这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？解：设芦苇的长度为x尺，则水深为(x－1)尺，由勾股定理，得52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13.∴x－1＝13－1＝12.答：水深是12尺，芦苇的长度是13尺．这个问题是勾股定理的一个简单应用，那么它还有哪些应用呢？今天我们就来探索一下吧！ 利用古代数学问题引出本节课要研究的内容，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求知欲．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】(教材第25页例1)一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？思考：(1)木板横着能否通过？(2)木板竖着能否通过？(3)在长方形ABCD中，AB，AC，BC，哪一条线段最长？师生活动：教师就此问题可引导学生从实际的角度去考虑，引导学生试试斜着通过门框．学习小组互相讨论、交流、补充、展示，注意过程要书写规范．(1)木板的宽是2.2 m，大于1 m，所以横着不能通过；(2)木板的宽是2.2 m，大于2 m，所以竖着不能通过；(3)AC＞BC＞AB.解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.AC＝≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过． 让学生能从实际生活的角度大胆去考虑，用生活经验和学过的知识去解答，从而想到斜着通过门框，也就是把实际问题转化为数学问题．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例 (教材第25页例2)如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？解：可以看出，BD＝OD—OB，在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2＝AB2－OA2＝2.62－2.42＝1.OB＝1 m．在Rt△COD中，根据勾股定理，得OD2＝CD2－OC2＝2.62－(2.4－0.5)2＝3.15.OD＝≈1.77(m).BD＝OD—OB≈1.77－1＝0.77(m).所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移约0.77 m．【变式训练】如图，一架梯子AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2米，OB为1.5米．(1)求梯子的长；(2)若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长．解：(1)在Rt△AOB中，AB2＝AO2＋OB2，∴AB2＝22＋1.52＝6.25.∴AB＝2.5米．答：梯子的长为2.5米．(2)由题意，得CD＝AO＋0.4＝2.4米，BC＝AB＝2.5米，∴BD2＝2.52－2.42＝0.49.∴BD＝0.7米．∴OD＝OB＋BD＝1.5＋0.7＝2.2(米).师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2．通过运用勾股定理对实际问题进行解释，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：数学来源于生活，并服务于生活．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的距离AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，感应门自动打开，则AD＝1.5米． eq o(sup7(),sdo5(第1题图)) eq o(sup7(),sdo5(第2题图)) 2．一个有盖的盒子，长、宽、高如图中标注．若在盒中放一根细棒，则细棒的最大长度是17．3．如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26 m，长方形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1 m，AD＝15 m，求出AB段的长度．解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米．设BG＝x米，则BC＝(26－1－x)米．在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝CB2，∴x2＋152＝(26－1－x)2，解得x＝8.∴BA＝BG＋GA＝8＋1＝9(米).答：AB的长度为9米．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置当堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”．
课堂小结 1.课堂小结：(1)本节课学到了什么知识？(2)还存在什么困惑？2．布置作业：教材第26页练习第1，2题，教材第28～29页习题17.1第4，5，10题． 通过课堂小结，调动学生的学习积极性，使学生概括问题的能力、语言表达的能力进一步得到提高，完善学生对知识的梳理．
教学反思 反思，更进一步提升．
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第3课时 利用勾股定理作图
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本节课是在学生体验了勾股定理的探索过程，从中发现在直角三角形中，已知两边的长，就可以求出第三边的长后，相应安排探究3“在数轴上画出表示的点”，目的是让学生掌握并熟练运用勾股定理解决简单的问题．
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【置疑导入】
操作与探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？为了研究这个问题，请完成如下探究：
1．根据下图填空：
x＝，y＝，z＝2，w＝．
2．按照图中的规律一直作下去，你能说出第n个小直角三角形的各边长吗？
3．利用勾股定理，是否可以在数轴上画出表示，，，，…的点？试一试．
4．13可以写成哪两个整数平方和的形式？现在你能在数轴上画出表示的点吗？动手画一画吧！
【说明与建议】 说明：利用一个目的明确的操作探究问题引入新课，培养学生的动手操作能力和抽象概括能力，激发学生的学习兴趣．建议：教师设计的问题串能很好地帮助学生突破难点，所以教学中要充分调动学生的学习主动性，要让学生自己动手去画图操作．
【情景导入】
如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(1)尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
(2)将圆柱侧面剪开并展开成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
(3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【说明与建议】 说明：将曲面最短路程问题转化为平面最短距离问题，并利用勾股定理求解实际问题引入新课．使学生在活动中体验数学建模思想，增强学生的探究能力、操作能力、分析能力，发展空间观念．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案路线长度的计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．要让学生通过探究发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到长方形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学知识解决实际问题的方法．
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命题角度1 利用勾股定理在数轴上表示数
1．(1)用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示的点A.(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)若数轴上的另一点B与点A关于1所在的点对称，则点B对应的数是2－．
解：如图，点A即为所求．
命题角度2 勾股定理与网格
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
(1)在图1中，以格点为端点，画线段MN＝；
(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.
