第二章 §2.3 第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式-高中数学人教A版必修一课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式
第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标
1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系.
2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(重点)
3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.(重难点)
一、一元二次不等式的定义
二、一元二次不等式的解法
三、含参的一元二次不等式的解法
随堂演练
内容索引
一元二次不等式的定义
一
问题1　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.
由题意得(12－x)x>20，其中x∈{x|0整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
知识梳理
定义 一般地，我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
未知数
2
一元二次不等式的解法
二
问题2　如课本51页图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？
提示　二次函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根.
知识梳理
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 .
ax2＋bx＋c＝0
零点
注意点：
零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标.
问题3　你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集吗？
提示　从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2知识梳理
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _______________ ___
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ ___ ___
{x|xx2}
R
{x|x1

注意点：
(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集.
例1
　　解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；
原不等式可化为2x2－x＋6>0.
因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示).
观察图象可得，原不等式的解集为R.
(2)－x2＋6x－9≥0；
原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，
函数y＝(x－3)2的图象如图所示，
根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}.
(3)x2－2x－3>0.
方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.
函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1，0)和(3，0)，如图所示.
观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}.
反思感悟
解不含参数的一元二次不等式一般分五步走：
(1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
跟踪训练1
　　 　解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)(2－x)(x＋3)<0.
原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}.
含参的一元二次不等式的解法
三
例2
　　解关于x的不等式ax2＋(－a＋1)x－1＞0.(a≥0)
原不等式化为(x－1)(ax＋1)＞0.
①当a＝0时，原不等式为x－1＞0，∴x＞1；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}.
延伸探究　(变条件)若把例2中的“a≥0”改为“a＜0”，解不等式.
当a＝－1时，不等式为(x－1)2＜0，解集为 ；
当a＝－1，解集为 ；
反思感悟
在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1跟踪训练2
　　 　解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小.
当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)；
当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4；
当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)，或x课堂
小结
1.知识清单：
(1)一元二次不等式的概念及解法.
(2)含参的一元二次不等式的解法.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准.