第二章 §2.2 第1课时　基本不等式-高中数学人教A版必修一 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
第1课时　基本不等式
第二章　§2.2　基本不等式
学习目标
1.了解基本不等式，理解基本不等式的推导过程.(难点)
2.能够应用基本不等式解决简单的最值问题.(难点)
导语
一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？为解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
一、基本不等式的证明与理解
二、求简单代数式的最值
三、最值定理
随堂演练
内容索引
基本不等式的证明与理解
一
问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？
实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式.
问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示　方法一　(作差法)
方法二　(利用不等式性质证明)
方法三　(利用几何意义证明)
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立，由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
知识梳理
基本不等式：
(2)两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
a＝b
算术
不小于
注意点：
求简单代数式的最值
二
例1
故原式的最大值为－4.
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
√
当且仅当a＝2时取“＝”.
反思感悟
在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式的最小值时应使积为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可.
跟踪训练1
　　 　(1)(多选)下面四个推导过程正确的有
√
√
B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
－1
∵x<3，则3－x>0，
最值定理
三
问题4　你能写出基本不等式的几种变形吗？
由此我们发现若两个正数的和为定值，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值，我们可以求这两个数和的最小值.
知识梳理
最值定理
已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，
积xy有最大值 ，简记为：积定和最 ，和定积最 .
小
大
注意点：
(1)三个关键点：一正、二定、三相等.
①一正：各项必须为正；
②二定：各项之和或各项之积为定值；
③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换.
例2
　　(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为
A.80　　B.77　　C.81　　D.82
√
因为x>0，y>0，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
(2)已知0反思感悟
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于“拼”系数、“凑”常数，应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；
②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
③拆项、添项应注意检验“一正二定三相等”.
跟踪训练2
　　 　(1)若m>0，n>0，mn＝9，则m＋n的最小值是
√
因为m>0，n>0，mn＝9，
当且仅当m＝n＝3时，等号成立.
(2)当0＜x＜4时，求3x(4－x)的最大值.
∵0＜x＜4，
∴4－x＞0，
当且仅当x＝2时，等号成立，
∴3x(4－x)的最大值为12.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)基本不等式的推导与证明.
(2)求简单代数式的最值.
(3)最值定理.
2.方法归纳：拼凑法.
3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少.