eq o(sup7(),sdo5(图1)) eq o(sup7(),sdo5(图2))
解：如图所示．
命题角度3 勾股定理与图形计算
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，已知CD＝6，AD＝10.
(1)求线段AE的长；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝6.
∴AE＝＝＝8.
(2)易得BE＝BC.设BC＝x，则BE＝x，AB＝8＋x.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即162＋x2＝(8＋x)2，解得x＝12.
∴BC＝12.
∴S△ABC＝AC·BC＝×16×12＝96.
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课题 17.1 第3课时 利用勾股定理作图 授课人
素养目标 1.会运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步理解、感受数轴上的点与实数的一一对应关系．了解利用勾股定理证明HL定理．2．会运用勾股定理解决带有一定综合性的几何图形问题，并从中进一步体会数形结合思想与转化思想．
教学重点 运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，运用勾股定理进行作图与计算．
教学难点 理解实数与数轴的一一对应关系，在比较复杂的图形中利用勾股定理进行计算．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.如图，一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆总长为24 m，则旗杆顶部落在离旗杆底部12m处．2．如图所示，校园内有两棵树相距8 m，一棵树高13 m，另一棵树高7 m，一只小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞10m.师生活动：教师组织学生分析，然后给学生留充分的时间去完成，完成之前可先复习一下勾股定理的内容． 回顾旧知，为新课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】投影出图片：思考：这个美丽的图案是怎么画出来的？它依据的是什么数学知识？观察发现：图形由若干个直角三角形构成，是根据我们所学的勾股定理来完成的．我们知道是边长为1的等腰直角三角形的斜边的长，可是在数轴上如何表示出呢？如何表示呢？师生活动：教师投影出图片，学生观察，联想到美丽的海螺的图案．学生讨论出思考题的结果，教师做点评． 利用目的明确的操作探究问题引入新课，激发学生的学习兴趣．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】探究一：利用勾股定理证明HL定理在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？师生活动：教师提出问题，师生共同画图，写出已知、求证，学生加以证明．已知：如图所示，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.分析：要证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，难以找到锐角对应相等，只有找第三边相等，发现可以根据勾股定理得到BC＝，B′C′＝，容易得到BC＝B′C′.证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝，又∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).探究二：怎样在数轴上画出表示的点？分析引导：教师可帮助学生进行如下分析：(1)你能画出长为的线段吗？怎么画？说说你的画法．(2)设斜边c＝，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有a2＋b2＝13，若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长．(3)在数轴上怎样作出这个三角形呢？师生活动：学生根据教师的提示思考讨论如何画出长为的线段，教师根据学生的叙述，写出画法，适当点评． 通过证明HL定理使学生掌握勾股定理在推理证明中的应用，提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力．利用勾股定理和数轴上的点表示实数，将数和图形联系在一起，让学生领会了数形结合的思想，同时也加深了对勾股定理、数轴和实数的理解．规范学生的作图语言和作图．
活动三：开放训练、体现应用活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 在数轴上画出表示的点(不写作法，但要保留画图痕迹).解：如图所示，点A即为所求．例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，BD＝＝6.设AC＝AB＝x，则AD＝x－6，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝.∴AC＝.例3 如图，有一个长方体盒子，它的长是12 dm，宽是4 dm，高是3 dm.(1)请问：长为12.5 dm的铁棒能放进去吗？(1)如果有一只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 解：(1)连接BD，∵AD＝12 dm，AB＝4 dm，∴BD2＝AD2＋AB2＝122＋42＝160.∴CD＝＝＝13(dm).∵13 dm>12.5 dm，∴长为12.5 dm的铁棒能放进去．(2)如图1所示，CD＝＝(dm).如图2所示，CD＝＝(dm).如图3所示，CD＝＝(dm).∵>>，∴爬行的最短路程是dm. eq o(sup7(),sdo5(图1)) eq o(sup7(),sdo5(图2)) eq o(sup7(),sdo5(图3)) 【变式训练】1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(B)A.＋1 B．－1 C．－＋1 D．－－12．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD，AC＝2，BC＝2，DB＝1，CD＝，则AB的长为4．3．如图，在Rt△OA1A2中，过点A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：①()2＋1＝2，S1＝；②()2＋1＝3，S2＝；③()2＋1＝4，S3＝；……(1)请写出第n个等式：()2＋1＝n＋1，Sn＝；(2)根据式子的规律，线段OA10＝；(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．解：S＋S＋S＋…＋S＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＝＝.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 掌握勾股定理在几何计算中的应用，提高学生应用勾股定理解决问题的能力．
