第三章 3.2.1 单调性与最大(小)值(1)高中数学人教A版必修一 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
3.2.1　单调性与最大(小)值(1)
第三章　§3.2　函数的基本性质
学习目标
1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增、单调递减和增函数、减函数的概念.
2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.(重点)
3.能运用定义法证明函数的单调性.(难点)
导语
海宁潮，又名钱塘潮，自古称之为“天下奇观”.“八月十八潮，壮观天下无”.海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪.”潮起潮落，牵动了无数人的心.如何用函数形式表示起与落呢？本节课我们就来研究一下！
一、直观感知函数的单调性
二、利用定义证明函数的单调性
三、函数单调性的简单应用
随堂演练
内容索引
直观感知函数的单调性
一
问题1　观察如图所示的三个函数图形，它们的图象有什么变化规律？
提示　从左向右看：函数y＝x的图象是上升的；
函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；
函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
问题2　如何理解函数图象是上升的？
提示　从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大.
知识梳理
增函数与减函数
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 .
f(x1)＜f(x2)
单调递增
单调递减
减函数
注意点：
(1)区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集；
(2)同区间性，即x1，x2∈D；
(3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替；
(4)有序性，即要规定x1，x2的大小；
(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一；
(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质.
例1
　　如图，已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间.
由图象可知，函数的单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2).
反思感悟
(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间.
(2)若函数不是上述常见函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.
(3)一个函数有多个单调区间时，区间不能用“∪”连接，而要用“和”或“，”连接.
跟踪训练1
　　 　画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.
函数的图象如图实线部分所示.
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
利用定义证明函数的单调性
二
例2
x1，x2∈(2，＋∞)，且x1因为2所以x2－x1>0，x2＋x1＞0，x1＋2＞0，x1－2＞0，x2＋2＞0，x2－2＞0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
x1，x2∈(2，＋∞)，且x1因为2所以x2－x1＞0，x2＋x1>0，x1＋2>0，x1－2>0，x2＋2>0，x2－2>0，
当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)反思感悟
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值(定大小)：设x1，x2是所证区间内的任意两个值，且x1(2)作差(变形)：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为积或商等易判断符号的关系式.
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论.
(4)结论：根据定义写出结论.
跟踪训练2
x1，x2∈(－∞，0)，且x1由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)函数单调性的简单应用
三
例3
　　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是____________.
(－∞，－4]
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1，
解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4].
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为__________.
(－∞，1)
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1).
延伸探究
1.在本例(1)中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为_____.
－4
f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
由题意得－a－1＝3，a＝－4.
2.若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围.
反思感悟
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
①若为二次函数，判断开口方向与对称轴，利用单调性确定参数满足的条件.
②若为一次函数，由一次项系数的正负决定单调性.
③若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)，利用数形结合，探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知或非常复杂时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.
跟踪训练3
[4，8)
因为f(x)是R上的增函数，
解得4≤a<8.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)增函数、减函数的定义.
(2)利用定义证明函数的单调性.
(3)函数单调性的简单应用.
2.方法归纳：定义法、作差法、分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：
(1)函数的单调区间不能用并集.
(2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域.