第三章 3.1.1 函数的概念(2)高中数学人教A版必修一 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
3.1.1　函数的概念(2)
第三章　§3.1　函数的概念及其表示
学习目标
1.理解区间的概念，能正确使用区间表示数集.
2.会求一些简单函数及抽象函数的定义域.(重点)
3.会判断两个函数是否为同一个函数.(难点)
导语
随着复兴号高铁的出现，中国高铁时速从200公里/小时提升至350公里/小时，然而这并没有结束，如今中国更是造出了世界上最快的高铁，时速高达600公里，速度直追飞机.若表示复兴号高铁的运行速度的范围，我们学过以下方法，不等式：200≤v≤350；集合：{v|200≤v≤350}；数轴：位于200与350之间的一段包括端点的线段.今天我们一起来探讨其他简便的方法.
一、区间的概念
二、求函数的定义域与函数值
三、判断是否为同一个函数
随堂演练
四、求抽象函数的定义域
内容索引
区间的概念
一
知识梳理
设a，b∈R，且a区间 数轴表示
______
______
______
______
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
注意点：
(1)区间概念中，注意前提条件：a，b∈R，且a(2)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆，∞处均为开；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；
(4)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；
(5)∞是一个符号，而不是一个数.实数集R可表示为(－∞，＋∞).
例1
　　把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
{x|x≥－1}＝[－1，＋∞).
(2){x|x<0}；
{x|x<0}＝(－∞，0).
(3){x|－1{x|－1(4){x|0{x|0反思感悟
用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值.
(2)区间两端点之间用“，”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号.
(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
(5)区间若包含两部分，中间用“∪”连接.
跟踪训练1
　　 　(1)集合{x|－2(－2，1)∪(1，2]
{x|－2(2)已知区间(a2－a＋1，7]，则实数a的取值范围是_________.
(－2，3)
由题意可知a2－a＋1<7，即a2－a－6<0，
解得－2所以实数a的取值范围是(－2，3).
求函数的定义域与函数值
二
提示　分母x－1≠0.
问题2　你能判断函数解析式f(x)＝(x－1)0什么时候有意义吗？
提示　底数x－1≠0.
提示　x－1≥0.
提示　x＋1≠0与x＋3＞0同时成立.
注意点：
求函数的定义域时，常有以下几种情况
(1)分式的分母不为0；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0要求x≠0；
(4)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集)；
(5)在实际问题中，定义域是使实际问题有意义的实数的集合.
例2
[1，＋∞)
解得x≥1，
所以f(x)的定义域为[1，＋∞).
当a≠－1时，a＋1≠0，
反思感悟
(1)求函数的定义域，即求使函数解析式有意义的x的取值集合.
(2)求函数的定义域时，不对解析式化简变形，以免定义域变化.
(3)定义域书写形式：集合或区间.
(4)函数求值方法：
①用a代替f(x)表达式中的x，即得f(a).
②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
跟踪训练2
{x|x＞－2，且x≠－1}
由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1，
又x＋2>0，即x>－2，
{x|x≥1，且x≠2}
解得x≥1且x≠2，
(3)已知定义域为R的函数f(x)＝x－3和g(x)＝x2＋1，计算下列各式：
①f(2)＋g(－1)；
∵f(2)＝2－3＝－1，
g(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f(2)＋g(－1)＝－1＋2＝1.
②f(g(1)).
f(g(1))＝f(2)＝2－3＝－1.
判断是否为同一个函数
三
问题5　构成函数的要素有哪些？
提示　定义域、对应关系和值域.
问题6　结合函数的定义，如何才能确定一个函数？
提示　有确定的定义域和对应关系，此时值域唯一确定，则函数确定.
例3
　　(多选)下列各组函数中表示同一个函数的是
D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函
　数g(x)＝80x(0≤x≤5)
√
√
A不是同一个函数，定义域不同，
f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.
B不是同一个函数，定义域不同，
f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)的定义域{x|x≤－1，或x≥1}.
C是同一个函数，对应关系相同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝|x＋3|且定义域也相同.
D是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
反思感悟
判断两个函数是否为同一个函数时应注意
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
跟踪训练3
　　 　下列各组函数中是同一个函数的是
B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0)
√
A，C选项中，两函数的定义域不同；
D选项中，两函数的对应关系不同，故A，C，D错误.
求抽象函数的定义域
四
例4
　　(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则f(2x－1)的定义域为_______.
[0，2]
令－1≤2x－1≤3，
解得0≤x≤2，
所以f(2x－1)的定义域为[0，2].
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是
A.[－1，1]　　　B.[－5，13]
C.[－5，1]　　　D.[－1，13]
√
由题意知，－2≤x≤4，
所以－5≤3x＋1≤13，
所以y＝f(x)的定义域是[－5，13].
反思感悟
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即为定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即为定义域.
跟踪训练4
A.[－1，1)　　　　　　B.(1，3]
C.[－1，0)∪(0，1]　 　D.[0，1)∪(1，2]
√
因为函数f(x)的定义域为[0，2]且分式的分母不等于零，
课堂
小结
1.知识清单：
(1)区间的表示.
(2)求简单函数的定义域和函数值.
(3)判断是否为同一个函数.
(4)求抽象函数的定义域.
2.方法归纳：整体代换.
3.常见误区：整体代换的思想求抽象函数的定义域.