引导学生积极发表自己的看法，梳理所学到的知识，加深对知识的理解和巩固．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．在长方形纸片ABCD中，AD＝10 cm，AB＝4 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝__cm． 第1题图 第2题图2．如图，有一个圆柱，它的高为15 cm，底面半径为cm，在点A的一只蚂蚁想吃到点B的食物，爬行的最短路程为17__cm．3．在数的发展中，我们发现，有理数已经不能满足人们的需要，比如正方形ABCD的面积为2，则它的边长就不是一个有理数，所以就产生了像这样的无理数．后来我们学习了勾股定理，很多的无理数都可以用线段来表示，也都可以在数轴上表示．问题：(1)在数轴上作出表示－的点(保留作图痕迹).(2)在6×8的网格图中(每个小正方形边长均为1)，画出两条线段AB和CD，使得AB的长为，CD的长为.解：(1)如图所示，点E即为所求．(2)如图所示．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知．
课堂小结 1.课堂小结：(1)通过本节课的探究学习，你有什么新的收获和体验？(2)你还有什么困惑？2．布置作业：教材第27页练习第1，2题，教材第28～29页习题17.1第6，9，11，12题． 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质．
教学反思
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详见电子资源
17.2 勾股定理的逆定理
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本节内容是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判定定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法来证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔．
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【情景导入】
播放相声《反正话》
表演者：马季、于世猷
马：你别吹，今天当着各位老师和同学的面我来考考你，咱们来一段反正话．
于：什么叫做反正话呢？
马：就是我说一句话，你把这句话反过来再说一遍，能说上来就算你聪明！
于：咱们可以试试．
……
马：我脑门子．
于：我门(没)脑子！
马：我眼珠．
于：我猪眼，不像话啊！……
听了上面这段相声大家都非常开心，其实在我们数学上也有很多命题可以反过来说，这在数学上称为逆命题，比如我们刚刚学过的勾股定理，如果把勾股定理反过来说，大家说它的逆命题还成立吗？
【说明与建议】 说明：通过一篇引人发笑的经典相声引入新课，活跃课堂气氛，引导学生描述勾股定理的逆命题，激发学生探究勾股定理的逆定理的热情．建议：让同学们借鉴反正话的方式来描述勾股定理的逆命题，从而引出本节课所要讨论的课题．
【置疑导入】
在美国哥伦比亚大学图书馆里收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些数组揭示了一个什么奥秘呢？
经过专家潜心研究，发现其中两列数竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列数(如下表所示左边的一列)，那么每行的3个数就是一个直角三角形的三边的长．你知道这三个数都满足什么关系吗？这三个数之间存在着怎样的奥秘呢？学完这节课，同学们一定会有所收获．
120 119 169
3 456 3 367 4 825
4 800 4 601 6 649
13 500 12 709 18 541
72 65 97
360 319 481
2 700 2 291 3 541
960 799 1 249
600 481 769
6 480 4 961 8 161
60 45 75
2 400 1 679 2 929
240 161 289
2 700 1 771 3 229
90 56 106
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命题角度1 勾股定理的逆定理
1．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是(C)
A．9，12，15 B．7，24，25 C．，2， D．1，，
2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，则AB＝10，∠C＝90°．
3．如图，在△ABC中，D是边BC上一点．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.
(1)求∠ADB的度数；
(2)求CD的长．
解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.
(2)在Rt△ACD中，CD＝＝＝15.
命题角度2 逆命题、逆定理
4．“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，这个定理的逆定理是到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
5．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是等边三角形的三个角都相等，该逆命题是真命题(填“真”或“假”).
