揭阳市2005－2006学年度高中二年级学年会考数学试题（理科）[下学期]

揭阳市2005－2006学年度高中二年级学年会考
数学试题（理科）
（测试时间120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在右图的电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3．若函数是奇函数，当x>0时，其对应的图象如图，
则为（ ）
A. B. C. D.
4．一个球的外接正方体的体积是8，则这个球的表面积是（ ）
A B C D
5．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同
侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m，
∠ ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B
两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
6．中心在原点，过点，离心率为的双曲线方程是（　 ）　
A. B. 　 C. D.
7．已知，则在上的射影为（ ）
A. B. C. D.
8．命题:①使， ②对
③对， ④使
其中真命题为（ ）
A. ③ B. ③④ C. ②③④ D.①②③④
9. 某工厂工人月工资y（单位：元）随劳动生产率x(单位：千元)变化的回归直线方程为=90x＋60，则下列说法正确的是（ ）
A. 劳动生产率为1000元时，工人月工资为150元；
B. 劳动生产率提高1000元时，工人月工资约提高90元 ；
C. 劳动生产率提高1000元时，工人月工资约提高150元 ；
D. 当工人月工资为300元时，劳动生产率为27060元.
10. 如图是某企业近几年来关于生产销售的一张统计图表，
则针对该企业近几年的销售情况，有以下几种说法：
①这几年该企业的利润逐年提高；
（注：利润＝销售额－总成本）
②2002年至2003年是该企业销售额增长最快的一年；
③2003年至2004年是该企业销售额增长最慢的一年；
④2004年至2005年是该企业销售额增长最慢，但是由于
总成本有所下降，因而2004年该企业的利润比上一年仍
有所增长。其中说法正确的是（ ）
A.①② B.②③ C. ②④ D.①②③
11．定积分的值为（ ）
A. B. C. D.
a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9
12．右表是在3×3的空格中填入a1到a9九个正数，且使得每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，若a1＝1，a3＝3，a9＝12，则
a7应是（ ）
A．2　　 　B.4　　　 C.5　　　 D.6
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应横线上.
13. 定义运算，则= .
14．右图中的算法输出的结果是 .
15.一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，
测得刹车后秒内列车前进的距离为米，则列
车刹车后 秒停下来，期间列车前进了 米．
16. 如图，平面内有三点，A(0,1),B(-2,0),C(2,0),请你构造函数
或曲线的方程，使其图象经过这三点。你构造的函数关系式或曲
线的方程分别为
.
（说明：函数的关系式或曲线的方程至少
写出2个，2个都正确给4分，少写不给分，
多写部分正确的每个加1分，但全卷总分不
超过150分）
第16题图 第14题图
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）
已知:向量，。
求函数f(x）的最小正周期和值域.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
(Ⅰ) 求函数f(x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f(x）的极值。
19. （本题满分12分）
一医院从4名男医生和2名女医生中选出3人加入医疗队，赴某地震灾区参加救援工作。设随机变量表示所选3人中女医生的人数。
(I) 求的分布列；
(II) 求的数学期望和方差。
20.（本题满分12分）
如图，正方形中，分别是的中点，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)请指出四面体中有哪些平面互相垂直；
(Ⅲ)若分别是的中点，求异面直线与所成的角的余弦值。
21．（本题满分14分）
在梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,A、B是两个定点，其坐
标分别为（0，－1）、（0，1），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|.
(Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程；
(Ⅱ)试探究在轨迹E上是否在一点P？使得P到直线y＝x－2的
距离最短；
(Ⅲ)设轨迹E与直线所围成的图形的
面积为S,试求S的最大值。
22. （本题满分14分）
在平面直角坐标系上，设不等式组（）
所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均
为整数的点）的个数为.
（Ⅰ）求并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；
（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和,
是否存在自然数m？使得对一切，恒成立。若存在，
求出m的值，若不存在，请说明理由。
参考答案及评分说明
一．选择题：CBBCA DDBBC AB
解析：3.由图象可得g(x)=2x－3，因函数的图象关于原点对称，可得f(x)=2x＋3，选B.
4.∵球的外切正方体的体积是8，∴正方体的棱长为2，它的内切球的半径为1，其表面积为。
5．由正弦定理得
6．由离心率为，设方程，代入得∴选D
8．在上的射影为:.选B.
9. 由=90(x+1)＋60=(90x+60)+90知答案选B.
11．，选A.
12．用筛选法。或由题意可得：a2＝2，a62＝a3a9，a6＝6，a42＝a7，2a5＝a4＋a6，
2a8＝a7＋a9，a52＝a2a8，解得，故选B.
