山西省省际名校2023届高三下学期5月押题联考(三)数学试题（Word版含答案）

试题类型：B
山西省省际名校2023届高三下学期5月押题联考(三)
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，且，则（ ）
A. B.{2} C. D.
2.已知向量满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3.已知双曲线经过点，则其渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.粮食是关系国计民生和国家经济安全的重要战略物资，也是人民群众最基本的生活资料，粮食安全是“国之大者”.某农场的粮仓中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面半径为，上下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的8倍，且这两个圆锥的顶点相距，制作该粮仓至少需要材料（ ）（材料厚度忽略不计）
A. B.
C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知正项等比数列满足，则的最小值是（ ）
A.4 B.9 C.6 D.8
7.将一个四棱锥的每个顶点涂上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则共使用4种颜色的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则与图象的交点个数是（ ）
A.6 B.4 C.3 D.2
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知圆的圆心坐标为，半径为，若直线与圆相切于点，则（ ）
A. B.
C.点在圆外 D.圆被轴截得的弦长为1
10.已知函数.若图象中离轴最近的对称轴为，则（ ）
A.
B.的最小正周期为
C.图象的一个对称中心是
D.的单调递增区间为
11.已知，则的可能取值有（ ）
A. B. C. D.
12.数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈密顿发现了四元数.四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单位和，而且它们有如下关系：.四元数一般可表示为，其中为实数.定义两个四元数：，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：.关于四元数，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.若，且，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中的系数是__________.
14.已知函数，则的极大值点为__________.
15.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，交于点，其中在第一象限，且，则直线的斜率为__________.，若的面积为，则__________.（第一空2分，第二空3分）
16.已知三棱锥的棱长均为6，三棱锥内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，以此类推，球与三棱锥的三个面和球都相切，且，则这个小球的表面积之和等于__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
如图，在中，为边上一点，.
（1）求角；
（2）从下面两个条件中选一个，求角.
①；
②.
18.（12分）
如图，斜四棱柱的底面为等腰梯形，且，点在底面的射影点在四边形内部，且.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19.（12分）
中国共产党第二十届中央委员会第二次全体会议于2023年2月26日至28日在北京召开.会议提出，要着力推动经济稳步回升，促进高质量发展，切实保障和改善民生.为了适应新形势，满足国内市场需求，某对外零件加工企业积极转型，新建了两个车间，加工同一型号的零件，质检部门随机抽检了两个车间各100件零件，在抽取的200件零件中，根据检测结果将它们分为一级品 二级品 三级品三个等级，一级品 二级品都是合格品，在政策的扶持下，都可以销售出去，而三级品是次品，必须销毁，具体统计结果如表一所示：
表一
等级 一级品 二级品 三级品
频数 20 120 60
表二
合格品 次品 合计
A 75
B 35
合计
（1）请根据表一所提供的数据，完成的列联表（表二），依据的独立性检验，能否认为零件的合格率与生产车间有关？
（2）每个零件的生产成本为30元，一级品 二级品零件的出厂单价分别为元，元，每件次品的销毁费用为4元.用样本的频率估计总体的概率，已知车间抽检的零件中有10件为一级品，并利用表一 表二的数据，若两车间都能盈利，求实数的取值范围.
附：，其中.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841
20.（12分）
已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于两点，当与轴平行时，.
（1）求的方程；
（2）为的左顶点，直线分别交直线于两点，求的值.
21.（12分）
已知正项数列的前项和满足关系式.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明.
22.（12分）
已知，函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.
2023年省际名校联考三（押题卷）
数学参考答案详解及评分说明
评分说明：
1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定评分.
2.计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不给分.
A卷选择题答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B
【解析】由题意得，所以.
2.A
【解析】由得，解得，
所以在方向上的投影向量为.
3.C
【解析】将代入双曲线方程得.所以双曲线的渐近线方程为.
4.A
【解析】由题可得，圆柱的高为，圆锥的高为，圆柱与圆锥的底面半径均为，所以该粮仓的表面积为.
5.D
【解析】联立解得或（舍）
6.B
【解析】设数列的公比为，由题意知，又，得，所以，因为，所以，当且仅当时取等号.所以的最小值为8.
7.C
【解析】根据题意要求涂色，最少涂3种颜色，最多涂5种颜色，故分三类：①涂3色：同色且同色，共有种涂法；②涂4色：同色或同色，共有种涂法；③涂5色：5个顶点颜色各不相同，共有种涂法.故共有种涂法，而涂四色的方法有种，由古典概型概率公式得，使用4种颜色的概率为.