命题角度3 勾股数
6．下列各数组中，是勾股数的是(A)
A．6，8，10 B．2，2，2 C．1，1，D．0.4，0.3，0.5
7．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为16，63，65．
命题角度4 勾股定理的逆定理的应用
8．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100 cm，宽为80 cm，对角线为130 cm，则做出的这个桌面不合格．(填“合格”或“不合格” )
9．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm.若∠ABC＝90°，则∠ACD＝90°．
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课题 17.2 勾股定理的逆定理 授课人
素养目标 1.了解互逆命题和互逆定理的概念．2．通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的产生、发展和形成的过程．3．会用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用．4．会认识并判别勾股数．
教学重点 勾股定理的逆定理及其应用．
教学难点 勾股定理的逆定理的证明．
授课类型 新授课 课时
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知a＝2.5，b＝6，求c；(3)已知a＝4，b＝7.5，求c.3．思考：分别以上述a，b，c为边的三角形的形状是什么样的？ 回顾旧知，为新课做铺垫．
活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】古埃及人画直角的方法：把一根长绳子打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，你认为这个三角形是直角三角形吗？师生活动：学生利用准备好的绳子，以小组为单位动手操作，观察，作出合理的推断．教师深入小组当中，帮助并指导学生讨论． 利用古埃及人画直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题．既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力．
活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】思考：(1)如果改变三条边的结数，是否还能摆放出同样形状的三角形？(2)画画看，三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，观察三角形的形状，再换成4 cm，7.5 cm，8.5 cm试试看．(3)三角形的三边长具有怎样的关系，才能得到上面同样的结论？师生活动：学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，做出实践性预测．教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题．命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．问题：(1)命题1和命题2有怎样的联系？(2)你能举出一些类似的例子吗？提示：命题1和命题2的题设、结论分别是什么？如何证明命题2 如图，若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，试证明△ABC是直角三角形．分析：如图，在△A′B′C′中，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．归纳：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，这个定理称为勾股定理的逆定理．问题：(1)如果原命题成立，那么逆命题也一定成立吗？(2)你能举出互为逆定理的例子吗？师生活动：教师出示问题，学会分组探究，讨论如何证明．教师深入各小组进行帮助和指导．教师汇总学生的讨论结果，然后详细讲解分析此命题的证明过程．学生独立完成证明过程，积极发言，教师细心地听取学生的发言并鼓励学生，最后点评．教师引导学生注意在比较中重新认识勾股定理和勾股定理的逆定理．为了分清勾股定理和勾股定理的逆定理，我们列表如下： 定理勾股定理勾股定理的逆定理内容如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．题设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.结论a2＋b2＝c2这个三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法 由此我们可以知道，勾股定理的使用条件必须是直角三角形，并且要分清斜边和直角边，避免盲目代入等式而出现错误；勾股定理的逆定理中的条件中不能出现直角或斜边的字眼．另外勾股定理的字母表达式可以变形运用． 1.“命题＋证明＝定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断地尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破本节的难点．2．通过比较勾股定理及其逆定理的题设和结论，引出互逆命题(定理)的概念，理解互逆命题(定理)的概念及互逆命题之间的关系．
活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】例1 (教材第32页例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．(2)因为132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，这个三角形不是直角三角形．例2 (教材第33页例2)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 nmile，“海天”号每小时航行12 nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°，则∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力．2.进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，突出本节的教学重点．
活动三：开放训练、体现应用 【变式训练】一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边长如图2所示． eq o(sup7(),sdo5(图1)) eq o(sup7(),sdo5(图2)) (1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？(2)求这个零件的面积．解：(1)∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2.∴△ABD和△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故这个零件符合要求．(2)S零件＝S△ABD＋S△BDC＝×3×4＋×5×12＝36.答：这个零件的面积是36.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法． 3.从实际生活中所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，利用数学模型(勾股定理的逆定理)去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，有效地培养了学生的应用意识．
活动四：课堂检测 【课堂检测】1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(C)A.5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，152．下列各命题的逆命题成立的是(B)A.对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等C.若a＝b，则|a|＝|b| D．全等三角形的对应角相等3.如图，正方形网格中有△ABC，若小正方形的面积为1，则△ABC的形状为(A)A.直角三角形 B．锐角三角形C.钝角三角形 D．无法判断4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝2，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高．
课堂小结 1.课堂小结：(1)什么是勾股定理的逆定理？如何表述？(2)什么是命题？什么是原命题？什么是逆命题？2．布置作业：教材第33页练习第1，2，3题，教材第34页习题17.2第1，2，3，4，5题． 及时反馈教与学双边活动的结果，查缺补漏，培养学生养成系统整理知识的好习惯．
教学反思 回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力．
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