第二章 §2.1 第1课时 不等关系与不等式-高中数学人教A版必修一 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第1课时　不等关系与不等式
第二章　§2.1　等式性质与不等式性质
学习目标
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(重点)
2.初步掌握作差法比较两实数的大小.(重点)
导语
我们知道，相等关系与不等关系是数学中最基本的关系.比如说：胡萝卜的长与短，天平两端物体的轻与重，玫瑰花的花朵的大与小，森林树木的高与矮；再比如说：新冠疫情传播速度的快与慢.
一、用不等式(组)表示不等关系
二、作差法比较大小
三、重要不等式
随堂演练
内容索引
用不等式(组)表示不等关系
一
问题1　(1)如图是限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式是_________.
(2)下表是某品牌酸奶的质量检查规定
脂肪含量(f) 蛋白质含量(p)
不少于2.5% 不少于2.3%
写成不等式是__________________.
根据以上例子，你能用不等式解决相应数学问题吗？
0＜v≤40
f≥2.5%且p≥2.3%
知识梳理
常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过
符号语言 ___ ＜ ≥ ___
＞
≤
注意点：
(1)单位是否一致.
(2)用适当的符号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
例1
　　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
反思感悟
用不等式(组)表示不等式关系的步骤
(1)审清题意，明确表示不等式关系的关键词语：至多、至少、大于等.
(2)适当的设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围.
跟踪训练1
　　 　用不等式或不等式组表示下面的不等关系.
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m；
0(2)a与b的和是非负实数；
a＋b≥0.
(3)2022年是中国共青团成立100周年，为了庆祝建团百年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色不少于黄色，黄色的两倍多于红色，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
分别设红、黄、蓝、绿色气球各有a，b，c，d个，
作差法比较大小
二
问题2　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2 000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
问题3　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？
提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b，反过来也对.这个基本事实可以表示为
a>b ；
a＝b ；
a从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
注意点：
利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
例2
　　比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小.
(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0，
所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.
反思感悟
作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练2
　　 　比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小.
∵x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1).
重要不等式
三
问题4　如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与4个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab.
于是就有a2＋b2≥2ab.
问题5　你能用其他方法证明a2＋b2≥2ab吗？
提示　证明：a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
因为 a，b∈R，(a－b)2≥0，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以a2＋b2－2ab≥0.
因此，由两个实数大小比较的基本事实，得a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立.
知识梳理
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 时，等号成立.
a＝b
例3
方法一　利用a2＋b2≥2ab.
当且仅当a＝1时，等号成立.
反思感悟
比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明.
跟踪训练3
　　 　(多选)下列不等式中成立的有
A.a2＋b2≥－2ab　　　B.x2＋1≥2x
√
√
√
A项，∵a2＋b2－(－2ab)＝(a＋b)2≥0，
∴a2＋b2≥－2ab成立.
易证B，C项正确，
D项，a＝1，b＝－1时，不等式不成立.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)用不等式(组)表示不等关系.
(2)作差法比较大小.
(3)重要不等式.
2.方法归纳：作差法.
3.常见误区：实际问题中变量的实际意义.