8.A
【解析】易知均为偶函数，故其图象的交点关于轴对称.
当时，，故在上单调递减.
若，则，故图象与图象在上无交点.
若，则在上单调递增，又在上单调递减，，故与图象在上有唯一交点.
综上，与图象有且仅有两个交点.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AC
【解析】由题意得，过点与圆心的直线与直线垂直，所以，解得，故A正确；，故B错误；这时圆的方程为，点到圆心的距离为，故C正确；圆被轴截得的弦长，故错误.
10.BCD
【解析】
，
由题，故A选项错误；的最小正周期为，故B选项正确；易知，故图象的一个对称中心是，C选项正确；令，得，故的单调递增区间为选项正确.
11.BC
【解析】考虑方程的判别式，
①当时，，此时，必有，易知.这时的取值范围为.
②当，或时，，方程有两根，且.
当，或时，，必有；当时，，必有，必有，易知，则，由对数均值不等式，得，与矛盾，不符题意.
综上，的取值范围是，故可能的取值有.
12.BD
【解析】，故选项错误；由已知的定义可知，，故选项正确；取，得，故C错误；对于选项D，由，得到，即，，解得，所以，故D正确.
B卷选择题答案
1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.D 7.C 8.D
9.BC 10.BCD 11.BD 12.AD
卷非选择题答案
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.-15
【解析】，令得，
所以的系数为
14.
【解析】，
令，得，或；令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值点为.
15.；
【解析】如图分别过作，垂足为，设，则，
由抛物线定义得，
所以.设与轴交于点，在中，由得，则，
所以，
所以，所以，
由，解得.
16.
【解析】正四面体边长为6，高为，由等体积法得，因为球与三棱锥的二个面和球都相切，所以用平行于底面且与球相切的平面截正四面体后，得到的小三棱锥仍是正四面体，球和截得的正四面体各个面都相切，所以易得，同理，且，
，
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：（1）在中，由余弦定理可知：
，
又.
（2）若选择条件①：
在中，由正弦定理可知：，即，解得.
在中，，从而，必有，又，故.
若选择条件②：在中，，
由正弦定理可知：，即，解得，
又，故，在中，.
18.（1）在等腰梯形中，，过作交于，则四边形是菱形，
是等边三角形，，
，
又平面平面，又平面，
平面平面.
（2）由（1）平面平面平面平面点在底面的射影在上，且，又，由（1）知.
以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，则
，设，，
则，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为
则
即
取，
，解得：，
所以
19.（1）零假设为：零件的合格率与生产车间无关，完整的列联表为
合格品 次品 合计
75 25 100
65 35 100
合计 140 60 200
由表中数据得：
所以依据的独立性检验，零假设成立，即不能认为零件的合格率与生产车间有关.
（2）设两车间生产1个零件并售出的利润分别为元 元，则的所有可能取值为
（负值表示亏损），由题意可得两车间抽检的一级品 二级品 三级品的零件个数为
一级品 二级品 三级品
10 65 25
10 55 35
则的分布列分别为
-34
-34
所以车间生产1个零件的平均利润为.
车间生产1个零件的平均利润为.
由可得，所以当时，两车间都能盈利.
20.（1）设，当与轴平行时，直线的方程为，则在椭圆上，
代入椭圆方程得，又因为离心率，解得.
所以的方程为.
（2）设，由椭圆的方程得，
当直线斜率不存在时，，直线的方程为，令得，同理.
若直线斜率存在时，设直线，代入椭圆方程中，得
，即，
，
直线的方程为，令得，
同理，
，
.
综上可得的值为
21.（1）由得，
当时，，
两式相减得，
当时，由，得，也满足上式..
当时，，则，
又，所以数列是等差数列，.
（2）证明：由（1）得，
注意到当时，
.
当时，.
当时，显然成立.
当时，，
从而时，.
当且时，.
综上可知当时，有.
22.（1）的定义域为.
令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，从而，故的取值范围是.
（2）设曲线的切点为，则曲线在点处的切线方程为.
联立得，
必有
记函数，由题，故当时，.
记，
令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增.
当，且时，，当时，，
故存在，使得，
当，或时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
由，得，代入并整理得：
同理，
记，由（1）知为增函数，
，
，
又，当时，，
有三个零点，
存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.