第三章 3.1.2 函数的表示法(2)高中数学人教A版必修一 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
3.1.2　函数的表示法(2)
第三章　§3.1　函数的概念及其表示
学习目标
1.会求函数的解析式.(重点)
2.会用解析法及图象法表示分段函数.(重点)
3.给出分段函数，能研究有关性质.(难点)
4.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.(难点)
导语
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等.解决这些问题都会用到我们今天要研究的分段函数.
一、求函数的解析式
二、分段函数求值(范围)问题
三、分段函数的图象及应用
随堂演练
四、分段函数在实际问题中的应用
内容索引
求函数的解析式
一
例1
则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)；
(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以f(x)＝x2－2x－1.
反思感悟
求函数解析式的常用方法
(1)换元法：令t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式并把变量t换为x即可.特别提醒：应用换元法时，注意t的取值范围，务必保证函数在换元前后的等价性.
(2)待定系数法：若已知函数f(x)的类型，设出它的一般形式，根据条件联立方程组，解出相关的系数即可.
(3)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.
跟踪训练1
　　 　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
方法一　(配凑法)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2
＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
方法二　(换元法)令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x).
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
分段函数求值(范围)问题
二
提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同.
知识梳理
分段函数
(2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系.
注意点：
(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集.
例2
知f(－5)＝－5＋1＝－4，
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围.
因为a2＋2≥2，
所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f(a2＋2)≥a＋4可化为2a2－a－1≥0，
延伸探究
1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合题意，舍去；
当－2当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，
即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意.
2.本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.
当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，
即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈ .
综上可得，x的取值范围是(－∞，2).
反思感悟
(1)分段函数求值的方法
①先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
跟踪训练2
A.[－4，2)　　B.[－4，2]　　C.(0，2]　　D.(－4，2]
√
当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1，解得x∈(0，2]，
综上，x∈[－4，2].
分段函数的图象及应用
三
例3
　　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
(2)求函数φ(x)的定义域，值域.
由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
所以φ(x)的值域为(－∞，1].
反思感悟
应用分段函数图象解题应注意
(1)对含有绝对值的函数，先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
(2)利用分段函数的图象求最值或值域时，分别作出各段的图象，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏，最后根据图象求出最值或值域.
跟踪训练3
　　 　已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x－1)2，对 x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则M(x)的最小值为___.
1
如图，在同一直角坐标系中分别作出函数f(x)＝x＋1和g(x)＝(x－1)2的图象，
因为对 x∈R，M(x)＝max{f(x)，g(x)}，
故函数M(x)的图象如图所示，
由图可知，当x＝0时，函数M(x)取得最小值1.
分段函数在实际问题中的应用
四
例4
　　某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利.已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t).
(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；
当10≤t≤20时，s(t)＝500，当2≤t<10时，s(t)＝500－k(10－t)2，
∵s(2)＝372，
∴372＝500－k×(10－2)2，解得k＝2，
∴s(t)＝500－2(10－t)2，
∴s(5)＝500－2×52＝450 (人).
当10≤t≤20时，s(t)＝500，
当2≤t<10时，s(t)＝500－2(10－t)2，
∴当t＝4时，Qmax＝132，
∴当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为132.
反思感悟
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
跟踪训练4
　　 　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).
如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
设票价为y元，里程为x km.
由题意可知，自变量x的取值范围是(0，20].
由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式.
函数图象如图.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)求函数解析式.
(2)分段函数的概念及求值.
(3)分段函数的图象及应用.
2.方法归纳：待定系数法、换元法、分类讨论、数形结合法.
3.常见误区：
(1)求函数解析式时易忽视定义域.
(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.
(3)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式.