第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习课-高中数学人教A版必修一 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
章末复习课
第二章　一元二次函数、方程和不等式
知识网络
一、不等式及其性质
二、利用基本不等式求最值
随堂演练
三、一元二次不等式的解法
四、不等式恒成立问题
五、通过构造数学模型解决生活中的问题
内容索引
不等式及其性质
一
1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解.
2.掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养.
例1
　　(1)若a，b，c∈R，则下列说法正确的是
A.若a>b，则a2>b2　　　　　　　 　B.若c√
对于A，取a＝1，b＝－2，则有a2对于B，取b＝0，则有cb＝ab，故B错；
对于D，若a>b，则a＋c>b＋c正确；故选D.
(2)已知x≠2，y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是
A.M>N　　　　 　B.MC.M＝N　　　　　D.不能确定
√
因为M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2，且x≠2，y≠－1，
所以M－N>0，所以M>N.
反思感悟
不等式及其性质的两个关注点
(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.
(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，也常常选择特殊值法.
跟踪训练1
　　 　下列四个命题中，为真命题的是
√
当c＝0时，A选项为假命题；
∵c－d，又a>b，∴a－c>b－d，故B选项为假命题；
当a＝2，b＝1时，D选项为假命题；
由不等式的基本性质a>b可得a3>b3，C选项为真命题.
利用基本不等式求最值
二
2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.
例2
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
√
由题意，x>2 x－2>0，
√
∵－60，a＋6>0.
反思感悟
基本不等式的关注点
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.
(3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.
跟踪训练2
16
因为x>－2，a>0，
一元二次不等式的解法
三
1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.
2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.
3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例3
　　不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}，则关于x的不等式
cx2－bx＋a<0的解集为______________.
因为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}，
所以－1，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
反思感悟
一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点，也是一元二次方程的根.
跟踪训练3
　　 　已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞2}.
(1)求a；
∵不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞2}，
∴x＝1或x＝2是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，且a＞0，
(2)解不等式ax2－(ac＋2)x＋2c＜0.
由(1)知a＝1，
∴不等式ax2－(ac＋2)x＋2c＜0等价为x2－(c＋2)x＋2c＜0.
即(x－2)(x－c)＜0，
当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，
当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，
当c＝2时，不等式的解集为 .
不等式恒成立问题
四
2.掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例4
　　已知二次函数y＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围；
当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}.
(2)当{a|4≤a≤6}时，y≥0恒成立，求x的取值范围.
将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数，
当{a|4≤a≤6}时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可，
反思感悟
解决不等式恒成立、能成立问题的方法
(1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合.
(2)分离参数法.
(3)转化为最大(小)值问题.
跟踪训练4
A.{m|m≥3}　　　　B.{m|m≤3}
C.{m|m≤6}　　　　D.{m|m≥6}
√
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意的实数x恒成立，
又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6，所以－6≥－m，即m≥6.
通过构造数学模型解决生活中的问题
五
1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题的关键.
2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养.
例5
　　通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2022年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2 000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2 000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米.
则[80－2(x－25)]x≥2 000，
解得25≤x≤40.
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.
所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2023年的销售收入不低于2022年销售收入与2023年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米.
反思感悟
解决实际问题的关注点
(1)审题要准，初步建模.
(2)设出变量，列出函数关系式.
(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
跟踪训练5
　　 　某高中为了更好地开展高一社团活动，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为32 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.矩形栏目的高与宽的尺寸比为______时，能使整个矩形海报面积最小，最小值为________ cm2.
8∶5
40 500
设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，
则ab＝16 000，
矩形海报的高为(a＋20)cm，
宽为(2b＋25)cm(其中a>0，b>0)，
矩形海报的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝25a＋40b＋32 500
当且仅当25a＝40b，即a∶b＝8∶5时，等号成立，
所以矩形栏目的高与宽的尺寸比为8∶5时可使矩形海报的面积最小，最小值为40 500 cm2.
随堂演练
1.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是
C.若a＋b＝2，则不等式ab<1
D.若c√
1
2
3
4
因为a>b>0，所以a＋1>0，a－b>0，
对于选项C，b＝2－a，则ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1) 2＋1，
当a＝1时，(ab)max＝1，所以ab≤1，故C错误；
对于选项D，当b＝0时，cb2＝0＝ab2，故D错误.
1
2
3
4
2.若a>0，b>0，则“a＋b＝4”是“ab≤4”的
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件
√
当且仅当a＝b＝2时取等号，
∴“a＋b＝4”是“ab≤4”的充分条件；
ab≤4时，显然a＋b＝4不一定成立，
∴“a＋b＝4”不是“ab≤4”的必要条件.
∴“a＋b＝4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
1
2
3
4
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件
√
解得0＜a＜4，或a＝0时，1＞0恒成立，
所以p成立是q成立的充分不必要条件.
1
2
3
4
1
2
3
4
√
1
2
3
4
本课结束