第二章 §2.3 第1课时　二次函数与一元二次方程-高中数学人教A版必修一 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第1课时　二次函数与一元二次方程
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
1.能熟练运用公式法和十字相乘法分解因式(重点).
2.掌握二次函数的表达式与图象.(重难点)
3.理解二次函数与一元二次方程的关系.(难点)
导语
今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄.小芳说：“我是最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.”小明说：“我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和.”张叔叔说：“我可以算出小芳的年龄了.”
你知道张叔叔如何算出来小芳年龄的吗？通过本节课的学习相信你也可以算出小芳的年龄.
一、因式分解
二、一元二次方程
三、二次函数与图象
随堂演练
内容索引
因式分解
一
知识梳理
因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式.因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形，在分式运算、解方程及各种恒等变形中起重要作用.
常用方法：①提公因式法；②公式法；a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2；③十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2＝(a1x＋c1)(a2x＋c2).
例1
　　分解下列因式：
(1)x2－2x；
x2－2x＝x(x－2).
(2)x2－6x＋8；
x2－6x＋8＝(x－4)(x－2).
(3)m2＋2mn－3n2；
m2＋2mn－3n2＝(m＋3n)(m－n).
(4)ax2＋(a－1)x－1(a≠0).
ax2＋(a－1)x－1＝(ax－1)(x＋1).
反思感悟
(1)因式分解先考虑提公因式，再考虑公式法，判定能否利用十字相乘法分解因式时，使用Δ＝b2－4ac，当Δ为完全平方数时，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘.
(2)有时需对二次项系数和常数项进行多次拆分，直到符合要求为止.
跟踪训练1
　　 　(1)因式分解：x2－9＝____________.
(x＋3)(x－3)
(2)因式分解：x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1).
由题意，利用十字相乘法，
可得x2－(a2＋a＋1)x＋a2(a＋1)＝(x－a2)[x－(a＋1)].
一元二次方程
二
问题1　请同学们写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式以及根与系数的关系.
例2
　　求下列方程的根：
(1)x2＋3x＋2＝0；
x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)＝0，
∴x＝－1或x＝－2.
(2)x2＋x－1＝0；
对于x2＋x－1＝0，由Δ＝1－(－4)＝5>0，
(3)ax2＋(a＋1)x＋1＝0(a≠0).
反思感悟
求一元二次方程根的注意点
(1)首先要把方程变成一般形式.
(2)注意方程有实根的前提条件是Δ＝b2－4ac≥0.
(3)注意a，b，c应包含各自的符号.
(4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别.
(5)对求出的根进行化简.
跟踪训练2
二次函数与图象
三
问题2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ有什么关系？
提示　①当Δ>0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，此时，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，x1，x2即为两交点的横坐标.
②当Δ＝0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根x1＝x2，此时，二次函数的图象与x轴有1个交点，x1(x2)即为交点的横坐标.
③当Δ<0时，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，此时，二次函数的图象与x轴没有交点.
例3
　　已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是
A.k<4　　　　　　B.k≤4
C.k<4且k≠3　　　D.k≤4且k≠3
√
由题意可知k－3≠0，
且(k－3)x2＋2x＋1＝0有实数根，
∴Δ＝4－4(k－3)≥0，即k≤4，
综上，k≤4且k≠3.
延伸探究
1.(变条件)若把例题中的“二次函数”去掉，求k的取值范围.
此时k－3可以为0，故k≤4.
2.(变条件)若函数与x轴有两个交点，求k的取值范围.
Δ>0，故有k<4且k≠3.
3.(变条件)若函数与x轴无交点，求k的取值范围.
Δ<0，故有k>4.
反思感悟
(1)会通过Δ＝b2－4ac的符号判断二次函数的图象与x轴交点的个数.
(2)二次项含参数时，要注意题目中是否强调是二次函数，如果没有强调，需分类讨论.
跟踪训练3
　　 　已知y＝(x－a)(x－b)＋2(aA.a<α<βC.α√
设y1＝(x－a)(x－b)，则y1的图象与x轴交点横坐标为a，b，
则y1向上平移2个单位长度得到y的图象，y的图象与x轴交点的横坐标为α，β，
由图易知a<α<β课堂
小结
1.知识清单：
(1)十字相乘法因式分解.
(2)一元二次方程.
(3)二次函数与图象.
2.方法归纳：观察法，图象法.
3.常见误区：二次项含参数时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论.