二．填空题：
13． ；14．5050 ；15．30、405 ；16．参考答案： ，，，，等等.
解析：13．由定义得：
14．输出的结果为:1＋2＋3＋……＋100＝5050
15.解法1:，由瞬时速度得（秒），期间列车前进了（米）．
解法2: 刹车后列车前进的距离达到最大时，列车停止，这时（秒）
列车前进的距离.
三．解答题：
17.解：
-------------------------2分
--------------------4分
---------------6分
-----------------------------8分
∴函数f(x）的最小正周期为，值域为[-2,2] --------------10分
18．解: (Ⅰ) 由得
＝ -----------------2分
当得
∴或，即函数f(x）的单调增区间为------4分
当得，∴函数f(x）的单调减区间为（－1，3）-----6分
（Ⅱ）令得或，---------------8分
由(Ⅰ)知，函数f(x）在单调递增，在（－1，3）上单调递减，
∴当时，f(x)有极大值，f(x)极大＝f(-1)= ----------10分
∵函数f(x）在（－1，3）上单调递减，在上递增，
∴当x＝3时，f(x)有极小值，f(x)极小＝f(3)=－9 ------------12分
19.(I)解：∵可能取的值为。
--------------------------- ----3分
∴的分布列为
0 1 2
P
-----------------6分
(II)解：由(I)，的数学期望为
---------------------------9分
--------------------12分
20．(Ⅰ)证明：在折前正方形中，，　 ……1分
　　　折成四面体后，，　　 ……3分
　　　又　　　　　　　　……4分
(Ⅱ)　　……7分
(Ⅲ)解法1：取EF的中点A，连AM，AN，
由M是SF的中点　　MA∥SE　　
为异面直线与所成的角；……9分
设正方形边长为，
又，AN＝，　……10分
取GF中点B在△MBN中MN＝　……11分
在△MNA中　　……12分
解法2：∵,EG⊥GF
以点G为原点建立空间直角坐标系如图示，
设正方形边长为，则G（0，0，0），E(a，0，0)，
F（0，a，0）S（0，0，2a），M（0，，a），
N（，0，0）
∴，
∴
21.(Ⅰ) 解法1：依题意知，CD⊥AD,且|CD|=|BC|.依抛物线的定义可知点C的轨迹是
以B为焦点，以AD为准线的抛物线除去顶点和与直线y＝1的交点。 -----------2分
∵|OB|=1 ∴C的轨迹E的方程为x2＝4y（x≠0，x≠） -------------4分
解法2：设C(x，y)则|CD|=y+1,|CB|=,
又|CD|=|BC|. ，化简得：
x2＝4y（x≠0，x≠）
(Ⅱ)解法1：设P（x，y）是轨迹E上一点，则P到直线y＝x－2的距离
当x＝2时，d取得最小值，这时x＝2，y＝1， ---------------------7分
即点P(2,1).但由(Ⅰ)知点（2，1）不在轨迹E上，
∴在轨迹E上这样的点P不存在。 -------------------------------8分
解法2：所求点即与直线y＝x－2平行的轨迹E的切线与E的切点，
由得， ，∴，
下同解法1。
解法3：设与直线y＝x－2 平行，与抛物线E相切的直线为
x－y＋m＝0，由方程组
有一解得方程 有两个相等的实根
∴ ∴m＝－1从而得方程组的解为，下同上.
(Ⅲ) ∵－2根据图形结合定积分的几何意义可得：
----------------------------11分
----------------------------13分
当时，。 ------------- --------------14分
其它解法请参照给分。
22.解：（Ⅰ）当n＝1时，D1为Rt△OAB1的内部包括斜边，这时，
当n＝2时，D2为Rt△OAB2的内部包括斜边，这时，
当n＝3时，D3为Rt△OAB3的内部包括斜边，这时，……， ---3分
由此可猜想＝3n。 --------------------------------------------------4分
下面用数学归纳法证明:
当n＝1时，猜想显然成立。
假设当n＝k时，猜想成立，即，（） ----5分
平面区域为Rt、平面区域为Rt△
如图，∵平面区域比平面区域多3个整点， ------- 7分
即当n＝k+1时，，这就是说当n＝k+1时，
猜想也成立，
由（1）、（2）知＝3n对一切都成立。 ---------------------8分
（Ⅱ）∵＝3n, ∴数列是首项为3，公差为3的等差数列,
∴.
-------------------------10分
== -------------------------------11分
∵对一切，恒成立, ∴
∵在上为增函数 ∴ ---13分
，满足的自然数为0，
∴满足题设的自然数m存在，其值为0。 -------------------------14分
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