第三章 3.2.1　单调性与最大(小)值(2)高中数学人教A版必修一课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
3.2.1　单调性与最大(小)值(2)
第三章　§3.2　函数的基本性质
学习目标
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.(重点)
3.会借助函数的单调性求最值.(重点)
4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的最值问题.(难点)
导语
108这个数字大家也许并不陌生：《封神榜》里面总共有108位神仙；在《水浒传》中，讲述的是齐聚水泊梁山的108位英雄好汉；在《红楼梦》中，设置了108个章节，等等这些，足以说明108在古人心中认为是数字之最，今天我们也来一次穿越，和古人一起探讨一下我们的函数之最吧！
一、直观感知函数的最大(小)值
二、利用函数的单调性求函数的最值
三、探究生活中的最值问题
随堂演练
内容索引
直观感知函数的最大(小)值
一
问题1　如何求函数f(x)＝－x2的最大值.
提示　求函数的最大值可以转化为求函数图象的最高点的纵坐标.
问题2　如图，这是某气象观测站某日00：00—24：00这24小时内的气温变化图.
我们常说昼夜温差大，是指一天之
中的最高温度和最低温度之差.请问，
该天的最高气温是多少？
提示　该天的最高气温是32 ℃，即最高点的纵坐标.
问题3　你是怎样理解函数图象最高点的？
提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
知识梳理
函数的最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) x∈I，都有f(x) M；
(2) x0∈I，使得 .
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.
函数的最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) x∈I，都有f(x) M；
(2) x0∈I，使得 .
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值.
≤
f(x0)＝M
≥
f(x0)＝M
注意点：
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标；
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R；
(3)一个函数至多有一个最大(小)值；
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性；
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值.
例1
作出f(x)的图象如图.
由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；
反思感悟
图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1
　　 　如图是函数f(x)的图象，指出该函数的最大、最小值点及最值.
观察图象知，函数f(x)的最大值点是x＝－1，最小值点是x＝2，
函数f(x)的最大值是1.5，最小值是－1.
利用函数的单调性求函数的最值
二
问题4　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？
提示　最大值为f(b)，最小值为f(a).
问题5　若f(x)＝－x2的定义域为[－1，2]，则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？
提示　不一定，需要考虑函数的单调性.
例2
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明；
函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈(1，＋∞)，不妨设x1∵x1，x2∈(1，＋∞)且x1∴x2－x1>0，2x1x2－1>0，x1x2>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
(3)求函数f(x)在[2，3]上的最值.
由(2)知，函数f(x)在[2，3]上单调递增，
反思感悟
(1)利用单调性求最值的一般步骤
①判断函数的定义域.②判断函数的单调性.③利用单调性求出最值.
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b).
②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a).
③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值.
跟踪训练2
(1)求证：f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
设1≤x1∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值，
最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，
探究生活中的最值问题
三
例3
(1)求出2022年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
由题意得当0S(x)＝500x－(10x2＋100x)－3 000＝－10x2＋400x－3 000，
当x≥40时，
(2)当2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
由(1)得当0当x＝20时，S(x)max＝1 000，
∴当x＝100时，S(x)max＝1 300，∵1 300>1 000，
∴当x＝100时，即2022年产量为1万辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1 300万元.
反思感悟
(1)实际问题主要考查二次函数或分段函数的最值问题，以及应用它们解决实际问题的能力.
(2)解应用题的步骤是：
①审清题意，设出未知数；
②建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；
③得出结论，回归题意.
跟踪训练3
　　 　将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)函数的最大值、最小值定义.
(2)利用函数的单调性求函数最值.
(3)探究生活中的实际问题.
2.方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：
(1)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域.
(2)求含参数的二次函数的最值时，不要忘记按对称轴与区间的位置分类讨论.