宜春市2022-2023学年高一下学期5月学业水平模拟考试
数学试卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中,最小正周期为π,且为偶函数的是( )
A. B.
C. D.
2.若a,b均为实数,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.正数,满足,则的最小值为( )
A.6 B.8 C.9 D.10
4.函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.已知某运动员每次投篮命中的概率都为,现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数,指定表示命中,表示不命中;再以三个随机数为一组,代表三次投篮结果,经随机模拟产生了如下12组随机数: ,据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B. C. D.
6.从高一(男、女生人数相同,人数很多)抽三名学生参加数学竞赛,记事件A为“三名学生都是女生”,事件B为“三名学生都是男生”,事件C为“三名学生至少有一名是男生”,事件D为“三名学生不都是女生”,则以下错误的是( )
A. B.
C.事件A与事件B互斥 D.事件A与事件C对立
7.已知函数,点和是函数图象的相邻的两个对称中心,且函数在区间内单调递减,则( )
A. B. C. D.
8.定义在上的偶函数f(x)满足f(-x)+f(x-2)=0,当时,(已知),则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。
9.秋季开学前,某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周(7天)的体温测试记录,已知小明在一周内每天自测的体温(单位:)依次为,则该组数据的( )
A.极差为 B.平均数为 C.中位数为 D.第75百分位数为
10.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再将所得图象向右平移是个单位长度后得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数是奇函数 B.函数的一个对称中心是
C.若,则 D.函数的一个对称中心是
11.下列命题正确的有( )
A.命题“,”的否定“,”
B.函数单调递增区间是
C.函数是上的增函数,则实数a的取值范围为
D.函数的零点所在区间为且函数只有一个零点
12.已知函数, 且在区间上单调递减,则下列结论正确的有( )
A.的最小正周期是 B.若, 则
C.若恒成立,则满足条件的有且仅有1个
D.若,则的取值范围是
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.当时,幂函数为减函数,则_________.
14.半径为,圆心角为的弧长为___________.
15.已知函数,当函数有且仅有三个零点时,则实数a的取值范围是___________.
16.将函数的图象向右平移个单位长度,得到的函数的图象关于点对称,且在区间上单调递增,则__________,实数m的取值范围是__________.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.求下列各式的值
(1). (2)
18.设,:实数满足.
(1)若,且都为真命题,求x的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
19.某校高一一个班级在一次数学测验中,全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下,已知分数在分的学生数有14人.
(1)求总人数和分数在的人数;
(2)利用频率分布直方图,估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少?
(3)现在从分数在分的学生(男女生比例为1:2)中任选2人,求其中至多含有1名男生的概率.
20.已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象,图象关于原点对称,的相邻两条对称轴的距离是.
(1)求的解析式,并求其在上的增区间;
(2)若在上有两解,求实数的取值范围.
21.在股票市场上,投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作,股民老张在研究某只股票时,发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点:每日股价y(元)与时间x(天)的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述(如图),并且从C点到今天的D点在底部横盘整理,今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示,且段与段关于直线对称,点B、D的坐标分别是、.
(1)请你帮老张确定的值,写出段的函数表达式,并指出此时x的取值范围;
(2)请你帮老张确定虚线段的函数表达式,并指出此时x的取值范围;
(3)如果老张预测准确,且在今天买入该只股票,那么最短买入多少天后,股价至少是买入价的两倍?
22.若函数对于定义域内的某个区间内的任意一个,满足,则称函数为上的“局部奇函数”;满足,则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数其中为常数.
(1)若为上的“局部奇函数”,当时,求不等式的解集;
(2)已知函数在区间上是“局部奇函数”,在区间上是“局部偶函数”,
(i)求函数的值域;
(ii)对于上的任意实数不等式恒成立,求实数的取值范围.
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数学参考答案:
1.D 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A【详解】点和是函数图象的相邻的两个对称中心且正切函数图象相邻两个对称中心的距离,函数的最小正周期,即,解得.又在区间内单调递减,,.由,,得,.
,当时,;当时,.①当时,,由,,
得,,即函数的单调递减区间为,.
当时,函数的单调递减区间为,满足条件.②当时,.由,,得,,即函数的单调递减区间为,,当,时,函数单调递减区间分别为,,不符合题意,故舍去.综上所述,.
8.A【详解】∵,,∴ ,
∴的图象关于直线和点对称,∴的周期为4,当 时,,在递增,由对称性知在 ,递减∴, ,
,又 , ,
由条件知 ,,∴.
9.ABD 10.AC 11.BD【详解】对于A,命题“,”的否定“,”,故A选项错误;对于B,由,得,令,则,
因为在上单调递增,在上单调递减,又在定义域内单调递减,所以在上单调递减,在上单调递增,故B选项正确;
对于C,因为函数是上的增函数,所以 ,解得:,故C选项错误;对于D,因为函数和函数在区间上单调递减,所以函数在区间上单调递减,又因为 ,所以函数在区间上只有一个零点,故D选项正确.
12.BCD【详解】对于A,因为函数在区间上单调递减,所以,
所以的最小正周期,即的最小正周期的最小值为,故A错误;
对于B,因为,所以的图像关于点对称,所以,故B正确;对于C,若恒成立,则为函数的周期或周期的倍数,所以,所以,因为,所以,又,所以,所以,
即满足条件的有且仅有1个,故C正确;对于D,由题意可知为单调递减区间的子集,所以,其中,解得,,
当时,,当时,,故的取值范围是,故D正确.
13.2 14. 15. 16 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,得到的函数的图象关于点对称,,即,因为,则,若,则,在区间上单调递增,,当,,,且,即,且,;若,则,在区间上单调递增,,当,,,且,即且,故;综上可得,,.
17.解:(1)
;
(2)
.
18.解:(1)当时,可得,可化为, 解得,又由命题为真命题,则.所以,都为真命题时,则的取值范围是
(2)由,解得,因为,且是的充分不必要条件,即集合 是的真子集,则满足 ,解得,所以实数的取值范围是.
19.解:(1)分数在内的学生的频率为,
∴该班总人数为.分数在内的学生的频率为:,分数在内的人数为.
(2)由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标,即为.
设中位数为,,.众数和中位数分别是107.5,110.
(3)由题意分数在内有学生名,其中男生有2名.
设女生为,,,,男生为,,从6名学生中选出2名的基本事件为:
,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,共15种,其中至多有1名男生的基本事件共14种,其中至多含有1名男生的概率为.
20.解:由的相邻两条对称轴的距离是,则,
函数的图像关于原点对称,,所以
(1)由, 得,,令得,得,在增区间是;令,则所以
若有两解,即在上有两解,由,得,即的取值范围是
21.解:(1)由图以及两点的纵坐标可知:,,可得:,
则,由解得:,
所以,,所以段的函数表达式为,
(2)由题意结合对称性可知:段的函数解析式为:
,(3)由解得:,
所以买入天后,股票至少是买入价的两倍.
22.解:(1)对上成立,即,
所以,故等价于,令,即,解得或,又,,,又的解集为.
(2)(i)①当时,令,,由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增,所以;
②当,令,为对勾函数,,所以.
的值域为(ii)①当时,, ,②当时,, 成立,③当时,, , 综上,的取值范围是答案第1页,共2页